人教版七年级数学 秋季培优练习 第03讲-数轴进阶与绝对值最值-讲义

数轴进阶与绝对值最值第三讲

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距离公式：一般地，在数轴上，如果A对应的数为a，B对应的数为b，则这两点的距离公式为：_____________________．

中点公式：一般地，在数轴上，如果A对应的数为a，B对应的数为b，则AB中点对应的数x满足关系式：__________．

动点问题：点在数轴上运动时，由于数轴__________的方向为正方向，因此向右运动的速度可看作正速度，而向左运动的速度看作负速度．这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点所对应的数．即一个点表示的数为a，向左运动b个单位后表示的数为__________；向右运动b个单位后所表示的数为__________．若涉及到求某种状态的运动时间，可以假设运动时间为t，用字母t去表示动点在某一时刻所处位置所代表的数，根据题意列方程求解．课堂笔记点点精讲点点精讲题型一题型一距离公式A0123CDB（1）数轴上表示2和4两点之间的距离是________；表示和1两点之间的距离是

__________；

（2）数轴上与原点的距离为5的数是________；如果表示数a和的两点之间的距

离是3，那么__________．

（3）已知数轴上有A、B两点，A、B两点之间的距离为1，点A与原点O的距离为

3，那么点B对应的数是____________．

（4）如图，点A与B之间的距离________，点C与A之间的距离

________，点B与C之间的距离________．

（5）你能找出数轴上两点间的距离与两个点所对应的数之间的关系吗？A0123CDB题型二中点公式ABCDCECFC11如图，在数轴上有六个点，且，则与点C所表示的数最接

题型二中点公式ABCDCECFC11（1）已知数轴上点A对应的数为，点B对应的数为5，则A、B两点的中点对应

的数为________；

（2）已知数轴上点A对应的数为，点B对应的数为b，线段AB的中点对应的数

为，则________．A0123CDB（1）图中点A对应的数是________，点B对应的数是________，点C对应的数是

__________，点D对应的数是________；

（2）线段AB的中点对应的数是________，线段AC的中点对应的数是____________，

线段AD的中点对应的数是_____________，线段BC的中点对应的数是__________，

线段BD的中点对应的数是___________，线段CD的中点对应的数是____________；

（A0123CDBACBD如图，数轴的单位长度为1，点A、B、C、D对应整数a、b、c、d，且，

那么数轴的原点对应点是A、B、C、D中的点_______，线段AC的中点为____________．

ACBD题型三题型三动点问题100AB如图，已知A、B分别为数轴上两点，A点对应的数为，B点对应的数为100．

（1）求AB中点M对应的数；

（2）现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只

电子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动，设两只电子蚂蚁在数

轴上的C点相遇，求C点对应的数；

（3）若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只电

子蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数

轴上的D点相遇，求D点对应的数．

（4）在（3）的条件下，第三只电子蚂蚁R同时从A点出发，以7个单位/秒的速度向

右运动．当蚂蚁运动时间t为多少的时候，蚂蚁R恰好位于P和Q的中点？

100AB数轴的原点上有一个蜗牛，第次向正方向爬个单位长度，紧接着第次反向爬

个单位长度，第次向正方向爬个单位长度，第次反向爬个单位长度…，依此

规律爬下去，当它爬完第次处在点．

（1）求、两点之间的距离（用单位长度表示）．

（2）若点与原点相距个单位长度，蜗牛的速度为每分钟个单位长度，从开始

需要多少时间才能到达点C？

已知数轴上顺次有三点A、B、C，其中A点对应的数为，点对应的数为40，

一只蚂蚁甲从C点出发，以每秒2个单位的速度向左移动．

（1）当蚂蚁甲爬到BC的中点D的时候，它离A、B两处的距离之和为多少？

（2）蚂蚁甲由D点爬到BA的中点E处时，需要几秒钟？

（3）当蚂蚁甲从（2）中的E点返回时，另一只蚂蚁乙同时从点C出发向左移动，速

度为每秒3个单位长度，如果两只电子蚂蚁相遇时离B点5个单位长度，求B点对

应的数．

绝对值的最值问题板块二绝对值的最值问题

绝对值的最值问题板块二绝对值的最值问题含有多个绝对值的最值问题只含一个绝对值的最值问题含有多个绝对值的最值问题只含一个绝对值的最值问题课堂笔记课堂笔记绝对值的运算性质：（1）；（2）．利用几何意义求最值：对于含有多个绝对值符号的式子，我们可以利用绝对值的几何意义求最值．解题的关键是将题中所给的含有绝对值的式子理解成某两点之间的距离，求的是这些距离之和（或差）的最值．

例题：利用几何意义求的最小值．分析：的几何意义是数轴上数x、数所对应的两点之间的距离，

的几何意义是数轴上数x、数2所对应的两点之间的距离．

若，则这两个距离之和一定大于与2的距离；

若，则这两个距离之和恒为与2的距离，即等于3；

若，则这两个距离之和一定大于与2的距离．

解：由绝对值的几何意义可知，表示数轴上表示x的点到表示和2的点的距离之和．画图易知，当，这两个距离之和最小，等于3． 实际上，对于形如的式子求最小值，我们有如下结论：若n为奇数，则当时，即取中心点处，代数式取最小值；若n为偶数，则在时，即取中心区域处，代数式取最小值．

利用代数意义求最值：对于只含有一个绝对值符号的简单式子，我们可以利用绝对值的非负性求它的最值．对于含有多个绝对值符号的式子，我们可以利用零点分段法，将数轴分成若干段去掉绝对值符号，分别计算每一段上的最值，最后比较得出取值范围内的最值．

（注：该方法使用较少，属于选学内容．）

例题：利用代数意义求的最小值．

分析：题中所给式子的零点为和2，将数轴分成了3段．

当时，、均为负值；当时，为非负值、为负值．

当时，、均为非负值．据此可以去掉绝对值符号进行化简．

利用零点分段法化简结果为：

．

解：当时，，在这一范围内取值均大于；

当时，，在这一范围内取值恒为3；

当时，，在这一范围内取值均大于等于3．

综上，的最小值为3．

点点精讲点点精讲题型一题型一只含一个绝对值的最值问题（1）的最小值为___________．

（2）的最大值为___________．

题型二题型二利用几何意义求最值点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB，在数轴

上A，B两点之间的距离．例如：数轴上表示2和8两点间的距离，

数轴上表示和4两点的距离等于，利用上述知识回答如下问题：

（1）数轴上表示1和5两点之间的距离是_______，数轴上表示2和的两点之间

的距离是_______；

（2）数轴上表示x和的两点之间的距离表示为__________；

（3）若x表示一个有理数，且，则_________；

（4）利用数轴求出的最小值为___________，此时x可取的整数值有

__________________．

利用绝对值的几何意义回答下列问题：

（1）的最小值为__________．

（2）的最小值为__________．

（3）总结可得，的最小值为_____________．

计算下列式子的最小值：

（1）； （2）．

计算下列式子的最值，并说明取得最值时的取值范围：

（1） （2）

利用代数意义求下列式子的最小值：

（1） （2）

附加题附加题（1）已知点A、B、P在数轴上，点B表示的数是6，，那么点P表示的数是___________．

（2）在数轴上，若点N与原点O的距离是点N与30所对应的点之间距离的4倍，则点N表示的数是__________．

（3）点A、B分别是数1、在数轴上对应的点，使线段AB沿数轴向右移动到，且线段的中点对应的数是3，则点对应的数是______，点A移动的距离是_____．

（4）在数轴上，点A、B分别表示和，则线段AB的三等分点所表示的数是_______．

已知数轴上有三个点A、B、C，它们分别对应的数为、、50．在点B处有甲、乙两只蚂蚁．

（1）若甲从点B向左运动，速度为每秒2个单位长度，乙从点B向右运动，速度为每秒1个单位长度，则当甲到达点A时，乙所处的位置表示的数是多少？

（2）在（1）的条件下，当甲到达点A时，乙所处的位置上有一只蚂蚁丙，以每秒钟10个单位长度的速度爬行，爬行方式为先向右到达点C，再立刻掉头．问丙出发多长时间后，