第一章 特殊平行四边形 单元测试（含答案）2026-2027学年北师大版数学九年级上册

2026-2027北师大版数学九年级上册素养巩固第一章特殊平行四边形一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.矩形、菱形、正方形都具有的性质是(

)A.对角线相等 B.对角线互相平分 C.对角线互相垂直 D.对角线平分对角2.如图，四边形ABCD是正方形，延长AB到点E，使AE=AC，则∠BCE的大小是(

)

A.67.5∘ B.22.5∘ C.30∘3.如图，菱形ABCD的两条对角线相交于点O，若AC=6，菱形的面积等于12，则菱形ABCD的周长等于(

)

A.4 B.23 C.13 D.4.如图，木杆AB斜靠在直角墙壁上，P是AB的中点，当木杆的上端A沿墙壁NO竖直下滑时，木杆的底端B也随之沿着射线OM方向滑动，则下滑过程中OP的长度变化情况是(

)

A.逐渐变大 B.逐渐变小 C.不变 D.先变大再变小5.顺次连接矩形ABCD各边的中点，所得四边形是(

)A.平行四边形 B.正方形 C.矩形 D.菱形6.如图，过矩形ABCD的对角线AC的中点O作EF⊥AC，交BC边于点E，交AD边于点F，分别连接AE，CF.若AB=3，∠DCF=30°，则EF的长为

(

)

A.2 B.3 C.32 D.7.如图，边长为2的正方形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，E是BC边上一点，F是BD上一点，连接DE，EF.若▵DEF与▵DEC关于直线DE对称，则▵BEF的周长是(

)

A.22 B.2+2 C.4−22 8.如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为(

)．

A.平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B.平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C.平行四边形→正方形→菱形→矩形

D.平行四边形→菱形→正方形→矩形9.在图1所示的3×3的网格内有一个八边形，其中每个小方格的边长均为1.经探究发现，此八边形可按图2的方式分割成四个全等的五边形和一个小正方形 ①.现将分割后的四个五边形重新拼接，得到一个大正方形ABCD，发现该正方形中间的阴影部分 ②也是个正方形，记正方形 ①得面积为S1，正方形 ②的面积为S2，且S1:S2=1:2，则大正方形ABCD的边长为(

)

A.3 B.210.如图，P是正方形ABCD内一点，连接PA，PB，PC，PD，若△PAB是等边三角形，则∠DPA=(

)

A.60° B.75° C.80° D.90°二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O.若∠AOB=60°，AB=2，则对角线AC的长为

．

12.如图，在正方形ABCD中，E是对角线BD上一点，AE的延长线交CD于点F，连接CE.若∠BAE=56∘，则∠ECF=

．

13.如图，菱形ABCD的周长为16，面积为12，P是对角线BD上一点，分别作P点到直线AB，AD的垂线段PE，PF，则PE+PF等于

．

14.如图，在△ABC中，AB=AC，BC=4，AH⊥BC于点H，BM⊥AC于点M，N是AB的中点，△HMN的周长是10+2，则AH的长是

．

15.如图，∠MON=90∘，矩形ABCD的顶点A，B分别在射线OM，ON上，当点B在射线ON上运动时，点A随之在射线OM上运动，且矩形ABCD的形状、大小均保持不变，其中AB=6，BC=3，则在运动过程中，点D到点O的最大距离是

．

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题8分)如图，四边形ABCD是矩形，点E和点F在边BC上，且BE=CF.求证：AF=DE．

17.(本小题8分)如图，在▵ABC中，AB=AC=5，BC=6，AD是BC边上的中线，四边形ADBE是平行四边形．求证：四边形ADBE是矩形．

18.(本小题8分)如图，在▵ABC中，AD平分∠BAC，过点D分别作AC和AB的平行线，交AB于点E，交AC于点F.求证：四边形AEDF是菱形．

19.(本小题8分)如图，四边形ABCD是菱形，CD=5，BD=8，AE⊥BC于点E.求AE的长．

20.(本小题9分)如图，点E在正方形ABCD的边AB上，点F在边BC的延长线上，∠1=∠2，试判断△DEF的形状，并说明理由．

21.(本小题9分)如图，将边长为6的正方形纸片ABCD进行折叠，折痕为MN，使点B落在边CD上点B′处，点A的对应点为A′.若B′C=2，求AM的长．

22.(本小题12分)如图，在▱ABCD中，以点A为圆心，以AB的长为半径画弧，交AD于点F；再分别以点B，F为圆心，以大于12BF的长为半径画弧，两弧相交于点P；连接AP并延长，交BC于点E，连接EF，则所得四边形

(1)根据以上尺规作图的过程，求证：四边形ABEF是菱形；(2)若菱形ABEF的周长为16，AE=43，求23.(本小题13分)如图，在△ABC中，分别以AB，AC，BC为边作等边△ABD，等边△ACE，等边△BCF，连接EF，DF．

(1)求证：△ABC≌△DBF；(2)若∠BAC=90°，求∠ADF的度数；(3)当△ABC分别满足什么条件时，四边形AEFD分别是矩形、菱形、正方形？并说明理由．

1.B

2.B

3.D

4.C

5.D

6.A

7.A

8.B

9.B

10.B

11.4

12.3413.3

14.615.316.证明：∵四边形ABCD为矩形，∴AB=CD，∠B=∠C=90°，∵BE=CF，∴BE+EF=CF+EF，

即BF=CE，∴△ABF≌△DCE，∴AF=DE．

17.证明：∵AB=AC，AD是BC的边上的中线，

∴AD⊥BC，

∴∠ADB=90°，

∵四边形ADBE是平行四边形，

∴平行四边形ADBE是矩形．

18.证明：∵DE/​/AC，DF/​/AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠EAD=∠FAD，

∵DF/​/AB，

∴∠EAD=∠FDA，

∴∠FAD=∠FDA，

∴AF=FD，

∴四边形AEDF是菱形．

19.解：∵四边形ABCD是菱形，

CD=5，BD=8，∴BC=CD=5，BO=DO=4，

OA=OC，AC⊥BD，∴∠BOC=90°，∴OC=BC2−BO2=20.解：△DEF是等腰直角三角形．理由如下：∵四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠A=∠BCD=∠ADC=90°.∴∠DCF=90°=∠A.

在△ADE和△CDF中，∠A=∠DCF,AD=CD,∠1=∠2,∴△ADE≌△CDF(ASA).∴DE=DF.

又21.解：连接BM，MB′.由折叠性质，得MB=MB′，∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD=6，∠A=∠D=90°，∵B′C=2，∴B′D=CD−B′C=4，设AM=x，则DM=6−x，由题意知，MB=MB′，则有AB2+A解得x=43，

22.（1）证明：根据尺规作图可得AF=AB，AE是∠BAF的平分线，∴∠EAB=∠EAF.在▵AEB和▵AEF中，AB=AF,∠EAB=∠EAF,AE=AE,

∴▵AEB≌▵AEFSAS，∴BE=FE．∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD//BC，∴∠AEB=∠EAF=∠EAB，∴BE=AB=AF=EF，∴（2）解：如答图，连接BF，交AE于点G．∵菱形ABEF的周长为16，AE=43，∴AF=4，AG=12AE=23，∠AGF=90∘，∴在Rt▵AGF中，FG=AF2

23.（1）证明：∵△ABD和△BCF是等边三角形，∴AB=BD，BF=BC，∠ABD=∠CBF=60°，∴∠ABD−∠ABF=∠CBF−∠ABF，

即∠DBF=∠ABC，

在△ABC和△DBF中，AB=DB∠ABC=∠DBF（2）解：由(1)得△ABC≌△DBF，∴∠BDF=∠BAC=90°.∵△ABD是等边三角形，∴∠ADB=60°，∴∠ADF=30°；（3）解：①当∠BAC=150°时，四边形AEFD是矩形，理由如下：∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴∠DAB=∠EAC=60°，∵∠BAC=150°，∴∠DAE=90°，

由(1)可知，△ABC≌△DBF，∴AC=DF.∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE，∴DF=AE，

同(1)可得△ABC≌△EFC，∴AB=EF.∵△ABD是等边三角形，∴AB=AD，∴AD=EF，∴四边形AEFD是平行四边形，∵∠DAE=90°，∴平行四边形AEFD是矩形，

即四边形AEFD是矩形；

②当AB=AC时，四边形AEFD是菱形，理由如下：∵△ABD和△ACE是等边三角形，∴AB=AD，AC=AE，∵AB=AC，∴AD=AE，∵由①知四边形AEFD是平行四边形，∴平行四边形A