第五章 二次函数 复习题 课件 2026-2027学年北师大九年级数学上册

章末复习5北师版九年级上册两个数的和为6，这两个数的积最大可以达到多少？利用图象描述这两个数的积与因数之间的关系。解：设其中一个数为x，这两个数的乘积为y，则另一个数为6－x。根据题意，得y=x·(6－x)=－x2+6x=－(x2－6x)=－(x2－6x+32－32)=－(x－3)2+9。因为a=－1<0，所以当x=3时，y最大

=9。图象如图所示。2.确定下列二次函数的对称轴和顶点坐标：（1）y=2－2x2；

（2）y=－3(x-1)2+5；表达式变为y=－2x2+2，对称轴为直线x=0，顶点坐标为（0，2）对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，5）（3）y=4(x+3)2–1；

（4）y=x(5–x)；对称轴为直线x=－3，顶点坐标为（－3，－1）原表达式变为y=－x2+5x，所以对称轴为直线x=，顶点坐标为。（5）y=1+2x–x2；

（6）y=2x2–7x+12。原表达式变为y=－x2+2x+1，所以对称轴为直线x=1，顶点坐标为（1，2）。所以对称轴为直线x=，顶点坐标为。3.确定下列二次函数的图象与x

轴的交点的坐标，并画草图验证:（1）y=x2+6x+9；令y=0，则x2+6x+9

=0，解得x1=x2=－3，所以此二次函数的图象与x

轴的交点坐标为（－3，0），草图如图所示。（2）y=9－4x2；令y=0，则9－4x2

=0，解得x1=1.5，x2=－1.5，所以此二次函数的图象与x

轴的交点坐标为（－1.5，0），（1.5，0），草图如图所示。（3）y=(x+1)2－9。令y=0，则(x+1)2－9=0，解得x1=2，x2=－4，所以此二次函数的图象与x

轴的交点坐标为（－4，0），（2，0），草图如图所示。4.把一根长为120cm的铁丝分成两段，每一段均折成一个正方形，这两个正方形的面积之和最小是多少？解：设其中一部分长为xcm，则另一部分长为（120－x）cm,它们的面积和为ycm2。根据题意，得因为a=>0，所以当x=60时，y最小

=450。所以这两个正方形的面积之和最小是450cm2。5.物体的动能E（单位：J）与它的质量m（单位：kg）、运动速度v（单位：m/s）之间的关系可以用公式

表示。一辆小轿车的质量为1500kg，行驶速度为10m/s。设该车行驶速度增加

xm/s时，它的动能增加yJ。（1）写出y与x

之间的关系式；（2）当该车行驶速度分别增加5m/s，10m/s，20m/s时，它的动能各增加多少？解：（1）（2）当x=5时，y=750×52+15000×5=93750；当x=10时，y=750×102+15000×10=225000；当x=20时，y=750×202+15000×20=600000；所以当该车行驶速度分别增加5m/s，10m/s，20m/s时,它的动能各增加93750J，225000J，600000J。6.自由落体运动是物体只在重力作用下由静止开始下落的运动，地球上物体自由下落的距离h（单位：m）与下落的时间t

（单位：s）之间的关系是h=4.9t2。我们知道，同一物体，在月球上所受的重力大约是在地球上所受重力的，因此，月球上物体自由下落的距离h（单位：m）与下落的时间t

（单位：s）之间的关系大约是h=0.8t2。

（1）在同一直角坐标系中画图，分别表示地球、月球上h和t

之间的关系;

（2）比较物体下落4s时，在地球上和月球上分别下落的距离；

（3）比较物体下落10m时，在地球上和月球上分别所需要的时间（结果精确到0.1s）解：（1）列表：t012…h=4.9t204.919.6…h=0.8t200.83.2…描点、连线，图象如图所示。（2）当t=4时，在地球上下落的距离h=4.9×42=78.4（m）；在月球上下落的距离h=0.8×42=12.8（m）。（2）在地球上，当h=10时，10=4.9t2，解得t

≈1.4（负值已舍去）；在月球上，当h=10时，10=0.8t2，解得t

≈3.5（负值已舍去）。所以物体下落10m时，在地球上和月球上所需要的时间分别约为1.4s，3.5s。7.求二次函数y=x2－x－5的图象与一次函数y=2x－1的图象的交点坐标。请利用函数表达式、表格和图象三种方法求解。（函数表达式法）将①代入②，得x2－x－5=2x－1，x2－3x－4=0，解得x1=－1，x2=4。当x1=－1时，y1=2x1－1=2×(－1)－1=－3；当x2=4时，y2=2x2－1=2×4－1=7。由此得交点坐标是（－1，－3），（4，7）。所以方程组的解为由y=x2－x－5与y=2x－1两式联立组（表格法）列表：x…－2－101234567…y=x2－x－5…1－3－5－5－317152537…y=2x－1…－5－3－1135791113…所以交点坐标为（－1，－3），（4，7）。（图象法）如图所示。由图象知交点坐标为（－1，－3），（4，7）。8.一元二次方程

的根与二次函数

的图象之间有什么关系？解：方程的根就是二次函数的图象与x

轴交点的横坐标。9.利用二次函数的图象求下列一元二次方程的近似根：（1）x2+11x=9；

（2）x2+3x=20；（3）x2+2x－9=0；

（4）x2+3=3x。（1）x2+11x=9；原方程可化为x2+11x－9=0。作二次函数y=

x2+11x－9的图象如图所示。由函数y=

x2+11x－9的图象可知方程有两个根。一共在－12和－11之间，另一个在0和1之间。①先求－12和－11之间的根，利用计算器进行探索：因此，x=－11.8是方程的一个近似根。x－11.2－11.3－11.4－11.5－11.6－11.7－11.8－11.9y－6.76－5.61－4.44－3.25－2.04－0.810.441.71②求0和1之间的根，利用计算器进行探索：因此，x=0.8是方程的另一个近似根。所以一元二次方程x2+11x=9

的近似根为x1=－11.8，x2=0.8。x0.20.30.40.50.60.70.80.9y－6.76－5.61－4.44－3.25－2.04－0.810.441.71（2）x2+3x=20；原方程可化为x2+3x－20=0。作二次函数y=

x2+3x－20的图象如图所示。由函数图象可知方程有两个根。一共在－7和－6之间，另一个在3和4之间。①先求－7和－6之间的根，利用计算器进行探索：因此，x=－6.2是方程的一个近似根。x－6.1－6.2－6.3－6.4y－1.09－0.160.791.76②求3和4之间的根，利用计算器进行探索：因此，x=3.2是方程的另一个近似根。所以一元二次方程x2+3x=20

的近似根为x1=－6.2，x2=3.2。x3.13.23.33.4y－1.09－0.160.791.76（3）x2+2x－9=0；作二次函数y=

x2+2x－9的图象如图所示。由函数图象可知方程有两个根。一个在－5和－4之间，另一个在2和3之间。①先求－5和－4之间的根，利用计算器进行探索：因此，x=－4.2是方程的一个近似根。x－4.1－4.2－4.3y－0.390.240.89②求2和3之间的根，利用计算器进行探索：因此，x=2.2是方程的另一个近似根。所以一元二次方程x2+2x－9=0

的近似根为x1=－4.2，x2=2.2。x2.12.22.3y－0.390.240.89（4）x2+3=3x。原方程可化为x2－3x+3=0。作二次函数y=

x2－3x+3的图象如图所示。由函数图象可知方程无实数根。10．（1）正方形的边长是x，面积是A，周长是l，分别写出A，l与x之间的关系式；（2）在同一直角坐标系中画出上述关系式在x

≥0范围内的图象，并比较它们的变化趋势。由题意知，A=x2，l=4x。（2）列表：描点、连线，图象如图所示。x01234…A014916…l0481216…随着x

的增大，A与l均增大，增大的速度一直不变，A

增大的速度越来越快。11.已知一个平行四边形的高与底边的比是h∶a=2∶5，写出这个平行四边形的面积S与它的底边a之间的关系式，并从图象观察这个平行四边形的面积随着其底边的变化而变化的情况。解：由题意知，S=ah。因为h∶a=2∶5，列表：描点、连线，图象如图所示。a0123…S0…由图象发现，面积S

的值随着底边a

值的增大而增大。12.如图，从斜坡O点处抛出一个小球，球的运动路线可以用二次函数

刻画，斜坡可以用一次函数

刻画。（1）求小球到达的最高点的坐标；（2）小球的落点是A，求点A的坐标。所以小球达到的最到点的坐标为（4，8）。（2）根据题意，得解得x1=0，x2=7。当x=0时，y=0；当x=7时，y=。所以抛物线与直线的交点坐标为（0，0），，所以点A

的坐标为。13.如图，用篱笆（虚线部分）在墙角围成一个矩形，已知篱笆的长度是15m，如何围篱笆才能使其所围矩形ABCD的面积最大？最大面积是多少？解：设AB=xm，所围成的矩形面积为ym2，则BC=（15－x）m。根据题意，得y=x(15－x)=－x2+15x=－(x－7.5)2+56.25（0<x<15），当x=7.5时，y

取最大值，y最大

=56.25。因此，当AB=7.5m时，才能使篱笆所围矩形的面积最大，最大面积是56.25m2。14.如图（单位：m)，等腰直角三角形ABC在正方形

CDEF的左侧，点B，C，F

在一条直线上。现△ABC

由如图所示的位置开始，以2m/s的速度沿直线BF从左向右运动（正方形CDEF保持不动），直到边AB与边CD重合。设运动xs时，△ABC

与正方形CDEF

重叠部分的面积为ym2。（1）写出y与x之间的关系式；（2）当x=2，3.5时，y分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形

CDEF

面积的一半时，△ABC

运动了多长时间？解：（1）如图，移动速度为2m/s，所以xs时，CE=2xm。因为△ABC

为等腰直角三角形所以∠BCA=45°。因为∠DEC=90°，所以△GEC

为等腰直角三角形，所以GE=CE=2xm，（2）当x=2时，y=2×22=8；当x=3.5时，y=2×3.52=24.5。（3）当重叠部分的面积是正方形CDEF

面积的一半时，即2x2=50，解得x=5（负值已舍去）。因此当重叠部分的面积是正方形CDEF

面积的一半时，△ABC

运动了5s。15.下表呈现了某竖直上抛物体运动的高度h（单位：m）与运动的时间t（单位：s）之间关系的部分数据：t/s1510152025h/m155635101011351010635（1）根据上表，以时间t为横轴、高度h为纵轴建立直角坐标系，并描出上述各点。（2）根据第（1）题平面直角坐标系中各点的变化趋势，试确定h

关于t

的函数类型，并求这一函数的表达式。（3）该物体运动的最大高度是多少？你是根据哪种表示方式求解的？t/s1510152025h/m155635101011351010635解：（1）如图所示。t/s1510152025h/m155635101011351010635（2）h

关于t

的函数是二次函数。由函数图象知图象的顶点为（15，1135）且过点（5，635），设h

关于t

的函数表达式为h=a(t－15)2+1135（a≠0）。将（5，635）代入函数表达式，a(5－15)2+1135=635，所以100a=－500，所以a=－5。所以h=－5(t－15)2+1135。（3）该物体运动的最大高度为1135m。是根据表达式求出的。16.如图，喷水池的喷水口位于水池中心，到水面的距离为0.5m，喷出的水流呈抛物线形状，最高点离水面m，落水点离池中心1m。请建立适当的平面直角坐标系，用函数表达式描述左、右两边两条水流的形状，并说明自变量的取值范围。解：建立平面直角坐标系如图所示。设右边水流对应的函数表达式为因为a

≠0，

h

≠0，

h

≠1，由③÷④，得把h=代入③，得a=－1。所以右边水流对应的函数表达式为自变量的取值范围是0≤x

≤1。由对称性，得左边水流对应的函数表达式为

，自变量的取值范围是－1≤x<0。17.把一个数a写成两数之和，何时这两个加数的乘积最大？请说明理由。解：设其中一个加数为x，则另一个加数为a－x，其乘积为y。根据题意，得y=x(a－x)=－x2+ax。当x=时，y

有最大值。因此把一个数写成两数之和，当这两个加数相等时，它们的乘积最大。18.相框边的宽窄影响可放入相片的大小。如图，相框的长为26cm，宽为22cm，相框边的宽度为xcm，相框内的面积为ycm2。（1）写出y与x之间的关系式；（2）用图象表示y与x之间的关系；（3）当x=1，1.5，2时，分别可以放入多大的相片？解：（1）根据题意，得y=(26－2x)(22－2x)=4x2－96x+572（0<x<11）。（2）图象如图所示。（3）当x=1时，可以放入24cm×20cm的相片；当x=1.5时，可以放入23cm×19cm的相片；

当x=2时，可以放入22cm×18cm的相片。19.竖直向上发射的物体运动的高度h（单位：m）满足关系式h=－5t2+v0t，其中t（单位：s）是物体运动的时间，v0（单位：m/s）是物体被发射时的速度。某公园计划设计园内喷泉，喷水的最大高度要求达到15m，那么喷水的速度应该达到多少（结果精确到0.01m/s）

？解：由题意知，h

的最大值为所以v0

≈17.32或v0

≈－17.32（不合题意，舍去）。因此，喷水的速度应该达到约17.32m/s。20.如图，一位跳台滑雪运动员在一次训练中从起跳点起跳飞出，在着陆坡着陆。已知起跳点E

与着陆坡上的计分参照点K的垂直距离为45m，水平距离为83m。按如图所示的平面直角坐标系，这位运动员这次起跳后在空中的运动轨迹近似满足抛物线

。该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是多少？着陆时他能越过K

点吗？当x=20时，y

取最大值，y最大

=50。当x=83时，所以该运动员这次起跳后在空中飞行的最大高度是50m，着陆时他能越过K

点。21.如图，大桥的缆索具有抛物线形状，两端的索塔均与桥面垂直，且在桥面以上部分高度相同，即AB=CD。主桥AC长为600m，缆索最低处的吊杆MN

长为3m，桥面上与点M

相距100m处的吊杆PO

长为13m。请建立适当的乎面直角坐标系，求索塔在桥面以上部分的高度。解：如图，以点M

为原点，AC

所在直线为x

轴，MN

所在直线为y

轴建立平面直角坐标系，则M(0,0)，N(0,3)，Q(100,13)。由题意可设y=ax2+3（a

≠0）。因为Q（100,13）在抛物线上，所以13=a×1002+3，因为AC=600m，所以MC=300m。当x=300时，所以索塔在桥面以上部分的高度为93m。解：如图，以点M

为原点，AC

所在直线为x

轴，MN

所在直线为y

轴建立平面直角坐标系，则M(0,0)，N(0,3)，Q(100,13)。22.如图，在△ABC中，AB=AC=10，BC=12。在△ABC

的内部作一个矩形DEFG，其中点D，G分别在边AB和AC上，EF在边BC上。设EF=x，矩形DEFG的面积为y，写出y与x之间的函数关系式，列出表格，并画出相应的函数图象。根据三种表示方法回答下列问题：（1）自变量x的取值范围是什么？（2）图象的对称轴和顶点坐标分别是什么？（3）试描述y随x的变化而变化的情况。解：如图，过点A

作AM⊥BC

于点M。因为AB=AC，在Rt△AMB

中，由勾股定理，得因为四边形DEFG

是矩形，所以DG∥BC，∠DEM=90°