人教A版高中数学必修一题库 第五章　5.5.1　第1课时　两角差的余弦公式

5.5.1两角和与差的正弦、余弦和正切公式第1课时两角差的余弦公式学习目标1.熟悉两角差的余弦公式的推导过程.(重点)2.掌握两角差的余弦公式的应用.(难点)导语观察诱导公式cosπ2-α=sinα，cos(π-α)=-cosα，我们发现：它们都是特殊角kπ2(k∈Z)与任意角α的差的余弦，变换后的结果都与这个任意角α的正弦或余弦有关，那么大家有没有想过把特殊角kπ2(k∈Z)一、两角差的余弦公式问题1已知角α的终边与单位圆的交点为P，请写出点P的坐标.提示P(cosα，sinα).问题2如图所示，设单位圆与x轴的正半轴相交于点A(1，0)，以x轴非负半轴为始边作角α，β，α-β，它们的终边分别与单位圆相交于点P1，A1，P.P1，A1，P点的坐标如何表示？AP与A1P1有什么关系？提示A(1，0)，P(cos(α-β)，sin(α-β))，A1(cosβ，sinβ)，P1(cosα，sinα).连接AP，A1P1，根据圆的旋转对称性，容易发现AP=A1P1.问题3由AP=A1P1，利用初中所学两点间的距离公式能得到什么结论？提示由AP=A1P1，根据两点间的距离公式，得[cos(α-β)-1]2+sin2(α-β)=(cosα-cosβ)2+(sinα-sinβ)2，化简得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，当α=2kπ+β(k∈Z)时，容易证明上式仍然成立.知识梳理两角差的余弦公式cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ，其中α，β为任意角，简记作C(α-β).注意点：(1)该公式对任意角都能成立.(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和.(3)公式的逆用仍然成立.例1(1)cos15°的值是()A.6-2C.6-2答案D解析cos15°=cos(45°-30°)=cos45°cos30°+sin45°sin30°=22(2)求下列各式的值：①cos5π12cosπ②12cos105°+32sin解①原式=cos5π12cos=cos5π12cos=cos5π12-π②原式=cos60°cos105°+sin60°sin105°=cos(60°-105°)=cos(-45°)=22反思感悟两角差的余弦公式常见题型及解法(1)两特殊角之差的余弦值，利用两角差的余弦公式直接展开求解.(2)含有常数的式子，先将系数转化为特殊角的三角函数值，再利用两角差的余弦公式求解.(3)求非特殊角的三角函数值，把非特殊角转化为两个特殊角的差，然后利用两角差的余弦公式求解.跟踪训练1求下列各式的值：(1)cos(θ+21°)cos(θ-24°)+sin(θ+21°)sin(θ-24°)；(2)-sin167°·sin223°+sin257°·sin313°.解(1)原式=cos[θ+21°-(θ-24°)]=cos45°=22(2)原式=-sin(180°-13°)sin(180°+43°)+sin(180°+77°)sin(360°-47°)=sin13°sin43°+sin77°sin47°=sin13°sin43°+cos13°cos43°=cos(13°-43°)=cos(-30°)=32二、给值求值例2(1)(课本例2)已知sinα=45，α∈π2，π，cos解由sinα=45cosα=-1-si=-1-4又由cosβ=-513，βsinβ=-1-co=-1--所以cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=-3例2(1)已知cosα=1213，α∈-π2，0，A.5213C.17226答案D解析因为α∈-π2，0，所以所以cosα-π4=cosαcosπ4+sin=1213(2)若cos(α+β)=45，sin(α-β)=35，且3π2<α+β<2π，π2<α-β解因为cos(α+β)=45，且3π2<α+所以sin(α+β)=-35因为sin(α-β)=35，且π2<α-所以cos(α-β)=-45所以cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β)=45反思感悟给值求值的解题策略(1)已知某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，要注意观察已知角与所求表达式中角的关系，即拆角与凑角.(2)由于和、差角与单角是相对的，因此解题过程中根据需要灵活地进行拆角或凑角的变换.常见角的变换有：①α=(α+β)-β；②β=α+③2α=(α+β)+(α-β)；④2β=(α+β)-(α-β).跟踪训练2已知α，β∈0，π2，且cos(α+β)=-1665，求cosβ解因为α，β∈0所以0<α+β<π，由cos(α+β)=-1665，得sin(α+β)又sinα=45，所以cosα所以cosβ=cos[(α+β)-α]=cos(α+β)cosα+sin(α+β)sinα=-16三、给值求角例3已知cosα=17，cos(α-β)=1314，且0<β<α<π解由cosα=17，0<α<sinα=1-cos由0<β<α<π2，得0<α-β<又∵cos(α-β)=13∴sin(α-β)=1-co=1-13∵β=α-(α-β)，∴cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=17∵0<β<π2，∴β=反思感悟已知三角函数值求角的解题步骤(1)界定角的范围，根据条件确定所求角的范围.(2)求所求角的某种三角函数值.为防止增解最好选取在范围内单调的三角函数.(3)结合三角函数值及角的范围求角.提醒：由三角函数值求角时，易忽视角的范围，而得到错误答案.跟踪训练3已知α，β均为锐角，且cosα=255，cosβ=1010，求解∵α，β均为锐角，∴sinα=55，sinβ=∴cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=25又sinα<sinβ，∴0<α<β<π∴-π2<α-β故α-β=-π41.知识清单：(1)两角差的余弦公式的推导.(2)给角求值、给值求值、给值求角.2.方法归纳：构造法.3.常见误区：求角时忽视角的范围.1.cos20°等于()A.cos30°cos10°-sin30°sin10°B.cos30°cos10°+sin30°sin10°C.sin30°cos10°-sin10°cos30°D.sin30°cos10°+sin10°cos30°答案B解析cos20°=cos(30°-10°)=cos30°cos10°+sin30°sin10°.2.已知sin(α+60°)=45，30°<α<120°，则cosα等于(A.43-3C.4-3310答案A解析∵30°<α<120°，∴90°<α+60°<180°，又sin(α+60°)=45，∴cos(α+60°)∴cosα=cos[(α+60°)-60°]=cos(α+60°)cos60°+sin(α+60°)sin60°=-353.若cos5xcos(-2x)-sin(-5x)sin2x=0，且x∈0，π2，则答案π解析依题意得，cos5xcos2x+sin5xsin2x=0，则cos(5x-2x)=cos3x=0，∴3x=π2+kπ，k∈Z则x=π6+kπ又x∈0，π2，∴x=π64.在△ABC中，sinA=513，cosB=-35，则cos(A-答案-16解析因为cosB=-35，且0<B所以π2<B<π所以sinB=1-cos2B=1-所以cosA=1-si所以cos(A-B)=cosAcosB+sinAsinB=1213×-课时对点练[分值：100分]单选题每小题5分，共35分；多选题每小题6分，共12分1.sin20°cos10°+sin10°sin70°的值是()A.14 B.32 C.1答案C解析sin20°cos10°+sin10°sin70°=cos70°cos10°+sin70°sin10°=cos(70°-10°)=cos60°=122.已知sinα=35，α∈0，π2，则A.225 B.7210答案B解析由题意可知cosα=45，cosα-π4=cosαcosπ3.满足cosαcosβ=32-sinαsinβ的一组α，β的值是(A.α=13π12，β=3π4 B.α=πC.α=π2，β=π6 D.α=π答案B解析由已知得cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=32，经验证可知B4.已知α，β∈0，π2，且满足sinα=1010，cosβ=255A.π4 B.C.3π4 D.答案A解析由α，β∈0，π2，则α+β∈(0cosα=1-sisinβ=1-co则cos(α+β)=cos[α-(-β)]=cosαcos(-β)+sinαsin(-β)=cosαcosβ-sinαsinβ=3故α+β=π45.(多选)若12sinx+32cosx=cos(x+φ)，则φ的一个可能值是(A.-π6 B.-π3 C.11π答案AC解析对比公式特征知，cosx-π6=cos(x+所以φ=-π6+2kπ，k∈Z，故φ=-π66.在平面直角坐标系中，角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称.若cosα=-13，则cos(α-β)等于(A.19 B.-79 C.1答案B解析角α与角β均以x轴的非负半轴为始边，它们的终边关于x轴对称，则cosα=cosβ=-13，sinα=-sin且sin2α=1-cos2α=8sinαsinβ=-sin2α=-8故cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ=19-87.(多选)已知sinα=55，sin(α-β)=-1010，α，βA.cos(α-β)=-3B.cos(α-β)=3C.cosα=2D.β=π答案BCD解析因为α，β均为锐角，所以0<α<π2，0<β<π2，所以-π2<又sin(α-β)=-1010，所以cos(α-β)=1-sin2α又sinα=55，所以cosα=1-sin因为cosβ=cos[α-(α-β)]=cosαcos(α-β)+sinαsin(α-β)=255×31010+58.(5分)已知函数f(x)=12cosx+32sinx，则函数f(x)的最小正周期为答案2π解析f(x)=12cosx+32sinx=cosπ3cosx+sinπ3sin故f(x)的最小正周期T=2π.9.(5分)cos7°-sin15°sin8°cos8°=答案6解析原式=cos(15°-8°)-sin15°sin8°=cos15°cos8°+sin15°sin8°-sin15°sin8°=cos15°cos8°cos8°=cos=cos(60°-45°)=6+10.(10分)如图，在平面直角坐标系中，以x轴非负半轴为始边作锐角α和钝角β，其终边分别与单位圆交于A，B两点.(1)如果A，B两点的纵坐标分别为45，1213，求cosα和sin(2)在(1)的条件下，求cos(β-α)的值.(5分)解(1)∵OA=1，OB=1，且点A，B的纵坐标分别为4∴sinα=45，sinβ又∵α为锐角，∴cosα=1-sin(2)∵β为钝角，∴由(1)知cosβ=-1-sin2∴cos(β-α)=cosβcosα+sinβsinα=-51311.已知sinα+π3=35，α∈0A.7210C.210 D.-答案A解析由α∈0，π2，因为sinα所以α+π则cosα+πcosα-5π12=cosα+π3-3π4=cos12.已知sinα-sinβ=1-32，cosα-cosβ=12，则cos(α-β)A.12 B.32 C.答案B解析因为sinα-sinβ=1-3所以sin2α-2sinαsinβ+sin2β=74-3又因为cosα-cosβ=1所以cos2α-2cosαcosβ+cos2β=14. 由①+②得，2cos(α-β)=3所以cos(α-β)=3213.(5分)在△ABC中，若tanA(sinC-sinB)=cosB-cosC，且B≠C，则A=.答案π解析∵tanA(sinC-sinB)=cosB-cosC，∴sin∴sinAsinC-sinAsinB=cosAcosB-cosAcosC，即cosAcosC+sinAsinC=cosAcosB+sinAsinB，∴cos(A-C)=cos(A-B).∵A，B，C∈(0，π)，∴-π<A-C