山东省德州市2026届高三下学期4月学习质量综合评估数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市2026届高三下学期4月学习质量综合评估数学试题一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合，则（）A. B.C. D.【答案】B【解析】集合或，而，则，A错误，B正确；而，，因此集合不是集合的子集，集合不是集合的子集，CD错误.2.设复数满足，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，设，则，所以，即，所以.3.已知向量满足，则（）A.2 B. C.4 D.【答案】C【解析】由题设有，故，故，即.4.已知圆柱的底面半径是圆锥底面半径的2倍，圆柱的高是圆锥高的，则圆柱和圆锥的体积之比为（）A.6 B.3 C.2 D.1【答案】A【解析】设圆锥底面半径为，高为，则圆柱底面半径为，高为，故圆柱和圆锥的体积之比为.5.一组不全相等的数据的平均数为，方差为；设新数据，的平均数为，方差为，则（）A. B.C. D.【答案】C【解析】由题意得的平均数为，故，故AB错误；又，而不全相等，故，所以，故C正确，D错误.6.已知为正实数，为实数，则“”的充要条件可以是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于AB，若，此时且则推不出，也推不出，故AB错误；取，成立，但，故C也错误；设，因为均为上的增函数，故为上的增函数，故时必有即；而即，故，故是的充要条件，D正确.7.已知，则（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由题设有，故，若，则，与矛盾；故.8.若存在，对任意的，都有，则当取到最大值时，的值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】任意的，都有，则在上恒成立，令，，则，令，得，当时，，当时，，则函数在上单调递减，在上单调递增，所以，因此存在，使，令，则，令，得，当时，当时，则函数在上单调递增，在上单调递减，所以，所以时，的最大值为.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下表是我国2021年至2025年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）与年份代码（1-5分别对应2021-2025）的相关数据.根据表中数据求得关于的经验回归方程为，则（）123451218253034A.与正相关B.回归直线过点C.D.预测2030年生活垃圾无害化处理量为60亿吨【答案】AC【解析】,,而回归直线为，故，故，故C正确，因为，故与正相关，故A正确；当时，，故B错误；2030年对应，此时生活垃圾无害化处理量为（亿吨），故D错误.10.如图，函数的图象上有两点，则（）A.B.C.在区间上单调递减D.为偶函数【答案】ABC【解析】因为，故即，而在上升曲线段中，故，而，故，故A正确；而，由图形结合对称性可得为轴右侧的第一条对称轴，故即即，故B正确；故，当时，，而在上为减函数，故在上为减函数，故C正确；又，设，而，故为奇函数，故D错误.11.正三棱锥中，，点在底面内运动（含边界），到棱的距离分别为，若，则（）A.的体积为B.外接球的体积为C.D.的运动路径的长度为【答案】ACD【解析】设底面中心为，连接，则平面.连接，因为，故，故，故，故A正确；设外接球的半径为，则，故即，故外接球的体积为，故B错误；因为平面，故可设，其中，在中，，故，同理，故，所以到的距离为：，同理，，由可得，故，故，故，故即，故C正确；而，故，又内切圆的半径为，故的轨迹为如图所示的三段实线圆弧，如图，其中，而到的距离为，故，而为锐角，所以，由对称性可得，故，故三段圆弧的长为，故D正确.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知的展开式中各项的二项式系数之和为64，则其展开式中的常数项为__________.【答案】240【解析】由的展开式中，二项式系数之和为64得，，则的展开式的通项为，令，得，所以展开式中常数项为.13.已知抛物线的焦点，过抛物线上一点作其准线的垂线，垂足为，若，则的长度为__________.【答案】【解析】由抛物线的对称性，不妨设在第一象限.因为，故即，故抛物线的方程为.因为，故直线的倾斜角为，故，由可得，故或,因为，故，故，所以.14.从这49个数中取25个数，使得任意两个数之和既不等于49也不等于50，则这25个数字之和为__________.【答案】925【解析】将分成如下25组：，因为所选取的个数，任意两数之和不为，也不为，故只能从每一组中选择一个数，故必须选取，故不能选取，考虑，所以只能选取，再考虑。该组只能选择，故只能依次选取，故这个数的和为.四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.15.在凸四边形中，已知，.（1）求的值；（2）求的值.解：（1）过分别作直线的垂线，垂足分别为，易知，因为，所以，所以，在直角中，.（2）在直角中，由勾股定理知.在直角中，因为，所以.于是有，在中，由余弦定理可知.所以的值为.16.如图，三棱锥的体积为，是边长为2的等边三角形，，是棱的中点，，其中.（1）证明：平面平面；（2）若直线与平面所成角的正弦值为，求的值.（1）证明：设点到平面的距离为，则，又因为三棱锥的体积为，所以；又，是线段的中点，所以，所以平面，又平面，所以平面平面.（2）解：以为坐标原点，分别为轴､轴､轴建立空间直角坐标系，则，，，，所以，，设平面的法向量为，则，即，取，则，所以，因为，，设直线与平面所成的角为，则，解得：.17.已知函数.（1）求在上的最大值；（2）证明：.（1）解：由已知，，因为，，所以恒成立，所以在单调递增，所以，所以在最大值为0.（2）证明：由（1）知，即.令，其中，则，所以.18.在平面直角坐标系中，点到点的距离是它到直线距离的倍，记点的轨迹为.（1）求的方程；（2）设点为的下顶点，直线过点且垂直于轴（位于原点与上顶点之间），过的直线交于两点，直线分别交于两点.（i）证明：为定值；（ii）是否存在实数使得四点共圆？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.（1）解：设，由题意可知，化简整理得：，故的方程为.（2）（i）证明：由题意可知，设，则直线，直线，因为在直线上，所以，代入直线方程，可知，故点的坐标为，同理可得点的坐标为.当直线斜率不存在时，显然不符合题意，故设直线，代入双曲线方程中，可得，所以，又，所以.（ii）解：由四点共圆可知，，又，即，故，即，所以.所以，又，由，则，整理可得，所以，故，即，所以点坐标为.19.某社区举行乒乓球比赛，现有甲､乙等名选手参加.规则如下，将所有选手随机编号为，第一轮1号与2号对战，3号与4号对战，以此类推，共决出名胜者进入第二轮；第二轮1号与2号的胜者和3号与4号的胜者对战，以此类推，决出名胜者进入第三轮；最终有2名胜者进入第轮对战，第轮对战的胜者即为整场比赛的冠军.已知甲选手与其他选手对战时，甲获胜的概率为；其余选手两两对战时，双方获胜的概率均为0.5；比赛没有平局，且每场比赛结果相互独立.（1）若，求乙获得冠军的概率；（2）记为甲和乙恰在第轮比赛中对战的概率，求；（3）记为甲和乙对战过且乙获得冠军的概率，求.解：（1）记：事件为“甲获得冠军”，事件为“乙获得冠军”，则，由