人教A版高中数学必修一题库 第五章　周末练14　范围：§5.3~§5.4

周末练14范围：§5.3~§5.4[分值：90分]一、单项选择题(每小题5分，共30分)1.已知集合A=αcosα>12，B={α|0<α<π}，且A∩B=CA.α0<αC.α0<α答案C解析∵A=αcosα>12，B={∴A∩B=α0<α<π32.已知sin3π2-α=33，且αA.-2 B.33 C.22答案D解析因为sin3π2-α=-cosα=33，所以cosα所以sinα=-1-cos2则tanα=sinα3.已知函数f(x)=1+12sin2x，则f

x+3πA.最小正周期为π的奇函数B.最小正周期为π的偶函数C.最小正周期为π2D.最小正周期为π2答案B解析∵f(x)=1+12sin2x∴f

x+=1+12sin2x+3π2∴T=2π2=π∴f

x+3π4是最小正周期为4.tan48°，tan(-22°)，tan114°的大小关系为()A.tan114°>tan48°>tan(-22°)B.tan(-22°)>tan114°>tan48°C.tan(-22°)>tan48°>tan114°D.tan48°>tan(-22°)>tan114°答案D解析tan114°=tan(180°-66°)=tan(-66°)，因为当-90°<x<90°时，函数y=tanx单调递增，且-90°<-66°<-22°<48°<90°，所以tan(-66°)<tan(-22°)<tan48°，即tan48°>tan(-22°)>tan114°.5.已知函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递增区间为()A.k-34B.2k-3C.k-54D.2k-5答案D解析由f(x)的图象可知周期为T=2×54-∴ω=2πT=π，由图象可知，点A34，-1，将A34cos3π4+φ=-1，即3π4+φ=π+2kπ，k∈Z，即φ=π4+2kπ，k∈Z，故f(x)=cosπx+π4的单调递增区间满足-π+2kπ<πx+π4<2kπ，k∈Z，解得-54+2k6.(2021·新高考全国Ⅰ)下列区间中，函数f(x)=7sinx-π6的单调递增区间是A.0，πC.π，3π答案A解析方法一(常规求法)令-π2+2kπ≤x-π6≤π2+2kπ，k∈Z，得-π3+2kπ≤x≤2π3+2kπ，k∈Z.取k=0，则-π3≤x≤2π3.因为0方法二(判断单调性法)当0<x<π2时，-π6<x-π6<π3，所以f(x)在0，π2上单调递增，故A正确；当π2<x<π时，π3<x-π6<5π6，所以f(x)在π2，π上不单调，故B不正确；当π<x<3π2时，5π6<x-π6<4π3，所以f方法三(特殊值法)因为π2<2π3<5π6<π，但f

2π3=7sinπ2=7，f

5π6=7sin2π3<7，所以区间π2，π不是函数f(x)的单调递增区间，排除B；因为π<7π6<4π3<3π2，但f

7π6=7sinπ=0，f

4π3=7sin7π6=-72<0，所以区间π，3π2不是函数f二、多项选择题(每小题6分，共18分)7.已知sin(π+α)=-12，则下列计算正确的是(A.sin(5π-α)=12 B.sinC.cosα-3π2=-答案AC解析依题意，sin(π+α)=-sinα=-12，sinα所以cosα=±1-sin2所以sin(5π-α)=sinα=12，故sinπ2+α=cosα=±3cosα-3π2=-sinα=-1tanπ2-α=sinπ8.已知函数f(x)=tan2x+π4-1A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的定义域为xC.f(x)的图象关于点-πD.f(x)在π8答案ABC解析对于A，由正切函数性质知，f(x)的最小正周期为T=π2，对于B，由2x+π4≠π2+kπ(k∈Z)得x≠π8+kπ2(k∈Z)对于C，令2x+π4=kπ2(k∈Z)，解得x=-π8+kπ4(k∈Z)，又f(x)=tan2对于D，当x∈π8，5π8时，2x+π4∈π2，9.★★科学研究已经证实：人的智力、情绪和体力分别以33天、28天和23天为周期，均可按y=sinωx(ω>0)进行变化.记智力曲线为I，情绪曲线为E，体力曲线为P，则()A.第35天时情绪曲线E处于最高点B.第33天到第42天时，智力曲线I与情绪曲线E不相交C.第46天到第50天时，体力曲线P处于上升期D.情绪曲线E与体力曲线P都关于点(322，0)对称答案ACD解析设人的智力曲线、情绪曲线和体力曲线分别用f(x)=sinω1x，g(x)=sinω2x，h(x)=sinω3x表示，所以ω1=2π33，ω2=2π28=故f(x)=sin2π33x，g(x)=sinπ14x，h(x)=sin2π第35天时，g(35)=sinπ14×35=sin5π2=sinπ2=1，故设F(x)=f(x)-g(x)=sin2π33x-sinπ14因为F(33)=sin2π-sin33π14=-sin5π14<0，F(42)=sin28π11-sin3π=sin故由函数零点存在定理可得存在x0∈(33，42)，使得F(x0)=0，故此时智力曲线I与情绪曲线E相交，故B错误；因为x∈(46，50)，所以2π23x∈因为100π23<9π2，所以根据正弦函数的性质可得此时h(x)=sin因为g(322)=sinπ14×322=sin23π=0，h(322)=sin2π23×322所以情绪曲线E与体力曲线P都关于点(322，0)对称，故D正确.三、填空题(每小题5分，共15分)10.已知函数f(x)=ax3+bsinx+3，若f(m)=1，则f(-m)=.答案5解析设g(x)=f(x)-3=ax3+bsinx，则g(-x)=a(-x)3+bsin(-x)=-ax3-bsinx=-g(x)，即函数g(x)是奇函数，f(x)=g(x)+3，则f(m)+f(-m)=g(m)+3+g(-m)+3=6，而f(m)=1，所以f(-m)=5.11.函数f(x)=sinx+π3+cosx答案kπ-π3解析f(x)=sinx+π=sinx+π3+sinx由x+π3=kπ，k∈Z，得x=kπ-π3，k所以f(x)的对称中心是kπ-π3，12.函数y=sinx-2sin答案3解析方法一y=sin=1+11-sin因为-1≤sinx<1，所以0<1-sinx≤2.所以当sinx=-1时，ymin=1+12所以函数的值域为32方法二由y=sinx-2sinx-1，得ysinx-y=sinx-2，即y-1sinx故sinx=y-2因为-1≤sinx<1，所以y解得y≥32，所以函数的值域为四、解答题(共27分)13.(13分)已知f(α)=sin(1)化简f(α)；(3分)(2)若f(α)=18，且π4<α<π2，求cosα-sin(3)若α=-19π3，求f(α)的值.(5解(1)f(α)=sin2αcosαtanα(2)由f(α)=sinαcosα=18，可得(cosα-sinα)2=cos2α-2sinαcosα+sin2α=1-2sinαcosα=1-2×18=34.又∴cosα<sinα，即cosα-sinα<0，∴cosα-sinα=-32(3)∵α=-19π3=-4×2π+∴f

-19π3=cos-19π=cos5π3·sin5π3=cos2π-π=cosπ3·-sin14.★★(14分)已知函数f(x)=sin2x+acosx-12a-32，x(1)当a=1时，求函数f(x)的最小值；(3分)(2)若f(x)的最大值为1，求实数a的值；(5分)(3)对于任意x∈0，π3，不等式f(x)≥12-解(1)当a=1时，f(x)=sin2x+cosx-2=-cos2x+cosx-1=-cos因为-1≤cosx≤1，所以当cosx=-1时，函数取得最小值，最小值为--1-1(2)因为f(x)=sin2x+acosx-12a-=-cos2x+acosx-a=-cos当-1≤a2≤1，即-2≤a≤2则当cosx=a2时，函数的最大值为a2解得a=1+7>2(舍去)或a=1-7；当a2>1，即a>2则当cosx=1时，函数取得最大值，即1=-1+a-a+12，解得当a2<-1，即a<-2则当cosx=-1时，函数取得最大值，即1=-