第5讲　基本不等式（讲练案）-2027届高考数学一轮复习（含答案）

第9页共9页第5讲基本不等式（讲练案）2027届高考数学一轮复习·讲练结合·文末附参考答案与解析【考情速览】基本不等式是高考小题里的常客：2026年天津卷、2025年北京卷、2022年新高考Ⅱ卷都以小题形式考过它，落点集中在“一正、二定、三相等”的判断和求最值上；它有时也藏在导数、圆锥曲线大题的中间步骤里。题目本身不难，丢分多半不在算，而在条件的判断。一、考点梳理·体系构建1．基本不等式若a>0，b>0，则√(ab)≤(a+b)/2，即a+b≥2√(ab)，当且仅当a=b时取等号。其中(a+b)/2是a、b的算术平均数，√(ab)是a、b的几何平均数。这句话的意思就是：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。把√(ab)与(a+b)/2换个位置，得到最常用的变形：ab≤((a+b)/2)²=(a+b)²/42．两个对实数都成立的不等式①a²+b²≥2ab（a，b∈R），当且仅当a=b时取等号；②(a+b)²≥4ab（a，b∈R），当且仅当a=b时取等号。【提醒】①对任意实数都成立，而√(ab)≤(a+b)/2要求a>0、b>0。两个式子长得像，成立的条件不一样，别记混。3．使用基本不等式的三个条件一正：参与运算的各项都为正数，遇到负项要先提出负号；二定：和或积中要有一个是定值，没凑出定值就取不到最值；三相等：等号必须真能取到；一道题里多次使用时，各次取等的条件要能同时成立。【提醒】三个条件里，“一正”和“三相等”是最容易丢分的两处。4．两个最值结论积定和最小：若x>0，y>0，xy=P（P为定值），则当x=y=√P时，x+y取最小值2√P；和定积最大：若x>0，y>0，x+y=S（S为定值），则当x=y=S/2时，xy取最大值S²/4。记成一句：两个正数越接近，它们的和越小、积越大。5．均值不等式链（a>0，b>0）2/(1/a+1/b)≤√(ab)≤(a+b)/2≤√((a²+b²)/2)四个量从左到右依次是调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，取等条件都是a=b。6．几个常用结论①若a、b同号，则a/b+b/a≥2；若a、b异号，则a/b+b/a≤−2；②若a>0，b>0，则(a+b)(1/a+1/b)≥4；③若a>0，则a+1/a≥2；若a<0，则a+1/a≤−2。7．求最值的常用方法配凑法：定值不明显时，用拆项、添项、凑系数把和或积凑成定值；常数“1”的代换：条件里有一个式子等于常数，把它整理成“某式=1”，再把“1”乘到目标式上展开；消元法、换元法：条件能解出一个变量时直接代入；式子结构复杂时用换元把次数降下来；权方和不等式（选填提速用）：若x>0，y>0，则a²/x+b²/y≥(a+b)²/(x+y)，当且仅当a/x=b/y时取等号。二、基础自测【说明】先独立做一遍，答案与解析见文末。做错的题目标出来，后面重点听。1．若x>0，则x+4/x的最小值为______。2．若a>0，b>0，且ab=9，则a+b的最小值为______。3．判断：函数y=x+1/x的最小值为2。（）4．若0<x<2，则x(2−x)的最大值为______。5．若a>0，b>0，且a+b=1，则1/a+1/b的最小值为______。三、核心考点·典例精讲考点一基本不等式的理解与条件辨析这类题看着是在比较式子大小，其实考的是“什么时候能用、什么时候取得到等号”。【例1】（多选）（2022·新高考Ⅱ卷·T12）若x，y满足x²+y²−xy=1，则（）A．x+y≤1B．x+y≥−2C．x²+y²≤2D．x²+y²≥1【解析】由x²+y²−xy=1，得(x+y)²=x²+2xy+y²=1+3xy。…①由xy≤((x+y)/2)²，代入①得(x+y)²−1≤(3/4)(x+y)²，整理得(x+y)²≤4，即−2≤x+y≤2。当x=y=−1时取到−2，当x=y=1时取到2，所以A错误、B正确。…②又由条件得xy=x²+y²−1。由xy≤(x²+y²)/2，得x²+y²−1≤(x²+y²)/2，解得x²+y²≤2，当x=y=±1时取等号，C正确。…③对于D：由−xy≤(x²+y²)/2，得1=x²+y²−xy≤(3/2)(x²+y²)，所以x²+y²≥2/3。取x=√3/3，y=−√3/3，此时x²+y²=2/3<1，D错误。综上，选BC。【易错点拨】②③两步都是在同一条件下用基本不等式推范围，方向别搞反。D出错多是把“上界2”当成了真正的取值上限，没算下界；凡是判断“≥常数”的选项，都要先把最小值算出来再比。【变式1-1】（多选）下列结论正确的是（）A．若a，b∈R，则a²+b²≥2abB．若a>0，b>0，则1/a+1/b≥2/√(ab)C．若a>1，则a+4/(a−1)的最小值为5D．若x>0，则(x²+5)/√(x²+4)的最小值为2【解析】A正确，因为a²+b²−2ab=(a−b)²≥0。B正确，1/a+1/b≥2√(1/a·1/b)=2/√(ab)。C正确，a+4/(a−1)=(a−1)+4/(a−1)+1≥2√4+1=5，当a−1=2即a=3时取等号。D错误，(x²+5)/√(x²+4)=√(x²+4)+1/√(x²+4)。若用基本不等式得≥2，但等号要求√(x²+4)=1，即x²=−3，无解；注意到√(x²+4)≥2，所以最小值在x=0处取到，为2+1/2=5/2。综上，选ABC。【易错点拨】D是“三相等”的典型陷阱。用基本不等式之前先问一句：等号成立的条件，在这道题里到底能不能成立。考点二利用基本不等式求最值类型1配凑法（拆项、凑系数）【例2】（2026·天津卷·T7）(x+1/x)(x+4/x)的最小值为（）A．10B．9C．8D．6【解析】先展开：(x+1/x)(x+4/x)=x²+4/x²+5由基本不等式，x²+4/x²≥2√(x²·4/x²)=4，当且仅当x²=4/x²，即x²=2时取等号。所以原式≥4+5=9，最小值为9，选B。【易错点拨】先展开再用基本不等式，比硬套“积定和最小”稳妥。注意x²与4/x²都是正的，不需要额外讨论x的符号。【变式2-1】若x>2，则y=x+1/(x−2)的最小值为______。【解析】x+1/(x−2)=(x−2)+1/(x−2)+2≥2√((x−2)·1/(x−2))+2=4，当且仅当x−2=1，即x=3时取等号。所以最小值为4。【方法】看到“x”与“x−2”只差一个常数，就把x拆成(x−2)+2，凑出乘积为定值的两项。【变式2-2】已知0<x<1/2，求y=x(1−2x)的最大值。【解析】y=x(1−2x)=(1/2)·2x(1−2x)。因为2x>0，1−2x>0，且2x+(1−2x)=1为定值，所以2x(1−2x)≤((2x+1−2x)/2)²=1/4，从而y≤(1/2)·(1/4)=1/8，当且仅当2x=1−2x，即x=1/4时取等号，所以y的最大值为1/8。【方法】和不是定值时，通过乘一个系数（这里乘1/2并配出2x）把和凑成定值，这就是“凑系数”。类型2常数“1”的代换【例3】（2012·浙江卷）若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是（）A．24/5B．28/5C．5D．6【解析】由x+3y=5xy，两边同除以5xy，得1/(5y)+3/(5x)=1，即3/x+1/y=5。…①所以3x+4y=(1/5)(3x+4y)(3/x+1/y)=(1/5)(9+3x/y+12y/x+4)=(1/5)(13+3x/y+12y/x)。由基本不等式，3x/y+12y/x≥2√(3x/y·12y/x)=2√36=12，当且仅当3x/y=12y/x，即x=2y时取等号。代入得3x+4y≥(1/5)(13+12)=5，最小值为5，选C。【方法】条件给的是整式，先把它整理成“某式=1”，再把1乘到目标式上展开；展开后出现的两项（3x/y与12y/x）积为定值，正好用基本不等式。【易错点拨】把1乘上去时别漏乘、别错配系数。这里严格用的是5=3/x+1/y，所以写成(1/5)(3x+4y)(3/x+1/y)。【变式3-1】已知x>0，y>0，且1/x+1/y=1，则x+y的最小值为______。【解析】x+y=(x+y)(1/x+1/y)=2+x/y+y/x≥2+2√(x/y·y/x)=4，当且仅当x=y=2时取等号。所以最小值为4。【变式3-2】已知正实数x，y满足1/(2x+y)+1/(x+2y)=1，则x+y的最小值为（）A．2/3B．4/3C．2D．4【解析】令u=2x+y，v=x+2y，则u>0，v>0，且1/u+1/v=1，x+y=(u+v)/3。由(u+v)(1/u+1/v)=2+u/v+v/u≥2+2=4，得u+v≥4，所以x+y≥4/3。当且仅当u=v=2，即x=y=2/3时取等号，最小值为4/3，选B。【方法】分母结构复杂时先换元，把问题变成熟悉的“1的代换”。类型3消元法与换元法【例4】已知x>0，y>0，且x²+2xy−3=0，求2x+y的最小值。【解析】由x²+2xy−3=0，得2xy=3−x²，所以0<x<√3，且y=(3−x²)/(2x)。于是2x+y=2x+(3−x²)/(2x)=2x+3/(2x)−x/2=(3/2)x+3/(2x)。由基本不等式，(3/2)x+3/(2x)≥2√((3/2)x·3/(2x))=2√(9/4)=3，当且仅当(3/2)x=3/(2x)，即x²=1，x=1时取等号，此时y=1。所以2x+y的最小值为3。【方法】条件能解出一个变量就消元，把二元问题变成一元函数再用基本不等式；别忘了由y>0写出x的取值范围。【变式4-1】已知正数x，y满足x+y=1，则4/x+9/y的最小值为______。【解析】4/x+9/y=(4/x+9/y)(x+y)=13+4y/x+9x/y≥13+2√(4y/x·9x/y)=25，当且仅当4y/x=9x/y，即2y=3x，结合x+y=1解得x=2/5，y=3/5时取等号。所以最小值为25。考点三多次使用基本不等式【例5】若a>0，b>0，则1/a+a/b²+b的最小值为______。【解析】先看前两项：1/a+a/b²≥2√(1/a·a/b²)=2/b，当且仅当1/a=a/b²，即a=b时取等号。…①于是1/a+a/b²+b≥2/b+b≥2√(2/b·b)=2√2，当且仅当2/b=b，即b=√2时取等号。…②两次取等可以同时成立（取a=b=√2），所以最小值为2√2。【易错点拨】多次使用基本不等式，必须回头检查两次取等的条件能否同时成立。本题两次条件分别是a=b与b=√2，能同时满足，答案才成立；若不能同时成立，就要换方法。【变式5-1】已知a>0，b>0，且ab=1，则1/a+1/b+2√(ab)的最小值为______。【解析】ab=1时，1/a+1/b=(a+b)/(ab)=a+b，2√(ab)=2，所以原式=a+b+2≥2√(ab)+2=4，当且仅当a=b=1时取等号，最小值为4。考点四基本不等式与对勾函数【例6】求函数y=x+1/x在区间[2，4]上的最小值。【解析】由基本不等式，y=x+1/x≥2，等号当且仅当x=1时成立。但1∉[2，4]，所以2取不到，不能直接说最小值是2。对勾函数y=x+1/x在(1，+∞)上单调递增，因此y在[2，4]上单调递增，当x=2时取最小值2+1/2=5/2。【易错点拨】“一正、二定”都满足，“三相等”不满足，这时基本不等式只能给出一个取不到的下界。凡是用基本不等式求最值，最后都要问一句：等号成立时，自变量在不在题目给的范围内？【变式6-1】求函数y=x+4/x在x∈[1，3]上的最小值。【解析】y=x+4/x≥2√4=4，等号当x=2时成立，而2∈[1，3]，所以最小值为4。考点五恒成立与实际应用【例7】（实际应用）某农户用一段篱笆围一块面积为100m²的矩形菜园，菜园的一边利用原有墙（墙足够长）。设垂直于墙的边长为xm。（1）求篱笆总长L关于x的函数关系式；（2）当x取何值时，L最小？最小值是多少？【解析】（1）平行于墙的一边长为100/xm。因为一边靠墙，篱笆只围三条边，所以L=2x+100/x（x>0）。（2）由基本不等式，L=2x+100/x≥2√(2x·100/x)=2√200=20√2，当且仅当2x=100/x，即x²=50，x=5√2时取等号。所以当x=5√2m时L最小，最小值为20√2m。【方法】实际问题先设变量、写出函数式（注意“一边靠墙时只围三条边”），再在定义域内求最值，最后回到题目单位作答。【变式7-1】（恒成立）已知x>0，y>0，且x+y=1，若不等式1/x+a/y≥9恒成立，求实数a的最小值。【解析】1/x+a/y=(1/x+a/y)(x+y)=1+y/x+ax/y+a=1+a+y/x+ax/y≥1+a+2√a，当且仅当y/x=ax/y，即y=√a·x时取等号。要使不等式恒成立，只需1+a+2√a≥9。令t=√a（t>0），得t²+2t+1≥9，即(t+1)²≥9，所以t+1≥3，t≥2，a≥4。所以a的最小值为4（此时x=1/3，y=2/3）。【方法】恒成立问题转成“左边的最小值≥右边”；把参数集中到一端后，用配方或换元求解。四、易错清零易错1用之前忘了“一正”。若x<0，求x+1/x的最大值。正确做法：设x=−t（t>0），则x+1/x=−t−1/t=−(t+1/t)≤−2，当且仅当t=1，即x=−1时取等号，最大值为−2。直接套基本不等式得到2是错的，因为x<0不满足“一正”。易错2忘了“三相等”。x∈[2，4]时，y=x+1/x的最小值不是2，而是5/2；再如(x²+5)/√(x²+4)的最小值不是2，而是5/2。等号取不到时，要回到函数的单调性上求。易错3忘了“二定”。求y=x(1−2x)（0<x<1/2）的最大值，若直接对x与1−2x用基本不等式，会因为它们的和不是定值而算错，正确做法是先乘系数1/2，配成2x与1−2x。易错4把两个不等式的条件记混。a²+b²≥2ab对任意实数成立；a+b≥2√(ab)要求a>0、b>0。五、课时作业A组基础过关1．若x>0，则2x+8/x的最小值为（）A．4B．8C．16D．242．若a>0，b>0，且a+2b=4，则ab的最大值为（）A．1B．2C．3D．43．若x>0，则x/(x²+1)的最大值为______。4．若a>0，b>0，且ab=2，则2a+b的最小值为______。5．判断：若a，b∈R，则a/b+b/a≥2。（）6．若0<x<1，则4/x+1/(1−x)的最小值为______。B组能力提升1．若x>0，y>0，且x+2y=3，则2/x+1/y的最小值为（）A．8/3B．3C．4D．16/32．（多选）若a>0，b>0，且a+b=4，则（）A．ab的最大值为4B．a²+b²的最小值为8C．1/a+1/b的最大值为1D．√a+√b的最大值为2√23．已知a>0，b>0，且a+b+1=ab，则a+b的最小值为______。4．已知x>0，y>0，且x+2y+2xy=8，则x+2y的最小值为______。C组真题体验1．（2020·江苏卷·T12）已知5x²y²+y⁴=1（x，y∈R），则x²+y²的最小值是______。2．若x，y满足x²+y²+xy=1，则x+y的取值范围是______。六、参考答案与解析基础自测1．4。x+4/x≥2√4=4，当且仅当x=2时取等号。2．6。ab=9时a+b≥2√9=6，当且仅当a=b=3时取等号。3．×。基本不等式要求x>0；当x<0时x+1/x≤−2，只有x>0时最小值才是2。4．1。x(2−x)≤((x+2−x)/2)²=1，当且仅当x=1时取等号。5．4。1/a+1/b=(1/a+1/b)(a+b)=2+a/b+b/a≥2+2=4，当且仅当a=b=1/2时取等号。课时作业A组1．B。2x+8/x≥2√(2x·8/x)=8，当且仅当2x=8/x，即x=2时取等号。2．B。ab=(1/2)·a·2b≤(1/2)·((a+2b)/2)²=(1/2)·4=2，当且仅当a=2，b=1时取等号。3．1/2。x/(x²+1)=1/(x+1/x)≤1/2，当且仅当x=1时取等号。4．4。2a+b≥2√(2ab)=2√4=4，当且仅当2a=b且ab=2，即a=1，b=2时取等号。5．×。当a、b异号时，a/b+b/a≤−2。例如a=1，b=−1时，a/b+b/a=−2。6．9。4/x+1/(1−x)=(4/x+1/(1−x))(x+1−x)=5+4(1−x)/x+x/(1−x)≥5+2√4=9，当且仅当4(1−x)/x=x/(1−x)，即x=2/3时取等号。课时作业B组1．A。2/x+1/y=(1/3)(2/x+1/y)(x+2y)=(1/3)(4+4y/x+x/y)≥(1/3)(4+4)=8/3，当且仅当4y/x=x/y，即x=2y，解得x=3/2，y=3/4时取等号。2．ABD。A：ab≤((a+b)/2)²=4，正