非线性系统控制理论-第4课 描述函数法

CHAPTER03·第四讲THEDESCRIBINGFUNCTIONMETHOD非线性系统控制理论第3章描述函数法课程非线性系统控制理论32学时·共16次课·每次2学时本讲内容描述函数基础与典型环节§3.1–§3.2第4次课·共16次本次课主要内容从"定性看图"到"定量预测"·频率域中的一阶谐波近似·2个学时3.1为什么需要描述函数法线性频率法依赖"正弦输入→同频正弦输出"；一旦系统含饱和、死区、继电等非线性环节，这一前提失效。3.1数学基础：傅里叶级数一阶谐波近似非线性静态环节的周期输出可展成傅里叶级数；只保留与输入同频的基波分量，即得一阶谐波近似。3.1描述函数的定义与几何意义

3.2典型非线性环节的描述函数硬弹簧、饱和、死区、理想继电、有滞环继电：五类环节描述函数的积分推导与解析结果。第3章|本次课主要内容Contents第4次课·共16次课02/20上节回顾

与

本次课定位相平面能"看见"极限环，却回答不了它的振幅与频率REVIEW第3次课·回顾

奇点类型由线性化矩阵的特征值决定：节点、鞍点、焦点、中心极限环是孤立的闭轨，稳定极限环的振幅与初值无关范德波尔方程是极限环的典范案例；庞加莱-班迪克森定理给出存在判据洛伦兹吸引子说明三阶以上系统可存在混沌等奇异行为→本次课定位相平面法回答"会不会振、振成什么样"，

但振荡的振幅多大、频率多少、参数怎样影响仍需定量工具。

本讲把非线性环节在频率域中做一阶谐波近似，

用线性频率法的语言建立定量分析的基础。与第1、2、3次课的衔接第2次课状态空间建模：平衡点、近似线性化（局部、时域）第3次课相平面分析：奇点分类、极限环、混沌（定性）本次课

下次课

第3章|上节回顾与本次课定位Review&Positioning第3章§3.1–§3.2·回顾与衔接03/20CHAPTER03CHAPTERTHREE非线性系统控制理论描述函数法把非线性环节等效为一个"与幅值有关"的复增益，从而把线性频率法重新用到非线性系统中来。3.1频率法在线性系统中的成功与局限；正弦响应与谐波失真3.1

3.2五类典型非线性环节的描述函数计算3.3

频率法

为什么在这里失效线性频率法建立在"正弦进、正弦出"这一前提之上同一正弦输入，两种系统的输出波形线性频率法的三条支柱1正弦输入→稳态输出仍为同频正弦（不产生新频率）2幅值比与相位差只由系统动力学决定，与输入幅值无关3叠加原理成立→传递函数存在，Nyquist/Bode图直接可用引入非线性环节后，三条支柱都倒了✕输出出现高次谐波，"同频正弦"假设不再成立✕叠加原理失效，传递函数无从定义✕饱和、死区、继电、间隙在工程系统中无处不在，无法回避出路：把频率法"借"回来若非线性是静态环节（输入输出由代数方程给出），

则周期输入必然产生同频周期输出。

用傅里叶级数取其一阶谐波近似，即可重新使用频率法——

这就是描述函数法：

频率域中的一阶谐波近似，也是频率域中的一种线性化方法。3.1描述函数法的数学基础|问题的提出WhyFrequencyMethodsFail第3章§3.1·频率法的局限05/20非线性环节的正弦响应周期不变、频率相同，但波形可以完全不是正弦同一正弦输入下，三类环节的输出波形环节的输入输出关系

两个关键观察周期不变

波形可变

为什么可以只保留基波

3.1描述函数法的数学基础|正弦响应SinusoidalResponseofaNonlinearElement第3章§3.1·正弦响应与谐波失真06/20傅里叶级数

与

一阶谐波近似从"完整展开"到"只留基波"，是描述函数法的全部数学前提分段连续周期信号的傅里叶级数展开式(3-1)傅里叶系数注3.1级数的收敛性

式(3-2)截断即最佳逼近

式(3-3)/(3-4)一阶谐波近似

要点：所谓"一阶谐波近似"，就是在完整傅里叶展开中只保留与输入信号同频的那一项基波分量——这也正是描述函数法的全部数学依据。3.1描述函数法的数学基础|傅里叶级数FourierSeries&First-HarmonicApproximation第3章§3.1·式(3-1)~(3-4)07/20描述函数N(A,ω)的定义输出信号的一次谐波分量与输入正弦信号的复数比把一次谐波写成"幅值+相角"形式式(3-5)式(3-6)式(3-7)仿照线性系统的频率特性，把"输出一次谐波"与"输入正弦"作复数比：式(3-8)三点解读复增益，而非实增益：定义式是复数比，模给出基波幅值增益，相角给出基波相移。

几何意义：复平面上的两个矢量注3.2非线性环节的描述函数通常与输入正弦的频率和幅值都相关；

而线性系统的频率特性仅取决于频率。这是两者最显著的差别。注3.3

3.1描述函数法的数学基础|定义与几何意义DefinitionofN(A,ω)第3章§3.1·式(3-5)~(3-8)08/20例3.1：硬弹簧的描述函数一次完整的积分推导：从非线性特性到N(A)非线性特性

与

描述函数曲线式(3-9)非线性特性

式(3-10)计算结果式(3-11)式(3-12)

结论与物理含义

3.1描述函数法的数学基础|例3.1硬弹簧Example3.1·HardSpring第3章§3.1·式(3-9)~(3-13)09/20三条基本假设

与

适用范围描述函数法是一门"近似方法"——必须知道它在什么条件下才好用本章默认使用的三条假设为方便分析，总假设系统中所有非线性环节都包含在用描述函数近似的部分中1系统中只有一个非线性环节

2非线性环节是时不变的输入输出特性不随时间变化。这与线性系统频率特性的前提完全一致——频率特性也只对时不变系统定义。3非线性环节由奇函数描述

描述函数"有定义"的前提▸非线性环节的输入输出关系可由分段连续的非线性函数描述▸该非线性函数为时不变的（特性不随时间变化）▸只要满足前两条，描述函数就总是有定义的系统结构约定适用界限（要诚实对待的地方）描述函数法本质上是近似分析方法：

它成立的前提是"周期运动可以被正弦函数近似"（注3.5）。

当线性部分对高次谐波的衰减足够大时精度较好；

强非线性、存在多个非线性环节或高次谐波显著时，误差会明显增大。3.1描述函数法的数学基础|基本假设Assumptions&Scope第3章§3.1·三条基本假设10/20典型非线性环节总览五类工程中最常见、也最值得记住的非线性环节非线性环节输入输出关系描述函数N(A)的形式硬弹簧Hardspring单值

饱和Saturation单值

死区Deadzone单值

理想继电Idealrelay单值

有滞环继电Relayw/hysteresis非单值

3.2常见非线性环节的描述函数|总览TypicalNonlinearElements第3章§3.2·环节总览11/20例3.2：饱和非线性放大器限幅、阀门开度限制、执行器饱和——工程中出现频率最高的非线性饱和特性

与

描述函数曲线式(3-14)饱和特性输入Asinωt且A>a时输出关于原点对称，第一象限分段为（式3-15）：积分与结果

式(3-16)

结果解读

3.2常见非线性环节的描述函数|例3.2饱和Example3.2·Saturation第3章§3.2·式(3-14)~(3-16)12/20例3.4：死区非线性小信号被"吃掉"：死区与饱和正好互补死区特性

与

与饱和的互补关系式(3-21)死区特性

积分与结果

式(3-23)

注3.4与饱和的互补关系

3.2常见非线性环节的描述函数|例3.4死区Example3.4·DeadZone第3章§3.2·式(3-21)~(3-23)、注3.413/20例3.3：理想继电非线性解析最简单、工程上最典型："开关"型非线性继电特性

与

方波输出的基波分量式(3-17)继电特性（M>0）输入Asinωt时输出为方波（式3-18）：积分与结果

式(3-19)式(3-20)结果解读

3.2常见非线性环节的描述函数|例3.3理想继电Example3.3·IdealRelay第3章§3.2·式(3-17)~(3-20)14/20例3.5：有滞环的继电非线性非单值环节登场——描述函数第一次变成复数滞环回环

与

相位滞后的方波输出式(3-24)有滞环继电特性（M大于0）

a₁b₁式(3-26)复数描述函数

3.2常见非线性环节的描述函数|例3.5有滞环继电Example3.5·RelaywithHysteresis第3章§3.2·式(3-24)~(3-26)15/20典型环节描述函数

汇总把五个结论放在一张表里——工程速查，也便于比较非线性环节单值性描述函数N(A)关键性质硬弹簧（例3.1）单值奇函数

刚度随幅值增大而"变硬"；A越大等效增益越大饱和（例3.2）单值奇函数

死区（例3.4）单值奇函数

理想继电（例3.3）单值奇函数

纯实数、与ω无关；A→0时N→∞（小信号增益极大）有滞环继电（例3.5）非单值奇函数

复数；幅值同理想继电，仅附加相位滞后→进入左半平面规律一：单值奇函数→N(A)是实数输出不含相移，描述函数退化为"随幅值变化的等效增益"。−1/N(A)是一条落在实轴上的曲线。规律二：非单值→N(A)是复数滞环、间隙等"记忆型"环节引入相移，−1/N(A)离开实轴、进入左半平面——这是自激振荡的常见推手。3.2常见非线性环节的描述函数|汇总SummaryofDescribingFunctions第3章§3.2·典型环节描述函数汇总16/20从N(A)到−1/N(A)曲线描述函数法的用武之地：用两条曲线的交点读出极限环复平面上的交截判据闭环方程→极限环条件

式(3-27)式(3-28)式(3-29)等价形式（式3-30）式(3-30)一般难以直接解析求解，但可用图解法：看G(jω)与−1/N(A,ω)在复平面上是否相交。图解法三步（下次课展开）1画G(jω)：ω

从0→∞，即线性部分的Nyquist曲线2画−1/N(A)：A从0→∞，箭头表示A增大的方向3读交点：交点处同时满足两个方程→给出ω*与A*，即预测出的极限环频率与幅值注3.5：前提是极限环可被正弦函数近似。描述函数法本质上是近似分析方法。3.3描述函数分析|衔接FromN(A)to−1/N(A)第3章§3.3·式(3-27)~(3-30)17/20案例：饱和系统的自激振荡预测把描述函数"用起来"——不看时域仿真，直接算出极限环的幅值与频率G(jω)与−1/N(A)的交截系统与问题

步骤一：求G(jω)与负实轴的交点

预测结果与讨论系统存在极限环：振幅A*≈2.48、频率ω*=√2≈1.414rad/s。若将增益增至K=18，交点移到−3，要求N(A*)=1/3，得A*≈3.78——频率不变、幅值增大，与仿真结果吻合。3.3描述函数分析|案例CaseStudy·PredictingaLimitCycle第3章§3.3·案例：自激振荡预测18/20本次课关键收获5个核心要点·从"频率法失效"到"用交点读出极限环"01频率法只对线性系统成立非线性环节的正弦响应含高次谐波、波形失真，等效增益随幅值变化，直接套用G(jω)会失效——这是描述函数法的出发点。02描述函数=一阶谐波意义下的等效复增益把输出傅里叶级数截断到基波，N(A,ω)=(b₁+ja₁)/A用"正弦输入、基波输出"把非线性环节线性化，是频率域中的谐波线性化。03单值→实数；非单值