《机器人运动学》课件-第四章机器人运动学

机器人及其控制

第四章机械臂运动学4.1运动学基本问题4.2运动链4.3正运动学4.4逆运动学4.5PUMA560机械臂运动学第四章机械臂运动学

基本问题如何求解机器人末端位姿与机器人关节之间的映射关系？正运动学：关节变量

末端位姿逆运动学：关节变量

末端位姿4.1运动学基本问题

4.1运动学基本问题关节空间和操作空间关节空间：n个自由度的操作臂的末端位姿由n个关节变量所决定，这n个关节变量统称为n维关节矢量，记为q，所有的关节矢量q构成的空间称为关节空间。操作空间：末端执行器的位置和姿态在直角坐标空间中的描述；驱动空间：驱动矢量所构成的空间

4.1运动学基本问题关节空间和操作空间单个地看，不同的关节非常简单。它们的运动容易理解和可视化。在左边的例子中，一个棱柱关节和旋转关节用来移动简单的机械手末端操纵装置。在同一时刻，只有一个关节运动，以便你能容易地看见是由用棱柱型关节(黄色元件沿着红色元件的线性运动)和旋转关节(红色元件相对基座回转运动)提供的独立的运动。关节空间运动操作空间运动当它们共同地工作的时候,这二个简单的关节能产生更复杂的运动,如例子所示在操作空间的运动。

4.1运动学基本问题关节空间和操作空间末端手爪的位姿x

是在直角坐标空间中描述的，即用操作空间来表示。其中位置用直角坐标表示，而方位用齐次坐标或者欧拉角、RPY角方法表示。运动学方程x=x(q)

可以看成是由关节空间向操作空间的映射；而运动学反解是由其映象求其关节空间中的原象。关节空间操作空间运动学正解运动学反解为了使问题简单易懂，先以二自由度的机器人手爪为例来说明。右图为二自由度机器人手部的连杆机构。由于其运动主要由连杆机构来决定，所以在进行机器人运动学分析时，大多数是把驱动器及减速器的元件去除后来进行分析的。二自由度机械手4.1运动学基本问题图中的连杆机构是两杆件通过转动副连接的关节结构，通过确定连杆长度l１、l２以及关节角θ１、θ２，可以定义该连杆机构。在分析机器人末端手爪的运动时，若把作业看作主要依靠机器人手爪来实现的，则应考虑手爪的位置（图中点Ｐ的位置）。从几何学的观点来处理这个手爪位置与关节变量的关系称为运动学（Kinematics）。二自由度机械手4.1运动学基本问题引入矢量分别表示手爪位置r和关节变量θ，即因此，可以利用上述两个矢量来描述二自由度机器人的运动学问题。手爪位置ｒ在ｘ，ｙ轴上的分量，按几何学可表示为用矢量表示这个关系式，其一般可表示为式中，f

表示矢量函数。已知机器人的关节变量θ，求其手爪位置r的运动学问题称为正运动学（directkinematics）。上式称为运动方程式。4.1运动学基本问题如果给定机器人的手爪位置ｒ，求能够到达这个预定位置的机器人关节变量θ的运动学问题称为逆运动学（inversekinematics）。根据图中描述的几何学关系，可得二自由度机械手的逆运动学4.1运动学基本问题式中同样，如果用矢量表示上述关系式，其一般可表示为注意：逆运动学的解不是唯一的，可以有多个解。4.2运动链操作臂可以看成由一系列关节串联起来的开链连杆组构成。开链的一端固定在基座上，另一端是自由的，安装着工具(或称末端执行器)，用以操作物体，完成各种作业。4.2运动链在对操作臂进行运动学建模时，考虑具有一个自由度的关节作为连杆的连接方式，一般包括移动关节和转动关节。如果一个关节具有n个自由度，这种关节可以看作（分解）具有1个自由度的关节和n－1个长度为0的连杆连接而成（然后继续分解，直至一个自由度），因此不失一般性，仅对含有单个自由度的关节的操作臂进行研究。连杆标号：基坐标系为0，第一个连杆为1，……，依次类推，操作臂最末端的连杆为n。4.3正运动学连杆参数连杆长度ai-1：关节轴i-1和关节轴i之间公垂线的长度连杆转角αi-1：关节轴i-1和关节轴i之间的夹角4.3正运动学连杆参数连杆偏距di：沿两个相邻连杆公共轴线公垂线交点的距离关节角θi：两个公垂线之间的夹角如果关节i为转动关节,

θi

为变量；如果关节i为移动关节,

di为变量4.3正运动学连杆参数运动链首尾的规定假定有n个连杆，规定：如果关节1为转动关节，转角的零位可以任意选取，且规定如果关节1为移动关节，则偏距的零位可以任意选取，且规定因为连杆长度和转角取决于关节轴线i和i+1，因此连杆长度和转角从1到n－1有规定。现在规定0和n。只是为了讨论问题方便。4.3正运动学连杆参数运动变量可以统一表示为：根据以上讨论，机器人的每个连杆都可以用4个运动学参数表示，这4个参数被称为D-H参数：前两个参数用于描述连杆本身，另外两个参数用于描述连杆之间的连接关系。4.3正运动学连杆坐标系对每个连杆i上面固连一个坐标系，记为{i}4.3正运动学连杆坐标系4.3正运动学连杆坐标系连杆转角αi方向又xi轴确定4.3正运动学连杆坐标系αi＝从zi到zi+1沿xi旋转的角度ai

＝从zi到zi+1沿xi测量的距离di＝从xi-1到xi沿zi测量的距离θi＝从xi-1到xi沿zi旋转的角度4.3正运动学连杆坐标系4.3正运动学连杆坐标系Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)

(i-1)a(i-1)ZiYiXiaid

i

i4.3正运动学连杆的坐标变换矩阵

连杆变换可以看成是坐标系{i}经以下四个子变换得到的：

4.3正运动学Z(i-1)X(i-1)Y(i-1)

(i-1)a(i-1)ZiYiXiaidi

i

因为这些子变换都是相对于动坐标系描述的，按照“从左向右”的原则，得到连杆的坐标变换矩阵

4.3正运动学

连杆的坐标变换矩阵

D-H参数矩阵4.3正运动学与齐次变换矩阵一样，D-H参数矩阵是从一个坐标系到下一个坐标系的变换。用一系列D-H参数矩阵相乘，最终的结果是从某个坐标系到初始坐标系的变换。机械臂正运动学方程

手臂变换矩阵连杆变换依赖于四个参数，其中只有一个是变化的。以下用qi表示第i个关节变量

αi-1＝从zi-1到zi沿xi-1旋转的角度ai-1＝从zi-1到zi沿xi-1测量的距离di＝从xi-1到xi沿zi测量的距离θi＝从xi-1到xi沿zi旋转的角度Z0X0Y0Z1X2Y1Z2X1Y2d2a0a1D-H连杆参数表4.3正运动学4.3正运动学Z0X0Y0Z1X2Y1Z2X1Y2d2a0a1D-H连杆参数表

4.3正运动学（2）三自由度空间操作臂i10002900300

y3x3

4.3正运动学（3）平面三自由度机械臂求解以下三自由度手腕的运动学正解与逆解？课外作业，下次上课交问题:已知末端执行器位姿,求各关节位置

求出满足要求的关节变量：

4.4逆运动学4.4逆运动学可解性求解操作臂的逆运动学是一个非线性方程。旋转矩阵生成9个方程，只有3个是独立的（因为正交矩阵只有三个独立参数）。再加上位置生成3个方程，共6个方程，6个未知数，是一个非线性超越方程。对于PUMA560中，有意义的方程一共12个。因为齐次矩阵最后一行为[0001]。存在性：对于给定的位姿，至少存在一组解来产生期望的位姿；若位姿在工作空间外，则解不存在。4.4逆运动学可解性平面2R机械手工作空间理论上，可达工作空间为一个圆环，其内外半径分别为｜l1－l2｜和｜l1＋l2｜；灵活工作空间：若l1＝l2

，原点；若l1≠l2

，空集。实际上，还需要考虑关节角的限制，以及结构参数等。4.4逆运动学可解性值得研究的问题：对于少于6个自由度的操作臂，它的工作空间是什么？给定一个确定的一般坐标系，什么是最近的可达目标坐标系。工作空间(Workspace)：不同关节转角所达到的末端执行器的所有形位的集合。是反解存在的区域（操作空间中）。灵活(工作)空间(DextrousWorkspace)：机器人手爪能以任意方位到达的目标集合。可达(工作)空间(ReachableWorkspace)：机器人手爪至少能以一个方位到达的目标集合。多重解的问题：对于给定的位姿，仅有一组解来产生期望的机器人位姿，且可能有多解。机器人运动学逆解的数目取决于关节数目、连杆参数和关节变量的范围。一般，非零连杆参数越多，运动学逆解数目越多（多至16个）。4.4逆运动学可解性如何从多重解中选择出其中的一组？在避免碰撞的前提下，通常按最短行程的准则来择优，使每个关节的移动量为最小。遵循多移动小关节、少移动大关节。4.4逆运动学可解性如果关节变量能够通过一种算法确定，这种算法可以求出与已知位姿相关的全部关节变量，称操作臂是可解的。解法分为两大类：（1）封闭解：有限次初等运算得到的解；封闭解法可给出每个关节变量的数学函数表达式（2）数值解：经过迭代计算得到的解。数值解法则用递推算法给出关节变量的具体数值封闭解法计算速度快，效率高，便于实时控制；但不容易求解。4.4逆运动学可解性封闭解又称解析解，可以分为：（1）代数法（2）几何法所有包含旋转关节和移动关节串连型6自由度机构是可解的。但一般为数值解。只有在极少情况下存在解析解。存在解析解的操作臂具有如下特性：存在几个正交轴或平行轴。6个旋转关节的操作臂存在封闭解的充分条件是：1）相邻的三个关节轴相交于一点；2）三个连续的旋转式关节轴互相平行。4.4逆运动学代数解法以3R操作臂为例40由于是平面操作臂，其变换形式只能是这种形式：现在的问题是：已知上述矩阵，并令和上述矩阵相等，如何求：

4.4逆运动学代数解法41首先写出矩阵元素对应方程：最后两个等式平方相加：其中利用下述公式：4.4逆运动学代数解法

得到这要求上式右端的值在-1和1之间（利用这个约束可以检查解是否存在）。便可求得正弦值：这样就得到下面求4.4逆运动学代数解法43首先展开最后两个等式：其中：作如下的变换则有：4.4逆运动学代入再根据余弦、正弦倍角公式：再根据带象限的反正切公式：4.4逆运动学由于

已经求出，这样就得到

这样就得到利用前两个等式，得到平面操作臂的逆运动学逆问题就解决了。4.4逆运动学连杆、连杆以及坐标系{0}和坐标系{3}的连线构成一三角形，虚线表示另外一种情况。根据余弦定理：46

求解方法：将操作臂的空间几何参数分解成平面几何参数。然后应用平面几何方法进行求解。以3R操作为臂例，连杆在同一平面内，可以直接进行求解。注意，夹角的计算。几何解法4.4逆运动学47

利用得到为了要求构成三角形，即要求：必须满足条件：取值范围为：

上述方程的另外一个解为：这样就求得了4.4逆运动学其中正负号的取值和的取值相对应：48

下面求根据图，利用反正切公式和余弦公式可知因为是三角形的内角，规定就得到：上式取‘+’上式取‘-’4.4逆运动学这样就求得。49

平面内的旋转角度可以叠加，因此4.4逆运动学通过化简为多项式的解法把超越方程变换为代数方程利用万能公式：就可以化为多项式方程。4.4逆运动学51

例：求解下述方程：按照上述公式展开：化简解得得到：4.4逆运动学52

如果对于4次（或低于4次）的多项式一定存在封闭解，可以用4次（或低于4次）的多项式方程求解的操作臂，称为封闭操作臂。4.4逆运动学三轴相交的Pieper解法针对3轴（最后三个轴）相交于一点的6R操作臂最后三个轴{4}{5}{6}相交于一点.利用D-H参数4.4逆运动学上述只利用了平移，没有旋转，所以没有出现角度进一步计算得到：利用D-H参数展开得：式中：4.4逆运动学现在写出：平方的表达式：再一次利用D-H参数展开得：式中：

4.4逆运动学可以看出：得到：写出r和z方向的方程：式中：4.4逆运动学现在求解（1）仅为的函数，可以用万能公式求解。（2），再次利用万能公式进行求解。

（3）否则，消除得到：利用万能公式，得到一个四次方程。进而可以求解。4.4逆运动学

再根据：求出：

再根据：求出：

这样就求出：

4.4逆运动学现在求解：因为已经求出，所以可以求出。

从而

求出。这是一个3个Euler角的旋转矩阵

根据第二章便可求出：

4.4逆运动学PUMA560属于关节式机器人，6个关节都是转动关节。前3个关节确定手腕参考点的位置，后3个关节确定手腕的方位。4.5PUMA560机械臂运动学PUMA560每个关节均有角度零位与正负方向限位开关，机器人的回转机体实现机器人机体绕z0轴的回转（角θ1），它由固定底座和回转工作台组成。安装在轴中心的驱动电机经传动装置，可以实现工作台的回转。4.5PUMA560机械臂运动学大臂、小臂的平衡由机器人中的平衡装置控制，在机器人的回转工作台上安装有大臂台座，将大臂下端关节支承在台座上，大臂的上端关节用于支承小臂。大臂臂体的下端安有直流伺服电机，可控制大臂上下摆动（角θ2）。4.5PUMA560机械臂运动学小臂支承于大臂臂体的上关节处，其驱动电机可带动小臂做上下俯仰（角θ3），以及小臂的回转（θ4）。4.5PUMA560机械臂运动学机器人的腕部位于小臂臂体前端，通过伺服电动机传动，可实现腕部摆动（θ5）和转动（θ6）。4.5PUMA560机械臂运动学4.5PUMA560机械臂运动学连杆变换通式为：

4.5PUMA560机械臂运动学据连杆变换通式和连杆D-H参数表，可求得各连杆变换矩阵如下：

4.5PUMA560机械臂运动学

各连杆变换矩阵相乘，得PUMA

560的机械手变换的T矩阵：即为关节变量的函数。该矩阵描述了末端连杆坐标系{6}相对基坐标系{0}的位姿。

4.5PUMA560机械臂运动学

写出中间结果，第4连杆到第6连杆的坐标变换矩阵为：第3连杆到第6连杆的坐标变换矩阵为：4.5PUMA560机械臂运动学关节轴2和关节轴3互相平行，因此连杆1到连杆3的变换矩阵为：这里用了二角和公式：4.5PUMA560机械臂运动学第1连杆到第6连杆的坐标变换矩阵为：把矩阵各个元素写出来就是：4.5PUMA560机械臂运动学

4.5PUMA560机械臂运动学

第0连杆到第6连杆的坐标变换矩阵为：PUMA560的运动方程若末端连杆的位姿已经给定，即为已知，则求关节变量的值称为运动反解。

4.5PUMA560机械臂运动学用未知的连杆逆变换左乘方程两边，把关节变量分离出来，从而求得的解。1.求

4.5PUMA560机械臂运动学