山东省德州市五县2026届高三下学期3月学习质量综合评估数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1山东省德州市五县2026届高三下学期3月学习质量综合评估数学试题一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知，为实数，虚数是方程的根，则的值为（）A. B. C.2 D.4【答案】A【解析】因为是方程的根，所以，所以，又知，为实数，所以且，解得，，所以.2.已知集合，，则中元素的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】依题意，，即，或，解得或或，则中元素的个数为3．3.已知，，为向量，则“”是“或”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】已知，，为向量，记命题：，命题：或.若成立，则或，当时，，则；当时，，因此，即是或的必要条件.反之，若成立，即，可能与垂直且均非零向量，此时且，故不能推出，即不是的充分条件.所以“”是“或”的必要不充分条件.4.若，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】对于A，取，满足，而，A错；对于B，取，满足，而，B错；对于C，D，将原不等式移项变形得：

，构造函数

，由解析式可知在定义域上单调递增，原不等式等价于

，则，则，，即，，故C错，D对.5.除以7所得的余数为（）A.1 B.2 C.4 D.6【答案】D【解析】，因为，所以除以7所得的余数为，即，故，而，故除以7所得的余数为，故原式除以7所得的余数与除以7所得的余数相等均为.6.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】令，则，因此，将其代入已知等式，展开得，整理得，因此.7.已知，，为两两不相等的正数，设函数，则（）A.没有零点 B.有唯一零点C.至多有一个零点 D.至少有一个零点【答案】C【解析】因为，，为两两不相等的正数，令，可得，令，，则，，且均不为1，可得，若，，分别作出，，可知与只有一个交点，即有唯一零点；若一个大于1，一个小于1，不妨设，，分别作出，，可知与没有交点，即没有零点；若，，分别作出，，可知与只有一个交点，即有唯一零点；综上所述：可能没有零点，至多有1个零点，故C正确.8.将两个球放入棱长为1的正方体中，则这两个球体积和的最大值为（）A. B.C. D.【答案】D【解析】要使两个球的体积之和最大，则应满足两个球互相外切，并且分别与正方体的面相切，即应有两个球球心连线位于正方体的体对角线上.如图，设两球的球心分别为，半径为，由已知可得，，，所以，则，，.又，所以，.因为，所以.又两球的体积之和，且，当时，有，即函数在上单调递减；当时，有，即函数在上单调递增.当时，，所以.又，故函数的最大值为.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知一组数据，，，，的平均数为5，方差为2，则该组数据的（）A.极差可能为1 B.众数可能为5C.中位数可能为5 D.第百分位数可能为3【答案】BC【解析】对于选项BC：例如满足平均数为5，方差为2，且众数、中位数均为5，符合题意，故BC正确；令，，不妨设，则，且，，对于选项A：假设极差为1，即，则，，可得，这与相矛盾，假设不成立，所以极差不可能为1，故A错误；对于选项D：因为，则第分位数为，则，可得，，，因为，，，当且仅当时，等号成立，则，可得，即，这与相矛盾，假设不成立，所以第分位数不可能为3，故D错误.10.高斯函数又称为下取整函数．表示不超过的最大整数，比如，．设，，则（）A.是奇函数B.是周期函数C.的值域为D.方程有且仅有2个实数根【答案】BD【解析】由题意得，令，则，设，得到，令，可得，令，可得，所以在单调递增，在单调递减，又，所以，则，且为下取整函数，对于A：取​，，则；，，故不是奇函数，A错误，对于B：因为，即的周期为，因此，故是周期为的周期函数，B正确，对于C：当时，，当时，，当时，，当时，，因此的值域为，C错误，选项D，，是整数，因此必为整数，且只能是，当时，，则，不满足；当，，，不满足；当，时，成立；时，，可得，成立；当

或，超出范围，不可能相等，因此方程仅有2个实根，D正确.11.已知是椭圆上任意一点，，分别为的长轴、短轴．若为坐标原点，直线，则（）A.为的对称中心 B.与有两个公共点C.到的距离的最大值为 D.四边形的面积为【答案】ACD【解析】对于A，将椭圆方程中的换为，换为，得到，即为椭圆的对称中心，故A正确；对于B，联立直线l与椭圆C的方程，消去，可得，整理得，解得，将其代入中得，即直线l与椭圆C只有一个公共点，故B错误；对于C，设，将椭圆方程配方，得，令，，则有，即，则到的距离，因为，所以当时，d取得最大值，故C正确；对于D，点到椭圆中心的距离，由，其中，由，所以，，可得，，四边形的面积为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若为偶函数，则实数的值为________．【答案】【解析】因为为偶函数，所以，即对恒成立，即对恒成立，故，即.13.已知点在曲线上运动，点Q在圆上运动，则的最小值为________．【答案】【解析】点在抛物线

上，点在圆上，设.由于圆与抛物线不相交，且抛物线上所有点均在圆外，因此的最小值等于的最小值减去圆的半径.设抛物线上点

，.当时，，即.因此，的最小值为.14.已知，，为集合的非空子集，满足：①，；②，中元素均为奇数，中元素均为偶数；③，，中所有元素的和分别记为，，，且．则正整数的最小值为________．【答案】8【解析】当，2时，无法满足中的元素是3的倍数，故舍；当时，集合元素的总和为6，每部分和应为2，但中必须包含3，其和，故舍；当时，集合元素的总和为10，不能被整除，故舍；当时，集合元素的总和为15，每部分和应为5，中必须包含3，需要再加入和为2的元素，只能加入2，此时，剩余元素分配给，无法满足和为5且奇偶性的要求，故舍；当时，集合元素的总和为21，每部分和应为7，中必须包含3和6，此时和为，故舍；当时，集合元素的总和为28，不能被整除，故舍；当时，集合元素的总和为36，每部分和应为12，中必须包含3和6，需要再加入和为3的元素，可加入1和2，此时，剩余元素分配给，取奇数，和为12，取偶数，和为12，满足所有条件，故的最小值为8.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.在中，角，，的对边分别为，，，已知，，．（1）求的值；（2）求的面积．解：（1）因为，，所以由正弦定理知，，又由，故，所以，故．（2）由知，，，因为，所以，记的面积为，所以，故的面积为．16.如图，直三棱柱中，，．（1）证明：；（2）求平面与平面夹角的余弦值．（1）证明：不妨设，则，，所以，所以，因为棱柱为直三棱柱，所以平面，平面，所以，又，所以平面，因为，所以，因为四边形为正方形，所以，又，所以平面，因为平面，所以.（2）解：设为原点，以，，分别为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，设分别为面的法向量，则，即，取，则，所以，设分别为平面的法向量，则，即，取，则，则，所以，所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）关于的方程有三个实根，，，且，求的取值范围．解：（1）当时，，所以.对上述函数求导得，所以.所以曲线在点处的切线方程为：，即.（2）当时，；当时，，在上单调递增.因为方程①有三个实根，，，且，不妨设.若，则，此时方程①任意三个实数解之和必大于0，不合题意；若，当时，方程①可整理为②至多两个负数解，当时，方程①即为③至多一个非负解，所以方程②有两个不同的负实数解，且，.因为方程③有非负解，由可知.由，得，又，所以.方程②变为，由判别式，并结合，可知.经检验，此时为负数，符合题意，综上，实数的取值范围是.18.甲乙两人玩游戏，甲有标号为的张卡片，乙有标号为的张卡片．规则如下：甲乙交替从对方手中抽取一张卡片，甲先抽；若抽到的卡片数字与自己手中的某张卡片数字相同，则将这两张卡片丢弃，否则，将抽到卡片放入自己手中；当有一位玩家手中没有卡片时，该玩家获胜，游戏结束．（1）已知，记为游戏结束时，甲乙双方抽取的次数和．对于正整数，求，并根据==，求．（2）记甲有张卡片，乙有张卡片时，甲获胜的概率为．（ⅰ）求；（ⅱ）求．解：（1）由题意可知，所以，令，则，所以，即，所以，所以==，（2）（ⅰ）由题意可知当时，甲有，乙有；甲第一次抽中的概率(甲胜)；抽中的概率，此时甲有，乙有，后续甲获胜概率为，所以，所以；（ⅱ）同理当时，，所以，当时，①若甲先抽，则甲、乙手中卡片的状态互换，接下来乙抽，乙胜的概率为，所以甲胜概率为，②若甲先抽中一张之后，甲有张卡片，乙有张卡片（含有和甲手中卡片相同数字的所有卡片），后续乙抽后，状态必然变为甲有张卡片，乙有张卡片（包含与甲手中卡片数字相同的所有卡片），则后续甲胜概率为，所以，所以，所以，所以数列的奇数项与偶数项都是公差为1的等差数列，又因为，所以当为奇数时，，所以，当为偶数时，，所以，综上：.19.已知为双曲线右支上一点，为坐标原点，曲线在处的切线与的两条渐近线分别交于，两点（位于第一象限），当的坐标为时，的面积为4．（1）求的方程；（2）记线段的中点为，过作直线，交两条渐近线于，两点（位于第一象限），记的面积．（ⅰ）证明：为定值；（ⅱ）过作渐近线的平行线交直线于点，过作直线，交两条渐近线于，两点（位于第一象限）；过作渐近线的平行线交直线于点，过作直线，交两条渐近线于，两点（位于第一象限），依此类推，过作渐近线的平行线交直线于点，过作直线，交两条渐近线于，两点（位于第一象限）；记的面积为．证明：．参考公式：①若向量，，则的面积为；②过双曲线上一点的切线方程为．（1）解：由双曲线，可得渐近线方程为，又因为当的坐标为时，可得，解得，所以渐近线方程为.又过点的切线方程为，所以，，所以，