2027届广东省梅州市高三上学期开学考数学试卷及答案

高三数学1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上.2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效.3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.是符合题目要求的.B．4．若离散型随机变量X的分布列如下所示，则X的数学期望E(X)=X12PaA．a>b>cB．a>c>bC．b>c>aD．c>b>a22绳少于105（次/分钟）的概率不低于0.9，则至少需要（参考数据：ln0.1≈−2.303，ln0.2≈−1.609，ln0.8≈−0.223，ln0.9≈−0.105）lelx−lnx≥0恒成立，则lA．fx)的最小正周期为τB．fx)的图象可由曲线y=sin2x向左平移个单位长度得到C．fx)的图象关于直线对称在上的值域为2−2x+3≥0=x0红球还在A罐中的概率记为pn，则三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.14．已知等边△ABC的边长为1，在边BC，AC上分别取M，N两点，使△CMN沿直线MN对折，四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.产能力，现从新型国产机床和原有的进口机床所生产的产（2）根据小概率值α=0.05的独立性检验，能否判断产品的质量与使用机床的类型有关.αxα1615分）在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.①求角A的大小； θ是复数z的辐角．当θ∈[0,2τ)时，θ称为辐角的主值，记为argz. cosθ2.（3）在复数范围内，解方程：z5=1.（2）讨论方程f(x)=0的实数根的1917分）对于由n个正整数组成的集合A，记S(A)为集合A中所有元素的和.定义：若对任意不大于S(A)的正整数k，都存在A的子集A′，满足S(A′)=k，则称集合A为“完全集（3）设所有满足S(M)=100的完全集合M的个数为N，证明：N≤249.梅州市高三开学调研考试（2026.9）数学参考答案与评分意见12345678ABBCDDBA915.（本小题满分13分）解1）依题意，从新型国产机床生成的200件样本中不放回地随机抽取3件，恰有1件为次品的概率为.......................6分（2）零假设为H0：产品的质量与使用机床的类型无关．.......................7分由列联表可得，x2=≈5.333>3.841，..............10分依据=0.05的独立性检验，推断H0不成立，.......................12分即认为产品的质量与使用机床的类型有关........................13分16.（本小题满分15分）解1）由acosA=bcosB及正弦定理，得sinAcosA=sinBcosB，即得sin2A=sin2B，.......................2分.......................3分.......................4分即△ABC是以上C为顶角的等腰三角形或以上C为直角的直角三角形，故“C=”是“acosA=bcosB”的充分不必要条件......................5分（2）①由正弦定理得sinAcosB=sinC+sinBcos2A，.......................6分所以sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB+sinBcos2A，...................7分即cosAsinB+sinBcos2A=0，即2cos2A+cosA1=0，.......................8分解得cosA=或cosA=1，.......................9分又A∈(0,π)，所以A=．.......................10分②D为BC的中点，AD=2AC+2AB，两边平方整理得b2+c2+bc=36，.......................12分 =25．.......................15分17.（本小题满分15分） 解1）由于1+3i=2，(22,(44,........................)(22,(44,........................(cosθ2+isinθ2)r r(θ+θ2+θ2 8分x（3）设方程z5=1中的z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数z的模，θ是复数z的辐角.由棣莫弗定理，z5=1r5(cos5θ+isin5θ)=cos0+isin0,....................10分因为相等的复数的模相等，辐角可以相差2π的整数倍，所以[r5{l5θ=0+2kπ(k∈z[r5即.......................12分所以z=cos+isin.......................13分cos+isin........................15分18.（本小题满分17分）解1）由表达式知f(x)定义域为(0,+∞)，.......................1分对f(x)求导得，.............2分 3分所以f(x)的单调增区间为(0,1)和(2,+∞)，单调减区间为(1,2) 4分（2）由前面知f(x)定义域为(0,+∞)，分类讨论：此时f(x)有仅一个实数根x=2； 6分对f(x)求导得x2-(a+1)x+2=x=，.......................7分(x-=，.......................7分f(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，再分以下几种情形：（i）当a<-时，f(1)>0，此时f(x)无实数根；......................8分当a=-=0，此时f仅有一个实数根x=1；.............9分（iii）当-<a<0时，f(1)<0；..................由单调性知，此时f在和上分别有一个实数根；..........11分对f(x)求导得x2-(a+1)x+2=x再分以下几种情形：所以f(x)在(0,a)和(1,+∞)上单调递增，在(a,1)上单调递减，此时f(x)仅在(1，2a+2)上有一个实数根；.......................13分当a=1时，fx2+lnx-2x，当且仅当x=1时，不等式等号成立，所以f(x)在(0,+∞)上单调递增，且f(1)<0,f(4)=ln4>0，此时f(x)仅在(1,4)上有一个实数根；.......................14分f(x)在(0,1)和(a,+∞)上单调递增，在(1,a)上单调递减，此时f(x)仅在(a,2a+2)上有一个实数根．.......................16分综上所述，①当a<-无实数根；②当-<a<0时，f(x)有两个实数根；③当a=-或a≥0时，f仅有一个实数根．....................17分19.（本小题满分17分）之和覆盖到，符合完全集合的定义，故A={1,2,4}为完全集合；.................1分的子集的元素之和等于2，所以B={1,3,5}不是完全集合；.......................3分之和覆盖到，符合完全集合的定义，故C={1,2,3,6}为完全集合．..................5分（无需证明（说明），判断正确，即得相应分）为了能连续覆盖1到总和，必须具备：k≤1+.......................8分（这是因为在加入ak前，能覆盖的最大连续范围是1到Sk—1，加入ak后，能连续覆盖的最k，且新增加的最小值是ak，因此要保证因此，要使完全集合A的元素尽可能少，为了用最少的元素达到总和100，就要每个新元素尽量大，即取等号：令am+1=Sm+1(Sm表示前m项和）；...................9分即a1=63；.......................10分即只有6个元素不满足条件，只需再加上37，即A={1,2,22,23,24此时有S(A)=100，且1~100都可以被A中的元素及其和覆盖到，因此A中的元素最少有7个．.......................12分因为S(M)=100，所以正整数100—bn必须能被某个子集表示.以下证明：完全集合M中的最大元素bn≤50．.......................13分从而M不存在其元素之和等