2027届高考数学复习考点考法通关训练第7讲 函数的性质讲义(解析卷)

第7讲函数的性质·讲义（解析卷）

一、考情分析.....................................................................................................................................1

二、知识清单.....................................................................................................................................2

1.函数的单调性......................................................................................................................2

2.函数的奇偶性......................................................................................................................2

3.函数的对称性......................................................................................................................3

4.函数的周期性......................................................................................................................3

5.重要技巧..............................................................................................................................3

三、方法总结.....................................................................................................................................6

考点一：函数的单调性..........................................................................................................6

考点二：函数的奇偶性..........................................................................................................7

考点三：函数的对称性与周期性..........................................................................................7

考点四：函数性质的综合应用..............................................................................................8

四、典题精讲.....................................................................................................................................8

考点一：函数的单调性..........................................................................................................8

考点二：函数的奇偶性........................................................................................................10

考点三：函数的对称性与周期性........................................................................................13

考点四：函数性质的综合应用............................................................................................16

五、高考真题...................................................................................................................................19

一、考情分析

1.考查频次与题型

年份题号与题型分值考查内容

202619题·解答题17分抽象函数的奇偶性、单调性与新定义集合的综合应用

20255题·单选题5分函数的奇偶性与周期性的综合应用

20246题·单选题5分分段函数的单调性及参数范围求解

20248题·单选题5分抽象函数的递推关系与不等式应用

近三年全国一卷对函数性质的考查较为频繁，既有客观题的基础性质应用，也有解答

题的抽象性质综合探究，占有一定分值.

2.命题角度与特色

·核心考点：考查函数的单调性、奇偶性、周期性及其综合应用，尤其是分段函数与

抽象函数.

·命题趋势：从单一性质考查向多性质综合、数形结合及新定义问题转变，对抽象思

维和逻辑推理能力的要求逐步提升.

·试题特点：客观题常以分段函数求参数、利用周期性与奇偶性求值为载体；解答题

则倾向于结合新定义，深入考查抽象函数的单调性与奇偶性证明.

3.备考策略

·扎实掌握基本初等函数的图象与性质，熟练运用定义法判断或证明函数的单调性与

奇偶性.

·强化对抽象函数性质的推导训练，熟练掌握赋值法、递推法等处理抽象函数的核心

技巧.

·提升数形结合与分类讨论思想的应用能力，特别是在处理分段函数和含参不等式时，

注意临界条件和定义域的限制.

二、知识清单

1.函数的单调性

（1）单调函数的定义

一般地，设函数的定义域为，区间：

如果对于内的任�(意�)两个自变量的�值，�⊆当�时，都有，那么就

说在区间�上是增函数.�1�2�1<�2�(�1)<�(�2)

�(�如)果对于�内的任意两个自变量的值，，当时，都有，那么

就说在区间�上是减函数.�1�2�1<�2�(�1)>�(�2)

�·(属�)于定义域�内某个区间上；

·任意两个自�变量，且；

·都有�1或�2�1<�2；

·图象�特(�征1)：<在�单(�调2)区�间(�上1)增>函�数(�的2)图象从左向右是上升的，减函数的图象从左向右

是下降的.

（2）单调性与单调区间

·单调区间的定义：如果函数在区间上是增函数或减函数，那么就说函数在

区间上具有单调性，称为函数�(�)的单调区�间.�(�)

�·函数的单调性是函�数在某个�区(�间)上的性质.

（3）复合函数的单调性

复合函数的单调性遵从“同增异减”，即在对应的取值区间上，外层函数是增(减)函

数，内层函数是增(减)函数，复合函数是增函数；外层函数是增(减)函数，内层函数是

减(增)函数，复合函数是减函数.

2.函数的奇偶性

函数奇偶性的定义及图象特点

奇偶性定义图象特点

如果对于函数的定义域内任意一个，都有，那关于轴对

偶函数

么函数就叫做偶函数称

如果对于函数�(�)的定义域内任意一个�，都有�(−�)=�(�)，那关于�原点

奇函数

么函数�(�)就叫做奇函数对称

�(�)��(−�)=−�(�)

·关系判断法：判断与�的(�关)系时，也可以使用如下结论：如果

或(�(−�))，则�(函�)数为偶函数；如果�(或−�)−

�(−�)�(−�)

�(�)(=0�()�，)则=函1数�(�)≠为0奇函数.�(�)�(−�)+�(�)=0�(�)=

−1·�定(�义)≠域0对称性：由�函(�数)奇偶性的定义可知，函数具有奇偶性的一个前提条件是：对

于定义域内的任意一个，也在定义域内(即定义域关于原点对称).

�−�

3.函数的对称性

·若函数为偶函数，则函数关于对称.

·若函数�=�(�+�)为奇函数，则函数�=�(�)关于�点=�对称.

·若�=�(�+�)，则函数关于�=�对(�称).(�,0)

·若�(�)=�(2�−�)，则�函(�数)�关=于�点对称.

�(�)+�(2�−�)=2��(�)(�,�)

4.函数的周期性

（1）周期函数

对于函数，如果存在一个非零常数，使得当取定义域内的任何值时，都有

�=，�那(�么)就称函数为周期函�数，称为�这个函数的周期.

�(�+（�2)）=最�(小�)正周期�=�(�)�

如果在周期函数的所有周期中存在一个最小的正数，那么称这个最小正数叫做

的最小正周期.�(�)

�(�)

5.重要技巧

（1）单调性技巧

①证明函数单调性的步骤

·取值：设，是定义域内一个区间上的任意两个量，且；

·变形：作�差1变�形2(变�(形�)方法：因式分解、配方、有理化等)或作�商1<变�形2；

·定号：判断差的正负或商与1的大小关系；

·得出结论.

②函数单调性的判断方法

·定义法：根据增函数、减函数的定义，按照“取值-变形-判断符号-下结论”进行

判断.

·图象法：就是画出函数的图象，根据图象的上升或下降趋势，判断函数的单调性.

·直接法：就是对我们所熟悉的函数，如一次函数、二次函数、反比例函数等，直接

写出它们的单调区间.

③记住几条常用的结论

·若是增函数，则为减函数；若是减函数，则为增函数；

·若�(�)和均为增−(或�(减�))函数，则在�(�和)的公共定−义�(域�)上为增

(或减)函�数(�；)�(�)�(�)�(�)�(�)+�(�)

·若且为增函数，则函数为增函数，为减函数；

1

·若�(�)>0且�(�)为减函数，则函数�(�)为减函数，�(�)为增函数.

1

（2）奇�偶(�性)>技巧0�(�)�(�)�(�)

·函数具有奇偶性的必要条件是其定义域关于原点对称.

·奇偶函数的图象特征：函数是偶函数函数的图象关于轴对称；函数

是奇函数函数的图象关于原�点(�中)心对称.⇔�(�)��(�)

·若奇⇔函数�(�)在处有意义，则有（）；偶函数必满足

.�=�(�)�=0�0=0�=�(�)

偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上单调性相反；奇函数在其定义域内

�(�)·=�(|�|)

关于原点对称的两个区间上单调性相同.

·若函数的定义域关于原点对称，则函数能表示成一个偶函数与一个奇函数

的和的形式.记�(�)，�(�)，则.

11

·运算函数�的(�奇)=偶2性[�规(�律)+：�运(算−函�)数]是ℎ(指�)两=个2[(�或(�多)个−)�函(−数�式)]通过�加(�、)减=、�(乘�)、+除ℎ(四�)

则运算所得的函数，如,,,.对于运算函数有

如下结论：奇奇=奇；�(偶�)+偶�(=�偶)�；(�奇)−偶�(=�)非�奇(�非)×偶�；(�奇)�((�))÷奇�=(�偶)；奇()偶=

奇；偶()偶±=偶.±±×÷×÷

·复×合÷函数的奇偶性规律：内偶则偶，两奇为奇.

·常见奇偶�性=函�数[�模(�型)]：

奇函数：①函数或函数②函数

�()�.

�+1�−1�

��

.③函数�(�)=��−1�≠0或函数�(�)=��+1�(�)=±.(④�函−

−��+�2��−�2�

����

数�)�(�)=log�−�或=函lo数g1+�−��(�)=lo.注g意�+：�关=于log①式1，−可�+以�写成函

22

数�(�)=log�(�(+1+)�)或函数�(�)=log�(�(+1−)�.)

2�2�

��

�(�偶)函=数�：+①�−函1数�≠0�(�)=.②�函−数�+1�∈�.③函数类

�−�����

型的一切函数.④常数�函(�数)=.±(�+�)�(�)=log�(�+1)−2�(|�|)

（3）周期性技巧

函数式满足关系()周期

�∈�

�(�+�)=�(�)�

�(�+�);=−�(�)2�

11

�(�+�)=�(�)�(�+�)=−�(�)2�

�(�+�)=�(�−�)2�

�(�+�)=−�(�−�)4�

�(�+�)=�(�−�)2(�

�(�+为�偶)=函�数(�−�)−�)

�(�+�)=�(�−�)

2�

�(�)

�(�+�)=−�(�−�)2(�

�(�+为�奇)=函−数�(�−�)−�)

�(�+�)=−�(�−�)

2�

�(�)

�(�+�)=�(�−�)4(�

�(�+为�)奇=函−数�(�−�)−�)

�(�+�)=�(�−�)

4�

�(�)为偶函数

�(�+�)=−�(�−�)

4�

（4）函数的对称性与周期性的�(关�)系

·若函数有两条对称轴，()，则函数是周期函数，且

�.=�(�)�=��=��<��(�)

若函数的图象有两个对称中心，，则函数是周期

�=2·(�−�)()

函数，且�=�(�).(�,�)(�,�)�<��=�(�)

·若函�数=2(�−�)有一条对称轴和一个对称中心()，则函数是

周期函数，且�=�(�).�=�(�,0)�<��=�(�)

（5）对称性技�巧=4(�−�)

·若函数关于直线对称，则.

·若函数�=�(�)关于点�=对�称，则�(�+�)=�(�−�).

·函数�=�(�)与(�,�)关于�轴(�对+称�)，+函�(数�−�)=2�与关

于原点对称�.=�(�+�)�=�(�−�)��=�(�+�)�=−�(�−�)

（6）类周期函数与倍增函数

·类周期函数：若满足：或，则

横坐标每增加个单位�，=则�函(�数)值扩大�(�倍+.此�函)=数�称�为(�周)期�(为�)=的�类�(周�期−函�)数.�=�(�)

���

·倍增函数：若函数满足或，则横坐标

�

每扩大倍，则函数值扩�大=倍�(.�此)函数�称(�为�倍)=增�函�(数�).注意�(�当)=��(时�)，构成�一=系�(列�)平行的

分段函�数，��=�

�(�)=

�(�),�∈[1,�)

2.

�(�−�2+1),�∈[�2,�3)

�(�−�+1),�∈[�,�)

⋯

（）抽象函数�−的1模特函数�−1�

7�(�−�+1),�∈[�,�)

抽象函数的模特函数通常如下：

·若，则（）(正比例函数).

·若�(�+�)=�(�)+�(，�)则�(�)=（��）1(指数函数).

�

·若�(�+�)=�(�)�(�)，则�(�)=[�1(对]数函数).

·若�(��)=�(�)+�(，�)则�(�)=l(o幂g�函�数).

�

·若�(��)=�(�)�(�)�(�)=，�则（）(一次函数).

�(�+�)=�(�)+�(�)+��(�)=��1−�

三、方法总结

考点一：函数的单调性

考法1：判断或证明函数的单调性

·利用定义法证明单调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、

配方等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.

·解抽象函数不等式时，需注意函数定义域的限制.

考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小

·解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥

离，构造形如的奇函数.

·利用奇函�数(�)的=性�质(�)−�将不等式转化为的形式，再结合单调

性求解.�(−�)=−�(�)�(�)<�(�)

考法3：利用单调性求最值或值域

·对于形如且单调的问题，可通过解方程求出唯一的，进而

得到.�(�(�))=��(�)�(�)=��

�·求(�)出=函�数解析式后，再利用其单调性求特定区间上的最值或值域.

考法4：根据单调性求参数范围

·处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.

·列出不等式组时，需注意分界点处的不等关系，即左侧区间的最大值（或上确界）

必须小于等于右侧区间的最小值（或下确界）.

考点二：函数的奇偶性

考法5：判断或证明函数的奇偶性

·研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.

·判断奇偶性时，若定义域不关于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化

简解析式并验证.

考法6：利用奇偶�(性−求�)函=数±值�(或�)解析式

·遇到为偶（奇）函数时，可直接转化为关于直线对称（或关于点

中心对�(称�+）�.)�(�)�=�

(�,0)·利用对称性将未知自变量转化为已知自变量，是解决此类求值问题的核心技巧.

考法7：根据奇偶性求参数

·已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时

（）（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式，通过代数

�变形0求出=参0数.�(−�)±�(�)=0

考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值

·“奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则

.�(�)−��(�)+

在求最值时，常结合基本不等式中的“”的代换技巧，注意等号成立的条件

�(−·�)=2�1.

考点三：函数的对称性与周期性

考法9：判断或推导函数的对称性与周期性

·抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.

·牢记两个基本结论：若有两条对称轴，则必为周期函数；若有一个对称中

心和一条对称轴，也必为周期�函(�数).�(�)

考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和

·处理复杂函数的交点问题，“数形结合”是首选.

·若两个函数图象具有共同的对称中心，且有个交点，则这个交点的横坐标之

和为.(�,�)��

��

考法11：类周期函数的应用

·类周期函数的核心在于“递推”.解题时，先研究基础区间上的函数性质（如单调性、

最值、图象形状），再利用递推关系将这些性质推广到一般区间.

·对于交点个数问题，画出草图并关注峰值的变化是关键.

考点四：函数性质的综合应用

考法12：具体函数性质的综合判断与应用

·分离常数法是处理分式型函数单调性和值域的常用方法.

·证明方程在某区间存在实根时，构造函数并验证区间端点函数值异号（即零点存在

性定理）是标准且有效的方法.

考法13：构造函数利用性质解不等式

·解抽象或复杂函数不等式的核心是“脱去函数符号”.

·若是偶函数且在上单调递增，则；若单调递减，

则�(�)[.0,+∞)�(�)>�(�)⇔|�|>|�|

考�法(�1)4：>抽�(象�)函⇔数|�的|性<质|�推|导与证明（赋值法）

·抽象函数赋值的技巧在于“缺什么造什么”.求（）常令；求证奇偶性常

令或.�0�=�=0

�=·证0明单�=调−性�作差时，常利用换元技巧（如令，）将差化积.

�2+�1�2−�1

考法15：抽象函数性质的综合应用�=2�=2

·综合性抽象函数题往往涉及多个性质.解题时将每一个条件转化为最基本的数学表达

式（如）.

·求�(和�问+题�)通=常±存�(在�−周�期)性或抵消规律，计算前几项即可发现规律.

四、典题精讲

考点一：函数的单调性

考法1：判断或证明函数的单调性

例1.（2024·泰州海陵·期中）已知函数.

2�

（1）判断函数的单调性，并利用定义�证(�明)=；−�+1,�∈(0,+∞)

（2）若�(�)，求实数的取值范围.

【答案】�（(21�）−1)在>�(1−上�单)调递减，�证明见解析（2）

12

【思路】观察函�数(�)解析(0式,+特∞点)，利用定义法证明单调性通常按(照2,“3)取值、作差、变形、定号、下

结论”的步骤进行.对于不等式求解，先将不等式转化为函数值的大小关系，再结合函数的单调性

及定义域脱去函数符号.

【解析】（1）在上递减，理由如下：

�(�)(0,+∞)

任取，且，则

�1,�2∈(0,+∞)�1<�2，

2�22�12�1(�2+1)−2�2(�1+1)2(�1−�2)

�(�2)−�(�1)=−，�2+且1+�1+1=，(�2+1)(�1+1)=(�2+1)(�1+1)

∵�1,�2∈(0,+，∞)�1<�2，

∴�1−�2<0(�2+，1即)(�1+1)>0，

∴�(�2在)−�(�1)<上0递减；�(�2)<�(�1)

∴（�2(）�)由(（0,1+）∞可)知在上递减，

�(�)(0,+∞)

∴由，得，

2�−1>0

�(2�−1)>�(1−�)1−�>0

解得，2�−1<1−�

12

∴实2数<�的<取值3范围为.

12

【规律】�利用定义法证(明2,单3)调性的核心在于“作差后的变形”，通常采用通分、因式分解、配方

等手段，将差式化为几个因式乘积或商的形式，以便于判断符号.解抽象函数不等式时，需注意函

数定义域的限制.

考法2：利用函数的单调性与奇偶性解不等式或比较大小

例2.（2026·襄阳四中·阶段检测）已知函数，且

32��

，则实数的取值�(范�)围=是�（+2�+）2sin(2+4)+5

2

�(�−A.2�)+�(−3�+4)<12�

B.(1,4)

C.(−∞,1)∪(4,+∞)

D.(−4,1)

【答案】

(A−∞,−4)∪(1,+∞)

【思路】面对复杂的函数解析式，可考虑提取其中的非奇非偶常数部分，构造一个新的函数.探究

新函数的奇偶性与单调性，进而将原不等式转化为新函数的不等式，利用单调性脱去函数符号求

解.

【解析】.

3�3

令�(�)=�+2�+1−cos(�，+则2)+5=�+2�+sin�+6，，

3'2

�(�在)=上�(单�)调−递6=增，�且+2�+为si奇n�函数.�(�)=3�+2+cos�>0�(−�)=−�(�)

∴不�等(�式)��(�)，即，

22

即�(�−2�)+�(−3�+4)，<则12�(�−2�)−6+�(−3�+4)−6<，0

22

�(�−2�)+�(，−即3�+4)<0�，(�∴−2�)<−�.(−3�+4)=�(3�−4)

22

∴对�应−选2项�<A3.�−4�−5�+4<01<�<4

【规律】解决此类问题的通法是“构造奇函数”.当函数解析式中含有常数项时，通常将其剥离，

构造形如的奇函数.利用奇函数的性质将不等式转化为

的形�式(�，)再=结�(合�)单−调�性求解.�(−�)=−�(�)�(�)<

�考(�法)3：利用单调性求最值或值域

例3.（2024·河南·模拟）已知函数为定义在上的单调函数，且

�

，则在上的值域�为(�＿)＿＿＿＿�＿.�(�(�)−2−

2【�答)=案】10�(�)[−2,2]

7

【思路】[题−干4中,1给0]出了复合函数的嵌套等式，且已知函数为单调函数，利用单调函数的性质，即

函数值相等则自变量必相等.通过观察找出内层函数的值，从而确定原函数的解析式，最后在给定

区间上求值域.

【解析】∵为定义在上的单调函数，

∴存在唯一�的(�)，使得�，

则�∈�，�(�)=10，即，

���

∵�函(�数)−2−2�=为�增函�(数�)，−且2−2�=��(�，)∴=2+3，�=10

�2

�=2+3�.2+3×2=10�=2

�

�易(�知)=2在+2�+2上为增函数，且，（），

7

则�(在�)[−2,上2]的值域为�(.−2)=−4�2=10

7

【�规(�律)】[对−于2形,2]如[−且4,10]单调的问题，可通过解方程求出唯一的，进而得到

.求出函数解�(析�(式�)后)=，�再利�(用�)其单调性求特定区间上的最值�(或�)值=域�.�

�考(�法)=4：�根据单调性求参数范围

例4.（2025·河南创新·一模）已知是增函数，则实数的取

2�,�≤�,

值范围是（）�(�)=2�

�−4�+5,�>�

A.B.C.D.

【答案】

[1A,2][2,5][2,+∞)[5,+∞)

【思路】分段函数在整个定义域上单调递增，需要满足两个条件：一是各段函数在其各自的区间

上单调递增；二是分界点处的函数值满足左侧区间的最大值（或上确界）小于等于右侧区间的最

小值（或下确界）.

【解析】∵是定义在上的增函数，

�(�)，解�得或，

�≥2

又∴∵当2时，1≤�≤在2�≥5上单调递增，

2�≤�−4�+5

2

但在�≥上5单调递�(减�)，=不�符−合4题�意+，5(�,+∞)

(2,�).

对应选项

∴1≤�≤A2.

【规律】处理分段函数的单调性问题，关键在于“段段单调”和“边界衔接”两个要点.列出不等

式组时，需注意分界点处的不等关系.

考点二：函数的奇偶性

考法5：判断或证明函数的奇偶性

例5.（2026·广东佛山·二模）函数，则（）

�(�)=ln(�+3)+ln(3−�)

A.是奇函数

B.�(�)是周期函数

C.�(�)的最大值为2

D.�(�)（）

【答案】�D(−2)<�1

【思路】判断函数的奇偶性、周期性等性质，首要步骤是求出函数的定义域.化简解析式后，利用

定义验证与的关系.对于周期性，可利用反证法或特殊值法进行排除.比较函数值大小时，

直接代入�计(算−即�)可.�(�)

【解析】函数，定义域得.

�+3>0

化简得�(�)=ln(�+3)+ln(3−�)�∈(−3,3)

.3−�>0

2

选项A：�(�)=ln(9−�)，故是偶函数，不是奇函数，A错误.

22

选项B：假�(设−�)=是ln周(9期−函(数−，�)则)存=在ln非(9零−常�数)=，�(对�)任意�(�)，都有.

取，则�(�)（），即�，得�∈(−，3与,3)矛�(盾�.+�)=�(�)

2

故�假=设0不成立�(，�)=�不是0周期=函ln数9，Bl错n(误9−.�)=ln9�=0�≠0

选项C：取�，(�则)（）e，C错误.

选项D：�=0�0=ln9=2ln，3>（2ln）=2，∴（），

22

D正确.�(−2)=ln(9−(−2))=ln5�1=ln(9−1)=ln8>ln5�(−2)<�1

对应选项D.

【规律】研究对数型复合函数的性质，需遵循“定义域优先”原则.判断奇偶性时，若定义域不关

于原点对称，则函数非奇非偶；若对称，则进一步化简解析式并验证.

考法6：利用奇偶性求函数值或解析式�(−�)=±�(�)

例6.（2025·淮北淮南·二模）已知函数和的定义域均为，为偶函数，

为奇函数，若�(�)�(�)，则（�）�(�（+2)）

�2

�(�+A.2)�(�)+B.�(�)=3+log6(�+C2.)−40�0=D.

【答案】

4B20−2

【思路】题干中给出了两个函数的平移奇偶性，这实际上隐含了原函数的对称性.通过将平移后的

奇偶性转化为原函数的对称轴或对称中心，建立（）与（）、（）与（）之间的联系.再

结合已知等式，利用赋值法构造方程组求解.�0�4�0�4

【解析】∵为偶函数，∴，

的图象�关(�于+2)对称，因此�(（−�）+2)=（�(）�+.2)

∴�(�)为奇函数�，=∴2�0=�，4

∵令�(�+2得)（）�（(−）�，+2)=−�(�+2)

当�=2时�，（0）=−�（4），

42

当�=4时，�（4）+�（4）=3+log6(4+2)−40=41+，log618

0

由�（=0）�（0），+�（0）=3（+l）og得62，−40=log62−39

�0=�4�0=−�4

（）（），

�两式4相加−得�4（=）log62−39，

（）2.�4=41+log618+log62−39=2+log636=4

∴对�应选4项=B.2

【规律】遇到为偶（奇）函数时，可直接转化为关于直线对称（或关于点

中心对称）.利�用(�对+称�)性将未知自变量转化为已知自变量，�(是�)解决此类求�值=问�题的核心技巧.(�,0)

考法7：根据奇偶性求参数

例7.（2025·江西上进·5月联考）已知函数为奇函数，则

5

�

（）�(�)=�−5+1cos��=

A.B.C.D.

5

【答案】5C421

【思路】已知函数为奇函数，且定义域为，最直接的方法是利用奇函数的定义，即

恒成立，代入解析式后整理，使�等式与无关，从而解出参数.�(−�)+

�【(�解)析=】0易知的定义域为，且是奇函数�，则

5

−�

�(�)，解得�.�(�)�(−�)+�(�)=�−5+1cos(−�)+

55

�

对�应−选5项+1Cc.os�=0�=2

【规律】已知奇偶性求参数，常用方法有两种：一是利用特殊值，如奇函数在原点有定义时

（）（必要不充分条件，需检验）；二是利用恒等式，通过代数变形求

�出参0数.=0�(−�)±�(�)=0

考法8：奇函数平移模型（f（x）=奇函数+M）求值或最值

例8.已知在上单调递增，且为奇函数.若正实数满足，

则的最�(�小)值+为1（�）�,��(�−4)+�(�)=−2

12

�+A�.B.C.D.

3233

【答案】4A+24+23+222+2

【思路】题干中给出了为奇函数，这意味着的图象可以由一个奇函数平移得到.利用

奇函数的性质�(�)+1，可推导出满足�的(�对)称关系.结合已知等式得到的关系，

最后利用“乘�1(法−”�)和+基�本(�)不=等0式求出最小值�(.�)�,�

【解析】∵为奇函数，∴，

由�(�)+1得�(�)+1+�(−�，)+1=0⇒�(�)+�(−�)=−2

�(�−4)+，�(∴�)=−2�−4=−�⇒�+�=4，

121121�2�132

当∵�且>仅0,当�>0时�+取�等=号4，(�故+�)(�的+最�)小=值4为(3+�+，�)≥4(3+22)=4+2

1232

对应选项�A=.2��+�4+2

【规律】“奇函数平移模型”的本质是函数的中心对称性.若是奇函数，则

.在求最值时，常结合基本不等式中的“1”的代换技�巧(�，)−注�意等号成立的条�件(�.)+�(−

�)=2�

考点三：函数的对称性与周期性

考法9：判断或推导函数的对称性与周期性

例9.（2024·山东烟台·二模）（多选）定义在上的函数满足，

是偶函数，（），则（）��(�)�(�)+�(4+�)=0

�(2+A2.�)是奇函数�1=1

B.�（(�)）

C.�2的02图3象关=−于1直线对称

D.�(�)�=1

100

【答案】A�=B1D��(2�−1)=−100

【思路】面对多个抽象函数的关系式，需逐一破译其背后的性质.由为偶函数可推导对称

轴；由可推导周期；结合两者可推导奇偶性.对于�(求2+和2问�)题，需探究数列

�(�)的+周�(期4+性�，)将=大0项求和转化为一个周期内的求和.

{【�(解2�析−】1对)}于选项A，∵是偶函数，∴，

∴函数关于直线�(对2称+，2�∴)�(2−，2�)=�(2+2�)

�(�)�，=∴2�(−�，)=∴�(4+是�奇)函数，则A正确；

∵对�于(�选)+项�(B4，+∵�)=0�(−�)，=−∴�(�)�(�)，∴,

的周期为8�，(4∴+�（)=−�(）�)�(8+�)=−�(4+�)�(8（+�）)=�(�)，则B正确；

∴对�于(�选)项C，若的�图象20关23于直=线�(253对×8称−，1则)=（�(）−1)=−�，1=−1

但是�(（�)），（�）=1（）�，3即（=�）(−1)，这与假设条件矛盾，

则选�项(−C错1)误=；−�1=−1�3=�1=1�3≠�(−1)

对于选项D，将代入，得（）（），

1

将，代入�=2�(2−2�)，=得�(（2+）2�)（�）3=�，1=1

同�理=可1知（）�(�)+�（(4）+�)=0，�5=−�1=−1

又∵的�周7期为=−8，�∴3=正−奇1数项的周期为4，

�(�)（�）(�)（）（）（）

100

∴�=1（��）(2�−1（)=）�1（+2）�3（+3）�5+（⋯）+100�（19）9（）（）

=[�（1+）2�3（+3�）5+4（�7）]+[5�（9+）6�11+7�13+，8�则D15正确]⋯.

+对[应97选�项1A93BD.+98�195+99�197+100�199]=25×(−4)=−100

【规律】抽象函数性质的推导犹如“多米诺骨牌”，一个性质往往能引出另一个性质.牢记两个基

本结论：若有两条对称轴，则必为周期函数；若有一个对称中心和一条对称轴，也必为

周期函数.�(�)�(�)

考法10：利用对称性与周期性求函数值或求和

例10.（2025·江苏高邮·一模）已知定义在上的偶函数满足，当

时，，函数��(�)，则�(�)与=−�(的2−图�象)所有

�交∈点[的0,1横)坐标�之(�和)=为2＿co＿s�＿�＿＿＿.�(�)=�−1(−1≤�≤3)�(�)�(�)

【答案】5

【思路】求解两函数图象交点横坐标之和，通常不直接求出交点坐标，而是利用函数的对称性.分

析和的性质，发现它们具有共同的对称中心.通过画出函数图象，确定交点个数，进而利

用�对(�称)中�心(�的)性质直接求和.

【解析】函数的图象是中心对称图形，对称中心为.

定义在上的偶�(函�)数=�−满1(足−1≤�≤3)，(1,0)

则函数�有对称轴�为(�)轴，对�(称�)中=心−�(2−；�)

又当�(�)时，�，(1,0)

当�∈时[0,，1)（�）(�)=2cos��，解得（），由题意可得（），而

�=1（�）1.=−�(2−1)�1=0�(−1)=�3=0�(−

1)=−2,�3，=两2函数图象无交点，

∴在�同=一−坐1,标�=系3在内作出与的图象，

(−1,3)�(�)�(�)

当，，

令�∈[2,3)�(�)=−�(2−�)=−�(�−2)=−2cos[�(�，−2)]

则�(�)=�(�)−�(�)=�−1，+且2cos（[�(）�−2)],�∈，[2,3)

''

∴�存(在�)=1−2�s，in[使�(得�当−2)]�时3，=1>0，单调递增，

5'

∴当�0∈(2,时3)，�（∈(�）0,3)，即�(�)>0�(，�)

结合�图∈象(可�0得,3，)�与(�)<�图象3有=5个0交点�，(�)<�(�)

又均是�与(�)�的(�图)