福建省泉州聚龙外国语学校2027届九年级数学第一学期期末学业质量监测试题含解析

福建省泉州聚龙外国语学校2027届九年级数学第一学期期末学业质量监测试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A．∠ABD=∠C B．∠ADB=∠ABC C． D．2．关于的一元二次方程，则的条件是()A． B． C． D．3．如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC=71°，∠CAB=53°，点D在AC弧上，则∠ADB的大小为A．46° B．53° C．56° D．71°4．下列事件是随机事件的是（）A．画一个三角形，其内角和是 B．射击运动员射击一次，命中靶心C．投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于 D．在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．6．服装店将进价为每件100元的服装按每件x（x＞100）元出售，每天可销售（200﹣x）件，若想获得最大利润，则x应定为（）A．150元 B．160元 C．170元 D．180元7．的值等于（）A． B． C．1 D．8．函数的自变量的取值范围是（）A． B． C． D．且9．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，AD为⊙O的直径，AD=6，那么AB的值为（）A．3 B． C． D．210．如图，已知点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）是反比例函数y＝（k＞0）在第一象限的图象上的两点，连接AB．将直线AB向下平移3个单位得到直线l，在直线l上任取一点C，则△ABC的面积为（）A． B．6 C． D．9二、填空题(每小题3分,共24分)11．若关于x的一元二次方程x22x+m＝0有实数根，则实数m的取值范围是______．12．如图，AB为⊙O的直径，点D是弧AC的中点，弦BD，AC交于点E，若DE＝2，BE＝4，则tan∠ABD＝_____．13．一元二次方程的两根为,,则的值为____________.14．如图，曲线AB是顶点为B，与y轴交于点A的抛物线y＝﹣x2+4x+2的一部分，曲线BC是双曲线的一部分，由点C开始不断重复“A﹣B﹣C”的过程，形成一组波浪线，点P（2018，m）与Q（2025，n）均在该波浪线上，则mn＝_____．15．如图，AB为的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且＝，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长度为__________，AG的长为____________.16．如图,是的直径,弦交于点,，，，则的长为_____．17．从“线段，等边三角形，圆，矩形，正六边形”这五个图形中任取一个，取到既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____．18．时钟的时针不停地旋转，从上午时到上午时，时针旋转的旋转角是__________度．三、解答题(共66分)19．（10分）如图，在圆中，弦，点在圆上（与，不重合），联结、，过点分别作，，垂足分别是点、．（1）求线段的长；（2）点到的距离为3，求圆的半径．20．（6分）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点（顶点是网格线的交点）的三个顶点坐标分别是，以为位似中心在网格内画出的位似图△A1B1C1，使与的相似比为，并计算出的面积．21．（6分）如图，二次函数的图象经过坐标原点，与轴的另一个交点为A(－2，0)．（1）求二次函数的解析式（2）在抛物线上是否存在一点P，使△AOP的面积为3，若存在请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．22．（8分）如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B，抛物线y＝﹣2x2+bx+c过A，B两点，点P是线段AB上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D，抛物线的顶点为M，其对称轴交AB于点N．（1）求抛物线的表达式及点M、N的坐标；（2）是否存在点P，使四边形MNPD为平行四边形？若存在求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．23．（8分）计划开设以下课外活动项目：A一版画、B一机器人、C一航模、D一园艺种植．为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机抽取了部分学生进行调查（每位学生必须选且只能选一个项目），并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答下列问题：（1）这次被调查的学生共有人；扇形统计图中，选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是°；（2）请你将条形统计图补充完整；（3）若该校学生总数为1500人，试估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数24．（8分）一名在校大学生利用“互联网+”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量（件与销售价（元/件）之间的函数关系如图所示．（1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）求每天的销售利润W（元与销售价（元/件）之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？25．（10分）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于两点，点为抛物线的顶点，为线段中点.（1）求的值；（2）求证：；（3）以抛物线的顶点为圆心，为半径作，点是圆上一动点，点为的中点（如图2）；①当面积最大时，求的长度；②若点为的中点，求点运动的路径长.

26．（10分）A、B两地间的距离为15千米，甲从A地出发步行前往B地，20分钟后，乙从B地出发骑车前往A地，且乙骑车比甲步行每小时多走10千米．乙到达A地后停留40分钟，然后骑车按原路原速返回，结果甲、乙两人同时到达B地．求甲从A地到B地步行所用的时间．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、C【分析】由∠A是公共角，利用有两角对应相等的三角形相似，即可得A与B正确；又由两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可得D正确，继而求得答案，注意排除法在解选择题中的应用．【详解】∵∠A是公共角，∴当∠ABD=∠C或∠ADB=∠ABC时，△ADB∽△ABC（有两角对应相等的三角形相似），故A与B正确，不符合题意要求；当AB：AD=AC：AB时，△ADB∽△ABC（两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似），故D正确，不符合题意要求；AB：BD=CB：AC时，∠A不是夹角，故不能判定△ADB与△ABC相似，故C错误，符合题意要求，故选C．2、C【解析】根据一元二次方程的定义即可得．【详解】由一元二次方程的定义得解得故选：C．本题考查了一元二次方程的定义，熟记定义是解题关键．3、C【解析】试题分析：∵∠ABC=71°，∠CAB=53°，∴∠ACB=180°﹣∠ABC﹣∠BAC=56°．∵∠ADB和∠ACB都是弧AB对的圆周角，∴∠ADB=∠ACB=56°．故选C．4、B【分析】根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．【详解】A、画一个三角形，其内角和是360°是不可能事件，故本选项错误；

B、射击运动员射击一次，命中靶心是随机事件，故本选项正确；

C、投掷一枚正六面体骰子，朝上一面的点数小于7是必然事件，故本选项错误；

D、在只装了红球的不透明袋子里，摸出黑球是不可能事件，故本选项错误．

故选：C．本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．5、B【分析】中心对称图形绕某一点旋转180°后的图形与原来的图形重合，轴对称图形被一条直线分割成的两部分沿着对称轴折叠时，互相重合，据此逐一判断出既是轴对称图形又是中心对称图形的是哪个即可.【详解】A是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；B既是轴对称图形，又是中心对称图形，故选项正确；C不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；D不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；故选B本题考查了轴对称图形和中心对称图形的判断，掌握其定义即可快速判断出来.6、A【分析】设获得的利润为y元，由题意得关于x的二次函数，配方，写成顶点式，利用二次函数的性质可得答案．【详解】解：设获得的利润为y元，由题意得：∵a＝﹣1＜0∴当x＝150时，y取得最大值2500元．故选A．本题考查了二次函数在实际问题中的应用，正确地写出函数关系式，并明确二次函数的性质，是解题的关键．7、A【分析】根据特殊角的三角函数值，即可得解.【详解】.故选：A.此题属于容易题，主要考查特殊角的三角函数值.失分的原因是没有掌握特殊角的三角函数值.8、C【解析】根据二次根式被开方数大于等于0，分式分母不等于0列式计算即可得解．【详解】由题意得，且，

解得：．

故选：C．本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：①当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；②当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；③当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．9、A【详解】解：∵AB=BC，∴∠BAC=∠C．∵∠ABC=120°，∴∠C=∠BAC=10°．∵∠C和∠D是同圆中同弧所对的圆周角，∴∠D=∠C=10°．∵AD为直径，∴∠ABD=90°．∵AD=6，∴AB=AD=1．故选A．10、A【分析】由点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，可得到m、n之间的关系，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线，构造直角三角形，可求出直角三角形的直角边的长，由平移可得直角三角形的直角顶点在直线l上，进而将问题转化为求△ADB的面积．【详解】解：∵点A（m，m+3），点B（n，n﹣3）在反比例函数y＝（k＞0）第一象限的图象上，∴k＝m（m+3）＝n（n﹣3），即：（m+n）（m﹣n+3）＝0，∵m+n＞0，∴m﹣n+3＝0，即：m﹣n＝﹣3，过点A、B分别作x轴、y轴的平行线相交于点D，∴BD＝xB﹣xA＝n﹣m＝3，AD＝yA﹣yB＝m+3﹣（n﹣3）＝m﹣n+6＝3，又∵直线l是由直线AB向下平移3个单位得到的，∴平移后点A与点D重合，因此，点D在直线l上，∴S△ACB＝S△ADB＝AD•BD＝，故选：A．本题主要考察反比例函数与一次函数的交点问题，解题关键是熟练掌握计算法则.二、填空题(每小题3分,共24分)11、m≤1【分析】利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．【详解】解：根据题意得，

解得．

故答案为：．本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与△=b2-4ac有如下关系：当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；当△＜0时，方程无实数根．12、【分析】根据圆周角定理得到∠DAC=∠B，得到△ADE∽△BDA，根据相似三角形的性质求出AD，根据正切的定义解答即可．【详解】∵点D是弧AC的中点，∴，∴∠DAC=∠ABD，又∵∠ADE=∠BDA，∴△ADE∽△BDA，∴，即，解得：AD=2，∵AB为⊙O的直径，∴∠ADB=90°，∴tan∠ABD=tan∠DAE．故答案为：．本题考查了相似三角形的判定和性质、圆周角定理、正切的定义，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解答本题的关键．13、2【解析】根据一元二次方程根的意义可得+2=0，根据一元二次方程根与系数的关系可得=2，把相关数值代入所求的代数式即可得.【详解】由题意得：+2=0，=2，∴=-2，=4，∴=-2+4=2，故答案为2.【点睛】本题考查了一元二次方程根的意义，一元二次方程根与系数的关系等，熟练掌握相关内容是解题的关键.14、1【解析】点B是抛物线y=﹣x2+4x+2的顶点，∴点B的坐标为（2，6），2018÷6=336…2，故点P离x轴的距离与点B离x轴的距离相同，∴点P的坐标为（2018，6），∴m＝6；点B（2，6）在的图象上，∴k＝6；即，2025÷6=337…3，故点Q离x轴的距离与当x＝3时，函数的函数值相等，又x＝3时，，∴点Q的坐标为（2025，4），即n＝4，∴=故答案为1．本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征以及二次函数的图象与性质．本题是一道找规律问题．找到点P、Q在A﹣B﹣C段上的对应点是解题的关键．15、；【分析】如图（见解析），连接CO、DO，并延长DO交CF于H，由垂径定理可知CE，在中，可以求出半径CO的长；又由＝和垂径定理得，根据圆周角定理可得，从而可知，在中可求出FG，也就可求得CF的长度；在中利用勾股定理求出DH，再求出，同样地，在中利用余弦函数求出OG，从而可求得.【详解】，，，（垂径定理）连接，设，则在中，解得，连接DO并延长交CF于H＝，由垂径定理可知，是所对圆周角，是所对圆心角，且=2，，由勾股定理得：，.本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形中的余弦三角函数，通过构造辅助线，利用垂径定理和圆周角定理是解题关键.16、【分析】作于,连结,由，得，由,，得，进而得，根据勾股定理得，即可得到答案.【详解】作于,连结,如图,∵,∴,∵,，∴,∴,∴,∵在中,,∴,∴,∵在中,,，∴,∴．故答案为：本题主要考查垂径定理和勾股定理的综合，添加辅助线，构造直角三角形和弦心距，是解题的关键.17、.【详解】试题分析：在线段、等边三角形、圆、矩形、正六边形这五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有线段、圆、矩形、正六边形，共4个，所以取到的图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率为.本题考查概率公式，掌握图形特点是解题关键，难度不大.18、【分析】先计算时钟钟面上每两个数字之间的度数，从上午时到上午时共旋转4个格，即可求得答案.【详解】钟面上每两个数字间的度数为，∵从上午时到上午时共旋转4个格，∴，故答案为：120.此题考查钟面的度数计算，确定钟面上每两个数字事件的度数是解题的关键.三、解答题(共66分)19、（1）；（2）圆的半径为1．【分析】（1）利用中位线定理得出，从而得出DE的长．（2）过点作，垂足为点，，联结，求解出AH的值，再利用勾股定理，求出圆的半径．【详解】解（1）∵经过圆心，∴同理：∴是的中位线∴∵∴（2）过点作，垂足为点，，联结∵经过圆心∴∵∴在中，∴即圆的半径为1．本题考查了三角形的中位线定理以及勾股定理的运用，是较为典型的圆和三角形的例题．20、画图见解析，的面积为1．【分析】先找出各顶点的对应顶点A1、B1、C1，然后用线段顺次连接即可得到，用割补法可以求出的面积.【详解】如图所示：，即为所求，的面积为：．本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．21、（4）y＝－x3－3x；（3）（4，-4），（4，-4）．【分析】（4）把点（3，3）和点A（-3，3）分别代入函数关系式来求b、c的值；（3）设点P的坐标为（x，-x3-3x），利用三角形的面积公式得到-x3-3x=±4．通过解方程来求x的值，则易求点P的坐标．【详解】解：（4）∵二次函数y=-x3+bx+c的图象经过坐标原点（3，3）∴c=3．又∵二次函数y=-x3+bx+c的图象过点A（-3，3）∴-（-3）3-3b+3=3，∴b=-3．∴所求b、c值分别为-3，3；（3）存在一点P，满足S△AOP=4．设点P的坐标为（x，-x3-3x）∵S△AOP=4∴×3×|-x3-3x|=4∴-x3-3x=±4．当-x3-3x=4时，此方程无解；当-x3-3x=-4时，解得x4=-4，x3=4．∴点P的坐标为（-4，-4）或（4，-4）．本题考查了抛物线与x轴的交点．解（4）题时，实际上利用待定系数法来求抛物线的解析式．22、（1）y＝﹣2x2+2x+4，M，N，（2）存在，P．【分析】（1）先由直线解析式求出A，B的坐标，再利用待定系数法可求出抛物线解析式，可进一步化为顶点式即可写出顶点M的坐标并求出点N坐标；（2）先求出MN的长度，设点P的坐标为（m，﹣2m+4），用含m的代数式表示点D坐标，并表示出PD的长度，当PD＝MN时，列出关于m的方程，即可求出点P的坐标．【详解】（1）∵直线y＝﹣2x+4分别交x轴，y轴于点A，B，∴A（2，0），B（0，4），把点A（2，0），B（0，4）代入y＝﹣2x2+bx+c，得，解得，，∴抛物线的解析式为：y＝﹣2x2+2x+4＝﹣2（x﹣）2+，∴顶点M的坐标为（，），当x＝时，y＝﹣2×+4＝3，则点N坐标为（，3）；（2）存在点P，理由如下：MN＝﹣3＝，设点P的坐标为（m，﹣2m+4），则D（m，﹣2m2+2m+4），∴PD＝﹣2m2+2m+4﹣（﹣2m+4）＝﹣2m2+4m，∵PD∥MN，∴当PD＝MN时，四边形MNPD为平行四边形，即﹣2m2+4m＝，解得，m1＝，m2＝（舍去），∴此时P点坐标为（，1）．本题考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的存在性等，解题关键是要熟练掌握平行四边形的性质并能够灵活运用．23、（1）200；72（2）60（人），图见解析（3）1050人．【分析】（1）由A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，即可求得这次被调查的学生数，再用360°乘以D人数占总人数的比例可得；（2）首先求得C项目对应人数，即可补全统计图；（3）总人数乘以样本中B、C人数所占比例可得．【详解】（1）∵A类有20人，所占扇形的圆心角为36°，∴这次被调查的学生共有：20÷＝200（人）；选“D一园艺种植”的学生人数所占圆心角的度数是360°×＝72°，故答案为：200、72；（2）C项目对应人数为：200−20−80−40＝60（人）；补充如图．（3）1500×＝1050（人），答：估计该校学生中最喜欢“机器人”和最喜欢“航模”项目的总人数为1050人．本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．24、（1）（2），，144元【分析】（1）利用待定系数法求解可得关于的函数解析式；（2）根据“总利润每件的利润销售量”可得函数解析式，将其配方成顶点式，利用二次函数的性质进一步求解可得．【详解】（1）设与的函数解析式为，将、代入，得：，解得：，所以与的函数解