初中九年级数学“利用两边及夹角判定三角形相似”教学设计

初中九年级数学“利用两边及夹角判定三角形相似”教学设计一、教材与学情分析本课时选自北师大版数学九年级上册第四章“图形的相似”，是相似三角形判定方法体系中的第二个判定定理。在此之前，学生已经学习了相似多边形的概念、相似比的含义，掌握了“两角分别相等的两个三角形相似”这第一种判定方法，并通过用刻度尺和量角器动手画图，积累了“由特殊到一般、由猜想到证明”的基本经验。从知识逻辑上看，本课时承接着全等三角形判定中“边角边”（SAS）的经验。学生在七、八年级学习全等时，对“两边及其夹角对应相等的两个三角形全等”印象深刻。全等是相似比为1的相似，这种内在关系为类比学习提供了天然支架：既然全等可以用“两边夹一角”判定，那么相似是否可以用“两边成比例且夹角相等”来判定？这个问题既是本节课的起点，也是本节课的核心。从学生实际看，九年级学生具备一定的合情推理能力，但容易犯两类错误：一是把“两边成比例且任意一角相等”误当作判定条件，把全等中的“边边角不能判定全等”这一教训迁移不到位；二是在书写比例式时对应关系混乱，把不成对应关系的两边放在一起写比。因此，教学中必须通过反例证伪和操作体验，让“夹角”二字真正内化为学生的判断习惯。二、教学目标1.经历“画图—测量—猜想—验证—证明”的完整探究过程，理解并掌握判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。2.能根据图形和条件正确识别对应边与夹角，规范书写比例式$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，会运用该定理判定两个三角形相似，并进行简单的边长与角度计算。3.通过反例辨析，理解“夹角”不可替换为“任意角”，体会判定条件中每一个要素的不可或缺性，发展严谨的几何思维。4.在与“两角判定法”的比较中初步建立判定方法的选择意识，能根据已知条件的特征选择合适的判定路径。三、教学重点与难点教学重点：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似这一判定定理的探究、理解与应用。教学难点：对“夹角”条件的本质理解；在复杂图形中提取“两边及其夹角”的结构，正确建立边的对应关系。四、教学准备多媒体课件、几何画板动态演示文件、学生学案、直尺、量角器、剪刀、方格纸各一份。课前将学生按四人一组分组，每组指定一名记录员和一名汇报员。五、教学过程（一）情境导入：从全等到相似的一次“升级”上课伊始，教师在黑板上板书两组条件。第一组：在△ABC与△A'B'C'中，AB＝A'B'，AC＝A'C'，∠A＝∠A'。教师提问：依据这组条件，两个三角形具有什么关系？依据是什么？学生不假思索地回答：全等，依据是边角边。教师紧接着给出第二组条件：把“相等”换成“成比例”，即AB＝2A'B'，AC＝2A'C'，∠A＝∠A'。这时两个三角形还全等吗？它们之间可能存在什么关系？你的直觉是什么？教室里会出现短暂的安静，随后有学生小声说“可能相似”。教师顺势点题：全等是相似的特殊情形，把SAS中的“等”放大为“比例”，是否就能得到相似的一种新的判定方法？这就是今天这节课要回答的问题。设计意图：利用学生头脑中根深蒂固的SAS经验制造认知冲突，把全等与相似的关系显性化，使新知的生长点清晰可见，同时让学生带着“猜想是否成立”的悬念进入探究。（二）动手探究：让猜想从图纸上“长”出来探究任务一（小组合作，约6分钟）：请各组任意画一个△ABC，再画一个△A'B'C'，要求满足：$\angleA=\angleA'=60^{\circ}$，$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{1}{2}$即第一组画出的三角形的两条边是第二组对应边的两倍，且夹角都是60°。各小组的比值和角度可以自行商定，不必相同。画好后，完成三件事：第一，量一量第三边BC与B'C'，算一算它们的比值，和$\dfrac{1}{2}$比较；第二，量一量∠B与∠B'、∠C与∠C'，看看是否分别相等；第三，把你们的发现写在学案上：这两个三角形相似吗？学生操作时，教师巡视，重点关注两类情况：一类是画出的两组对应边写反了比例方向，及时纠正；另一类是量出的第三边比值与设定比值有误差，引导学生理解测量误差的客观存在，并说明这正是我们需要严格证明的原因。汇报环节，两三个小组展示数据。比如某小组画出AB＝8cm、AC＝6cm、A'B'＝4cm、A'C'＝3cm，测得BC≈7.2cm，B'C'≈3.6cm，比值恰好约为2；量得∠B≈∠B'、∠C≈∠C'。不同小组用了不同的角度（有的用45°，有的用90°）和不同的比值（有的用1∶3），结论一致：两个三角形相似。设计意图：让每个学生动手构造满足条件的图形，用自己的数据支持猜想。不同组取不同的角与比值，却得到相同结论，为“一般性”提供直观支撑，也让学生体会“殊途同归”背后必有规律。探究任务二（几何画板演示，约3分钟）：教师打开几何画板，固定∠A的大小并使之与∠A'始终相等，拖动点B，使边AB的长度连续变化，而比例$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$始终保持。屏幕上两个三角形同步“呼吸”，第三组对应角的度数实时显示，始终相等。教师追问：手动画图，我们只验证了有限几次；这里的连续变化相当于做了无数次实验，结论有没有动摇过一次？至此，师生共同把猜想用规范语言表述出来，教师板书：判定定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。符号语言：在△ABC与△A'B'C'中，若$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，且∠A＝∠A'，则△ABC∽△A'B'C'。教师特别强调书写对应关系时的技巧：比例式中分子、分母必须是“夹这个角的两条边”，且△与△之间的顶点顺序要按对应关系排列。（三）定理证明：把“眼见为实”变成“言之有据”教师引导：测量和动画让我们相信猜想，但数学的结论是讲道理的。我们手中已有的武器是什么？——两角分别相等的两个三角形相似。那么能不能把新定理的证明转化为用旧定理来完成？师生共同分析思路：要证△ABC∽△A'B'C'，且已知∠A＝∠A'，只需再证出一组角相等即可，比如∠B＝∠B'。怎么得到？构造一个中介三角形，让它既与△A'B'C'全等，又与△ABC相似，通过“传递”完成证明。具体证明过程由教师引导、学生口述、教师板书：不妨设AB＞A'B'。在AB上截取AD＝A'B'，过点D作DE∥BC，交AC于点E。因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC（平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似，或由上节定理得）。所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$。又因为已知$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，即$\dfrac{A'B'}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}$，而AD＝A'B'，所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{A'C'}{AC}$，从而AE＝A'C'。在△ADE与△A'B'C'中：AD＝A'B'，∠A＝∠A'，AE＝A'C'，所以△ADE≌△A'B'C'（SAS）。于是∠ADE＝∠B'。又因为DE∥BC，∠ADE＝∠B，所以∠B＝∠B'。结合∠A＝∠A'，得△ABC∽△A'B'C'（两角分别相等的两个三角形相似）。证明完成后，教师引导学生回头看这条证明链：用SAS造全等，用平行造相似，全等与相似在“中介三角形”处握手。这正是数学里“以旧证新”的经典手法，也呼应了课首从全等出发的引入——原来SAS不仅启发了猜想，还亲自参与了证明。设计意图：证明不追求教师“满堂灌”，而是把关键构造（截AD、作平行线）以问题链的方式引出，让学生体会辅助线的来由。同时通过“传递性”帮助学生把新旧两种判定方法在逻辑上连成网络。（四）反例辨析：为什么必须是“夹角”教师抛出问题：定理里的“夹角”两个字能不能去掉？把条件改成“两边成比例且有一组角相等”，行不行？学案中给出反例材料：在△ABC中，AB＝4，AC＝6，∠B＝30°；在△A'B'C'中，A'B'＝2，A'C'＝3，∠B'＝30°。满足$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}=2$，也有一组角相等，但相等的角∠B并不是AB与AC的夹角。让学生以AB、AC为两边、∠B＝30°为条件实际作图。学生会发现：以C为圆心、某长度为半径画弧，与角的另一边可能交出两个不同的点，即满足“两边及其中一边的对角”条件的三角形形状并不唯一——这正是八年级学过的“边边角不能判定全等”的翻版。教师用几何画板动态演示“弧线交出两点”的过程，学生直观看到两个形状不同的三角形都满足条件，相似自然无从谈起。归纳结论：成比例的两边所夹的角必须相等；如果相等角不是夹角，条件不足，不能判定相似。设计意图：正例立规，反例防错。通过亲手画图撞见“一条件两图形”的现象，学生对“夹角”的理解从文字记忆上升为结构性认识，这与全等判定中SSA的反例经验形成呼应，实现知识的负迁移阻断。（五）典例精讲：从识别到应用例1（直接判定）：如图，在△ABC与△DEF中，AB＝6，AC＝9，DE＝4，DF＝6，∠A＝∠D＝70°。试判断两个三角形是否相似，并说明理由。分析过程由学生口头完成，教师示范规范书写：因为$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{6}{4}=\dfrac{3}{2}$，$\dfrac{AC}{DF}=\dfrac{9}{6}=\dfrac{3}{2}$，所以$\dfrac{AB}{DE}=\dfrac{AC}{DF}$。又因为∠A＝∠D＝70°，且∠A是AB与AC的夹角，∠D是DE与DF的夹角，所以△ABC∽△DEF（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）。教师强调三条书写规范：比例式要先算比值再下结论；相等的角必须点明是两组边的夹角；相似符号后的顶点顺序要与对应关系一致（A↔D，B↔E，C↔F）。例2（求边长）：已知△ABC∽△A'B'C'，且$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{AC}{A'C'}$，∠A＝∠A'。若AB＝8，AC＝6，A'B'＝4，BC＝5，求A'C'与B'C'的长。解：由相似比$\dfrac{AB}{A'B'}=\dfrac{8}{4}=2$，得A'C'＝$\dfrac{AC}{2}=\dfrac{6}{2}=3$，B'C'＝$\dfrac{BC}{2}=\dfrac{5}{2}=2.5$。变式追问：若把条件改为AB＝10，AC＝6，A'B'＝5，A'C'＝4，∠A＝∠A'，两个三角形还相似吗？学生计算发现$\dfrac{AB}{A'B'}=2$，$\dfrac{AC}{A'C'}=\dfrac{3}{2}$，比值不相等，不能判定相似。教师顺势提醒：两边成比例，要求的是“同一个比”，任何一组对不上都不行。例3（综合情境，判定方法的选择）：如图，点D、E分别在△ABC的边AB、AC上，AD＝2，DB＝4，AE＝3，EC＝6。求证：DE∥BC。分析：要证平行，可证同位角相等，即证∠ADE＝∠B，而这可由△ADE∽△ABC推出。证明：因为AB＝AD＋DB＝6，AC＝AE＋EC＝9，所以$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{2}{6}=\dfrac{1}{3}$，$\dfrac{AE}{AC}=\dfrac{3}{9}=\dfrac{1}{3}$，即$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$。又因为∠A＝∠A（公共角），所以△ADE∽△ABC（两边成比例且夹角相等），所以∠ADE＝∠B，故DE∥BC。教师点评：此题的“夹角”是公共角，这是本定理应用中出现频率最高的一类隐含条件，见了公共角要立刻想到它可能承担“夹角相等”的角色。同时提醒学生对比：如果题目给的是两个角的条件，就走两角判定法；给的是两边之比加一个夹角，就走今天的定理——根据条件特征选方法，是下一阶段学习的方向。（六）课堂练习：分层递进，当堂反馈基础层（全体必做，快速口答）：1.判断：两边对应成比例的两个三角形一定相似。（×，缺少夹角相等）2.判断：两边对应成比例且一组对角相等的两个三角形相似。（×，必须是一组夹角）3.在△ABC与△DEF中，AB＝5，BC＝7，DE＝10，EF＝14，∠B＝∠E＝100°，则△ABC与△DEF相似吗？（相似，∠B是AB与BC的夹角，∠E是DE与EF的夹角）提高层（书面完成，投影讲评）：4.如图，在方格纸中，△ABC的顶点都在格点上，AB＝√5，AC＝2√5，∠BAC＝90°；另有一三角形两边长分别为√5、2√5且夹角为90°。判断两三角形是否相似，并求相似比。（相似，$\dfrac{AB}{}$注意对应，合理即可，相似比1或2视对应方向写出）5.已知△ABC中，AB＝8，AC＝10，点D在AB上，AD＝4。在AC上找一点E，使得△ADE与△ABC相似，求AE的长。此题是开放的，存在两种对应方式：方式一：△ADE∽△ABC，$\dfrac{AD}{AB}=\dfrac{AE}{AC}$，即$\dfrac{4}{8}=\dfrac{AE}{10}$，得AE＝5；方式二：△ADE∽△ACB，$\dfrac{AD}{AC}=\dfrac{AE}{AB}$，即$\dfrac{4}{10}=\dfrac{AE}{8}$，得AE＝3.2。教师借此题引导学生体会：夹角（公共角∠A）确定后，夹这个角的两边可以有不一样的对应搭配，分类讨论的意识从这里开始萌芽。挑战层（学有余力者完成）：6.如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于点D。求证：△ABD∽△CAD；并由此你还能发现图中哪些线段之间成比例？思路提示：$\angleADB=\angleCDA=90^{\circ}$这一组直角不是现成夹角配比，但可由两角判定先证△ABD∽△CAD，再得$\dfrac{AD}{CD}=\dfrac{BD}{AD}$，即AD²＝BD·CD。教师点明这就是后续要学习的射影定理的雏形，为后续学习埋下伏笔。（七）课堂小结：三句话带走一节课教师引导学生用自己的话完成三个层面的回顾，并板书：一个定理：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似。一个警示：角必须是夹角，对角不行——边边角不能判定相似。一条路径：画图测量生猜想，构造全等来证明，对应关系定书写，条件特征选方法。师生共同把本节课的定理与上节课的“两角判定法”并排写在黑板一侧，形成相似判定方法的“工具箱”雏形，为下一课时“三边成比例判定”及判定方法综合选择的复习课预留接口。（八）作业布置必做题：教材相应习题——利用两