【高考专项复习】专题02 幂函数、指数函数与对数函数（重难点题型清单）

题型14指数与对数函数综合应用题型3幂函数的单调性与奇偶性题型6指数函数的单调性及应用1、指数幂运算的一般原则(1)指数幂的运算首先将根式统一为分数指数幂，以便利用法则计算；(2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数；(3)底数为负数，先确定符号；底数为小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数；(4)运算结果不能同时包含根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.2、对数混合运算的一般原则(1)将真数和底数化成指数幂形式，使真数和底数最简，用公式1ab化简合并；(2)利用换底公式将不同底的对数式转化为同底的对数式；(3)将同底对数的和、差、倍运算转化为同底对数真数的积、商、幂；(4)如果对数的真数可以写成几个因数或因式的相乘除的形式，一般改写成几个对数相加减的形式，然后进行化简合并；(5)对数真数中的小数一般要化成分数，分数一般写成对数相减的形式.【答案】【解析】已知a²=4(a>0,且a≠1),令t=aˣ,则t>0,t 即得(x-2)(x+1)=4,解得x=3或x=-2(不符合题意舍去),域.根据a<0,0<a<1,a=1,a>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定.,【答案】B【解析】设幂函数解析式为f(x)=x,【答案】5【解析】因为y=(m²-4m-4)x¹-”为幂函数，所以m²-4m-4=1,解得m=-1或m=5,又x⁴>0恒成立，所以y=x⁻⁴>0恒成立，所以与x轴没有交点，符合题意.所以m=5.8.(2025·新疆喀什·模拟预测)(多选)下列关于幂函数的论述正确的是()A.若α=0,则幂函数y=x"的图象是一条直线B.若两个幂函数的图象至少有三个公共点【解析】对于A,当α=0时，幂函数y=xᵗ=x⁰的定义域为{x|x≠0},其图象是直线y=1除去点(0,1),对于C,幂函数图象一定过点(1,1),当该幂函数是奇函数时，其图象关于原点对称，对于D,幂函数的图象一定经过点(1,1),且一定不经过点(1,-1),D正确.A.1B.2C.-3二次函数在闭区间上的最值主要有四种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动、轴动区间动，不论哪种类型，解题的关键都是对称轴与区间的位置关系，当含有参数时，要依系进行分类讨论.A.[-∞0,0]B.[0,3]C.(-∞,0)U[3,+∞)D.[3,+∞]【解析】二次函数f(x)=x²-2(a-1)x+a图象的对称轴为直线x=a-1,A.(-∞,2)B.[-∞,2]C.(-∞,0)D.(-∞0,0)【答案】B要使函数在(2,4)上单调递增，只需函数y=a²-2t+1在上单小值为-1.(2)记f(x)在[m,m+2]上的最大值为g(m)【解析】(1)因为f(2)=f(4),f(x)=x²+ax+b,又f(x)的最小值为-1,所以b-9=-1,解得b=8.(2)由(1)知f(x)=x²-6x+8,其图象的对称轴为直线x=3,指数函数的图象需要注意以下几个特征：(1)指数函数的图象所过的关键点为(1,a),(0,1),(2)函数图象与坐标轴的交点位置；20.(2026·河北沧州·一模)(多选)若函数f(x)=e“-b的图象经过第二、三、四象限，则()C.b>11、利用指数函数的单调性比较大小或解不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可借助中间量；2、求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值时，要借助“同增异减”这一性质分析判断.21.(2026贵州遵义·模拟预测)设函数f(x)=2-²,则f(x)的单调递增区间为()A.(-∞,1)B.(-∞,0)C.(0,+∞)【解析】设u=-x²,则f(x)=2A.[-∞0,2]B.[1,+∞0]C.[2,+∞A.[-1,+∞]B.(-∞,-1)C.[-1,0]由f(m+1)<f(2m-1),可得m+1-2|<|2m-1-2|,标准指数函数本身无奇偶性，题目通常通过复合或对称化构造来设计相关考点.常见的三种类型：f(x)=aˣ+a⁻*、f(x)=aˣ-a*、所以,即所以且,故则(负根舍去),符合题意.【解析】由题意可得对定义域内的任意x恒成立，故,因此(e⁻-a)+(e*-a)=-(e⁻×-a)(e*-a),化简可得：(e⁻×+e*)(a-1)=(a-1)²对定义域内的任意x恒成由于e⁻×+e×是变化的，因此a-1=0,故a=1.1、形如y=f(a*)(a>0,且a≠1)的函数求值域换元法：令aˣ=t,将求原函数的值域转化为求f(t)的值域，但要注意“新元t”的范围.的值域，再利用V=a”的单调性求出y=a¹A.1B.2【答案】B则m=f(a),M=f(b)【答案】因为为减函数，又f(x)有最大值为2,所以g(x)有最小值-1.的最小值为-10,则实数λ的值是()A.-6B.-4C.-1【解析】设t=5*,则t>0,函数f(x)=5²+22·5*+6二f(x).n=8(t).=g(-a)=-2²+6=-10,:λ=-4或λ=4(舍去).【解析】(1)由题意得f(-x)+g(-x)=2-×+1,(2)由(1)可知h(x)=4*+4*+2-4(2*-2*),(1)在识别函数图象时，要善于利用已知函数的性质、函数图象上的特殊点(与坐标轴的交点、最高点、最低点等)排除不符合要求的选项.(2)一些对数型方程、不等式问题长转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解.点A的横坐标为()A.±2√2B.1示，则()【解析】由函数图像知，f(x)在定义域内单调递减，所以0<a<1,根据图像可知函数f(x)的图像是把y=logax的图像向左平移小于1个单位得到的，x=3,但又不与该直线相交，则a-b的值为()A.-4B.4C.又a+b>1,则log₂(a+b)=1,解得a+b=2,f(x)=log(x+a)的大致图象可能为()【答案】BD即3a²-5a+2>a²,2a²-5a+2=(a-2)(2a-1)>0,解得a>2,f(-1)=log。(a-1)>log。1=0,排除C选项，D选项符合.所以0<3a²-5a+2<a²,所以排除A选项，B选项符合.1、解简单对数不等式的方法(1)形如logax>logab的不等式：借助y=logax的单调性求解，如果a的取值不确定，需分a>1或0<a<1两种情况讨论；(2)形如logax>b的不等式：将b化为以a为底的对数式的形式，再借助y=logax的单调性求解；(3)形如logax>log,x的不等式：可利用图象求解.(1)y=logaf(x)型：函数y=logaf(x)的单调性与函数μ=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时相同，在0<a<1时相反；(2)y=f(logax)型：用换元法，即令t=logax,则只需研究t=logax及y=f(t)的单调性即可设t=x²-3x+2,A.B.[-∞,2]身无奇偶性，实际题目常通过构造复合函数或对称变换来设计，需要灵活应对.类型(1)复合函数，如f(x)=loga(g(x)),需先分析g(x)的性质.类型(2)对称变换，如f(x)=loga|x|或f(x)=loga(x+√x²+1),通过构造对称定义域.A.-2B.0所以即In4-2b=0,解得b=1n2.所以b=1n2.1、形如y=f(logax)(a>0,且a≠1)的函数求值域换元法：令logax=t,先求出logax=t的值域，再利用y=f(t)的单调值域.A.7B.9C.10【解析】令t=log₂x(t∈R),可得f(x)=(t+1)(-t+5)=-t²+4t+5=-(t-2【解析】f(-x)=log₃(3-x)+log₃(1+ax)=f(x)=log₃(3+xk的最小值为于是解得k≥4,所以实数k的最小值为4.1、单调性法当两个数都是指数幂或对数式时，可将其看成某个指数函数、对数函数或幂函数的函数然后利用该函数的单调性比较；2、作差法、作商法：(1)一般情况下，作差或者作商，可处理底数不一样的对数比大小；(2)作差或作商的难点在于后续变形处理，注意此处的常见技巧与方法；数的性质比较大小；4、估值法：(1)估算要比较大小的两个值所在的大致区间；(2)可以对区间使用二分法(或利用指对转化)寻找合适的中间值；(1)对于抽象函数，可以借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除f()外衣”比较大小；(2)有解析式函数，可以通过函数性质或者求导等，寻找函数的单调性、对称性，比较大6、放缩法：(1)对数，利用单调性，放缩底数，或者放缩真数；(2)指数和幂函数结合来放缩；(3)利用均值不等式的不等关系进行放缩；(4)“数值逼近”是指一些无从下手的数据，如果分析会发现非常接近某些整数(主要是整数多一些),那么可以用该“整数”为变量，构造四舍五入函数关系.A.a>b>cC.c>a>bD.b>c【解析】构造指数函数,底数,所以f(x)单调递减，即即c>a>b.A.a>b>cB.a>c>b【解析】A.b>a>cB.a>c>bC【解析】所以即1>a>b>0,若7“=3,23=7,c=log₁5,则()A.a<b<cB.b<a<c