《控制工程基础》-第6章离散控制系统初步

6.1离散控制系统概述

现代控制系统实际上是计算机控制系统，这种用计算机控制的系统是一类离散系统，它与前面所述的连续系统的根本区别在于：连续系统中的控制信号、反馈以及偏差信号都是连续的时间函数；在计算机控制系统中，既包含有连续时间信号，也含有离散时间信号。计算机控制系统的原理框图如图6-1所示。为了了解计算机控制系统的特点，可将图6-1所示的计算机控制系统用图6-2所示的传递函数框图来表示。返回6.2连续信号的采样和恢复6.2.1信号采样过程

图6-3所示为实际采样过程示意图。采样过程可以说是一个幅值调制过程，载波是周期为T的单位脉冲函数序列δT(t)，调幅信号是连续信号e(t)，而采样开关输出信号

eτ(t)为式中，e*(t)称为理想采样开关输出，即有

e*(t)是经过e(t)调幅的周期为T的脉冲函数序列，如图6-4所示。下一页返回6.2连续信号的采样和恢复6.2.2采样定理香农采样定理：设连续信号e(t)具有如图6-5所示的频谱，e(t)不包含任何大于ωmax（rad/s）的频率分量。因此，如果采样频率ω大于或等于2ω，则采样的离散信号e*(t)能无失真地恢复原连续信号e(t)。6.2.3信号重构根据采样定理，在ωs≥2ωmax的条件下，离散信号频谱中各分量彼此互不重叠，采用理想的低通滤波器滤去各高频分量，保留主频谱，就可以无失真地恢复为原连续信号。但上述理想滤波器实际上在工程中难以实现，因此，必须寻找在特性上比较接近理想的滤波器，而又可以物理实现的滤波器。在采样控制中应用的保持器就是这种实际的滤波器。保持器是一种采用时域外推原理的装置。结构最简单，应用最广泛的是零阶保持器。微型计算机输出通道中的D/A转换器就是零阶保持器。下一页上一页返回6.2连续信号的采样和恢复

零阶保持器是采用恒值外推规律的保持器。它的作用就是把采样时刻kT采样值恒定不变地保持（外推）到下一采样时刻(k+1)T。也就是说，在时间t∈[kT,(k+1)T]区间内，它的输出量一直保持为e(kT)这个值。图6-8所示为保持器输入信号和输出信号的关系，可见，零阶保持器的输出信号是阶梯形的，它包含着高次谐波，与要恢复的连续信号有一些区别。若将阶梯形输出信号的各中点连接起来，可以得到一条比连续信号迟后T/2的曲线，这反映了零阶保持器的相位滞后特性。下一页上一页返回6.2连续信号的采样和恢复

零阶保持器的单位脉冲响应gh(t)如图6-9所示。显然，

gh(t)=1(t)-1(t-T)，它是正单位阶跃函数和延迟了T时间发生的负单位阶跃函数的叠加。因而零阶保持器单位脉冲响应的拉氏变换式为幅频特性为相频特性为零阶保持器的幅频特性如图6-10所示上一页返回6.3z变换6.3.1z变换的定义连续信号f(t)的拉氏变换F(s)是复变量s的代数函数。一个微分方程通过拉氏变换后可以转化为s的代数方程，这样可以大大简化运算。计算机控制系统中的采样信号也可以进行拉氏变换。连续信号f(t)通过采样周期为T的理想采样后的采样信号f*(t)是一组加权理想脉冲序列，每一个采样时刻的脉冲强度等于该采样时刻的连续函数值，其表达式为（6-16）因为δ(t-kT)的拉氏变换式为下一页返回6.3z变换所以（6-16）式的拉氏变换式为即在此，引入另一个复变量z，令有（6-20）下一页上一页返回6.3z变换

若式（6-20）所示级数收敛，则称F(z)为离散时间函数f*(t)的z变换，记为Z[f*(t)]=F(z)。必须指出，在z变换过程中，考虑的是连续时间函数经采样后的离散时间函数，它只表征连续时间函数在采样时刻上的特性。因此，从这个意义上说，连续时间函数f(t)与相应的离散时间函数f*(t)应具有相同的z变换，即上述表达式写成多项式之和的形式，其表达式是一个z的有理分式，即下一页上一页返回6.3z变换若用zn同除分子和分母，可得z-1的有理分式，即（6-23）在讨论系统动态特性时，z变换写成因子形式更为有用，式（6-23）可改写成下一页上一页返回6.3z变换6.3.2求z变换的方法1.级数求和法例6-1求指数函数f(t)=e-αt的z变换。解：f(t)的采样信号表达式为对应的拉氏变换为对应的z变换式为（6-25）下一页上一页返回6.3z变换2.部分分式法对于任意连续时间函数f(t)，其拉氏变换式F(s)为s的有理函数，则可以展开为部分分式，即则则根据式（6-25），f(t)的z变换为下一页上一页返回6.3z变换3.留数计算法若已知连续时间函数f(t)和对应的拉氏变换F(s)及其全部极点si(i=123……n)，则f(t)的z变换还可通过下列留数计算方法求得。下一页上一页返回6.3z变换6.3.3z变换的主要性质z变换主要性质见表6-26.3.4z反变换由z变换式F(z)求时域函数的过程称为z反变换，用Z-1符号表示，即由z变换式求时域信号有以下几种方法。1.长除法（幂级数展开式）2.部分分式法3.留数计算法上一页返回6.4采样控制系统的数学模型6.4.1差分方程如果将连续系统的运动微分方程离散化，则可将各阶微分用各阶差分近似代替，从而得到用输出、输入信号的离散序列及其各阶差分来描述的系统运动方程。以输出信号xo(t)为例，用符号Δ表示前向差分运算，它的各阶前向差分如下：一阶前向差分为二阶前向差分为类似地，n阶前向差分为下一页返回6.4采样控制系统的数学模型因此，系统的前向差分方程为（6-37）仍以输出信号xo(t)为例，用符号▽表示后向差分运算，它的各阶后向差分如下：一阶后向差分为二阶后向差分为下一页上一页返回6.4采样控制系统的数学模型类似地，n阶后向差分为因此，系统的后向差分方程为6.4.2脉冲传递函数系统的脉冲传递函数G(z)定义为，离散控制系统在零初始条件下，系统输出信号序列的z变换Xo(z)和输入信号序列的z变换Xi(z)之比，对式（6-37）取z变换，则可得下一页上一页返回6.4采样控制系统的数学模型

系统的脉冲传递函数也称为z传递函数。z-(n-m)表示输出迟后于输入n-m个采样周期。这也说明，当前的输出只与过去的输入数据有关，这是符合系统的物理意义的。当已知脉冲传递函数的全部零点和极点时，也可以写成如下形式假设k=0时，输入信号为单位脉冲函数δ(t)，则定义系统的输出响应序列为单位脉冲响应序列g(k)，即有Xo(z)=Z[g(k)]，而Xi(z)=Z[g(t)]=1。因此，z传递函数还可以表示为

由此可见，脉冲传递函数就是单位脉冲响应序列g(k)的z变换。下一页上一页返回6.4采样控制系统的数学模型6.4.3采样系统的开环脉冲传递函数在采样控制系统中，控制器是离散的，被控对象是连续的。因此，建立模型时，必须要将连续部分离散化，即把连续部分的传递函数变换成相应的脉冲传递函数。求系统的开环脉冲传递函数时，必须注意区别如图6-11所示的两种不同情况。图6-11（a）所示开环系统中，两个串联环节之间被理想开关隔开；而图6-11（b）所示开环系统中，两个串联环节直接相连。首先研究图6-11（a）的系统。显然

所以，开环脉冲传递函数为下一页上一页返回6.4采样控制系统的数学模型

由此可得出如下结论：被理想开关隔开的两个线性环节串联时，其脉冲传递函数等于这两个环节的脉冲传递函数的乘积。这个结论可以推广到有理想开关隔离得n个环节串联的情况。现在再来研究图6-11（b）的情况。两个串联环节之间没有采样开关隔离，开环系统的脉冲传递函数为式中，G1G2(z)表示G1(s)G2(s)乘积的z变换。由此可以得出结论：当开环系统两个线性环节串联而环节之间无采样开关隔开时，开环系统的脉冲传递函数等于两个环节传递函数乘积的z变换。显然，这个结论也可以推广到具有n个环节直接串联时的情况。下一页上一页返回6.4采样控制系统的数学模型6.4.4采样系统的闭环脉冲传递函数比较常见的闭环采样控制系统的方框图如图6-12所示。图中虚线所示的理想开关是为了分析方便而虚设的。所有理想开关都同步工作，且具有相同的采样周期T，系统的输入量xi(t)和输出量xo(t)都是时间的连续函数。由图6-12可知故有下一页上一页返回6.4采样控制系统的数学模型根据上式，求采样信号的拉氏变换，有可得采样信号的偏差传递函数为取z变换后的偏差z传递函数为

(6-45)下一页上一页返回6.4采样控制系统的数学模型注意到输出信号采样后的拉氏变换为则有取z变换后的闭环z传递函数为

(6-46)

式（6-45）和式（6-46）是研究闭环采样系统时经常用到的两个脉冲传递函数。图6-12所示系统的特征方程为上一页返回6.5采样控制系统的性能分析6.5.1采样控制系统的稳定性分析线性连续控制系统稳定的充分必要条件是，系统特征方程的所有根都位于s平面虚轴的左半部，即系统特征方程的所有根都具有负实部。对线性采样系统进行了z变换之后，要用z平面分析系统的稳定性。1.s平面和z平面的对应关系

s平面的虚轴在z平面上的映射曲线是以坐标原点为圆心的单位圆，如图6-13所示。下一页返回6.5采样控制系统的性能分析2.线性采样系统稳定的充要条件线性采样系统稳定的充分必要条件是，闭环特征方程的所有根（即闭环脉冲传递函数的极点）均位于z平面上以原点为圆心的单位圆内，也就是要求这些根的模均小于1。与分析连续系统的稳定性一样，用直接求解特征方程式根的方法判断系统的稳定性往往比较困难，下面介绍一种比较实用的方法。3.劳斯稳定判据因为劳斯判据能判断系统特征方程式的根是否在复平面虚轴的左半部，而不能直接判断特征方程的根是否在z平面的单位圆内，因此，为了使劳斯判据仍然适用于离散系统稳定性的判断，必须采用一种双线性变换方法（又称w变换），使z平面上的单位圆内映射为w平面虚轴的左半部。下一页上一页返回6.5采样控制系统的性能分析

根据复变函数的双线性变换方法，设z=w+1/w-1,z和w均为复变量，z=x+jy，w=u+jν则有则有可见，z平面上的单位圆x2+y2=1，对应于w平面中虚轴u=0；z平面上的单位圆内x2+y2<1，对应于w平面中虚轴的左半部，即u<0；z平面上的单位圆外x2+y2>1，对应于w平面中虚轴的右半部，即u>0。z平面和w平面的映射关系如图6-14所示。下一页上一页返回6.5采样控制系统的性能分析6.5.2采样控制系统的动态响应分析由线性连续系统理论可知，闭环极点及零点在s平面的分布对反馈系统的瞬态响应起着决定性的作用。与此相类似，闭环采样控制系统的瞬态响应与闭环脉冲传递函数极点、零点在z平面上的分布也密切相关。设闭环采样系统的脉冲传递函数为设闭环脉冲传递函数的极点为pi(i=12……n)为了简化问题，假设没有多重极点。当输入信号Xi(s)为单位阶跃函数时，系统输出信号的z变换为下一页上一页返回6.5采样控制系统的性能分析式（6-43）的z反变换为上式第一项为系统输出采样信号的稳态分量；第二项为输出采样信号的瞬态响应分量，是由系统的固有特性所决定的，其取决于系统闭环脉冲传递函数极点、零点在z平面上的分布位置。z平面上不同位置的闭环极点对应的瞬态响应分量如图6-16所示。由图可见，闭环脉冲传递函数的极点在z平面上的位置决定了相应瞬态分量的性质和特点，也就决定了输出瞬态响应的性质和特征。下一页上一页返回6.5采样控制系统的性能分析（1）只要闭环极点在z平面的单位圆内，离散控制系统总是稳定的，其瞬态响应是衰减的，极点距离z平面坐标原点越近，则衰减速度越快。（2）为了使采样控制系统具有较好的动态性能，希望它的主导极点分布在z平面单位圆的右半圆内，而且离原点不要太远，与实轴的夹角要适中。（3）至于系统的零点，虽然不影响系统的稳定性，但影响系统的动态性能，因为其影响动态响应的系数Ci，零点对系统动态性能影响的分析比较困难，在此不再赘述。（4）在采样系统中，动态性能的分析，在采样瞬时有效，有些系统尽管在采样时刻的性能很好，但采样时刻之间的纹波可能仍然较大，特别是在采样周期较大时。若需进一步研究采样时刻之间系统的性能，则需采用广义z变换的知识。下一页上一页返回6.5采样控制系统的性能分析6.5.3采样控制系统的稳态误差分析稳态误差是系统稳态性能的重要指标。在单位反馈采样控制系统中，系统在输入信号作用下误差的z变换为若闭环系统稳定，利用终值定理，不难求出在输入信号作用下采样系统的稳态误差由此可见，离散系统的稳态误差与连续控制系统的类似，与系统开环脉冲传递函数G(z)