人教A版高中数学必修一题库 第一章　周末练3　章末检测试卷(一)

周末练3章末检测试卷(一)[时间：120分钟分值：150分]一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分)1.设全集U={1，2，3，4，5}，集合M满足∁UM={1，3}，则()A.2∈M B.3∈M C.4∉M D.5∉M答案A解析由题意知M={2，4，5}，故选A.2.若命题p：∀x>2，x3>8，则p的否定是()A.∀x>2，x3≤8 B.∀x≤2，x3>8C.∃x>2，x3≤8 D.∃x≤2，x3≤8答案C解析由命题否定的法则得，p的否定是∃x>2，x3≤8.3.如图，U为全集，M，P，S是U的三个子集，则阴影部分所表示的集合是()A.(M∩P)∩SB.(M∩P)∪SC.(M∩P)∩(∁US)D.(M∩P)∪(∁US)答案C解析题图中的阴影部分是M∩P的子集，不属于集合S，属于集合S的补集，即是∁US的子集，则阴影部分所表示的集合是(M∩P)∩(∁US).4.设集合A={x|3<x<6}，B={x|x>2a+1}，若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件，则实数a的取值范围是()A.{a|a≤1} B.{a|a≤2}C.{a|a≥1} D.{a|a≥2}答案A解析由“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件可得AB，∴2a+1≤3，即a≤1.5.下列命题中是全称量词命题，且为假命题的是()A.所有能被6整除的正数都是偶数B.存在三角形的一个内角，其余弦值为3C.∃m∈N，x2+mx+2=0无解D.∀x∈N，x3>x2答案D解析A项为全称量词命题，所有能被6整除的正数一定能被2整除，都是偶数，故A不符合题意；B，C项为存在量词命题，故B，C不符合题意；D项为全称量词命题，当x=0时，x3>x2不成立，故D符合题意.6.若集合A={1，m2}，B={3，9}，则“m=3”是“A∩B={9}”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案A解析若m=3，则A={1，9}，B={3，9}，A∩B={9}，∴“m=3”是“A∩B={9}”的充分条件.若A∩B={9}，则m2=9，m=±3，故A∩B={9}⇏m=3，∴“m=3”是“A∩B={9}”的充分不必要条件.7.(2023·全国甲卷)设全集U=Z，集合M={x|x=3k+1，k∈Z}，N={x|x=3k+2，k∈Z}，则∁U(M∪N)等于()A.{x|x=3k，k∈Z}B.{x|x=3k-1，k∈Z}C.{x|x=3k-2，k∈Z}D.∅答案A解析方法一M={…，-2，1，4，7，10，…}，N={…，-1，2，5，8，11，…}，所以M∪N={…，-2，-1，1，2，4，5，7，8，10，11，…}，所以∁U(M∪N)={…，-3，0，3，6，9，…}，其元素都是3的倍数，即∁U(M∪N)={x|x=3k，k∈Z}.方法二集合M∪N表示被3除余1或2的整数集，则它在整数集中的补集是恰好被3整除的整数集.8.若实数a，b满足a≥0，b≥0，且ab=0，则称a与b互补.记φ(a，b)=a2+b2-a-b，那么φ(a，b)=0是a与bA.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件答案C解析若φ(a，b)=0，即a2+b2=a+b，两边平方得ab=0，若a=0，则b2=b，所以b≥0，若b=0，则a2=a，所以a≥0，所以a与b互补，故充分性成立；若a与b互补，则a≥0，b≥0，ab=0，设a=0，则φ(a，b)=a2+b2-a-b=b2-b=0，同理b=0时，φ(a，b)=0，故必要性成立.所以φ(二、多项选择题(本题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分)9.已知集合P={2，x，y}，Q={2x，2，y2}，且P=Q，则x+y的值可能是()A.1 B.3 C.14 D.答案AD解析∵P=Q，∴x解得x由元素的互异性可知x≠y，所以x=0，y=1或x=14，y=故x+y的值可能是1或3410.下列说法正确的是()A.命题“∀x∈R，x2>-1”的否定是“∃x∈R，x2≤-1”B.命题“∃x∈R，x2≤2”的否定是“∀x∈R，x2>2”C.存在x∈Q，使得2x2+x+1=0是真命题D.若命题“∃x∈R，4x2+2x+n=0”为假命题，则实数n的取值范围是n>1答案ABD解析原命题的否定是“∃x∈R，x2≤-1”，故A正确；原命题的否定是“∀x∈R，x2>2”，故B正确；因为Δ=1-8=-7<0，即方程2x2+x+1=0无实数解，也无有理数解，故为假命题，故C错误；若命题“∃x∈R，4x2+2x+n=0”为假命题，则命题“∀x∈R，4x2+2x+n≠0”为真命题，即4x2+2x+n=0无实数解，则Δ=4-16n<0，解得n>14，故D11.若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件，则实数k的值可以是()A.-8 B.-5 C.-3 D.1答案AD解析若“x<k或x>k+2”是“-4<x<1”的必要不充分条件，则k≥1或k+2≤-4，解得k≤-6或k≥1，所以A，D选项符合，B，C选项不符合.三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分)12.某校高一某班共有40人，在一次体育课上，老师对该班全体同学喜欢足球和篮球的情况做了统计，其中喜欢篮球的有23人，喜欢足球的有20人，两种球都不喜欢的有6人，则两种球类运动都喜欢的有人.答案9解析设两种球类运动都喜欢的人数是x，则只喜欢篮球的人数为23-x，只喜欢足球的人数为20-x，依题意得(23-x)+(20-x)+x+6=40，解得x=9，即两种球类运动都喜欢的人数是9.13.设全集U={x||x|<4，且x∈Z}，S={-2，1，3}，若P⊆U，(∁UP)⊆S，则这样的集合P共有个.答案8解析由题意得U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，∵∁U(∁UP)=P，∴在全集U中，对任意一个∁UP，都存在一个相应的P，又∵(∁UP)⊆S，S的子集共有23=8(个)，∴∁UP共有8个，∴P也有8个.14.设x，y∈R，则“xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)

答案充要解析如果xy≥0，则有xy=0和xy>0两种情况，当xy=0时，x，y中至少有一个为0，易得|x+y|=|x|+|y|成立；当xy>0时，x>0，y>0或x<0，y<0，又当x>0，y>0时，|x+y|=x+y=|x|+|y|；当x<0，y<0时，|x+y|=-(x+y)=-x-y=|x|+|y|，即当xy≥0时，|x+y|=|x|+|y|成立，故充分性成立.若|x+y|=|x|+|y|且x，y∈R，则|x+y|2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+y2+2|x|·|y|，所以|xy|=xy，所以xy≥0，故必要性成立.综上可知，“xy≥0”是“|x+y|=|x|+|y|”的充要条件.四、解答题(本题共5小题，共77分)15.(13分)已知全集U={1，2，3，4，5，6，7，8}，A={3，7}，B={x∈Z|1≤x≤5}，C={x∈Z|2<x<9}.求：(1)A∪(B∩C)；(7分)(2)(∁UB)∪(∁UC).(6分)解依题意知B={1，2，3，4，5}，C={3，4，5，6，7，8}，(1)B∩C={3，4，5}，A={3，7}，故有A∪(B∩C)={3，7}∪{3，4，5}={3，4，5，7}.(2)∁UB={6，7，8}，∁UC={1，2}，所以(∁UB)∪(∁UC)={6，7，8}∪{1，2}={1，2，6，7，8}.16.(15分)用符号“∀”与“∃”表示下面含有量词的命题，判断真假，并写出命题的否定.(1)不论m取何实数，关于x的方程x2+x-m=0必有实数根；(7分)(2)存在实数x，使得1x+1|解(1)∀m∈R，关于x的方程x2+x-m=0有实数根.因为该方程的判别式Δ=12-4×1×(-m)=1+4m，当Δ<0，即m<-14时，关于x的方程x2+x-m=0没有实数根，所以该命题是假命题.其否定是∃m∈R，使得关于x的方程x2+x-m=0没有实数根(2)∃x∈R，使得1x因为|x+1|+1≥1，∴0<1x+1所以不存在x∈R，使得1x+1|+1=2，所以该命题是假命题.其否定为∀x∈17.(15分)设A={x|2-a<x<2+a}，B={x|-4≤x≤3}.(1)若A∪B=A，求实数a的取值范围；(7分)(2)若A∩B=A，求实数a的取值范围.(8分)解(1)由A∪B=A，得B⊆A，则A≠∅，∴2-a<-4,2+即实数a的取值范围为{a|a>6}.(2)∵A∩B=A，∴A⊆B，当A=∅时，满足A⊆B，此时2-a≥2+a，即a≤0；当A≠∅时，由A⊆B得2-a<2+a,2-a综上所述，实数a的取值范围为{a|a≤1}.18.(17分)在①A∩B={1}，②A=B，③BA这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的集合存在，求实数a的值；若问题中的集合不存在，说明理由.问题：是否存在集合A，B，满足集合A={x|x2-3x+2=0}，集合B={x|6x2+6ax+a2-a=0}且B≠∅，使得成立？(注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分)

解由条件可得A={1，2}，选条件①，要使得A∩B={1}，则1∈B，2∉B，所以6+6a+a2-a=0，且6×4+6a×2+a2-a≠0，解得a=-2.所以存在集合A，B使得A∩B={1}成立.选条件②，A=B={1，2}，即6x2+6ax+a2-a=0的两根为1，2，由根与系数的关系可得1+2=-6a6所以存在集合A，B使得A=B成立.选条件③，由BA，得B={1}或B={2}.当B={1}时，1+1=-6a6当B={2}时，2+2=-6a6所以存在集合A，B使得BA成立.19.(17分)设集合A={x|-1≤x≤2}，集合B={x|2m<x<1}.(1)若B≠∅，且“x∈A”是“x∈B”的必要不充分条件，求实数m的取值范围；(8分)(2)若