天津市培杰中学2026-2027学年高二上学期9月月考数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年天津市培杰中学高二（上）月考数学试卷（9月份）一、单项选择题：本大题共9小题，共36分。1.已知直线l的方程为，则直线的倾斜角为（）A.-30° B.60° C.150° D.120°2.如图，在四面体OABC中，，，.点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则等于（）A.

B.

C.

D.

3.图中的直线l1，l2，l3的斜率分别为k1，k2，k3，则有（）A.k1＜k2＜k3

B.k1＞k2＞k3

C.k1＜k3＜k2

D.k3＜k1＜k2

4.空间向量=（2，0，2）在=（0，1，1）方向上的投影向量为（）A. B. C. D.5.已知直线l过点（3，5），且在两坐标轴上的截距相等，则直线l的方程为（）A.5x-3y=0 B.x+y-8=0

C.5x-3y=0或x+y-8=0 D.x+y-6=06.已知直线l1：x+3y-2=0与l2：x-y+2=0相交于点P，则过点P且与l1垂直的直线方程是（）A.3x+y-4=0 B.3x-y+4=0 C.x-3y+6=0 D.3x-y-6=07.已知直线l1：mx+2y-2=0与直线l2：5x+（m+3）y-5=0，若l1∥l2，则m=（）A.-5 B.2 C.2或-5 D.58.在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，M为AC与BD的交点，若,，，则下列向量中与相等的向量是（

）A. B.

C. D.9.设m∈R，过定点A的动直线x+my+m=0和过定点B的动直线mx-y-m+2=0交于点P（x,y），则|PA|+|PB|的取值范围是（）A. B. C. D.二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。10.已知在平面内的点A（a,6），B（3，1），直线AB的倾斜角为，则a=

.11.设λ∈R，已知OABC为空间四边形，空间内一点P满足=++λ，若，，共面，则λ=

.12.已知直线l1：3x-4y+2=0与l2：ax+8y+16=0（a∈R）相互平行，则l1与l2之间的距离为

.13.已知=（2，-1，3），=（-1，4，-2），=（7，5，λ），若，，三向量共面，则λ=

．14.点A（4，5）关于直线l的对称点为B（-2，7），则l的方程为

．15.设点A（-2，3），B（3，2），若直线ax+y+2=0与线段AB没有交点，则a的取值范围是

.三、解答题：本题共3小题，共34分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(本小题11分)

已知空间三点A（-2，0，2），B（-1，1，2），C（-3，0，4），设，.

（1）若，，求；

（2）求与的夹角的余弦值；

（3）若与互相垂直，求k.17.(本小题11分)

如图，平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°.

（Ⅰ）证明：AC1⊥BD；

（Ⅱ）求AC1的长；

（Ⅲ）求直线BD1与AC所成角的余弦值.18.(本小题12分)

已知底面ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，PA∥DQ，PA=AD=3DQ=3，点E、F分别为线段PB、CQ的中点.

（1）求证：EF∥平面PADQ；

（2）求平面PCQ与平面CDQ夹角的余弦值；

（3）线段PC上是否存在点M，使得直线AM与平面PCQ所成角的正弦值是，若存在求出的值，若不存在，说明理由.

1.【答案】C

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】B

5.【答案】C

6.【答案】B

7.【答案】A

8.【答案】A

9.【答案】B

10.【答案】8

11.【答案】

12.【答案】2

13.【答案】

14.【答案】3x-y+3=0

15.【答案】（-，）

16.【答案】解：（1）因为=（-2，-1，2），∥，

可设=（-2λ，-λ，2λ），

则||==3|λ|=3，解得λ=±1，

所以=（-2，-1，2）或=（2，1，-2）．

（2）因为==（1，1，0），==（-1，0，2），

所以cos＜，＞===-．

（3）k+=（k-1，k,2），k-2=（k+2，k,-4），

又因为（k+）⊥（k-2），

所以（k+）•（k-2）=k2-k•-2=2k2+k-10=0，

解得k=2或k=-．

17.【答案】（Ⅰ）证明：以为基底，可得，，

而，

所以==，

因此，，即AC1⊥BD；

（Ⅱ）解：由（Ⅰ）得=

=，故；

（Ⅲ）根据题意，可得=，，

所以=，可得．

由，可得，

故===．

结合直线BD1与AC所成角为锐角或直角，可知它们所成角的余弦值为．

18.【答案】解：（1）证明：（方法一）分别取AB，CD的中点G，H，连接EG，GH，FH，

由题意可知：点E、F分别为线段PB、CQ的中点，

所以EG∥PA，FH∥QD，

因为PA∥DQ，

所以EG∥FH，

所以点E，G，H，F四点共面，

因为G，H分别为AB，CD的中点，

所以GH∥AD，

又因为AD⊂平面ADQP，GH⊄平面ADQP，

所以GH∥平面ADQP，

又因为FH∥QD，QD⊂平面ADQP，FH⊄平面ADQP，

所以FH∥平面ADQP，

又因为FH∩GH=H，FH，GH⊂平面EGHF，

所以平面EGHF∥平面ADQP，

因为EF⊂平面EGHF，所以EF∥平面ADQP．

（方法二）因为ABCD为正方形，且PA⊥平面ABCD，所以AP，AB，AD两两互相垂直，建立如图所示空间直角坐标系，

则P（0，0，3），C（3，3，0），Q（0，3，1），B（3，0，0），，，

所以，，，

易知平面PADQ的一个法向量，

所以，

所以，

又因为EF⊄平面ADQP，

所以EF∥平面ADQP．

（2）设平面PCQ的法向量，

则，即，令x=1，则z=3，y=2，

所以平面PCQ的一个法向量为，

易知平面CQD的一个法向量，

设平面PCQ与平面CQD夹角为θ，

则，

所以平面PCQ与平面CQD夹角余弦值为．