非线性系统控制理论-第2课 状态空间模型

CHAPTER02·第二讲STATE-SPACEMODELS非线性系统控制理论第2章状态空间模型课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容建模与线性化§2.1–§2.2第2次课·共16次本次课主要内容从"现象认知"走向"数学描述"·2个学时2.1状态空间描述动力系统、状态变量、状态方程与输出方程；用一阶向量微分方程刻画系统动态。2.1解的存在唯一性与平衡点利普希茨条件保证解存在唯一；平衡点是最重要的特殊解，是线性化的立足点。2.1近似线性化方法泰勒展开与Jacobian矩阵；平衡点附近、非平衡点附近的线性化模型。2.2自治系统与相轨迹自治系统定义、"奇异点"概念，以及相轨迹图——自治系统行为的完整几何表示。第2章|本次课主要内容Contents第2次课·共16次课02/20上节回顾

与

本次课定位认识非线性现象之后，我们需要一套严格的数学描述REVIEW第1章

回顾●非线性是真实系统的常态，线性只是局部近似●叠加原理失效；特征值判据不再适用●典型现象：多重平衡点、极限环、倍频、有限时间逃逸、混沌●设计方法多样，不存在"统一方法"遗留问题现象看得见、说得出，但还没有一个统一的数学框架去描述与计算它们。→TODAY第2章§2.1–§2.2定位●建立非线性系统的状态空间描述：状态方程+输出方程●给出解存在唯一的数学条件——利普希茨条件●定义平衡点；发展平衡点附近的近似线性化方法●引入自治系统、奇异点与相轨迹图三个基本概念本次课的主线物理系统→状态空间方程→平衡点→泰勒展开→线性化模型。

这条链路是后续所有稳定性分析与控制器设计的基础。课程衔接|从现象到模型Review&Positioning第2章§2.1–§2.2·状态空间模型03/2032学时教学路线全景16次课·三阶段递进·当前进度：第2次课第一阶段8学时/4次分析工具（当前所在）第1章

导论→第2章

状态空间模型→第3章

描述函数法第二阶段6学时/3次稳定性理论（核心）第4章Lyapunov方法·4.1–4.5节·课程最核心章节第三阶段14学时/7次综合设计方法第6章

反馈线性化→第7章MRAC自适应→第9章

反步法（重点）机动2学时/1次选学/习题课第8章

非线性观测器专题·综合复习·课堂报告非线性系统控制理论|课程路线32-ClassHourRoadmap16次课时间线蓝色=分析·藏蓝=稳定性·黄色=综合设计本讲定位：第2章安排2次课，本讲完成§2.1–§2.2建模与线性化，下次课进入§2.3–§2.4二阶系统行为与极限环。第2章§2.1–§2.2·状态空间模型04/20CHAPTER02CHAPTERTWO非线性系统控制理论状态空间模型本章用微分方程描述非线性系统，给出状态空间模型的严格定义与初步分析工具。2.1状态空间描述、利普希茨条件、平衡点与近似线性化2.2自治系统、奇异点与相轨迹图2.3二阶非线性系统的行为：奇点分类与相平面分析2.4极限环、正极限集与混沌（洛伦兹吸引子）动力系统与状态状态=描述系统历史信息的变量定义·动力系统如果系统当前的行为取决于其历史行为，

则称这样的系统为动力系统。状态：用来描述系统历史信息的变量。在任意时刻，系统下一时刻的行为只取决于当前时刻的状态。推论：既然状态的导数决定下一时刻的行为，就可以用一阶向量微分方程描述动态系统。关键认知状态是"现在"对"过去"的完整压缩——知道状态，就无需再知道历史。2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|动力系统与状态DynamicalSystems&State状态如何"压缩"历史信息第2章§2.1·动力系统与状态变量06/20状态空间模型：三个基本方程状态方程刻画动态·输出方程刻画可测量一般时变形式式(2-1)/(2-3)/(2-4)时不变形式式(2-5)/(2-6)符号说明

系统状态向量，n为系统阶数

控制输入，m为输入维数

系统输出，通常s≤n

连续非线性函数（f为n维向量值）

2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|状态空间描述State-SpaceDescription第2章§2.1·状态方程与输出方程07/20

利普希茨条件"解的局部变化不会过度剧烈"——保证解存在唯一的数学条件定义2.1利普希茨（Lipschitz）

式(2-2)

两条直接推论

2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|利普希茨条件LipschitzCondition一维情形的几何直觉：函数"不能太陡"函数图像必须落在以γ为斜率的锥形区域内：变化率有界。γ越小，函数越"平缓"；γ

存在即函数不会出现无穷大的斜率。第2章§2.1·定义2.108/20解的存在唯一性条件可以放宽——但"连续性"的边界在哪里？注2.1条件可以放宽

典型的不连续例子：继电环节✓解存在在左右光滑区间内均可求解✗唯一性不保证在跳跃点处解可能分叉本书约定：微分方程解的存在唯一性不是研究重点；在本课程中总假设解存在且唯一。2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|解的存在唯一性Existence&Uniqueness继电特性的不连续点继电环节在x=0处不连续。虽然解仍然存在，

但不能保证唯一——因此严格理论分析需要附加约定。第2章§2.1·注2.109/20平衡点：系统的"静息态"线性化方法的立足点平衡点的数学定义

●平衡点是后续全部近似线性化的展开基点●一个非线性系统可以同时存在多个平衡点●不同平衡点的性质可以完全不同（稳定/不稳定）回顾：第1章已看到，多重平衡点是非线性系统独有的现象——这正是线性化方法必须"逐点进行"的原因。2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|平衡点EquilibriumPoint同一个系统，多个平衡点

第2章§2.1·平衡点10/20近似线性化的思想小扰动下，非线性函数可用一阶泰勒展开替代核心假设

适用前提●

●

●基准点通常取为平衡点一阶泰勒展开式(2-7)

2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|近似线性化ApproximateLinearization第2章§2.1·式(2-7)11/20线性化模型与Jacobian矩阵非线性系统→平衡点附近的线性时不变近似式(2-8)/(2-9)偏差坐标（deviationvariables）

An×nBn×mCs×nDs×m

2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|

Jacobian矩阵LinearizedModel第2章§2.1·式(2-8)–(2-13)12/20例：单摆的建模与线性化从物理系统到状态空间方程，再到平衡点处的线性化1列写运动方程并选状态变量

2状态空间方程

3求平衡点并线性化

一般形式：在(0,0)处特征值为纯虚数→中心在(π,0)处特征值一正一负→鞍点2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|例题WorkedExample物理模型：无阻尼单摆第2章§2.1·例题（特征值分类详见§2.3）13/20非平衡点处的线性化线性化的适用点不必是平衡点——代价是多出一个常数项注2.2适用范围可以更宽

●

●

●工程意义：可在工作点（而非平衡点）附近做小信号建模思考：既然非平衡点也能线性化，为什么教材仍然强调"在平衡点处线性化"？

（提示：平衡点是偏差系统的原点，便于后续稳定性分析。）非平衡点线性化模型式(2-14)常向量δ（在展开点处取值）平衡点情形退化为式(2-8)的齐次形式非平衡点情形多出常值偏置项2.1非线性系统及其在平衡点处的线性化|非平衡点线性化LinearizationoffEquilibrium第2章§2.1·注2.2与式(2-14)14/20

自治系统行为完全由自身状态决定——不含任何外部输入定义2.2自治系统如果一个动态系统的状态不显含时间和输入，

则该系统为自治系统。式(2-5)中，外界作用只通过输入u作用于状态。若系统中不含输入u，

则状态只取决于初值——系统行为不取决于任何外界因素，而完全取决于自身状态。

为什么重要行为完全由初值决定不含外接输入，因此给一个初始状态，系统的全部未来就唯一确定。几何意义轨线集合=行为的完整表示所有轨线的集合构成系统行为的一个完整几何表示，称为相轨迹图。工程意义大量系统可转化为自治形式许多含输入或含时间的系统，经变量增广后可写成自治系统（见注2.3）。2.2自治系统|定义与方程AutonomousSystems第2章§2.2·定义2.2与式(2-15)15/20

什么系统可以看作自治？通过"增广"把外部作用吸收进状态注2.3三类可化为自治的情形①

②输入为时间的多项式

③输入为三角函数

结论：只要把外部作用"搬进"状态，含输入或含时间的系统都能写成自治形式。2.2自治系统|哪些系统可化为自治WhenIsaSystemAutonomous?增广（augmentation）的思路第2章§2.2·注2.316/20奇异点

与

相轨迹图"奇异"从何而来？——

轨线不相交，却在此处"看似相交"定义2.3奇异点

两条关键性质奇异点就是平衡点两套术语含义相同；自治系统中，奇异点通常具有很好的性质，对二阶自治系统尤其如此。轨线集合=完整几何表示自治系统不含外部输入，其所有轨线的集合构成系统行为的完整几何表示。相轨迹图无法用一笔画成——它是由无穷多条互不相交的轨线组成的几何结构。2.2自治系统|奇异点与相轨迹图SingularPoints&PhasePortrait相轨迹图：轨线的集合第2章§2.2·定义2.317/20二阶自治系统与相平面两个状态变量→一张二维几何图像二阶自治系统的一般形式式(2-16)/(2-17)

●

●每条轨线=系统在给定初值下的一次完整运动●绘制方法：先确定奇异点类型，再计算各点轨线斜率预告：下一讲（§2.3）将系统讨论奇点分类：节点、鞍点、焦点、中心。2.2自治系统|二阶自治系统与相平面Second-OrderSystems位置-速度相平面（示意）第2章§2.2·式(2-16)/(2-17)18/20本次课关键收获5个核心要点·课后请反复回味01状态空间模型是描述非线性系统的统一框架

02利普希茨条件保证解存在唯一，是后续分析的基础

03平衡点是线性化的立足点

04近似线性化=一阶泰勒展开+Jacobian矩阵

05自治系统、奇异点与相轨迹图构成几何化视角自治系统不含输入，轨线集合构成完整几何表示；奇异点即平衡点，是相平面上轨线"看似相交"之处。第2章§2.1–§2.2

|本次课小结Summary&Take-aways第2次课·共16次课19/20HOMEWORK&NEXTLECTURE课后作业

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下次课预告✎课后作业必做题第2章