5.3.2 面积问题 课件 2026-2027学年北师大九年级数学上册

面积问题5北师版九年级上册复习导入1.当一个二次函数是y=a（x－h）2

+k

（顶点式）时，当x＝_______时，y有最值为_______。hk2.当一个二次函数是y

=ax2

+bx

+c

（一般式）时，当x＝_______时，y有最值为_______。情景导入（1）请用长20米的篱笆设计一个矩形的菜园。（2）怎样设计才能使矩形菜园的面积最大？ABDC审审清题意，理解问题ABDC设分析问题中的变量、常量及它们之间的关系，设出变量矩形的周长=（长+宽）×2=20矩形的面积=长×宽宽=10－长解：设矩形的一边长为x米，面积为y

平方米，则列用函数表达式表示它们之间的关系y=x（10－x）=－x2+10x=－（x－5）2+25解借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题使矩形菜园的面积最大，就是求二次函数的最大值。所以当x=5时，y最大

=25。此时另一边长为10－5=5（米）因此，当矩形的长和宽均为5米时，矩形的面积最大。探究新知如图（单位：m），在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCD

，其中AB

和AD

分别在两条直角边上，点C

在斜边上。设AB=xm，其中0＜x

＜40。（1）边AD

的长度如何表示？解：因为AB=x，则BF=40－x，所以所以EF40－x设AD=h，因为ABCD

是矩形，所以BC∥DC。由图可知Rt△EDC∽Rt△CBF（2）设矩形的面积为ym2，当x取什么值时，y的值最大？

最大值是多少？由题意可得所以当x=20时，y有最大值，点击图可进入该题几何画板案例y最大

=300。在上面的问题中，直角三角形不变，如果把矩形改为如图所示的位置，BC

在斜边上，点A，D

分别在两条直角边上，那么矩形ABCD的最大面积是多少？你是怎样知道的？与同伴进行交流。点击图可进入该题几何画板案例思考·交流思考：设AB=xm，类比原题的方法，能否利用相似表示AD？点击图可进入该题几何画板案例NM解：如下图所示，过点G作GM⊥EF，交DA于点N，交CB于点M。因为DA//CB，所以GN⊥DA。因为DA//EF，所以△ADG

∽△EFG点击图可进入该题几何画板案例NM在Rt△EGF中，由，得GM=24（m）。所以当x=12时，y有最大值300。利用二次函数求解面积问题的步骤：审审清题意，理解问题设分析问题中的变量、常量及它们之间的关系，设出变量列用函数表达式表示它们之间的关系解借助二次函数的表达式、图象和性质等求解实际问题验检验结果，得出符合实际意义的结论答根据题意及解答写出答案例2

某建筑物的窗户如图所示（单位：m），它的上半部分是半圆，下半部分是矩形，制造窗框的材料总长（图中所有黑线的长度和）为15m。当x等于多少时，窗户的面积最大（结果精确到0.01m）？最大面积是多少（结果精确到0.01m2）？解:因为7x+4y+πx=15，所以因为0＜x＜15，且0＜

＜15，所以0＜x＜1.48。设窗户的面积为Sm2，则所以当x=≈1.07时，S

取得最大值，S最大=≈4.02。因此，当x约为1.07时，窗户的面积最大。最大面积约为4.02m2。达标检测在教材图5-7的问题中，如果设AD=x

m，其中0＜x＜30，那么如何求矩形ABCD的最大面积？【选自教材P144随堂练习】解：如图，已知AF=30m，AE=40m，AD=xm，在Rt△AEF

中，则DF=（30－x）m。EF因为四边形ABCD

是矩形，所以∠ABC=∠ADC=90°，BC=AD=xm，AB=CD。EF易证△FDC∽△FAE，所以所以所以所以EF因为所以当x=15时，y

取得最大值，y最大

=300。所以矩形ABCD

的最大面积为300m2。在一面靠墙（墙长10米）的空地上用长为24米的篱笆，围成一个长方形花圃，设花圃的宽AB

为x

米，面积为S

平方米。当x

取何值时，所围成的花圃面积最大，最大值是多少？解：已知花圃的宽AB

为x

米，则花圃的长BC=（24－2x）米，S=x（24－2x）=－2x2+24x=－2（x－6）2+72，因为长方形的一面靠墙，墙长10米，所以0＜24－2x

≤10，解得7≤

x＜12，因为x=6不在x

的取值范围内，所以，当x=7时，S

有最大值，最大值为70平方米。课堂小结利用二次函数求解面积问题的步骤：审审清题意，理解问题设分析问题中的变量、常量及它们之间的关系，设出变量列用函数表达式表示它们之间的关系解借助二次函数的表达式、图象