《控制工程基础》-第3章控制系统的时域分析

3.1控制系统的时间响应3.1.1零状态响应和零输入响应一个系统的输出不仅与输入有关，还与系统的初始状态有关。因此，控制系统的时间响应由零状态响应和零输入响应组成。初始状态为0，仅由输入引起的响应，称为零状态响应；输入信号为0，而仅由初始状态引起的响应称为零输入响应。零输入响应分量只对响应项的系数有影响，即只对响应曲线的形状有影响，但不影响响应的性质（指响应的函数形式）。决定系统响应性质的是零状态响应。因为研究和分析控制系统，主要讨论系统响应的性质，即零状态响应。为此，我们规定：控制系统的初始状态均为零状态。也就是说，在输入信号加于系统瞬间(t0)之前，系统的所有元、部件储能为0，其被控量及其各阶导数相对于平衡工作点的增量为0。这也符合大多数控制系统的实际情况。下一页返回3.1控制系统的时间响应3.1.2瞬态响应和稳态响应系统的完全响应xo(t)也可以分为瞬态响应和稳态响应两部分。随着时间t的增大而衰减为0的部分称为瞬态响应，其余部分称为稳态响应。瞬态响应与系统传递函数Φ(s)和输入信号Xi(s)都有关系。当Xi(s)的所有极点的实部都大于或等于0，或者极点在原点，并假定Φ(s)具有负实部的极点，在此情况下，自然响应就是瞬态响应，强迫响应就是稳态响应。当Φ(s)和Xi(s)的极点都在s域左半平面上时，瞬态响应等于自然响应与强迫响应之和，稳态响应等于0。上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析3.2.1线性系统稳定性概念1.系统稳定、不稳定举例（图3-4）对于单摆系统，系统受干扰作用，具有了初始位能，放手后，振荡衰减的过程是位能和动能相互进行能量转换的过程，系统最后能回到（恢复到）原来的平衡状态是因为初始能量可以被消耗掉（被系统吸收），因此是稳定的系统。对于倒摆系统，只要有一点干扰作用，它就再也不会回到原来的平衡状态，因而是不稳定的系统。下一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析2.稳定性定义在控制工程中，系统稳定性定义为：系统受扰动作用，会偏离原来的平衡位置（平衡工作点、平衡态），随着时间的推移，系统能恢复到原平衡状态的性能，称为系统稳定性。稳定性是系统固有的一种动态属性，与外作用无关。系统的稳定性还可以这样来定义：系统处于偏离平衡位置的初始状态，且不存在输入作用，若在初始状态的影响下，系统的时间响应随着时间的推移，逐渐衰减并趋向于0，即回到平衡状态，则称该系统是稳定的；反之，若在初始状态影响下，系统的时间响应随时间的推移发散（即偏离平衡位置越来越远），则称该系统不稳定。下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析3.2.2系统稳定的必要充分条件系统稳定的必要充分条件是：系统的全部特征根都必须具有负实部；反之，若特征根中只要有一个具有正实部，则系统必不稳定。也可以表述为：系统传递函数的全部极点均位于［s］平面的左半开平面，则系统稳定。反之，只要有一个极点位于［s］平面的右半平面，则系统必不稳定。下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析

必须指出，系统运动微分方程右端各项系数，对系统稳定性没有影响，这相当于系统传递函数的各零点对稳定性没有影响，因为这些系数仅反映系统与外界作用的关系，与系统稳定与否无关。线性系统是否稳定，完全取决于系统的特征根，即稳定性是系统本身的固有特性。系统的状态就是系统的储能状态。系统的初始状态就是t≤0以前，系统工作的累积，即初始条件代表系统的一种初始蓄能状态。这样，系统稳定性的实质是系统能否消耗扰动带给系统的初始能量的问题。稳定性的物理意义是：能否消耗系统的初始能量，能消耗初始能量，则系统稳定，否则系统不稳定。换言之，稳定性的物理含义是：响应是有界的；系统能量是有限的。下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析3.2.3系统稳定性时域判据——劳斯判据劳斯判据是基于方程式的特征根和系数的关系建立起来的，它是判别系统稳定性的充分必要条件。应用劳斯判据判别系统稳定性的步骤是：（1）列写系统特征方程（特征多项式）；（2）列出劳斯表；（3）考查劳斯表第一列元素的符号，进行判别。劳斯判据是：第一列元素的符号相同则系统稳定，不同则系统不稳定；符号改变的次数是正实部根的数目。下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析下面以六阶系统为例说明劳斯判据的用法。（1）已知六阶系统的特征方程为（2）列出劳斯表。劳斯表将有n+1行；此例有7行。下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析

将系统的特征方程的系数排列成最高的两行，可以顺着排，如式（3-8）；亦可倒着排，如式（3-9）。注意补零。如式（3-8）所示，s4行的元素是用s6、s5两行的元素，按下列方法计算，即下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析s3行的元素是用s5、s4两行的元素，按下列方法计算，即以下类推。（3）判据。当劳斯表中第一列的全部元素具有相同的符号时，系统的特征根全部位于s平面的左半部，而其符号改变次数恰恰就是具有正实部或位于s平面右半部的根的个数。下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析3.2.5稳定程度——相对稳定性系统的零输入响应逐渐衰减并趋于0，则系统稳定；如果系统的零输入响应是发散的，则系统不稳定。而如果系统的零输入响应趋于某一恒定值或成为等幅振荡，则系统处于不稳定的边缘，即处于临界稳定状态。显然，对于实际的系统，临界稳定状态一般是不能工作的。而且即使没有超出临界稳定状态，只要与临界稳定状态接近到某一程度，系统在实际工作中，由于结构参数的变化，就可能变成不稳定。因此，对一个实际系统，只知道系统稳定还是不稳定是不够的，还要了解系统的稳定程度，即系统必须具有稳定性储备。系统离开临界稳定状态的程度，反映了系统稳定的程度，称为相对稳定性。下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析

可以证明，系统若有一对共轭复数极点位于虚轴上，其余的极点均在［s］平面的左半开平面，则响应趋于等幅振荡；若有一极点在原点；而其余的极点均在［s］平面的左半开平面，则响应趋于某个恒定值。这就是前述的临界稳定状态，这种临界稳定的系统是否是允许的，取决于响应值的大小；但从工程实际来看，一般认为临界稳定往往会导致不稳定。应用劳斯判据可以检验系统是否具有一定的稳定裕量。其方法是向左移动［s］平面的虚轴，然后再应用劳斯判据。如图3-6所示，令下一页上一页返回3.2线性控制系统的稳定性分析

即把虚轴左移σ1。将式（3-12）代入系统原特征方程，得到以z为变量的新的特征方程式，然后再检验新特征方程式是否有特征根位于新虚轴（垂直线s=-σ1）的右边。如果用z表示的新的特征方程式满足劳斯判据，或者说没有特征根位于新虚轴的右边，这意味着原特征方程所有根的实部比?σ1更小，系统具有稳定裕量σ1。上一页返回3.3控制系统的动态特性分析3.3.1控制系统的单位阶跃响应系统在单位阶跃信号作用下的输出称为单位阶跃响应。1.一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的典型形式是一阶惯性环节，其传递函数为单位阶跃信号xi(t)=1(t)的拉氏变换为,则一阶惯性环节在单位阶跃信号作用下的输出的拉氏变换为下一页返回3.3控制系统的动态特性分析将上式进行拉氏反变换，得一阶惯性环节的单位阶跃响应为2.二阶系统的单位阶跃响应二阶系统对控制工程来说是非常重要的，因为很多实际的控制系统都是二阶系统，而且许多高阶系统在一定条件下也可以将其简化为二阶系统来近似求解。因此，分析二阶系统的时间响应及其特性具有重要的实际意义。（1）二阶系统的传递函数。二阶系统结构如图3-9所示。下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析用时间常数表示的二阶系统的典型传递函数为（2）二阶系统的极点。二阶系统的特征方程为有两个极点下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析（3）二阶系统的单位阶跃响应。二阶系统在单位阶跃信号作用下的输出响应的拉氏变换为①欠阻尼状态（0＜ζ＜1）。在欠阻尼状态下，系统具有一对共轭复数极点，则下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析将上式进行拉氏反变换，得到二阶欠阻尼系统的单位阶跃响应为即下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析②临界阻尼状态（ζ=1）。在临界阻尼状态下，系统具有两个相同的负实数极点，则将上式进行拉氏反变换，得到二阶临界阻尼系统的单位阶跃响应为下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析③过阻尼状态（ζ＞1）。在过阻尼状态下，系统具有两个不相同的负实数极点，则二阶过阻尼系统的单位阶跃响应为④无阻尼状态（ζ=0）。在无阻尼状态下，系统具有一对共轭复数极点，则下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析将上式进行拉氏反变换，得到二阶无阻尼系统的单位阶跃响应为如图3-11所示，二阶系统在临界阻尼状态下的单位阶跃响应曲线是一条无阻尼等振幅的振荡曲线。下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析3.高阶系统的单位阶跃响应工程上，很多系统具有高阶微分方程的数学模型。这种用高阶微分方程描述的系统称为高阶系统。一般来说，高阶系统的研究和分析比较复杂，因此在分析高阶系统时要抓住主要矛盾，忽略次要因素，使问题简化。对于单输入单输出的线性定常高阶系统，其闭环传递函数Φ(s)一般可以表示为下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析

由上式可知，高阶系统主要是由若干个一阶系统和若干个二阶系统组成的。在单位阶跃信号的作用下，该高阶系统的输出为假设系统的极点互不相同，则上式可以展成部分分式的形式下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析对上式进行拉氏反变换，得该高阶系统的单位阶跃响应为

(3-33)下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析

由上式可以看出，高阶系统的单位阶跃响应是由一阶系统的单位阶跃响应和二阶系统的单位阶跃响应叠加组成的。根据式（3-33），高阶系统单位阶跃响应有如下特点。（1）如果所有闭环极点都在s平面左半平面内，即所有闭环极点都具有负实部，则随着时间t→∞，指数项分量和阻尼指数项分量都将趋于0，系统是稳定的，其稳态响应为a。（2）各闭环极点对系统时间响应的影响程度不同。（3）高阶系统的各闭环极点对系统时间响应的影响程度还取决于各闭环极点对应的待定系数（留数）的相对大小。下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析3.3.2控制系统的时域动态性能指标1.时域动态性能指标动态性能指标通常用几个特征量来表示，既可以在时域提出，也可以在频域提出。时域动态性能指标比较直观，是以系统对单位阶跃输入信号的时间响应形式给出的，如图3-13所示。（1）上升时间tr。响应曲线从零时刻出发首次到达稳定值所需的时间称为上升时间tr。对于没有超调的系统，从理论上讲，其响应曲线到达稳态值的时间需要无穷大，因此，一般将其上升时间tr，定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态值的90%所需的时间。下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析（2）峰值时间tp。响应曲线从零时刻出发首次到达第一个峰值所需的时间称为峰值时间tp。（3）最大超调量Mp。响应曲线的最大峰值与稳态值之差称为最大超调量Mp，即（4）调整时间ts。在响应曲线的稳态值上，用稳态值的±Δ作为允许误差范围，响应曲线到达并将永远保持在这一允许误差范围内所需的时间称为调整时间ts。允许误差范围±Δ一般取稳态值的±5%或±2%。（5）振荡次数N。振荡次数N在调整时间ts内定义，实测时可按响应曲线穿越稳态值的次数的一半来计数。下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析2.二阶系统的动态性能指标（1）上升时间tr（2）峰值时间tp。下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析（3）最大超调量Mp（4）调整时间ts下一页上一页返回3.3控制系统的动态特性分析（5）振荡次数N。根据振荡次数N的定义，振荡次数N可以用调整时间ts除以有阻尼振荡周期Td来近似地求得，即必须指出，只有二阶系统能够通过数学方法导出动态性能指标的表达式。三阶、四阶和五阶系统有经验公式对其动态性能指标进行估算。上述从二阶系统得出的结论，对于高阶系统也是正确的。现在，对于高阶系统，主要采用计算机仿真技术，获得系统的响应曲线，然后按各项性能指标的定义，从响应曲线中获得各项性能指标的具体数值。在工程中，常常通过实验，获得系统的响应曲线，再从中获得各项性能指标的具体数值。上一页返回3.4控制系统的误差分析3.4.1稳态误差的基本概念1.偏差信号E(s)

系统的输入信号Xi(s)与系统的主反馈信号B(s)之差定义为控制系统的偏差信号，即期望输出信号为下一页返回3.4控制系统的误差分析

系统的期望输出信号与系统的实际输出信号之差定义为控制系统的误差信号，即误差是在系统输出端定义的。误差信号只能计算并不能测量，因为无法测量到期望的输出信号。图3-16是偏差与误差定义的图解。下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析3.稳态误差控制系统误差信号的稳态分量定义为控制系统的稳态误差，即3.4.2稳态误差的计算控制系统的误差信号E(s)与系统输入信号Xi(s)之比定义为控制系统的误差传递函数Φe(s)。对于图3-16所示的反馈控制系统，其误差传递函数Φe(s)为

(3-50)下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析根据拉氏变换的终值定理，即可求出控制系统的稳态误差ess为

(3-51)3.4.3稳态误差系数1.稳态误差系数的定义不同类型的典型信号输入时，其稳态误差不同，因此可以根据不同的输入信号来定义不同的稳态误差系数。（1）单位阶跃输入。下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析

根据式（3-50），系统在单位阶跃输入信号Xi(s)=1/s作用下的稳态误差ess为（2）单位速度输入。根据式（3-50），系统在单位速度输入信号Xi(s)=1/s2作用下的稳态误差ess为下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析（3）单位加速度输入。根据式（3-50），系统在单位加速度输入信号Xi(s)=1/s3作用下的稳态误差ess为下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析2.系统的类型

图3-16所示的反馈控制系统，将其开环传递函数写成零点-极点形式，则为当s趋于0时，积分环节在确定控制系统稳态误差方面起着重要作用，因此控制系统可以按其开环传递函数中所含积分环节的个数ν来分类。当ν=0，1，2，3时，分别称为0型、Ⅰ型、Ⅱ型、Ⅲ型系统。由于Ⅲ型系统已经不稳定，因此很少有Ⅲ型以上的系统。下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析3.不同型号系统的稳态误差系数对于不同型号的控制系统，可以计算出上述三种稳态误差系数。（1）0型系统：下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析（2）Ⅰ型系统：（3）Ⅱ型系统：下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析4.不同型号系统在三种典型输入信号作用下的稳态误差（1）单位阶跃输入。在单位阶跃输入信号作用下，不同型号系统的稳态误差分别为下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析（2）单位速度输入。在单位速度输入信号作用下，不同型号系统的稳态误差分别为下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析（3）单位加速度输入。在单位加速度输入信号作用下，不同型号系统的稳态误差分别为下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析

表3-3概括了0型、Ⅰ型和Ⅱ型单位反馈控制系统在不同输入信号作用下的稳态误差。在对角线上，稳态误差为有限值；在对角线以上部分，稳态误差为无穷大；在对角线以下部分，稳态误差为0。由表3-3可得如下结论：（1）同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。（2）同一个控制信号作用于不同的控制系统，其稳态误差也不同。（3）系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，系统的稳态误差越小；反之，开环增益越小，系统的稳态误差越大。下一页上一页返回3.4控制系统的误差分析3.4.4扰动引起的稳态误差控制系统的误差信号E(s)与扰动输入信号N(s)之比定义为控制系统的扰动误差传递函数Φen(s)。对于图3-22所示系统，扰动误差传递函数为系统由扰动信号引起的稳态误差可以按终值定理