2027届广东省深圳市北环中学数学九年级第一学期期末考试试题含解析

2027届广东省深圳市北环中学数学九年级第一学期期末考试试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题(每小题3分,共30分)1．若是方程的两根，则实数的大小关系是（）A． B． C． D．2．圆锥的底面半径是，母线为，则它的侧面积是（）A． B． C． D．3．如图，直线l和双曲线y=(k>0)交于A、B两点，P是线段AB上的点(不与A、B重合)，过点A、B、P分别向x轴作垂线，垂足分别为C、D、E，连接OA、OB、OP，设△AOC的面积为S1、△BOD的面积为S2、△POE的面积为S3，则()A．S1＜S2＜S3 B．S1＞S2＞S3 C．S1＝S2＞S3 D．S1＝S2＜S34．如图是一棵小树一天内在太阳下不同时刻的照片，将它们按时间先后顺序进行排列正确的是（）A．③—④—①—② B．②—①—④—③ C．④—①—②—③ D．④—①—③—②5．一元二次方程x2+4x＝5配方后可变形为（）A．（x+2）2＝5 B．（x+2）2＝9 C．（x﹣2）2＝9 D．（x﹣2）2＝216．某公司2017年的营业额是万元，2019年的营业额为万元，设该公司年营业额的平均增长率为,根据题意可列方程为()A． B．C． D．7．与y=2（x﹣1）2+3形状相同的抛物线解析式为（）A．y=1+x2 B．y=（2x+1）2 C．y=（x﹣1）2 D．y=2x28．在矩形ABCD中，AB=12，P是边AB上一点，把△PBC沿直线PC折叠，顶点B的对应点是G，过点B作BE⊥CG，垂足为E，且在AD上，BE交PC于点F，那么下列选项正确的是（）①BP=BF；②如图1，若点E是AD的中点，那么△AEB≌△DEC；③当AD=25，且AE＜DE时，则DE=16；④在③的条件下，可得sin∠PCB=；⑤当BP=9时，BE∙EF=108.A．①②③④ B．①②④⑤ C．①②③⑤ D．①②③④⑤9．如图，将绕点，按逆时针方向旋转120°，得到（点的对应点是点，点的对应点是点），连接.若，则的度数为（）A．15° B．20° C．30° D．45°10．在中，，，则的值为()A． B． C． D．二、填空题(每小题3分,共24分)11．在一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黄色兵乓球和若干个白色兵乓球，从盒子里随机摸出一个兵乓球，摸到黄色兵乓球的概率为，那么盒子内白色兵乓球的个数为________.12．方程2x2﹣6=0的解是_____．13．如图，A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是_____．14．请写出一个开口向上，并且与y轴交于点（0，－1）的抛物线的表达式：______15．在英语句子“Wishyousuccess”（祝你成功）中任选一个字母，这个字母为“s”的概率是．16．如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD的三个顶点A、B、D均在抛物线y=ax2﹣4ax+3（a＜0）上．若点A是抛物线的顶点，点B是抛物线与y轴的交点，则AC长为_____．17．如图，在平面直角坐标系中，第二象限内的点P是反比例函数y＝（k≠0）图象上的一点，过点P作PA⊥x轴于点A，点B为AO的中点若△PAB的面积为3，则k的值为_____．18．将一个含45°角的三角板，如图摆放在平面直角坐标系中，将其绕点顺时针旋转75°，点的对应点恰好落在轴上，若点的坐标为，则点的坐标为____________．三、解答题(共66分)19．（10分）在推进城乡生活垃圾分类的行动中，某校数学兴趣小组为了了解居民掌握垃圾分类知识的情况，对两小区各600名居民进行测试，从中各随机抽取50名居民成绩进行整理得到部分信息：（信息一）小区50名居民成绩的频数直方图如图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值）；（信息二）上图中，从左往右第四组成绩如下：75777779797980808182828383848484（信息三）两小区各50名居民成绩的平均数、中位数、众数、优秀率（80分及以上为优秀）、方差等数据如下（部分空缺）：小区平均数中位数众数优秀率方差75.1___________7940%27775.1777645%211根据以上信息，回答下列问题：（1）求小区50名居民成绩的中位数；（2）请估计小区600名居民成绩能超过平均数的人数；（3）请尽量从多个角度，选择合适的统计量分析两小区参加测试的居民掌握垃圾分类知识的情况．20．（6分）已知抛物线y＝x2+bx+c经过原点，对称轴为直线x＝1，求该抛物线的解析式．21．（6分）已知：AB为⊙O的直径．（1）作OB的垂直平分线CD，交⊙O于C、D两点；（2）在（1）的条件下，连接AC、AD，则△ACD为三角形．22．（8分）如图，已知直线AB与轴交于点C，与双曲线交于A（3，）、B（-5，）两点.AD⊥轴于点D，BE∥轴且与轴交于点E.（1）求点B的坐标及直线AB的解析式；（2）判断四边形CBED的形状，并说明理由.23．（8分）如图，有四张背面相同的纸牌A、B、C、D，其正面分别画有四个不同的图形，小明将这四张纸牌背面朝上洗匀后随机摸出一张，放回后洗匀再随机摸出一张．（1）用树状图（或列表法）表示两次摸牌所有可能出现的结果（纸牌用A、B、C、D表示）；（2）求两次摸出的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的概率．24．（8分）如图1，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且PA=PE，PE交CD于F.（1）证明：△APD≌△CPD；（2）求∠CPE的度数；（3）如图2，把正方形ABCD改为菱形ABCD，其他条件不变，当∠ABC=120°时，连接CE，试探究线段AP与线段CE的数量关系，并说明理由.25．（10分）如图，边长为3正方形的顶点与原点重合，点在轴，轴上。反比例函数的图象交于点，连接，.（1）求反比例函数的解析式；（2）过点作轴的平行线，点在直线上运动，点在轴上运动.①若是以为直角顶点的等腰直角三角形，求的面积；②将“①”中的“以为直角顶点的”去掉，将问题改为“若是等腰直角三角形”，的面积除了“①”中求得的结果外，还可以是______.（直接写答案，不用写步骤）26．（10分）（定义）在平面直角坐标系中，对于函数图象的横宽、纵高给出如下定义：当自变量x在范围内时，函数值y满足．那么我们称b-a为这段函数图象的横宽，称d-c为这段函数图象的纵高．纵高与横宽的比值记为k即：．（示例）如图1，当时；函数值y满足，那么该段函数图象的横宽为2-（-1）=1，纵高为4-1=1．则．（应用）（1）当时，函数的图象横宽为，纵高为；（2）已知反比例函数，当点M(1，4)和点N在该函数图象上，且MN段函数图象的纵高为2时，求k的值．（1）已知二次函数的图象与x轴交于A点，B点．①若m=1，是否存在这样的抛物线段，当()时，函数值满足若存在，请求出这段函数图象的k值；若不存在，请说明理由．②如图2，若点P在直线y=x上运动，以点P为圆心，为半径作圆，当AB段函数图象的k=1时，抛物线顶点恰好落在上，请直接写出此时点P的坐标．

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、A【分析】设，可判断抛物线开口向下，m、n是其与x轴交点的横坐标，a、b则是抛物线与直线y=2的交点横坐标，画出函数草图即可判断.【详解】设，可判断抛物线开口向下，m、n是其与x轴交点的横坐标，a、b则是抛物线与直线y=2的交点横坐标，画出函数草图如下：从函数图象可以看出：故选：A本题考查的是二次函数与一元二次方程的关系，掌握抛物线与x轴的交点的横坐标为y=0时，一元二次方程的根是关键.2、A【分析】根据圆锥的侧面积＝底面周长×母线长计算．【详解】圆锥的侧面面积＝×6×5＝15cm1．故选：A．本题考查圆锥的侧面积＝底面周长×母线长，解题的关键是熟知公式的运用.3、D【分析】根据双曲线的解析式可得所以在双曲线上的点和原点形成的三角形面积相等，因此可得S1＝S2，设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M，则可得△OP1M的面积等于S1和S2，因此可比较的他们的面积大小.【详解】根据双曲线的解析式可得所以可得S1＝S2=设OP与双曲线的交点为P1，过P1作x轴的垂线，垂足为M因此而图象可得所以S1＝S2＜S3故选D本题主要考查双曲线的意义，关键在于，它代表的就是双曲线下方的矩形的面积.4、B【分析】根据一天中影子的长短和方向判断即可.【详解】众所周知，影子方向的变化是上午时朝向西边，中午时朝向北边，下午时朝向东边；影子长短的变化是由长变短再变长，结合方向和长短的变化即可得出答案故选B本题主要考查影子的方向和长短变化，掌握影子的方向和长短的变化规律是解题的关键.5、B【分析】两边配上一次项系数一半的平方可得．【详解】∵x2+4x=5，∴x2+4x+4=5+4，即（x+2）2=9，故选B．本题主要考查解一元二次方程的基本技能，熟练掌握解一元二次方程的常用方法和根据不同方程灵活选择方法是解题的关键．6、A【分析】根据题意2017年的营业额是100万元，设该公司年营业额的平均增长率为,则2018年的营业额是100(1+x)万元，2019年的营业额是100(1+x)²万元，然后根据2019年的营业额列方程即可.【详解】解：设年平均增长率为,则2018的产值为:,2019的产值为:．那么可得方程:．故选:．本题考查的是一元二次方程的增长率问题的应用.7、D【分析】抛物线的形状只是与a有关，a相等，形状就相同．【详解】y=1（x﹣1）1+3中，a=1．故选D．本题考查了抛物线的形状与a的关系，比较简单．8、C【分析】易证BE∥PG可得∠FPG=∠PFB，再由折叠的性质得∠FPB=∠FPG，所以∠FPB=∠PFB，根据等边对等角即可判断①；由矩形的性质得∠A=∠D=90°，AB=CD，用SAS即可判定全等，从而判断②；证明△ABE∽△DEC，得出比例式建立方程求出DE，从而判断③；证明△ECF∽△GCP，进而求出PC，即可得到sin∠PCB的值，从而判断④；证明△GEF∽△EAB，利用对应边成比例可得出结论，从而判断⑤.【详解】①∵四边形ABCD为矩形，顶点B的对应点是G，∴∠G=90°，即PG⊥CG，∵BE⊥CG∴BE∥PG∴∠FPG=∠PFB由折叠的性质可得∠FPB=∠FPG，∴∠FPB=∠PFB∴BP=BF，故①正确；②∵四边形ABCD为矩形，∴∠A=∠D=90°，AB=DC又∵点E是AD的中点，∴AE=DE在△AEB和△DEC中，∴△AEB≌△DEC（SAS），故②正确；③当AD=25时，∵∠BEC=90°，∴∠AEB+∠CED=90°，∵∠AEB+∠ABE=90°，∴∠CED=∠ABE，∵∠A=∠D=90°，∴△ABE∽△DEC，∴，即，解得AE=9或16，∵AE＜DE，∴AE=9，DE=16，故③正确；④在Rt△ABE中，在Rt△CDE中，由①可知BE∥PG，∴△ECF∽△GCP∴设BP=BF=PG=a，则EF=BE-BF=15-a，由折叠性质可得CG=BC=25，∴，解得，在Rt△PBC中，∴sin∠PCB=，故④错误.⑤如图，连接FG，

∵∠GEF=∠PGC=90°，

∴∠GEF+∠PGC=180°，

∴BF∥PG

∵BF=PG，

∴四边形BPGF是菱形，

∴BP∥GF，GF=BP=9

∴∠GFE=∠ABE，

∴△GEF∽△EAB，

∴

∴BE•EF=AB•GF=12×9=108，故⑤正确；①②③⑤正确，故选C.本题考查四边形综合问题，难度较大，需要熟练掌握全等三角形的判定，相似三角形的判定和性质，以及勾股定理和三角函数，综合运用所学几何知识是关键.9、C【分析】根据旋转的性质得到∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，根据等腰三角形的性质易得∠AB′B=30°，再根据平行线的性质即可得∠C′AB′=∠AB′B=30°．【详解】解：∵将△ABC绕点A按逆时针方向旋转l20°得到△AB′C′，

∴∠BAB′=∠CAC′=120°，AB=AB′，

∴∠AB′B=（180°-120°）=30°，

∵AC′∥BB′，

∴∠C′AB′=∠AB′B=30°，

∴∠CAB=∠C′AB′=30°，

故选：C．本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．10、D【分析】在Rt△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°，根据互余两角的三角函数的关系就可以求解．【详解】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A+∠B=90°，则cosB=sinA=．故选：D．本题考查了互余两角三角函数的关系，在直角三角形中，互为余角的两角的互余函数相等．二、填空题(每小题3分,共24分)11、1【分析】先求出盒子内乒乓球的总个数，然后用总个数减去黄色兵乓球个数得到白色乒乓球的个数．【详解】解：盒子内乒乓球的总个数为2÷＝6（个），白色兵乓球的个数6−2＝1（个），故答案为：1．此题主要考查了概率公式，关键是掌握随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．12、x1=，x2=﹣【解析】此题通过移项，然后利用直接开平方法解方程即可.【详解】方程2x2﹣6=0，即x2=3，开方得：x=±，解得：x1=，x2=﹣，故答案为：x1=，x2=﹣此题主要考查了一元二次方程的解法—直接开平方法，比较简单.13、2【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及A，B两点的横坐标，求出A（1，1），B（4，1）．再过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOC=S△BOD=×4=1．根据S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，得出S△AOB=S梯形ABDC，利用梯形面积公式求出S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+1）×1=2，从而得出S△AOB=2．【详解】解：∵A，B是反比例函数y=在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是1和4，

∴当x=1时，y=1，即A（1，1），

当x=4时，y=1，即B（4，1）．

如图，过A，B两点分别作AC⊥x轴于C，BD⊥x轴于D，则S△AOC=S△BOD=×4=1．

∵S四边形AODB=S△AOB+S△BOD=S△AOC+S梯形ABDC，

∴S△AOB=S梯形ABDC，

∵S梯形ABDC=（BD+AC）•CD=（1+1）×1=2，

∴S△AOB=2．

故答案是：2．主要考查了反比例函数y=中k的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即S=|k|．14、y=x2-1（答案不唯一）．【解析】试题分析：抛物线开口向上，二次项系数大于0，然后写出即可．抛物线的解析式为y=x2﹣1．考点：二次函数的性质．15、【解析】试题解析：在英语句子“Wishyousuccess!”中共14个字母，其中有字母“s”4个．故其概率为.考点：概率公式．16、1.【解析】试题解析：抛物线的对称轴x=-=2，点B坐标（0，3），∵四边形ABCD是正方形，点A是抛物线顶点，∴B、D关于对称轴对称，AC=BD，∴点D坐标（1，3）∴AC=BD=1．考点：1.正方形的性质；2.二次函数的性质．17、-1．【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出的面积，再根据线段中点的性质可知，最后根据双曲线所在的象限即可求出k的值.【详解】如图，连接OP∵点B为AO的中点，的面积为3由反比例函数的几何意义得则，即又由反比例函数图象的性质可知则解得故答案为：.本题考查了反比例函数的图象与性质、线段的中点，熟记反比例函数的性质是解题关键.18、【分析】先求得∠ACO=60°，得出∠OAC=30°，求得AC=2OC=2，解等腰直角三角形求得直角边为，从而求出B′的坐标．【详解】解：∵∠ACB=45°，∠BCB′=75°，

∴∠ACB′=120°，

∴∠ACO=60°，

∴∠OAC=30°，

∴AC=2OC，

∵点C的坐标为（1，0），

∴OC=1，

∴AC=2OC=2，

∵△ABC是等腰直角三角形，∴B′点的坐标为此题主要考查了旋转的性质及坐标与图形变换，同时也利用了直角三角形性质，首先利用直角三角形的性质得到有关线段的长度，即可解决问题．三、解答题(共66分)19、（1）76；（2）300人；（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数【分析】（1）因为有50名居民，中位数应为第25名和第26名成绩的平均值，所以中位数落在第四组，再根据信息二中的表格数据可得出结果；

（2）先求出A小区超过平均数的人数，即（16-1）+10=25（人），再根据小区600名居民成绩能超过平均数的人数=600×，即可得出结果；

（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．【详解】解：（1）因为有50名居民，中位数应为第25名和第26名成绩的平均值.而前三组的总人数为：4+8+12=24（人），所以中位数落在第四组，第25名的成绩为75分，第26名的成绩为77分，所以中位数为76，故答案为：76；（2）根据题意得，600×=300（人），答：A小区600名居民成绩能超过平均数的人数300人；（3）从平均数看，两个小区居民对垃圾分类知识掌握情况的平均水平相同；从方差看，B小区居民对垃圾分类知识掌握的情况比A小区稳定；从中位数看，B小区至少有一半的居民成绩高于平均数．（答案不唯一，合理即可；）本题考查的是条形统计图．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．20、y＝x2﹣2x．【分析】根据抛物线经过原点可得c=0，根据对称轴公式求得b，即可求得其解析式．【详解】∵抛物线y＝x2+bx+c经过原点，∴c＝0，又∵抛物线y＝x2+bx+c的对称轴为x＝1，∴﹣＝1，解得b＝﹣2∴抛物线的解析式为y＝x2﹣2x．本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，熟练掌握对称轴公式是解题的关键．21、（1）见解析；（2）等边．【分析】（1）利用基本作图，作CD垂直平分OB；

（2）根据垂直平分线的性质得到OC=CB，DO=DB，则可证明△OCB、△OBD都是等边三角形，所以∠ABC=∠ABD=60°，利用圆周角定理得到∠ADC=∠ACD=60°，则可判断△ACD为等边三角形．【详解】解：（1）如图，CD为所作；（2）如图，连接OC、OD、BC、BD，∵CD垂直平分OB，∴OC＝CB，DO＝DB，∴OC＝BC＝OB＝BD，∴△OCB、△OBD都是等边三角形，∴∠ABC＝∠ABD＝60°，∴∠ADC＝∠ACD＝60°，∴△ACD为等边三角形．故答案是：等边．本题考查了基本作图及圆周角定理：证明△OCB、△OBD是等边三角形是解本题的关键．22、（1）点B的坐标是（-5，-4）；直线AB的解析式为：（2）四边形CBED是菱形.理由见解析【解析】（1）根据反比例函数图象上点的坐标特征，将点A代入双曲线方程求得k值，即利用待定系数法求得双曲线方程；然后将B点代入其中，从而求得a值；设直线AB的解析式为y=mx+n，将A、B两点的坐标代入，利用待定系数法解答；（2）由点C、D的坐标、已知条件“BE∥x轴”及两点间的距离公式求得，CD=5，BE=5，且BE∥CD，从而可以证明四边形CBED是平行四边形；然后在Rt△OED中根据勾股定理求得ED=5，所以ED=CD，从而证明四边形CBED是菱形．【详解】解：（1）∵双曲线过A（3，），∴.把B（-5，）代入,得.∴点B的坐标是（-5，-4）设直线AB的解析式为，将A（3，）、B（-5，-4）代入得，，解得：.∴直线AB的解析式为：（2）四边形CBED是菱形.理由如下:点D的坐标是（3,0），点C的坐标是（-2,0）.∵BE∥轴，∴点E的坐标是（0,-4）.而CD=5，BE=5，且BE∥CD.∴四边形CBED是平行四边形在Rt△OED中，ED2＝OE2＋OD2，∴ED＝＝5，∴ED＝CD.∴□CBED是菱形23、（1）见解析；（2）【分析】（1）用列表法或画出树状图分析数据、列出可能的情况即可．（2）A、B、D既是轴对称图形，也是中心对称图形，C是轴对称图形，不是中心对称图形．列举出所有情况，让两次摸牌的牌面图形既是中心对称图形又是轴对称图形的情况数除以总情况数即为所求的概率．【详解】（1）列表如下：ABCDA（A，A）（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，B）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，C）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）（D，D）（2）从表中可以得到，两次摸牌所有可能出现的结果共有16种，其中既是中心对称图形又是轴对称图形的有9种．故所求概率是．考点：1．列表法与树状图法；2．轴对称图形；3．中心对称图形．24、（1）证明见解析；（2）90°；（3）AP=CE.【分析】（1）利用正方形得到AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，即可证明全等；（2）设，利用三角形内角和性质及外角性质得到，，再利用周角计算得出x值；（3）AP=CE.设，利用三角形内角和性质及外角性质得到，，求出，得到是等边三角形，即可证得AP=CE.【详解】解：（1）四边形ABCD是正方形，∴AD=CD，∠ADP=∠CDP=45，在与中，，∴；（2）设，由（1）得，，因为PA=PE，所以所以；（3）AP=CE.设，由（1）得，，∵PA=PE且在菱形ABCD中，∴，∴，由（1）得PA=PC，∴PC=PE，∴是等边三角形，∴PE=PC=CE，∴AP=CE.此题考查全等三角形的判定，正方形的性质，菱形的性质，三角形的内角和及外角性质，（2）与（3）图形有变化，解题思路不变，做题中注意总结解题的方法.25、（1）；（2）①或.②1或2.【解析】（1）设的坐标分别为，根据三角形的面积，构建方程即可解决问题．

（2）①分两种情形画出图形：当点P在线段BM上，当点P在线段BM的延长线上时，分别利用全等三角形的性质求解即可．

②当点Q是等腰三角形的直角顶点时，分两种情形分别求解即可．【详解】解：（1））∵四边形OACD是正方形，边长为3，

∴点B的纵坐标为3，点E的横坐标为3，

∵反比例函数的图象交AC，CD于点B，E，设的坐标分别为.∵S△OBE=4，可得，.解得，，（舍）.所以，反比例函数的解析式为.（2））①如图1中，设直线m交OD于M．由（1）可知B（1，3），AB=1，B