《控制工程基础》-第2章动态系统的数学模型

2.1动态系统运动微分方程的建立2.1.1建立数学模型的一般步骤用解析法列写系统或元件微分方程的一般步骤是：（1）分析系统的工作原理和信号传递变换的过程，确定系统和各元件的输入、输出变量。（2）从系统的输入端开始，按照信号传递、变换过程，依据各变量所遵循的物理学定律，依次列写出各元件、部件的微分方程。这里，特别要注意变量之间的因果关系。（3）消去中间变量，得到一个描述元件或系统输入、输出变量之间关系的微分方程。（4）写成标准化形式。将与输出有关的项放在等式的左侧，与输入有关的项放在等式右侧，且各阶导数项按降幂排列。下一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立2.1.2物理系统微分方程的列写1.机械平移系统任何机械系统的数学模型都可以应用牛顿定律来建立。机械系统中以各种形式出现的物理现象，都可以用质量、弹性变形和黏性阻尼三个要素来描述。弹性变形要素抽象为弹簧，黏性阻尼要素用阻尼器表示。

图2-1所示为常见的质量—弹簧—阻尼动力学系统，图中的m、K、B分别表示质量、弹簧刚度和黏性阻尼系数。以系统在静止平衡时的状态为坐标系原点，称为平衡工作点，这样的坐标系原点选择消除了重力的影响。下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立

由以上三式，用速度、位移表示黏性力fB(t)和弹性力fK(t)，并写成标准形式，得当质量m很小，可忽略不计时，系统由并联的弹簧和阻尼器组成，如图2-2所示。此时，系统的运动方程为一阶常系数微分方程，即：这说明，同一系统由于简化程度的不同，可以有不同的数学模型。下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立2.电气系统电阻R、电感L和电容C是电路中的三个基本要素。通常利用基尔霍夫定律来建立电气系统的数学模型。RLC无源电网络如图2-3所示。一般地，R、L、C都是常数，则上式为二阶常系数线性微分方程。若L＝0，系统也可简化为一阶常系数微分方程，即下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立3.流体系统流体系统比较复杂，但经过适当的简化也可以用运动微分方程来描述。图2-4所示为一简单的液位控制系统。根据流体连续性方程，可得流量方程设液体是不可压缩的，通过节流阀的液流是紊流，则其流量公式为消去中间变量qn(t)得液位波动方程为下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立

以上建立的一些物理系统的数学模型还表明，按描述系统运动的微分方程，可将系统分成线性系统和非线性系统两类。用线性微分方程描述的系统，称为线性系统。如果方程的系数为常数，则称为线性定常系统；如果方程的系数（只要有一个）不是常数，而是时间t的函数，则称为线性时变系统。线性系统的特点是具有线性性质，即服从叠加原理。这个原理是说，多个输入同时作用于线性系统的总响应，等于各个输入单独作用时产生的响应之和。下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立2.1.3建立系统数学模型时要注意的问题1.非线性数学模型的线性化非线性有本质非线性和非本质非线性之分。对于非本质非线性，为了绕过非线性系统在数学处理上的困难，对于大部分元件和系统来说，当信号或变量变化范围不大或非线性不太严重时，都可以近似地线性化，即用线性化数学模型来代替非线性数学模型。一旦用线性化数学模型来近似地表示非线性系统，就可以运用线性理论对系统进行分析和设计。所谓线性化，就是在一定的条件下作某种近似，或者缩小一些工作范围，而将非线性微分方程近似地作为线性微分方程来处理。下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立（1）非线性模型线性化的概念。假设有一个输入为x(t)、输出为y(t)、其输入—输出关系为y=f(x)的系统，如图2-6所示，y(t)与x(t)之间具有非本质非线性关系。点A为系统的平衡工作点。（2）线性化的数学方法。摄动线性化这种近似，用数学方法来表示，就是将变量的非线性函数展开成泰勒级数，分解成这些变量在某工作状态附近的小增量的表达式，然后略去高于一次小增量的项，就可获得近似的线性函数。下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立

对于以一个自变量作为输入量的非线性函数y=f(x)，在平衡工作点（x0，y0）附近展开成泰勒级数，则有略去高于一次增量（Δx＝x－x0）的项，便有或下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立

若输出变量y与输入变量x1、x2有非线性关系，即y＝f（x1，x2），那么，同样地将这个方程式在工作点（x10，x20）附近展开成泰勒级数，并忽略二阶和高阶导数项，便可得到y的线性化方程为写成增量方程，则有下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立（3）系统线性化微分方程的建立。建立系统线性化数学模型的步骤是：首先确定系统处于正常工作状态（平衡工作点）时各组成元件的工作点，然后列出各组成元件在工作点附近的增量方程，最后消去中间变量，得到系统以增量表示的线性化微分方程。如果系统中的某些元件方程本来就是线性方程，为了变量统一，可对线性方程两边直接取增量，就可得到以增量表示的方程。增量方程的数学含义就是将参考坐标系的原点移到系统或元件的平衡工作点上，对于实际系统就是以正常工作状态为研究系统运动的起始点，这时系统所有的初始条件均为零。下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立（4）线性化处理应注意的问题。①必须确定系统处于平衡状态时各组成元件的工作点，因为在不同的工作点，线性化方程的系数值有所不同，因为非线性曲线上各点的斜率（导数）是不同的。②线性化是以直线代替曲线，略去了泰勒级数展开式中的二阶以上无穷小项，这是一种近似处理。如果系统输入量工作在较大范围内，所建立的线性化数学模型势必会带来较大的误差。所以，非线性数学模型线性化是有条件的。③对于某些典型的本质非线性，如继电器特性、间隙、死区、摩擦特性等，其非线性特性是不连续的，则在不连续点附近不能得出收敛的泰勒级数，这时就不能进行线性化。当它们对系统影响很小时，可以忽略不计；当它们不能不考虑时，只能作为非线性问题处理，这需要应用非线性理论。下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立2.元件之间的负载效应系统是由若干元件或环节串联或并联组成的，如果由于后一环节或元件的存在，影响前一环节或元件的输出，则称它们之间存在负载效应。后一元件的存在就像是对前一元件加上了负载一样，影响了它的输出。这时，应将前后相连的这两个环节或元件视为一个整体加以考虑来建立数学模型。

图2-8为两个形式相同的RC电路串联而成的滤波网络。由于后一个RC电路影响了前一个RC电路的输出，因此，必须对整个滤波网络进行建模。下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立根据基尔霍夫定律，可写出下列方程消去中间变量i1(t)、i2(t)后得到下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立但是，如果单独地分别列写两个串联RC电路的运动方程，即消去中间变量i1(t)、u(t)和i2(t)，得系统方程下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立2.1.4系统微分方程的一般形式在工程实践中，可实现的线性定常系统，均能用n阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为xi(t)系统的输出量为xo(t)，则单输入、单输出n阶系统常系数线性微分方程有如下的一般形式（2-14）下一页上一页返回2.1动态系统运动微分方程的建立

由于实际系统中总含有惯性元件，以及受到能源能量的限制，所以总是有m≤n。式（2-14）运动微分方程对应的齐次方程为则，对应的特征方程为上一页返回2.2拉普拉斯积分变换2.2.1拉氏变换的定义如果有一个以时间t为自变量的实变函数f(t)，它的定义域是t≥0，那么f(t)的拉普拉斯变换定义为（2-18）式（2-18）表明：拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把实数域中的一个实变函数f(t)变换为一个在复数域内与之等价的复变函数F(s)。下一页返回2.2拉普拉斯积分变换2.2.2常用典型函数的拉氏变换1.指数函数eat2.阶跃函数（图2-9）阶跃函数是控制工程中最常用的典型输入信号之一，常以它作为评价系统性能的标准输入，这一函数定义为下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换

阶跃函数实质上就是一个自然数，它表示在t＝0时刻突然对系统作用一个幅值为A的不变量。严格地说，在t＜0－时，它的值为0，在t≥0＋时，它的值为A，而在t＝0时，它的值是不确定的，即在t＝0时刻存在间断点。阶跃函数的拉氏变换为当A＝1时，称为单位阶跃函数，并用1(t)表示，定义为下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换显然，单位阶跃函数的拉氏变换为3.斜坡（速度）函数斜坡（速度）函数是阶跃函数的积分。它定义为按拉氏变换的定义，并运用分部积分法，可得斜坡（速度）函数的拉氏变换为下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换当A＝1时，称为单位斜坡函数；显然，单位斜坡函数的拉氏变换为4.加速度函数（图2-11）加速度函数是斜坡（速度）函数的积分。它定义为加速度函数的拉氏变换为下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换同理，单位加速度函数的拉氏变换为5.谐波函数正弦函数和余弦函数统称为谐波函数。根据欧拉（Euler）公式，有下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换按拉氏变换的定义，正弦函数和余弦函数的拉氏变换分别为下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换2.2.3拉氏变换的运算定理1.线性定理拉氏变换是线性变换，因此也服从线性函数的齐次性和叠加性。（1）齐次性。若则（2）叠加性。若则因而有线性定理下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换

线性定理是说，若干个函数代数和的拉氏变换，等于各个函数的拉氏变换的代数和。2.微分定理若则同样地，函数f(t)的各阶导数的拉氏变换为下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换3.积分定理若则当初始条件为0时，则对多重积分，有下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换4.延迟定理对于函数f(t)，函数f（t－τ）称为平移函数或延迟函数，如图2-12所示。延迟定理为：若则有5.位移定理设则有下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换7.卷积定理卷积的数学定义为卷积定理是：若，则2.2拉普拉斯积分变换2.2.4拉氏反变换及其求法1.求反变换的基本步骤（1）根据多项式定理求F(s)的极点（复变函数的一类奇点）。在控制工程中，F(s)的一般形式为令分母D(s)=0，可求得F(s)的极点，即使F(s)＝∞的s值；令分子N(s)＝0，可求得F(s)的零点，即使F(s)＝0的s值。则下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换（2）根据分项分式法，将F(s)展成部分分式，即（3）求出待定系数ci。在复变函数中ci称为s＝－pi极点处的留数。（4）查拉氏变换表和利用性质定理求反变换。2.待定系数的求法（1）对于F(s)中只有简单极点的情况。F(s)的部分分式为下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换于是求ci的步骤为：①用(s+pi)乘上式两边②令s→pi

，两边取极限下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换（2）对于F(s)中含有共轭复数极点的情况。可以采用上述简单极点情况的求法。这里介绍另一种方法。如果F(s)有一对共轭复数极点-p1、-p2，而其余极点均为简单实数极点，则F(s)可展成如下形式，即用（s＋p1）（s＋p2）乘上式两边，并取s→-p1或s→-p1的极限，可得：（2-62）下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换

因为－p1（或－p2）是复数，故式（2-62）两边都应该是复数，复数相等有下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换（3）对于F(s)中含有重极点的情况。设F(s)中有r个重极点，则将上式展开成部分分式下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换c01，c02，…，c0r的求法如下：则下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换表2-1列出了常用的拉氏变换对照下一页上一页返回2.2拉普拉斯积分变换2.2.5应用拉氏变换求解运动微分方程应用拉氏变换求解线性微分方程的步骤如下：（1）对线性微分方程中每一项进行拉氏变换，使微分方程变为s的代数方程；（2）解代数方程，得到有关变量s的拉氏变换表达式，即复数域的解；（3）用拉氏反变换得到微分方程的时域解。整个求解过程可用图2-14来表示。上一页返回2.3传递函数2.3.1传递函数的概念和定义对于线性定常系统，在零初始条件下，系统输出信号的拉氏变换与引起该输出的输入信号的拉氏变换之比，称为系统的传递函数。根据传递函数的定义，传递函数是通过系统的输入量与输出量之间的关系来描述系统固有特性的，即以系统的外部特性来揭示系统的内部特性，这就是传递函数的基本思想。之所以能够用系统外部的输入—输出特性来描述系统内部特性，是因为传递函数通过线性定常系统结构参数使系统的输出和输入建立了联系。必须强调指出，传递函数的概念和基本思想在控制理论中具有特别重要的意义，当一个系统内部结构不清楚，或者根本无法弄清楚它的内部结构时，借助从系统的输入来看系统的输出，也可以研究系统的功能和固有特性。现在，对系统输入输出动态观测的方法，已发展成为控制理论的一个重要的分支，这就是系统辨识，即通过外部观测所获得的数据，辨识系统的结构及参数，从而建立系统的数学模型。下一页返回2.3传递函数2.3.2系统传递函数的表现形式、零点和极点1.系统传递函数的输入—输出模型2.系统传递函数的零点—极点模型、零点和极点将上式中的分子、分母进行因式分解，可得系统传递函数的零点—极点模型，即下一页上一页返回2.3传递函数图2-15所示为传递函数的零点、极点分布图。3.系统传递函数的典型环节模型控制系统一般由若干元件以一定形式连接而成，这些元件的物理结构和工作原理可以是多种多样的，但从控制理论来看，物理本质和工作原理不同的元件，可以有完全相同的数学模型，亦即具有相同的动态性能。在控制工程中，常常将具有某种确定信息传递关系的元件、元件组或元件的一部分称为一个环节，经常遇到的环节则称为典型环节。这样，任何复杂的系统总可归结为由一些典型环节组成，从而给建立数学模型、研究系统特性带来方便，使问题简化。下一页上一页返回2.3传递函数系统传递函数可以写成典型环节乘积的形式，即下一页上一页返回2.3传递函数2.3.3关于传递函数的几点说明传递函数具有以下性质：（1）传递函数是经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。（2）传递函数中各项系数值和相应微分方程中各项系数对应相等，完全取决于系统的结构参数。传递函数是系统在复数域中的动态数学模型，传递函数本身是s的复变函数。（3）传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。因此，传递函数原则上不能反映系统在非零初始条件下的全部运动规律。下一页上一页返回2.3传递函数（4）一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只适合于描述单输入/单输出系统，而且系统内部的中间变量的变化情况，传递函数也无法反映。（5）当两个元件串联时，若两者之间存在负载效应，必须将它们归并在一起求传递函数；如果能够做到它们彼此之间没有负载效应（如在电器元件之间加入隔离放大器），则可以分别求传递函数，然后相乘。下一页上一页返回2.3传递函数2.3.4典型环节的传递函数1.比例环节输出量不失真、无惯性地跟随输入量，且两者成比例关系的环节称为比例环节。比例环节又称无惯性环节，放大环节，其运动方程式为比例环节的传递函数为下一页上一页返回2.3传递函数2.惯性环节凡具有下列一阶微分方程形式的环节称为惯性环节。显然，其传递函数为下一页上一页返回2.3传递函数3.振荡环节振荡环节含有两个独立的储能元件，并且所储存的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质。这种环节的微分方程式为其传递函数为下一页上一页返回2.3传递函数4.积分环节积分环节的输出量xo(t)与输入量xi(t)对时间积分成正比。即其传递函数为下一页上一页返回2.3传递函数5.微分环节凡输出量正比于输入量的微分的环节称为微分环节，其运动方程式为其传递函数为下一页上一页返回2.3传递函数6.延迟环节延迟环节是输入量加上以后，输出量要等待一段时间τ后，才能不失真地复现输入量的环节。它不单独存在，一般与其他环节同时出现。延迟环节的输入量xi(t)和输出量xo(t)之间有如下的关系延迟环节是线性环节，故其传递函数为上一页返回2.4系统方框图2.4.1系统方框图的结构要素

图2-28为一控制系统的函数方框图。从图中可以看出，系统函数方框图由四种要素组成：信号线、函数方框、求和点和引出点。1.信号线带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向，线上的信号标记时间函数或象函数。2.函数方框函数方框是传递函数的图解表示。如图2-29所示，方框两侧为输入量和输出量，方框内写入该输入输出之间的传递函数。函数方框具有运算功能，即下一页返回2.4系统方框图3.求和点、比较点求和点是信号之间代数加减运算的图解，用符号及相应的信号箭头表示，每一个箭头前方的＋号或－号表示加上此信号或减去此信号。几个相邻的求和点可以互换、合并、分解，即满足代数加减运算的交换律、结合律、分配律，如图2-30所示，它们都是等效的。显然，只有性质和因次相同的信号才能进行比较、叠加。下一页上一页返回2.4系统方框图4.引出点、量测点、分支点同一个信号需要输送到不同地方去时，可用引出线表示，它表示信号引出或测量的位置和传递方向，如图2-31所示。从同一信号线上引出的信号，其性质、大小完全一样。任何线性系统都可以由函数方框、求和点和引出线组成的方框图来表示。下一页上一页返回2.4系统方框图2.4.2系统函数方框图的建立建立系统函数方框图的步骤如下：（1）建立系统各元、部件的运动微分方程。列写方程时，应特别注意明确信号的因果关系，即分清元件方程的自变量（输入量）、因变量（输出量）。（2）对各元部件的微分方程进行拉氏变换，并绘出相应的方框图。为便于绘制，一般规定原因（输入）项写在方程等式右侧，结果（输出）项写在等式左侧。（3）按照信号在系统中传递、变换的过程，依次将各元部件的方框图连接起来（同一变量的信号通路连接在一起），系统输入量置于左端，系统输出量置于右端，便得到系统的函数方框图。下面举例说明系统方框图的绘制。下一页上一页返回2.4系统方框图2.4.3系统方框图的简化为了分析系统的动态性能，需要对系统的方框图进行运算和变换，求出总的传递函数。这种运算和变换，就是设法将方框图化为一个等效的方框，而方框中的数学表达式即为系统的总传递函数。方框图的变换应按等效原则进行。所谓等效，即对方框图的任一部分进行变换时，变换前、后输入输出之间总的数学关系应保持不变。显然，变换的实质相当于对所描述系统的方程组进行消元，求出系统输入与输出的总关系式。下一页上一页返回2.4系统方框图1.方框图的运算法则（1）串联连接。方框与方框首尾相连，前一方框的输出就是后一方框的输入，如图2-39（a）所示，前后方框之间无负载效应。方框串联后总的传递函数，等于每个方框单元传递函数的乘积，见图2-39（b）。（2）并联连接。多个方框具有同一个输入，而以各方框单元输出的代数和作为总输出，如图2-40（a）所示。方框并联后总的传递函数，等于所有并联方框单元传递函数之和，见图2-40（b）。（3）反馈连接。一个方框的输出，输入到另一个方框，得到的输出再返回作用于前一个方框的输入端，这种结构称为反馈连接，如图2-41（a）所示。任何复杂系统的方框图，都不外乎是由串联、并联和反馈三种连接方式交织组成的，或者说，系统中存在信号耦合。但要实现上述三种运算，则必须将复杂的交织状况变换为可运算的状态，也称为解耦，这就要进行方框图的等效变换。下一页上一页返回2.4系统方框图2.方框图的等效变换法则方框图变换主要是在等效的原则下，将求和点或引出点的位置作适当的移动，消除交叉耦合的反馈回环，变换成可运算的状态，然后一步步运算，最后求出系统总的传递函数。3.由方框图求系统传递函数下面以图2-46（a）所示多回路系统为例，具体说明如何运用等效变换法则，逐步将一个比较复杂的系统简化为一个方框，最后求得其传递函数。4.用梅森公式求系统传递函数对于复杂的系统，方框图的简化过程是冗长的。应用梅森（S.J.Mason）公式可以直接求得输入变量到输出变量的系统传递函数。梅森公式可表示为上一页返回2.5控制系统的传递函数2.5.1系统开环传递函数在图2-48中，将H(s)的输出通道断开，亦即将系统的主反馈通道断开，这时前向通道传递函数与反馈通道传递函数的乘积G1(s)G2(s)H(s)，称为该系统的开环传递函数。闭环系统的开环传递函数也可定义为偏差信号E(s)和反馈信号B(s)之间的传递函数，即必须强调指出，开环传递函数是闭环控制系统的一个重要概念，它并不是开环系统的传递函数，而是指闭环系统的开环。下一页返回2.5控制系统的传递函数

必须强调指出，开环增益是控制系统中最重要的参数之一，它对系统的稳定性、动态响应的快速性和系统稳态误差都有影响。开环增益增大时，系统的稳定性下降，响应的快速性增加，系统稳态误差减小。下一页上一页返回2.5控制系统的传递函数2.5.2主令输入xi(t)作用下系统的闭环传递函数令n(t)=0，这时图2-48简化为图2-49（a）。输入xi(s)与输出xo(s)之间的传递函数称φi(s)为输入xi(s)作用下系统的闭环传递函数。下一页上一页返回2.5控制系统的传递函数2.5.3干扰n(t)作用下系统的闭环传递函数为研究干扰对系统的影响，需要求出以N(s)作为输入，与输出Xon(s)之间的传递函数。这时，令Xi(s)=，则图2-48简化为图2-50(a)。由图可得

Φn(s)为在扰动作用下的闭环传递函数，简称干扰传递函数。同理，扰动作用下的偏差传递函数，称干扰偏差传递函数，用Φen(s)表示。以N(s)作为输入，En(s)作为输出的方框图，如图2-50（b）所示。由图可得下一页上一页返回2.5控制系统的传递函数2.5.4系统的总输出根据线性系统的叠加原理，系统在同时受xi(t)和n(t)作用时，其总输出应为各外作用分别引起的输出的总和，根据式（2-103）和式（2-105），即得总输出量上一页返回2.6动态系统传递函数推导举例2.6.1机械系统

在控制系统中，经常要将旋转运动变换为直线运动，例如用电动机和丝杆装置可控制工作台沿导轨的直线运动。如图2-51所示，为了方便建模，可以用一等效转动惯量直接连接到驱动电动机的简单系统来表示。工作台等直线运动部件的质量m，按等功原理可折算到电动机轴上，如图2-51（b）所示，其等效转动惯量为下一页返回2.6动态系统传递函数推导举例2.6.2液压系统

图2-56所示为液压缸驱动外负载的系统简图。这个系统所要研究的问题是：当液压缸的输入流量不变，负载发生变化或负载不变、输入流量发生变化时，活塞运动速度产生变化的动态过程。为简单起见，假定液压缸回油腔直通油箱，进油管路较短，只须考虑其容积的影响。根据液压缸工作腔的流量连续性方程，有

(2-129)下一页上一页返回2.6动态系统传递函数推导举例活塞上的力平衡方程为

(2-130)

假设初始条件为零，对式（2-129）和式（2-130）取拉氏变换，整理后得

(2-131)(2-132)下一页上一页返回2.6动态系统传递函数推导举例

根据式（2-131）和式（2-132）可以作出液压缸系统的方块图如图2-57所示。活塞运动速度可写成下一页上一页返回2.6动态系统传递函数推导举例

由式（2-133）得出输入流量恒定，即q(s)＝0时，液压缸系统的闭环传递函数为外负载恒定，即FL(s)＝0时，液压缸系统的闭环传递函数为下一页上一页返回2.6动态系统传递函数推导举例2.6.3机电系统