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文档简介
第36讲平面向量的数量积及运算·分类练习（解析卷）
考点一：平面向量的投影、投影向量.............................................................................................2
考法1：求解投影向量的坐标及模长...................................................................................2
考法2：已知投影（向量）求参数或模长...........................................................................2
考法3：投影与投影向量的综合应用...................................................................................3
考点二：平面向量的数量积运算.....................................................................................................3
考法4：利用定义与坐标公式计算数量积...........................................................................3
考法5：利用基底与线性表示计算数量积...........................................................................4
考法6：利用几何性质与投影计算数量积...........................................................................5
考法7：求解向量数量积的最值与范围...............................................................................5
考法8：数量积的综合应用与新定义...................................................................................6
考点三：平面向量的模长.................................................................................................................6
考法9：利用坐标运算求解向量模长...................................................................................6
考法10：利用数量积与平方法求解向量模长.....................................................................7
考法11：求解向量模长的最值与范围.................................................................................7
考点四：平面向量的夹角.................................................................................................................8
考法12：利用坐标运算求解向量夹角.................................................................................8
考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角.................................................................8
考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角.................................................................8
考法15：求解向量夹角的范围及综合问题.........................................................................9
考点五：平面向量的垂直问题.......................................................................................................10
考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题.......................................................................10
考法17：利用数量积性质求解向量垂直问题...................................................................10
考点六：平面向量的实际应用与综合...........................................................................................11
考法18：建立坐标系解决向量问题...................................................................................11
考法19：向量的综合与创新应用.......................................................................................11
答案速查表
12345
BDD
36
6(7,)58910
55
12345
（1）
CAD
（）∘
∠2�=120
733
−1112131415
54
2DBD
16171811920
CACD2D41C
2122232425
CCBAD
2627282930
AABD
−4考点一：平面向量的投影、投影向量
考法1：求解投影向量的坐标及模长
1.（2026·安徽马鞍山·一模）已知，在上的投影向量是，则
1
（）| � |=2 � � 2 � | � − � |=
A.B.2C.D.4
【答案】
B323
【解析】由题意得在上的投影向量为，则，则，则
� ⋅��1 � ⋅�112
2
� � | � || � |=2 � | � |=2 � ⋅ � =2| � || � − � |=
.故选：B.
222222
【(点 � −拨 �】 )本=题考 � 查−投2影 � ⋅向 � 量+的 � 计=算公 � 式−以 � 及+向 � 量=模| 长� |的=求2法，掌握投影向量的定义是解题关键.
2.（2026·山东淄博·模拟）平面向量，，则在上的投影向量坐
标为＿＿＿＿＿＿. � =(3,0) � =(1,2) � �
【答案】
36
【解析】(由5题,5意)得，.所以在上的投影向量为
22
� ⋅ � .=3×1+0×2=3| � |=1+2=5 � �
� ⋅ � � 336
【| � |点| � |拨=】5(本1,题2)考=查(5投,5影)向量的坐标表示，直接代入投影向量公式即可.
考法2：已知投影（向量）求参数或模长
3.（2026·江苏苏北四市·一模）已知平面向量在向量上的投影向量为
，则＿＿＿＿＿＿.�=(�,5)�
(【2答,1)案】|�|=
【解析】5因为在上的投影向量为，所以与共线.设，.
则在上的投�影向�量为(2,1)�(2,1).由题意得�=�(2,1)，=解(2得�,�)�≠.所0
�⋅�2��+5�2�+52�+5
22
以��，|�|�=.5�(2�,�)=5(2,1)5=1�=0
22
�=(0,5)|�|=0+5=5
【点拨】本题考查投影向量的坐标表示及模长计算，利用共线向量设出的坐标是解题关键.
�
考法3：投影与投影向量的综合应用
4.（2026·山东泰安·模拟）已知在中，，，，M
12
为BE与CD的交点，则向量在△�上��的投影� 向 � 量⋅� 的 � 模=的2最� 小 � 值=为3（� � � � ） =� �
A.B.� � � � C.D.
4621
【答案】7D732
【解析】设，，则.因为，，设，则
121
� � =�� � =��⋅�=.又2设� � =3� ， � 则� � =� � =2� � � � =𝐴 �
�
� � =(1−.由�)平� 面� +向�量� 基� =本(定1理−得�)�+2�，� � =�� � ， 解得� � =(，1−�)� . 所 � 以+�� � =(1−.向
2�2��1311
�)�+3�1−�=32=1−��=2�=4� � =2�+4�
量在上的投影向量的模为121121.由基本不等式得
|� � ⋅� � ||2�+4�⋅�|2|�|+8111
� � � � |� � |=|�|=|�|=2|�|+8|�|2|�|+
，当且仅当即时等号成立.所以向量在上的投影向
1111111
8|�|≥22|�|⋅8|�|=22|�|=8|�||�|=2� � � �
量的模的最小值为.
1
【点拨】本题考查平2面向量基本定理、数量积的运算以及投影向量的模，利用基本不等式求最值
是解题关键.
考点二：平面向量的数量积运算
考法4：利用定义与坐标公式计算数量积
5.（2026·安徽淮南·检测）已知向量，，与的夹角为
，则（） � =(1,3)| � − � |=1 � � − �
∘
60A. � ⋅ � =B.C.1D.3
【答案】
4D−32−3
【解析】因为向量，所以，又，与的夹角
22
为，所以 � =(1,3)| � |=1+，(所3)以=2| � −�，|=所1以 � � −�.
∘∘2
故选60：D. � ⋅( � − � )=| � |⋅| � − � |cos60=1 � − � ⋅ � =1 � ⋅ � =4−1=3
【点拨】本题考查平面向量的数量积运算，利用数量积的定义和性质是解题关键.
6.（2025·河北沧衡八县·一模）已知向量，，若
2
，则＿＿＿＿＿＿.�=(sin�−1,−1)�=(1,cos2�)
1
t【an答�案=】2�⋅�=
7
【解析】−依5题意，
22222
�⋅�=.sin�−1−cos2�=sin�−1−(2cos�−1)=sin�−2cos�=
222
sin�−2cos�tan�−27
222
sin�+cos�=tan�+1=−5
【点拨】本题考查平面向量数量积的坐标运算以及同角三角函数的基本关系，将表达式齐次化是
解题关键.
考法5：利用基底与线性表示计算数量积
7.（2026·湖南永州·二模）已知菱形的边长为2，，是的中点，
∘
则（）𝐴𝐴∠�𝐴=60���
� � A .⋅1� � =B.2C.4D.6
【答案】C
【解析】，
111
∵� � =� � +� � =� � . 故+选2� ： � C=.� � +2� � ∴� � ⋅� � =(� � +2� � )⋅� � =� � ⋅� � +
12112
【2� 点 � 拨=】2本×题2考×查2+平2面×向2量=的4线性运算与数量积，选取合适的基底表示目标向量是解题关键.
8.（2026·湖北云学联盟·模拟）中，，，是的中点，则
（）△𝐴�𝐴=3��=4���
� � ⋅A� �. =B.7C.D.25
725
【答案】2A2
【解析】因为是的中点，所以.又.所以
11
���� � =2(� � +� � )� � =.故� 选� −A� . � � � ⋅� � =2(� � +
12212217
�【 � 点)⋅拨(� 】 � 本−题� � 考 )查=平2(面� � 向 量−的� � 数)量=积2运(4算−，3利)用=向2(量16的−线9性)=运2算将目标向量用已知边长对应的向
量表示是解题关键.
9.（2025·浙江杭州二中·检测）在中，内角，，满足
．△𝐴����sin�+sin�=
s（in1(）�求−�)；
（2）若∠�为边上一点，，，，求的面积．
21
3 3
【答案】（�1）��（2）𝐴=��+𝐴|𝐴|=1𝐴⟂𝐴△𝐴�
∘33
【解析】（1）∠由�=120�=4，所以
sin�+sin�=sin(�−�)⇒，sin所�以+sin(�+�)=sin(�−�，)又为三sin角�形+内角，
s所in以�cos�+cos，�s所in以�=sin�cos�−cos�sin�．2cos�sin�+sin�=0�
1∘
（2）s因in为�≠0，所co以s�=−2⇒∠�=120，所以
1222∘
𝐴⟂�，�又� � ⋅� � =3� � +3� � ⋅� � =0，所以，|� � |+2|� � |⋅|� � |，⋅c所os以12面0积=
242412
0⇒|� � |=|� � |� � =9� � ．+9� � ⋅� � +9� � =1|� � |=|� � |=3
1∘33
�【=点2拨⋅|】� � 本 |题⋅|� 考 � 查|⋅正sin弦1定20理=及三4角恒等变换求角，以及利用平面向量数量积求解三角形面积，将
向量关系转化为边长关系是解题关键.
考法6：利用几何性质与投影计算数量积
10.（2026·湖南株洲·检测）已知向量，将向量绕坐标原点逆
时针旋转角得到向量� � ，=则(c下os列�,说sin法�)正确的是（� � ）�
∘∘
A.�� � (B0.<�<180)C.
D.|� � |<2|� � +� � |≥|� � −� � ||� � +� � |≥
【答案】
1(� D � +� � )⟂(� � −� � )
【解析】因为，所以，所以，对于A，
22
� ， � 所=以(cos�,sin�)|� � |=cos�+sin�=1|� � |=1
22222
� � =� � −� � ，当|� � |=|� 时� −，� 即 � |=� � −2� � 时⋅� ， � +� � =|� ， � 故|−A2错|� 误 � ；||� 对 � 于|coBs�，+由
2∘∘
|� � |=2−2cos�cos�<090<�<180|� � |>2
A可知，又
222
|� � −� � |=2−2cos�|� � +� � |=(� � +� � )=� � +2� � ⋅� � +� � =
，当时，，可得
22∘∘
|��|+2|��||�，�|故cosB�错+误|�；�|对=于C2，+当2cos�90<�，<180cos�<，0可得|��+
∘∘1
� � |<|� � −� � ，|所以，故1C2错0误<；�对<于18D0，因−为1<cos�<−2
2+2cos�<1|� � +� � |<1，所以(� � +，� 故 � )D⋅正(� 确 � .−故� 选 � ：)=D.
2222
� 【 � 点−拨� 】 � 本=题|考� 查� |平−面|� 向 � 量|的=模1长−与1=数0量积运算(，� 利� +用� 向 � 量)⟂数(� 量 � 积−的� �定 )义及性质逐项分析是解题
关键.
11.（2026·广东汕头·一模）为圆的一条弦，且，则的值为＿＿
＿＿＿＿.𝐴�𝐴=2� � ⋅� �
【答案】2
【解析】取弦的中点，连接，根据圆的垂径定理，可得，如图.因为,
所以.根�据�向量数量�积的几何�意�义：𝐴⟂𝐴.𝐴=2
【点拨𝐴】本=题1考查平面向量数量积的几何意义� � ， ⋅利� � 用 =垂� 径 � 定⋅� 理 � 将=数� �量 积⋅� 转 � 化=为1×投2影=与2模长的乘积
是解题关键.
考法7：求解向量数量积的最值与范围
12.（2026·山东聊城·模拟）已知，，且满足，则
的最大值为（）|� � |=2|� � |=4� � ⋅� � =0� � ⋅
� � A.12B.16C.20D.24
【答案】D
【解析】由知.所以点在以为直径的圆上.设的中点为，则
∘
为圆心，� � ⋅� ，� =所0以圆∠�的𝐴半=径90�𝐴𝐴.因为是�的中�
点，所以|𝐴|=2��=1.� � ⋅� � =(� � −� � )⋅(� � −� � )�.要求𝐴
222
的最大值，� � 即 =求−� � .� 的 � 最⋅� 大 � 值=.已(−知� � −� � )，⋅(且� � −在� 圆 � )=上� ， � 半−径� 为 � 1=.根|� 据 � 三|角−形1不等式� ，� ⋅� �
|� � ||� � |=4��
.当三点共线且在之间时，取得最大值5.所以
|� � |≤|� 的 � 最|+大|值� � 为 |=1+4=5�,�,�.��,�|� � |
2
� 【 � 点⋅拨� � 】 本题考查平5面向−量1=数2量5积−的1最=值24问题，利用极化恒等式或向量的线性运算将数量积转化
为距离的最值是解题关键.
13.（2026·山东枣庄·检测）在中，在上，，，
23
与的夹角为，则△的�最��大值为�＿,�＿＿�＿�＿＿.� � =� � =� � |� � |=3
�
�【 � 答 案】� � 6� � ⋅� �
11
【解析】2设4，.已知，与夹角为.因为，
23�
� � =�� � =�|�|=3��6.� � =�−�� � =� � =� �
.设
𝐴=𝐴−��=�−(�−�)=2�2−�.�2�=𝐴+��=�+(�−2�)=22�−�.𝐴⋅��=
(2�−�)⋅(2�−�)=4�⋅�−2�−2�+�⋅�=5�⋅�−2�−2�|�|=�.�⋅.�这=是一
�233223244228
个|�关||�于|cos的6二=次3函⋅数�⋅，2开=口�向.�下，=当(3)=时3取.� 得 � 最⋅� 大 � 值=.5最�大−值2(为3)−2�=−2�+5�−3
55258
��=4.−2(4)+5(4)−3=−2×
252582550825875−6411
1【6点+拨4】−3本=题−考8查+平8面−向3量=数8量−积3=的最24值问=题24，选取合适的基底将目标数量积表示为关于某个模
长的二次函数是解题关键.
考法8：数量积的综合应用与新定义
14.（2026·山东九五协作体·检测）已知为向量，则“”是
“或”的（）�,�,�(�−�)⋅�=0
�A=.�充分不�=必�要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也
不必要条件
【答案】B
【解析】若，则，所以成立；若，则
�=成�立.即必�−要�性=成�立.若(�−�)⋅�=，�则⋅�可=能0且�=�(�且−�)⋅�，=此
(时�−�)⋅�且=0，即充分性不成立.所(�以−“�)⋅�=0”是�“−�⟂�或�−�≠”�的必�要≠不�充分
条件�.≠故�选B.�≠�(�−�)⋅�=0�=��=�
【点拨】本题考查平面向量数量积的性质以及充分必要条件的判定，明确数量积为零的几何意义
是解题关键.
考点三：平面向量的模长
考法9：利用坐标运算求解向量模长
15.（2025·广东深圳高中园·一模）已知向量满足，，
则（） � , � � + � =(2,3) � − � =(2,−1)
22
| � A|.−| � |=B.C.0D.1
−2−1
【答案】D
【解析】由，可得，，故
222
� + � =，(2故,3选)： �D −. � =(2,−1) � =(2,1) � =(0,2)| � |−| � |=2+
222
1【点−拨(0】+本2题)考=查1平面向量的坐标运算以及模长的求法，先求出两向量的坐标是解题关键.
考法10：利用数量积与平方法求解向量模长
16.（2026·山东德州·一模）若平面向量两两夹角相等，且，，
，则（） � , � , � | � |=1| � |=2
| � |=A3.| � + � + � |=B.36C.或6D.3或36
【答案】C33
【解析】因为平面向量，，两两夹角相等，所以夹角有两种情况，即，，两两夹角为
或，当夹角为 � 时 �， � ； � 当夹 � 角为 � 时，
∘∘∘∘
0120，0，| � +�，+则 � |=| � |+|�|+| � |=1+2+3=6120
32
� ⋅ � =−1 � ⋅ � =−3 � ⋅ � =−2| � + � + � |=( � + � + � )=
2222223
� ；+综 � 上+所 � 述+：2 � ⋅ � +2 � ⋅ � +或2 � ⋅ � =1+2+.3+2×(−1)+2×(−2)+2×(−3)=
【3点拨】本题考查| � 平+面 � 向+量 � |模=长6的求| � 解+， � 根+据 � |题=意3分情况讨论两两夹角是解题关键.
考法11：求解向量模长的最值与范围
17.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知均为单位向量，且
，则（）�,�,�|3�+�|=−
27�A⋅.�
B.�⟂(�+2�)
242
C.|当�实+数�|=变化7时，的最小值为
3
D.若�，|�则+��|2
【答案】AC⟨�D,�⟩=⟨�,�⟩�⋅(�−�)=0
【解析】由得，解得（舍去）或
25
，因为|3�+�均|=为−单2位7向�量⋅�，则14(�⋅�)−3�⋅�−5=0�⋅�=，7故A正确；�⋅
12
�=−2�,��⋅(，�故+2B�错)=误�；+2�⋅�=1−1=0|�+
22222
�|=�+2�⋅�+�=1−1，+当1=且1仅当时取等|�号+，��故|=C正�确+；2由��⋅�+��=，则
212331
2422
�−�+1=(�−，)所+以≥，整理�得=，即⟨�,�⟩，=故⟨�D,�正⟩确.故选
�⋅��⋅�
AcoCsD⟨�.,�⟩=cos⟨�,�⟩|�||�|=|�||�|�⋅�=�⋅��⋅(�−�)=0
【点拨】本题考查平面向量的模长与数量积运算，利用平方法求出数量积是解题关键.
考点四：平面向量的夹角
考法12：利用坐标运算求解向量夹角
18.（2025·广东衡水金卷·联考）已知向量，则
（）�=(1,3),�=(−2,1)cos⟨�,�−2�⟩=
A.B.C.D.
46523565435
【答案】6D5356535
【解析】依题意，，所以，故选D.
�⋅(�−2�)5+38465
【点拨】本题考查平�−面2向�量=的(5坐,1标)运算以c及os夹⟨�角,�公−式2�，⟩先=求|�||出�−两2�向|=量的10×坐2标6=是2解6题5=关键65.
19.（2026·山东临沂·模拟）已知向量，则向量与的夹
角正切值为＿＿＿＿＿＿.�=(1,2),�−2�=(−5,0)��
【答案】1
【解析】由，得，即.所以
�=(1，,2)�−2�=(−5,0)，2�=�−(−5,0)=.设(6向,2)量与�=的(3夹,1)角为�，⋅则�=
2222
1×3+2×1=5|�|=.因1为+2=5，|所�|以=3+，1则=10.���
�⋅�52�
c【os点�拨=】|�|本|�|题=考5查×平10面=向2量的坐�标∈运[0算,�以]及夹角�公=式4，先求ta出n�向=量1的坐标是解题关键.
�
考法13：利用数量积与模长公式求解向量夹角
20.（2026·广东东莞·模拟）已知，，与互相垂直，则
与的夹角为（） � =(1,−1)| � |=1 � +2 � � − �
� A� .B.C.D.
���2�
【答案】4C323
【解析】因为，所以，因为与互相垂直，所以
2
� =(1,−1) � =2，解得 � +2 � ， � 所−以 � ，即与的( � 夹+角2 � 为)⋅( �. 故−选：
22�
�C ).= � + � ⋅ � −2 � =2+ � ⋅ � −2=0 � ⋅ � =0 � ⟂ � � � 2
【点拨】本题考查平面向量垂直的性质以及数量积的运算，利用向量垂直数量积为零求出是
解题关键. � ⋅ �
考法14：利用模长关系平方化简求解向量夹角
21.（2025·河北沧州五县·一模）已知向量满足，且，
则与的夹角为（） � , � | � |=| � |=1| � −2 � |=3
� A. � B.C.D.
����
【答案】6C432
【解析】由，得，而，则，
221
，而| � −2�|=3，所 � 以−4与 � ⋅�的+夹4�角=3|. � 故|=选|C�|.=1 � ⋅�=2cos⟨ � ,�⟩=
� ⋅ � 1�
【| � ||点 � |=拨】2本题0考≤查⟨平 � , 面� ⟩向≤量�的模长与 � 数量 � 积运算，⟨ � 将, � 模⟩=长3等式两边平方是解题关键.
22.（2026·安徽安庆·二模）已知向量，，且，，
则向量，夹角的余弦值为（）��|�|=|�|=2|�+�|−|�−�|=2
A.��B.C.D.
7773
【答案】±C4−444
【解析】设向量，夹角为，由条件知，即
22
���(�+�)−(�，−得�)=2，
2222
解|得�|+|�|+2，|�故||�选|cCos.�−|�|+|�|−2|�||�|cos�=28+8cos�−8−8cos�=2
7
【点拨co】s�本=题4考查平面向量的模长与数量积运算，利用向量数量积的定义及平方法化简是解题关
键.
考法15：求解向量夹角的范围及综合问题
23.（2025·广东上进联考·联考）在中，“且”是
“为锐角三角形”的（）△𝐴�� � ⋅� � >0� � ⋅� � >0
△A�.�充�分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也
不必要条件
【答案】B
【解析】由且可得与为锐角，但不一定为锐角，故
不一定为锐角� � 三 ⋅角� � 形 >；0反之� ， � 若⋅� � >0为锐角∠�三角∠形�，与∠�都为锐角，所以△𝐴�
且成立.故选B.△𝐴�∠�,∠�∠�� � ⋅� � >0
【点� � 拨 ⋅】� � 本 >题0考查平面向量数量积的符号与夹角的关系，以及充分必要条件的判定，明确数量积
大于零等价于夹角为锐角是解题关键.
24.（2025·河北衡水中学·检测）已知向量，且
� + �
，则与夹角的最大值为（）| � |=| � |=4, � ⋅ � =−8, � =2| � −
� |=A1. � � B.C.D.
���5�
【答案】6A4312
【解析】因为，所以，解得，故，设
12�
， � ⋅�=| � ，|⋅则|�|cos�16co，s�设=−8，co则s�=−2�=3， � =则
� + �
(4,0) � =(−2,23) � =2=(1,3) � =(�,�) � − � =(�−1,�−3)
，即，设
2222
| � − �， |=设(�夹−角1)为+(�，−则3)=1(�−1)+(�−3)=1，令�=1+cos�,�=3，+则
� ⋅ � �+3�4+cos�+3sin�
22
| � |⋅| � |2�+�
sin� � , � �cos�===22cos�+23sin�+5cos�+3sin�=�
，则，令，则，则
2
�4+��−5
�=2sin(�+6)∈[−2,2]cos�=22�+52�+5=�∈[1,3]�=2cos�=
�2−5，其中在上单调递减，在上单调
2
4+�4+2�+3�3�3
22�+5=2�=4�=4+4��=4+4��∈[1,3]�∈[3,3]
递增，当时，取得最小值，最小值为，当或3时，取得最
�33�3
�=3�=4+4�2�=1�=4+4�
大值，最大值为1，故，由于在上单调递减，故，
�33�
与夹角的最大值为co.故s�选=A4.+4�∈[2,1]�=cos�[0,�]�∈[0,6]
�
�【 点 拨� 】本题考查平面向6量的数量积与夹角的最值问题，利用坐标法将问题转化为三角函数的最
值问题是解题关键.
考点五：平面向量的垂直问题
考法16：利用坐标运算求解向量垂直问题
25.（2026·安徽江淮十校·模拟）已知四边形为平行四边形，、
、，，若，则的𝐴值𝐴为（）�(2,−1)�(4,−
3)A�.(8,2)� =(�,−2)B.� � ⟂� �C.D.7
44
【答案】−D77−7
【解析】设，则，，，所以，解得
8−�=2
�(�,�)� � =� � � � =(2,−2)� � =(8−�,2−�)
，所以，所以，而，2−，�所=以−2，
�=6
�(6,4)� � =(2,7)� =(�,−2)� � ⋅� =2�−14=0�=7
选�=D.4
【点拨】本题考查平面向量的坐标运算以及向量垂直的充要条件，先求出点
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