中科院现代数字信号处置完全版

中科院现代数字信号处置完全版当代数字信号处理第一章中科院现代数字信号处置完全版2/702预修课程概率论与数理统计信号与系统数字信号处理1随机过程中科院现代数字信号处置完全版3/702课程讨论主要问题－1对信号特征分析研究对象：确定性信号－>随机信号；研究目标：提取信号中有用信息；主要内容：随机信号统计特征；随机信号参数建模；功率谱预计（经典谱预计和当代谱预计)；时频分析（短时傅立叶变换、维格纳变换、小波变换)中科院现代数字信号处置完全版4/702中科院现代数字信号处置完全版5/702中科院现代数字信号处置完全版6/702课程讨论主要问题－2信号处理技术研究目标：提升信号质量；主要内容：维纳滤波理论（平稳条件下)；卡尔曼滤波理论（非平稳条件下)；自适应滤波理论；中科院现代数字信号处置完全版7/702课程特点当代数字信号处理基本概念、基本理论和分析方法;结合相关问题，介绍其在相关领域应用。中科院现代数字信号处置完全版8/702课程讲述线索本课程采取对不一样处理对象线索来讲解：确定性信号－>随机信号;平稳信号处理－>非平稳信号处理;时域－>频域－>时频分析;依据处理对象和应用背景不一样而选择对应处理方法

中科院现代数字信号处置完全版9/702课程主要内容第一章时域离散随机信号分析第二章维纳滤波和卡尔曼滤波第三章自适应数字滤波器第四章功率谱预计第五章时频分析中科院现代数字信号处置完全版10/702成绩评定课堂成绩闭卷考试中科院现代数字信号处置完全版11/702教材及参考书教材:张贤达，《当代信号处理》第二版，清华大学出版社，北京，。丁玉美，《数字信号处理—时域离散随机信号处理》，西安电子科技大学出版社，。参考书:胡广书，《数字信号处理－理论、算法与实现》第二版，清华大学出版社，北京，。RobertoCristi,ModernDigitalSignalProcessing,Thomson-Brooks/Cole，。

DimitrisG.Manolakis,etc,StatisticalandAdaptiveSignalProcessing,McGrawHill,。

中科院现代数字信号处置完全版12/702第一章时域离散随机信号分析

1.1随机信号1.2时域统计表示1.3Z域及频域统计表示1.4随机序列数字特征预计1.5平稳随机序列经过线性系统1.6时间序列信号模型中科院现代数字信号处置完全版13/7021.1随机信号信号分类随机变量及其统计描述随机信号及其统计描述中科院现代数字信号处置完全版14/7021.1.1信号分类信号分类:确定性信号随机信号平稳随机信号非平稳随机信号中科院现代数字信号处置完全版15/7021.1.2随机变量随机变量统计描述：概率分布函数：概率密度函数：均值（一阶矩)：均方值（二阶原点矩)：方差（二阶中心矩)：协方差：中科院现代数字信号处置完全版16/702几个特殊分布随机变量概率密度:均匀分布:高斯分布:N个实随机变量

联合高斯分布概率密度:其中,中科院现代数字信号处置完全版17/7021.1.3随机信号实际应用中，经常把随时间改变而改变随机变量，称为随机过程。随机信号特点：在任何时间取值都是随机（不能确切已知)取值服从概率分布规律（统计特征确定，但未知)随机信号定义：一个随机信号X(t)是依赖时间t一族随机变量，或者说它是全部可能样本函数集合。

中科院现代数字信号处置完全版18/702图1.1.1n部接收机输出噪声X(t)={xi(t),i=1,2,3,…}X(t)是全部可能样本函数集合X(t1)={xi(t1),i=1,2,3,…}X(t)={X(t1),X(t2),X(t3),…}X(t)是依赖时间t一族随机变量中科院现代数字信号处置完全版19/702假如对随机信号X(t)进行等间隔采样,或者说将X(t)进行时域离散化,得到随机变量X(t1),X(t2),X(t3),…,所组成集合称为时域离散随机信号。用n取代tn,随机序列用X(n)表示,即随机序列是随n改变随机变量序列。

中科院现代数字信号处置完全版20/702图1.1.2n部接收机输出噪声时域离散化X(n)是依赖时间n一族随机变量中科院现代数字信号处置完全版21/702样本函数xi(t)或样本序列xi(n)随机信号X(t)或X(n)随机变量{X(t1),X(t2),X(t3),

…}特定时刻中科院现代数字信号处置完全版22/702随机信号统计描述:一维概率分布函数:一维概率密度函数:上述两式只描述随机序列在某一时刻n统计特征，而对于随机序列，不一样n随机变量之间并不是孤立。

中科院现代数字信号处置完全版23/702二维概率分布函数:对于连续随机变量,其二维概率密度函数为以这类推,N维概率分布函数为对于连续随机变量,其N维概率密度函数为中科院现代数字信号处置完全版24/702数学期望(统计平均值):均方值:方差:普通均值、均方值和方差都是n函数,但对于平稳随机序列,它们与n无关,是常数。

式中E表示求统计平均值,表达了信号集合平均。连续形式：离散形式：中科院现代数字信号处置完全版25/702自相关函数:自协方差函数:对于零均值随机序列,这种情况下,自相关函数和自协方差函数没有什么区分。

,则中科院现代数字信号处置完全版26/702相互关函数定义为互协方差函数定义为

一样,当

时,假如C(Xm,Yn)=0,则称信号Xm与Yn互不相关。

中科院现代数字信号处置完全版27/7021.2平稳随机信号时域统计表示

平稳随机信号定义平稳随机信号相关函数性质平稳随机信号各态遍历性中科院现代数字信号处置完全版28/7021.2.1平稳随机信号定义狭义(严)平稳随机序列:随机信号统计特征不随时间平移而改变。广义(宽)平稳随机序列:随机信号均值和方差不随时间改变而改变，其相关函数与时间起点无关，仅是时间差函数。

中科院现代数字信号处置完全版29/702

均值、

方差和均方值均与时间无关:自相关函数与自协方差函数是时间差函数:中科院现代数字信号处置完全版30/702对于两个各自平稳且联合平稳随机序列,其相互关函数为显然,对于自相关函数和相互关函数,下面公式成立:假如对于全部m，满足公式:Rxy(m)=0，则称两个随机序列互为正交。假如对于全部m，满足公式:Cxy(m)=0，则称两个随机序列互不相关。

Rxx(m)是Hermitian对称中科院现代数字信号处置完全版31/7021.2.2实平稳随机信号相关函数性质（1)自相关函数和自协方差函数是m偶函数,用下式表示:（2)Rxx(0)数值上等于随机序列平均功率：（3)相关性随时间差增大越来越弱：（4)大多数平稳随机序列内部相关性伴随时间差变大，

愈来愈弱：（5)中科院现代数字信号处置完全版32/702特征特征mm中科院现代数字信号处置完全版33/7021.2.3平稳随机信号各态遍历性集合平均:由随机序列X(n)无穷样本

在对应时刻n对应相加来实现。

由上可知,集合平均要求对大量样本进行平均,实际中这种做法是不现实。

中科院现代数字信号处置完全版34/702

时间平均:

设x(n)是平稳随机序列X(n)一条样本曲线，其时间平均值为

类似地,其时间自相关函数为

中科院现代数字信号处置完全版35/702各态遍历性：对一平稳随机信号，假如它全部样本函数在某一固定时刻一阶和二阶统计特征（集合平均)和单一样本函数在长时间内统计特征（时间平均)一致，则称其为各态遍历信号。

意义：单一样本函数随时间改变过程能够包含该信号全部样本函数取值经历。直观了解：只要一个实现时间充分长过程能够表现出各个实现特征，就能够用一个实现来表示总体特征。

〈x(n)〉=E［X(n)］〈x(n)x*(n+m)〉=E［X(n)X*(n+m)］中科院现代数字信号处置完全版36/7021.3平稳随机信号Z域及频域统计表示

相关函数Z变换平稳随机信号功率密度谱中科院现代数字信号处置完全版37/7021.3.1相关函数Z变换平稳随机序列是非周期函数，且是能量无限信号，

无法直接利用傅里叶变换进行分析。由前面对自相关函数和自协方差函数讨论可知：

当

时，Rxx(m)是收敛序列。这说明即使无限能量信号本身z变换与傅氏变换不存在，但它自协方差序列和自相关序列（当

时)z变换与傅氏变换却是存在,其Z变换用Pxx(z)表示以下:中科院现代数字信号处置完全版38/702且因为将上式进行Z变换，得到:假如z1是其极点,1/z*1也是极点。Pxx(z)收敛域包含单位圆,所以Rxx(m)傅里叶变换存在。

中科院现代数字信号处置完全版39/702

令z=exp(jω),能够得到Rxx(m)傅立叶变换以下所表示:

将m=0代入上式,得到

–––随机序列平均功率;–––功率谱密度（简称功率谱)维纳–––辛钦定理（Wiener-KhinchinTheorem)1.3.2平稳随机信号功率密度谱中科院现代数字信号处置完全版40/702有限时间段随机信号x(t)功率谱分布为:功率谱:协方差函数Fourier变换中科院现代数字信号处置完全版41/702（1)功率谱是ω偶函数：

实、平稳随机序列功率谱性质（2)功率谱是实非负函数，

即

Pxx(ω)≥0中科院现代数字信号处置完全版42/702功率谱分类：平谱（白噪声谱)：一个平稳随机序列w(n)，假如其功率谱

在

范围内一直为一常数。

白噪声序列在任意两个不一样时刻是不相关。若w(n)是高斯型，那么它在任意两个不一样时刻又是相互独立。中科院现代数字信号处置完全版43/702

线谱:由一个或多个正弦信号所组成信号功率谱。若x(n)有L个正弦组成，即

其中,是均匀分布随机变量,能够求出

此即为线谱,它是相对与平谱另一个极端情况。

中科院现代数字信号处置完全版44/702ARMA谱:现有峰点又有谷点连续谱，这么谱能够由一个ARMA模型来表征。

….….白噪声谱线谱ARMA谱中科院现代数字信号处置完全版45/7021.4随机序列数字特征预计预计准则均值预计方差预计自相关函数预计中科院现代数字信号处置完全版46/7021.4.1预计准则预计方法:矩预计法、最大似然预计法、贝叶斯预计、最小均方误差预计、最大后验预计，最小二乘预计、EM算法等。预计准则:无偏性、有效性、一致性中科院现代数字信号处置完全版47/702假定对随机变量x观察了N次，得到N个观察值:x0,x1,x2,…,xN-1，希望经过这N个观察值预计参数

，称为真值，

它预计值用表示。

是观察值函数，假定该函数关系用F［·］表示，

(1.4.1)

假如预计值靠近真值概率比较大,则说明这是一个比很好预计方法。

中科院现代数字信号处置完全版48/702图1.4.1预计量概率密度曲线中科院现代数字信号处置完全版49/7021.偏移性令预计量统计平均值与真值之间差值为偏移B,其公式为

假如B=0，称为无偏预计。假如B≠0，则称为有偏预计。假如伴随观察次数N加大，能够满足下式:则称为渐近无偏预计,这种情况在实际中是经常有。

在许多情况下,一个有偏但渐进无偏预计含有比一个无偏预计好得多分析和计算性质。

中科院现代数字信号处置完全版50/7022.有效性——预计量方差假如两个预计量观察次数相同，又都是无偏预计，哪一个预计量在真值附近摆动更小一些，即预计量方差更小一些，

就说这一个预计量预计更有效。

假如和都是x两个无偏预计值，对任意N，它们方差满足下式:式中(1.4.4)则称比更有效。普通希望当N→∞时,。

中科院现代数字信号处置完全版51/7023.一致性——均方误差预计量均方误差用下式表示:

假如预计量均方差伴随观察次数增加趋于0,即预计量随N加大,在均方意义上趋于它真值,则称该预计是一致预计。

中科院现代数字信号处置完全版52/702上式表示,随N加大,偏移和预计量方差都趋于零,是一致预计充分必要条件。通常对于一个预计方法选定,往往不能使上述三种性能评价一致,此时只能对它们折衷考虑,尽可能满足无偏性和一致性。

常数预计量均方误差与预计量方差和偏移关系推导以下:中科院现代数字信号处置完全版53/7021.4.2均值预计假设已取得样本数据:xi(i=0,1,2,…,N-1)，

均值预计量用下式计算:式中N是观察次数。中科院现代数字信号处置完全版54/7021.偏移所以B=0,说明这种预计方法是无偏预计。

中科院现代数字信号处置完全版55/7022.预计量方差与均方误差

先假设数据内部不相关,那么

中科院现代数字信号处置完全版56/702以上式表明,预计量方差随观察次数N增加而降低,当Ν→∞时,预计量方差趋于0。这种情况下预计量均方误差为

这么,当N→∞时,B=0,

, ,是一致预计。

假如数据内部存在关联性,会使一致性效果下降,预计量方差比数据内部不存在相关情况方差要大,达不到信号方差1/N。

中科院现代数字信号处置完全版57/7021.4.3方差预计已知N点样本数据xi(i=0,1,2,…,N-1)，

假设数据之间不存在相关性，且信号均值mx已知，方差用下式预计,能够证实这是无偏一致预计:数据之间不存在相关性，均值也不知道情况下，方差预计方法。

方差预计用下式计算:中科院现代数字信号处置完全版58/7021.偏移性式中第二项已经推出，

式中第三项推导以下:中科院现代数字信号处置完全版59/702由此能够得到

上式表明,该预计方法,是有偏预计,不过渐进无偏。

中科院现代数字信号处置完全版60/702为了得到无偏预计，

能够用下式计算:之间关系是和还能够证实它也是一致预计。中科院现代数字信号处置完全版61/7021.4.4自相关函数预计

无偏自相关函数预计预计公式为0≤m≤N-11-N<m<0将上面两式写成一个表示式:中科院现代数字信号处置完全版62/7021.偏移性

所以,B=0,这是一个无偏预计。中科院现代数字信号处置完全版63/702为了分析简单，假设x(n)是实、均值为0高斯随机信号。对于均值为0高斯随机变量，其四阶矩为:2.预计量方差利用上式，求和号内部分能够写成下式:中科院现代数字信号处置完全版64/702由此,式中,令r=k-n,此时求和域发生了改变,如图1.4.2所表示。

(1.4.25)中科院现代数字信号处置完全版65/702图1.4.2中科院现代数字信号处置完全版66/702依据改变后求和域(k,r),预计量方差推导以下:中科院现代数字信号处置完全版67/702普通观察数据量N很大,上式中，只有当时，预计量方差才趋于0。不过，当时，方差将很大。所以，该预计方法在普通情况下不是一个好预计方法；即使是无偏预计，也不能算是一致预计。中科院现代数字信号处置完全版68/702有偏自相关函数预计有偏自相关函数用表示，计算公式以下：下面可推导出它服从渐近一致预计标准,比无偏自相关函数预计误差小,所以以后需要由观察数据预计自相关函数时,均用上式进行计算。

中科院现代数字信号处置完全版69/702无偏自相关函数与有偏自相关函数关系式为因为

是无偏预计,所以得到

1.偏移性

上式说明

是有偏预计,不过渐近无偏,其偏移为

中科院现代数字信号处置完全版70/702

统计平均值等于其真值乘以三角窗函数wB(m)（或称巴特利特窗函数),三角窗函数波形如图1.4.3所表示。只有当m=0时,才是无偏,其它m都是有偏,但当N→∞时,wB(m)→1,B→0,所以

是渐近无偏。

中科院现代数字信号处置完全版71/702图1.4.3三角窗函数中科院现代数字信号处置完全版72/702显然,当N→∞时, ,而且

由以上得到结论: 即使是有偏预计，不过渐近一致预计，

预计量方差小于

方差。

所以实际中多用这种有偏自相关函数预计。

2.预计量方差中科院现代数字信号处置完全版73/7021.5平稳随机序列经过线性系统系统响应均值、自相关函数和平稳性分析输出响应功率谱密度函数系统输入、输出相互关函数相关卷积定理中科院现代数字信号处置完全版74/702线性系统中科院现代数字信号处置完全版75/702稳定系统有界输入必造成有界输出系统对连续系统:对离散系统:中科院现代数字信号处置完全版76/702因果系统输出必在输入之后中科院现代数字信号处置完全版77/702稳定系统:h(t)绝对可积分＝收敛域包含单位圆因果系统:收敛域内是否包含

，即因果稳定系统:传递函数极点全部在单位圆内最小相位系统:H(z)全部零点在单位圆内可逆系统:无在单位圆上零点系统中科院现代数字信号处置完全版78/7021.5.1系统响应均值、自相关函数和平稳性分析这么,mx与时间无关,my也与时间无关。

输出均值:中科院现代数字信号处置完全版79/702

输出自相关函数:

对于一个线性非时变系统,假如输入是平稳随机序列,则输出也是平稳随机序列。

中科院现代数字信号处置完全版80/702令l=r-k,得到式中中科院现代数字信号处置完全版81/7021.5.2输出响应功率谱密度函数将z=ejω代入上式，得到输出功率谱:Pyy(ejω)=Pxx(ejω)H(ejω)H*(ejω)=Pxx(ejω)|H(ejω)|2假如h(n)是实序列,v(l)=h(l)*h(-l)V(z)=H(z)H(z-1)Pyy(z)=Pxx(z)H(z)H(z-1)中科院现代数字信号处置完全版82/7021.5.3系统输入、输出相互关函数输入、输出相互关定理:中科院现代数字信号处置完全版83/7021.5.4相关卷积定理

线性系统输出自相关函数等于输入自相关函数与线性系统单位脉冲响应自相关函数卷积,即或者简单地说,卷积相关函数等于相关函数卷积。

用普通公式表示以下:假如e(n)=a(n)*b(n)f(n)=c(n)*d(n)

那么

ref(m)=rac(m)*rbd(m)

中科院现代数字信号处置完全版84/702

例1.5.1假设系统输入、输出和单位脉冲响应分别用x(n)、y(n)和h(n)表示，试求输入、输出相互关函数和输入自相关函数之间关系。

解:按摄影关卷积定理，得到

x(n)=x(n)*δ(n)y(n)=x(n)*h(n)Rxy(m)=Rxx(m)*Rδh(m)式中对应有:中科院现代数字信号处置完全版85/702

例1.5.2

按照图1.5.2推导两个系统输出相互关函数与输入相互关函数之间关系。图1.5.2中科院现代数字信号处置完全版86/702解:y1(n)=x1(n)*h1(n)

y2(n)=x2(n)*h2(n)按摄影关卷积定理,有中科院现代数字信号处置完全版87/702按照图1.5.2还有下面关系式(1)(2)中科院现代数字信号处置完全版88/7021.6时间序列信号模型三种时间序列模型三种时间序列信号模型适应性自相关函数、功率谱与时间序列信号模型关系中科院现代数字信号处置完全版89/702图1.6.1平稳随机序列信号模型中科院现代数字信号处置完全版90/7021.6.1三种时间序列模型假设信号模型用一个p阶差分方程描述:x(n)+a1x(n-1)+…+apx(n-p)

=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)

式中,w(n)是零均值、方差为σ2w白噪声;x(n)是要研究随机序列。（1.6.1)中科院现代数字信号处置完全版91/7021.自回归-滑动平均模型（简称ARMA模型)该模型差分方程用（1.6.1)式描述，

系统函数用下式表示：

式中,是自回归参数,叫做滑动平均参数。

中科院现代数字信号处置完全版92/702利用维纳辛钦定理给出其功率谱密度为

类似地,可得功率谱为中科院现代数字信号处置完全版93/702图1.6.1ARMA(p,q)

随机过程模型中科院现代数字信号处置完全版94/7022.滑动平均模型（MovingAverage，简称MA模型)

当（1.6.1)式中ai=0,i=1,2,3,…,p时,该模型称为MA模型。

模型差分方程和系统函数分别表示为：

x(n)=w(n)+b1w(n-1)+…+bqw(n-q)H(z)=B(z)B(z)=1+b1z-1+b2z-2+…+bqz-q…上式表明该模型只有零点,没有除原点以外极点,所以此模型也称为全零点模型。

假如模型全部零点都在单位圆内部,则是一个最小相位系统。

中科院现代数字信号处置完全版95/702MA模型功率谱密度为

类似地,可得功率谱为中科院现代数字信号处置完全版96/702图1.6.2MA(q)

随机过程模型中科院现代数字信号处置完全版97/7023.自回归模型（Autoregressive,简称AR模型)

当（1.6.1)式中bi=0,i=1,2,3,…，q时，该模型称为AR模型。模型差分方程和系统函数分别表示为：

x(n)+a1x(n-1)+a2x(n-2)+…+apx(n-p)=w(n)A(z)=1+a1z-1+a2z-2+…+apz-p

上式表明该模型只有极点,没有除原点以外零点,所以该模型也称为全极点模型。只有当全部极点都在单位圆内部时,模型才稳定。

中科院现代数字信号处置完全版98/702AR模型功率谱密度为

类似地,可得功率谱为中科院现代数字信号处置完全版99/702图1.6.3AR(p)随机过程模型中科院现代数字信号处置完全版100/702关于ARMA.AR、MA模型功率谱，能够做一个定性描述：因为MA模型是经过一个全零点滤波器产生，当有零点靠近单位圆时，MA谱可能是一个深谷；类似地，当极点靠近单位圆时，AR谱对应频率处会是一个尖峰；ARMA谱现有尖峰又有深谷。

中科院现代数字信号处置完全版101/702滤波器长度：普通是指滤波器单位脉冲响应长度。

对于FIR滤波器或者MA模型,其单位脉冲响应长度是有限长，长度就是系数个数；

对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，其单位脉冲响应长度则是无限长。

滤波器阶数：

对于IIR滤波器或者AR模型、ARMA模型，阶数是指p大小，假如用差分方程表示，则p就是差分方程阶数。对于FIR滤波器或者MA模型阶数，则是指（1.6.4)式中q大小，或者说是它长度减1。

中科院现代数字信号处置完全版102/7021.6.2三种时间序列信号模型适用性

沃尔德（Wold)分解定理：

任意一个实平稳随机序列x(n)均能够分解成：x(n)=u(n)+v(n)，式中u(n)是确定性信号,v(n)是含有连续谱分布函数平稳随机MA序列。

由Wold分解定理可知，AR模型或ARMA模型可用一个可能是无穷阶MA模型表示，说明MA信号模型和ARMA信号模型含有普遍适用性质。

中科院现代数字信号处置完全版103/702

柯尔莫格洛夫（Kolmogorov)定理：

该定理暗示了MA模型或ARMA模型可用一个可能是无穷阶AR模型来表示，从而说明了AR信号模型适用性。

任意一个MA序列可用无限阶AR信号模型表示，或者用阶数足够大AR信号模型近似表示。证实以下：

b0=1对上式进行Z变换得到X(z)=B(z)W(z)设MA序列为中科院现代数字信号处置完全版104/702这么X(z)G(z)=(1+g1z-1+g2z-2+…)X(z)=W(z)对上式进行Z反变换,得到

x(n)+g1x(n-1)+g2x(n-2)+…=w(n)上式表示就是x(n)AR信号模型差分方程,所以证实了一个时间序列能够用有限阶MA信号模型表示时,也能够用无限阶AR模型表示。

B-1(z)=G(z)=1+g1z-1+g2z-2+…设MA信号模型满足可逆性条件,即B-1(z)存在,令

中科院现代数字信号处置完全版105/702

对于ARMA模型也能够用无限阶AR模型表示。设AR模型系统函数用HAR(z)表示:令HAR(z)=H(z),即能够求出ci系数中科院现代数字信号处置完全版106/702

一个ARMA模型能够用一个MA模型来表示:用MA模型表示:i=0i≥1中科院现代数字信号处置完全版107/702普通AR模型适合表示时间序列功率谱有尖峰而没有深谷信号,MA模型适合表示其功率谱有深谷而没有尖峰信号,ARMA模型则适合尖峰和深谷都有情况。

中科院现代数字信号处置完全版108/7021.6.3自相关函数、功率谱与时间序列信号模型关系(1.6.7)实平稳随机信号x(n)功率谱为:怎样按照上式唯一地分解出一个因果稳定模型系统函数H(z),是本节要讨论问题。

有理谱信号:

假如信号模型输出功率谱是ejω或者cosω有理函数，这种信号称为有理谱信号。

中科院现代数字信号处置完全版109/702

谱分解定理

假如功率谱Pxx(ejω)是平稳随机序列x(n)有理谱,那么一定存在一个零极点均在单位圆内有理函数H(z),满足式中,ak,bk都是实数,a0=b0=1,且|αk|＜1,|βk|＜1。

中科院现代数字信号处置完全版110/702例1.6.1已知有理谱以下式:我们把全部可能分解形式写出来:(1)(2)中科院现代数字信号处置完全版111/702(3)(4)

在以上四种分解情况中，只有（1)满足极零点均在单位圆内部，

所以按照谱分解定理约束条件，只能唯一地分解出一个零极点均在单位圆内部系统函数。假如没有零极点均在单位圆内部约束条件，分解便不是唯一。另外，按照谱分解定理分解出H(z)一定是最小相位系统，它确保了模型可逆性，

即逆系统存在。

中科院现代数字信号处置完全版112/702

分解方法：

我们知道功率谱是cosω函数，为了对功率谱进行谱分解，

下面介绍一个分解方法：

（1)用φ代替cosω，

得到有理函数V(φ)；

（2)求出V(φ)分子、分母全部根φi;

（3)结构对每个φi方程:该方程有两个根：Zi和1/Zi，其中Zi是单位圆内根;中科院现代数字信号处置完全版113/702

（4)用单位圆内部极零点组成H(z)，零点是分子多项式根Zi，极点是分母多项式根Zj，

常数C由功率谱Pxx(ejω)确定。中科院现代数字信号处置完全版114/702例1.6.2

已知x(n)功率谱求其模型系统函数。解:（1)令φ=cosω，则

(2)中科院现代数字信号处置完全版115/702(3)(4)中科院现代数字信号处置完全版116/702设σ2w=1，对比给定功率谱，得到:C=2/3，模型系统函数为

也能够假定σ2w=4/9,此时模型系统函数为

这么得到模型系统函数常数因子不一样,但常数因子仅影响其幅度大小,不影响问题实质。

中科院现代数字信号处置完全版117/702自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系:rxx(m)Pxx(z)H(z)Z变换Z反变换谱分解自相关函数、功率谱、时间序列信号模型三者之间关系中科院现代数字信号处置完全版118/702当代数字信号处理第二章中科院现代数字信号处置完全版119/702第二章维纳滤波和卡尔曼滤波

2.1

引言

2.2离散维纳滤波器时域解

2.3

离散维纳滤波器z域解

2.4

维纳预测

2.5

卡尔曼(Kalman)滤波中科院现代数字信号处置完全版120/7022.1引言最优滤波维纳滤波和卡尔曼滤波介绍本章讨论主要内容中科院现代数字信号处置完全版121/7021.最优滤波信号处理目标是从噪声中提取信号，得到不受干扰影响真正信号。采取处理系统称为滤波器。滤波器分类：线性滤波器、非线性滤波器;FIR滤波器、IIR滤波器;时域滤波器、频域滤波器;中科院现代数字信号处置完全版122/702图2.1.1信号处理普通模型x(n)=s(n)+v(n)中科院现代数字信号处置完全版123/702最优准则:最大输出信噪比准则－>匹配滤波器最小均方误差准则误差绝对值期望值最小

误差绝对值三次或高次幂期望值最小中科院现代数字信号处置完全版124/702x(n)=s(n)+v(n)Wiener滤波器普通结构

中科院现代数字信号处置完全版125/7022.维纳滤波和卡尔曼滤波介绍维纳(Wiener)滤波与卡尔曼(Kalman)滤波以预计结果与信号真值之间误差均方值最小作为最优准则。假设信号真值与预计值间误差为:均方误差最小即误差平方统计平均值最小:最小中科院现代数字信号处置完全版126/7023.本章讨论主要内容主要内容：维纳滤波器（FIR维纳滤波器和IIR维纳滤波器)、维纳预测器、卡尔曼滤波。分析思绪：在均方误差最小前提下，求得系统单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)，进而计算滤波器最小均方误差中科院现代数字信号处置完全版127/7022.2离散维纳滤波器时域解本节要处理主要问题及方法正交性原理维纳—霍夫方程FIR维纳滤波器时域解中科院现代数字信号处置完全版128/7021.本节要处理主要问题及方法要处理问题:寻求在均方误差最小情况下单位脉冲响应h(n)或传递函数H(z)表示式，这一过程称为设计维纳滤波器过程。处理方法:实质是求解维纳－霍夫(Wiener-Hopf)方程，即

本节讨论维纳滤波器时域求解方法,即在时域求最小均方误差下

。

中科院现代数字信号处置完全版129/7022.维纳滤波器时域求解方法

因果维纳滤波器输出y(n):n=0,1,2,…设期望信号为d(n),误差信号e(n)及其均方值E［|e(n)|2］分别为

e(n)=d(n)-y(n)=s(n)-y(n)

中科院现代数字信号处置完全版130/702k=0,1,2,…记梯度算子为

k=0,1,2,…

要使均方误差为最小,须满足

中科院现代数字信号处置完全版131/702上式展开为又中科院现代数字信号处置完全版132/702将上述4式代入得中科院现代数字信号处置完全版133/702

分析:上式说明，若使滤波器均方误差到达，则误差信号与输入信号正交，这就是通常所说正交性原理。

正交性原理:中科院现代数字信号处置完全版134/702

正交性原理主要意义:提供了一个数学方法，用以判断线性滤波系统是否工作于最正确状态。

中科院现代数字信号处置完全版135/702

正交性原理引理:最正确状态时，由滤波器输出定义期望响应预计yopt(n)与预计误差eopt(n)正交:中科院现代数字信号处置完全版136/7023.维纳—霍夫方程将输入信号分配进去,得到

k=0,1,2,…

维纳-霍夫（Wiener－Hopf)方程：k=0,1,2,…中科院现代数字信号处置完全版137/7024.FIR维纳滤波器时域解FIR维纳滤波器维纳-霍夫方程

当h(n)是一个长度为M因果序列时,FIR维纳滤波器维纳-霍夫方程表述为

k=0,1,2,…,M-1(2.2.21)中科院现代数字信号处置完全版138/702把k取值代入(2.2.21)式,得到

当k=0时，h0rxx(0)+h1rxx(-1)+…+hM-1rxx(-M+1)=rxd(0)当k=1时，h0rxx(1)+h1rxx(0)+…+hM-1rxx(-M+2)=rxd(1)

当k=M-1时，h0rxx(M-1)+h1rxx(M-2)+…+hM-1rxx(0)=rxd(M-1)…(2.2.22)中科院现代数字信号处置完全版139/702定义中科院现代数字信号处置完全版140/702（2.2.22)式能够写成矩阵形式，

即

对上式求逆,得到

这里包括到计算相关矩阵和逆矩阵,计算量可能较大。

中科院现代数字信号处置完全版141/702FIR维纳滤波器预计误差均方值

假定所研究信号都是零均值,滤波器为FIR型,长度等于M,中科院现代数字信号处置完全版142/702

结论:在全部N阶FIR滤波器中，最优滤波器均方误差值是最小，从这个意义上说，它是最优。其阶数越高，采取已知信息就越多，它最小均方误差就越小，但对应计算量也越大。

中科院现代数字信号处置完全版143/702例1

假设有一实广义平稳随机信号s(n)自相关函数（序列）为,且伴随有实噪声w(n)，方差为，与s(n)无关。试设计一个M=2FIR维纳滤波器来预计s(n)，并计算最小均方误差。中科院现代数字信号处置完全版144/702解:已知中科院现代数字信号处置完全版145/702由此，M=2最正确FIR维纳滤波器以下:中科院现代数字信号处置完全版146/702或者,利用下式求解k=0,1当k=0时,2h0+0.6h1＝1

当k=1时,0.6h0+2h1＝0.6

中科院现代数字信号处置完全版147/702预计该滤波器输出误差最小均方值:经过此滤波器以前均方误差为

中科院现代数字信号处置完全版148/7022.3离散维纳滤波器z域解本节要处理主要问题及方法白化滤波器非因果IIR维纳滤波器Z域解因果IIR维纳滤波器Z域解中科院现代数字信号处置完全版149/7021.本节要处理主要问题及方法待处理问题:当h(n)是物理可实现因果序列时，所得到Wiener-Hopf方程

将存在k≥0约束，不能直接转到Z域求解。这使得在要求满足物理可实现条件下，求解维纳-霍夫方程成为一个十分困难问题。

处理方法:采取将观察序列x(n)白化方法，求解Wiener-Hopf方程Z域解。

中科院现代数字信号处置完全版150/702

若不考虑滤波器因果性,维纳－霍夫方程能够改写为

设定d(n)=s(n),对上式两边做Z变换,得到

Sxs(z)=Hopt(z)Sxx(z)x(n)=s(n)+v(n)

假设信号和噪声不相关,即rsv(m)=0,则

Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)

中科院现代数字信号处置完全版151/702

对于因果IIR维纳滤波器,其维纳－霍夫方程为

k=0,1,2,…

因为存在k≥0约束,使得上式不能直接转到Z域求解。如有可能将其转化为非因果问题,则求解会大大简化。

中科院现代数字信号处置完全版152/702

假如滤波器输入是白噪声，即x(n)=w(n)，w(n)是方差为白噪声，因为则因果IIR维纳滤波器维纳－霍夫方程变为:k=0,1,2,…k=0,1,2,…

由此可见,只要将输入信号转化为白噪声,就能够解得因果IIR维纳滤波器单位脉冲响应。

中科院现代数字信号处置完全版153/7022.白化滤波器任何含有有理功率谱密度随机信号都能够看成是由一白色噪声w(n)激励某个物理网络所形成。x(n)时间序列信号模型

中科院现代数字信号处置完全版154/702普通把信号转化为白噪声过程称为白化,对应滤波器称为白化滤波器。

x(n)白化滤波器

假如B(z)是一个最小相移网络函数,那么1/B(z)显然也是一个物理可实现最小相移网络,所以能够利用上式白化x(n)。

中科院现代数字信号处置完全版155/702利用白化x(n)方法求解维纳-霍夫方程

利用白化x(n)方法求解维纳-霍夫方程:中科院现代数字信号处置完全版156/702于是,在最小均方误差准则下,求最正确Hopt(z)问题就归结为求最正确G(z)问题了。G(z)当然也需分因果性或非因果性约束情况加以讨论。

假如已知信号Pxx(z),即可由下式求得B(z)。

中科院现代数字信号处置完全版157/702

计算Hopt(z):

3.非因果IIR维纳滤波器求解中科院现代数字信号处置完全版158/702(2.3.9)中科院现代数字信号处置完全版159/702

求满足最小均方误差条件下g(k):为求得相对于g(k)最小均方误差值，令-∞＜k＜∞-∞＜k＜∞Z变换后中科院现代数字信号处置完全版160/702

非因果IIR维纳滤波器最正确解:s(n)=s(n)*δ(n),x(n)=w(n)*b(n)rxs(m)=rws(m)*b(-m)Sxs(z)=Sws(z)B(z-1)中科院现代数字信号处置完全版161/702

非因果IIR维纳滤波器复频域最正确解普通表示式假定信号与噪声不相关，即当E［s(n)v(n)］=0时能够得到:Sxs(z)=Sss(z)Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z)中科院现代数字信号处置完全版162/702

信号和噪声不相关时,非因果IIR维纳滤波器复频域最正确解和频率响应分别为

中科院现代数字信号处置完全版163/702由上式可知：当噪声为0时，Hopt=1，信号全部经过;当信号为0时，Hopt=0，噪声全部被抑制掉;当即有信号又有噪声时，Hopt<1，大小随Pvv增加而减小，从而到达降低噪声影响目标。

Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)=0Pss(ejω)≠0,Pvv(ejω)≠0Pss(ejω)=0,Pvv(ejω)≠0中科院现代数字信号处置完全版164/702图2.3.6非因果维纳滤波器传输函数幅频特征中科院现代数字信号处置完全版165/702

计算最小均方误差E［|e(n)|2］min:

第一项依据围线积分法求逆Z变换公式,rss(m)用下式表示:得出

中科院现代数字信号处置完全版166/702

第二项由帕塞伐尔定理:取y(n)=x(n),有

所以

得到

中科院现代数字信号处置完全版167/702中科院现代数字信号处置完全版168/702

假定信号与噪声不相关,E［s(n)v(n)］=0,又因为实信号自相关函数是偶函数,即rss(m)=rss(-m),则Sxs(z)=Sss(z)，Sxx(z)=Sss(z)+Svv(z);Sss(z)=Sss(z-1)中科院现代数字信号处置完全版169/7024.因果IIR维纳滤波器求解

若维纳滤波器是一个因果滤波器，

要求

g(n)=0 n＜0则滤波器输出信号

预计误差均方值

E［|e(n)|2］=E［|s(n)-y(n)|2］

类似于（2.3.9)式推导，得到

中科院现代数字信号处置完全版170/702要使均方误差取得最小值,当且仅当

令

中科院现代数字信号处置完全版171/702因果维纳滤波器复频域最正确解为

中科院现代数字信号处置完全版172/702维纳滤波最小均方误差为

中科院现代数字信号处置完全版173/702

非因果情况时,滤波器最小均方误差为

对于因果情况,

比较两式,能够看出非因果情况E［|e(n)|2］min一定小于等于因果情况E［|e(n)|2］min。

中科院现代数字信号处置完全版174/702

因果维纳滤波器设计普通方法:

(1)依据观察信号x(n)功率谱求出它所对应信号模型传输函数，即采取谱分解方法得到B(z)，Sxx(z)=σ2wB(z)B(z-1)。(2)求 Z反变换，取其因果部分再做Z变换，即舍掉单位圆外极点，得

(3)积分曲线取单位圆，计算Hopt(z),E［|e(n)|2］min。

中科院现代数字信号处置完全版175/702例

2.3.1

已知

信号和噪声不相关，即rsv(m)=0，噪声v(n)是零均值、单位功率白噪声(σ2v=1,mv=0)，求Hopt(z)和E［|e(n)|2］min。

解

依据白噪声特点得出Svv(z)=1,由噪声和信号不相关，

得到rxx(m)=rss(m)+rvv(m)。

中科院现代数字信号处置完全版176/702考虑到B(z)必须是因果稳定系统,得到

(1)、首先分析物理可实现情况:因为

中科院现代数字信号处置完全版177/702取其因果部分中科院现代数字信号处置完全版178/702取单位圆为积分围线,上式等于单位圆内极点

留数之和,即

中科院现代数字信号处置完全版179/702未经滤波器均方误差

所以经过因果维纳滤波器后均方误差下降8/3(≈2.7)倍。中科院现代数字信号处置完全版180/702(2)、对于非物理可实现情况有

中科院现代数字信号处置完全版181/702中科院现代数字信号处置完全版182/702令

单位圆内有两个极点0.8和0.5,应用留数定理,有

结论:比较两种情况下最小均方误差,能够看出非物理可实现情况最小均方误差小于物理可实现情况均方误差。

中科院现代数字信号处置完全版183/702维纳滤波部分总结:主要内容：FIR维纳滤波求解、非因果IIR维纳滤波求解、因果IIR维纳滤波求解；知识点：最小均方误差准则、正交性原理、维纳－霍夫方程、白化滤波器；结论：在全部N阶FIR滤波器中，最优滤波器均方误差值是最小，从这个意义上说它是最优；与非最优滤波相比，最优滤波优势在于能对滤波质量（迫近好坏)做出评价；E［|e(n)|2］min与Sss(z)和Svv(z)重合部分大小相关；最小均方误差比较：非因果IIR<因果IIR<FIR维纳滤波最小均方误差中科院现代数字信号处置完全版184/7022.4维纳预测本节讨论主要问题及方法预测可能性维纳预测计算纯预测一步线性预测时域解中科院现代数字信号处置完全版185/7021.本节讨论主要问题及方法讨论主要问题:本节将讨论维纳预测器，以观察到全部过去数据来预计当前或未来值处理方法:以均方误差最小为预计标准

中科院现代数字信号处置完全版186/702图2.4.1(b)维纳预测器图2.4.1(a)维纳滤波器中科院现代数字信号处置完全版187/7022.预测可能性信号能够预测是因为信号内部存在关联性。数据间关联越亲密，预测越准确;完全不关联，则无法预测。

输入:输出:中科院现代数字信号处置完全版188/702x(n)在各不一样时间点上值相关性是起因于B(z)惯性。由观察到x(n)全部过去值和当前值来预计未来值

时：假如

，则

仅由B(z)惯性决定，假如

，则

将由B(z)惯性和

共同决定;中科院现代数字信号处置完全版189/702随机信号预测特点：以信号统计特征作为预测主要依据;不可能作预测误差为零绝对准确预测;实际信号通常带有噪声干扰，使得预测和滤波联络在一起，成为带滤波预测。

中科院现代数字信号处置完全版190/7023.维纳预测计算中科院现代数字信号处置完全版191/702

同理,要使预测误差均方值为最小,须满足

其中,hk表示h(k)。

即

中科院现代数字信号处置完全版192/702

非因果维纳预测器最正确解为

因果维纳预测器最正确解为

中科院现代数字信号处置完全版193/702维纳预测最小均方误差为

维纳预测求解和维纳滤波器求解方法是一致。

中科院现代数字信号处置完全版194/7024.纯预测

假设x(n)=s(n)+v(n)，纯预测问题是在v(n)=0情况下对s(n+N),N＞0预测，此时x(n)=s(n)。

因果情况下，假设s(n)与v(n)不相关，纯预测情况下输入信号功率谱及维纳预测器最正确解分别为

中科院现代数字信号处置完全版195/702纯预测器最小均方误差为

应用复卷积定理

中科院现代数字信号处置完全版196/702取y(n)=x(n)得到

能够看到,伴随N增加,E［|e(n+N)|2］min也增加。这一点也轻易了解,当预测距离越远,预测效果越差,偏差越大,因而E［|e(n+N)|2］min越大。

中科院现代数字信号处置完全版197/702例2.4.1

已知

其中-1＜a＜1，求:(1)最小均方误差下s(n+N)；

(2)E［|e(n+N)|2］min。^解

（1)、求B(z)：首先对Sxx(z)进行功率谱分解。因为

所以

中科院现代数字信号处置完全版198/702（2)、求H(z)：

求出B(z)Z反变换

对于因果维纳预测器有:中科院现代数字信号处置完全版199/702图

2.4.1纯预测维纳滤波器

由Hopt(z)=aN，此时能够把纯预测维纳滤波器看作是一个线性百分比放大器（如图2.4.1所表示)。

为何预测值只与当前值s(n)相关，而和s(n+1)、s(n+2)……无关呢?中科院现代数字信号处置完全版200/702

将x(n)看成由白噪声ω(n)经过B(z)产生,依据x(n)信号模型

能够写出x(n)时间序列模型所对应输入输出方程

x(n)=ω(n)+ax(n-1)

中科院现代数字信号处置完全版201/702

以上推导结果从统计意义上讲,当N＞0时,白噪声信号ω(n+N)对x(n)无影响。

将信号x(n)经过纯预测维纳滤波器，伴随时间递增，基于和中科院现代数字信号处置完全版202/702

x均值等于零，正说明影响就统计平均来讲等于零。当mx=0，预计时，只需要考虑系统B(z)惯性而可认为，这么预计出来结果将有最小均方误差。

那么Sxx(z)在z=1处有一个极点,而现在在z＝1处无极点,故有

中科院现代数字信号处置完全版203/702（3)、

求E［|e(n+N)|2］min结论:由上式可知，N越大，误差越大，假如N=0则没有误差。

中科院现代数字信号处置完全版204/7025.一步线性预测时域解

一步线性预测：采取p个最近采样值来预测时间序列下一时刻值，包含前向预测和后向预测两种。

前向预测：在噪声v(n)=0情况下，已知x(n-1),x(n-2)，…,x(n-p),预测当前时刻x(n);

后向预测：在噪声v(n)=0情况下，已知x(n)，x(n-1)，……，x(n-p+1)基础上，预计x(n-p)。

中科院现代数字信号处置完全版205/702图

2.4.2前后向预测数据之间关系

中科院现代数字信号处置完全版206/702（1)、前向预测设定系统单位脉冲响应为h(n),其输出信号为令apk=-h(k),则

前向预测误差为

其中,ap0=1,中科院现代数字信号处置完全版207/702一步前向预测器结构图中科院现代数字信号处置完全版208/702前向预测误差均方值为:或E［e(n)x*

(n-l)］=0l=1,2,…,p

即中科院现代数字信号处置完全版209/702

因为预测器输出

是输入信号线性组合，故预测误差与预测信号值一样满足正交性原理:

前向预测误差最小均方值为:中科院现代数字信号处置完全版210/702将方程组写成矩阵形式

（Yule-Walker方程)中科院现代数字信号处置完全版211/702

维纳－霍夫方程Yule-Walker方程中科院现代数字信号处置完全版212/702

前向预测误差为

AR信号模型为

对比两式可知,中科院现代数字信号处置完全版213/702（2)、后向预测假设前、后向预测器含有相同系数,即

后向预测误差为

中科院现代数字信号处置完全版214/702后向预测误差均方值为:或E［b

(n)x*

(n-p+l)］=0l=1,2,…,p

即中科院现代数字信号处置完全版215/702

因为预测器输出

是输入信号线性组合，故预测误差与预测信号值一样满足正交性原理:

后向预测误差最小均方值为:中科院现代数字信号处置完全版216/702同理，能够得到下面方程组:将方程组写成Yule-Walker方程形式中科院现代数字信号处置完全版217/702Yule-Walker方程含有以下特点:

(1)除了第一个方程外，其余都是齐次方程;

(2)与维纳-霍夫方程相比，不需要知道rxs(m)。(3)由方程组p+1个方程，能够确定apk,k=1,2,…,p和E［e2(n)］min，共计p+1个未知数。

中科院现代数字信号处置完全版218/702Levinson-Durbin算法

Levinson-Durbin算法首先由一阶AR模型开始,一阶AR模型(p=1)Yule-Walker为

由该方程解出:中科院现代数字信号处置完全版219/702然后增加一阶,即令p=2,得到

由上面方程解出:中科院现代数字信号处置完全版220/702

然后令p=3,4,…,以这类推，

能够得到Levinson-Durbin普通递推公式以下:中科院现代数字信号处置完全版221/702例2.4.2

已知

x(n)为AR模型，求AR模型参数（包含模型阶数和系数)。

rxx(m)=0.8|m|

解

首先对Sxx(z)做傅里叶反变换,得到x(n)自相关函数rxx(m),中科院现代数字信号处置完全版222/702

（1)、采取试验方法确定模型阶数p。首先取p=2，各相关函数值由上式计算

计算得到

a1=-0.8,a2=0,σ2ω=0.36中科院现代数字信号处置完全版223/702（2)、假如取p=3，可计算出a1=-0.8,a2=a3=0,σ2ω=0.36，说明AR模型阶数只能是一阶。（3)、采取谱分解方法，即对Sxx(z)进行谱分解，得到模型也是一阶，其时间序列模型和差分方程为

中科院现代数字信号处置完全版224/7022.5卡尔曼(Kalman)滤波

本节讨论主要问题及方法卡尔曼滤波状态方程和量测方程卡尔曼滤波递推算法发散问题及其抑制中科院现代数字信号处置完全版225/7021.本节讨论主要问题及方法讨论主要问题:本节将主要讨论卡尔曼滤波状态方程和量测方程，及其递推算法。处理方法:利用状态方程和递推方法寻找最小均方误差下状态变量

预计值

，即中科院现代数字信号处置完全版226/7022.卡尔曼滤波状态方程和量测方程

假设某系统k时刻状态变量为xk，状态方程和量测方程（也称为输出方程）表示为

Ak为状态转移矩阵，描述系统状态由时间k-1状态到时间k状态之间转移;Ck为量测矩阵，描述状态经其作用，变成可量测或可观察;xk为状态向量，是不可观察;yk为观察向量;wk为过程噪声;vk为量测噪声。

中科院现代数字信号处置完全版227/702图

2.5.1卡尔曼滤波器信号模型

中科院现代数字信号处置完全版228/702

假设状态变量增益矩阵A不随时间发生改变,wk,vk都是零均值白噪声,方差分别是Qk和Rk,而且初始状态x0与wk,vk都不相关,且噪声向量wk,vk也互不相关,即其中

中科院现代数字信号处置完全版229/7023.卡尔曼滤波递推算法

基本思想：

先不考虑输入信号ωk和观察噪声vk影响，得到状态变量和输出信号（即观察数据）预计值

和

再用输出信号预计误差

加权后校正状态变量预计值

，使状态变量预计误差

均方值最小。

中科院现代数字信号处置完全版230/702

当不考虑观察噪声和输入信号时，状态方程和量测方程为:

输出信号预计误差（新息)为：中科院现代数字信号处置完全版231/702

为了提升状态预计质量,用输出信号预计误差

来校正状态变量

其中,Hk为增益矩阵,实质是一加权矩阵。

校正后状态变量预计误差及其均方值分别为:

未经校正状态变量预计误差均方值为:中科院现代数字信号处置完全版232/702

卡尔曼滤波要求状态变量预计误差均方值Pk为最小,所以卡尔曼滤波关键就是要得到Pk与Hk关系式,即经