附录C 数字滤波器的格型结构

附录C数字滤波器的格型结构第五章中分别介绍了IIR和FIR数字滤波器系统的几种网络结构，它们各具有特点。本节将介绍一类对有限字长效应不太敏感，且适合于递推算法的格型（Lattice）网络结构，它在数字语音处理、自适应滤波、线性预测及谱估计等领域得到了广泛的应用。本节分别介绍全零点(FIR)格型滤波器和全极点(IIR)格型滤波器。C.1全零点格型滤波器一个长度为(或阶数为)的FIR滤波器的系统函数为 (C-1)其级格型结构如图C-1所示，它可以看成是由图C-2所示的全零点格型结构的基本单元级联而成。图C-1全零点格型滤波器图C-2全零点格型结构的基本单元在图C-2所示的基本单元中，其输入、输出关系为， (C-2a)，(C-2b)式中，格型滤波器系数()也称为其反射系数。实际上，确定FIR系统的级全零点格型结构的过程，主要就是根据系统函数或差分方程求格型滤波器系数的过程。由图（C-1）可见，和与滤波器输入信号相同，级格型滤波器的输出为，即 (C-2c) (C-2d)式(C-2c)说明输入信号同时为第一级单元的两个输入，且整个网络的输出由最后一级的一个输出所决定。将式(C-2a)~式(C-2d)分别进行Ｚ变换，可得， (C-3a)， (C-3b) (C-3c) (C-3d)将式(C-3a)、式(C-3b)写成矩阵形式，得 (C-4)由于整个格型滤波器由级单元格型级联而成，每个网络单元的两个输出为下一级网络单元的输入，同时考虑式(C-2a)和(C-2b)，故可得(C-5) (C-6)由式(C-6)可求出全零点格型网络的系统函数为比如，当时，有将其展开可得则与式(C-1)比较得,这样就可以求出二阶FIR滤波器的格型网络的系数和，从而实现对滤波器的求解，得,其结构如图C-3所示。图C-3二阶全零点格型网络格型滤波器的系数还可通递推公式求得，具体过程请参考文献[3]:设M阶FIR滤波器系统函数为格型滤波器系数()。 (C-7a) (C-7b)(C-7c)上面式中，。上式中下标表示系数序号；上标表示递推序号，从（M）开始由大向小递推。注意式(C-7b)中，表示当递推到上标圆弧中的数字与下标相同时，格型结构的系数刚好与相等。从上面的矩阵表示式和递推公式可看出只要任一个，则算法就失效了。如果FIR滤波器为对称滤波器，归一化后应有，根据上述递推公式一定有，此时递推算法失效。用递推公式求解系数也十分繁琐，所幸的是MATLAB信号处理工具箱提供了专门的函数可非常容易地求出反射系数。下面给出重要的全零点格型滤波器MATLAB实现函数及调用格式:K=tf2latc(b)：已知FIR数字滤波器的直接型系数向量b，返回反射系数向量K。这里要求=1，若则必须进行归一化处理。b=latc2tf(K)：已知格型滤波器的反射系数向量K，返回FIR滤波器的系数向量b。y=latcfilt(K，x)：已知反射系数向量K和输入信号x，求得系统输出y。【例C-1】已知系统函数为，利用MATLAB求该系统的格型结构。解直接调用MATLAB函数结果为>>b=[0.96,2,2.8,1.5]./0.96=[1.00002.08332.91671.5625];>>K=tf2latc(b)K=1.38990.23491.5625画出如图C-4所示的直接型（见图C-4（a））和格型（见图C-4（b））结构。(a)直接型(b)格型图C-4例C-1的滤波器结构C.2全极点格型滤波器一个全极点型的IIR滤波器也可用格型网络表示，它可根据FIR格型网络变换而来。设一个阶全极点滤波器系统函数为 (C-8)与式(C-1)比较看出，如果把FIR系统的求逆，则形式与全极点形式完全相同。所以全极点的IIR为阶FIR格型网络的逆系统，其格型网络可利用FIR系统得来。图C-5所示为一个阶全极点格型网络，其网络单元如图C-6所示[2]。图C-5全极点格型滤波器图C-6全极点格型结构的基本单元在图C-6所示的基本单元中，其输入、输出关系为 (C-9a) (C-9b) (C-9c) (C-9d)对式(C-9)求Z变换得 (C-10a) (C-10b) (C-10c) (C-10d)将式(C-10a)、式(C-10b)写成矩阵形式为 (C-11)式(C-11)表明了格型网络输出与前一级输出的递推关系。按照格型网络的级联结构，若最后一级的输出为。将代入式(C-10d)可得 (C-12)将式(C-12)与式(C-6)比较，两者只有输入和在公式中互换了位置，由此证明全零点格型网络与全极点格型网络的系统函数互为倒数。所以可以按照系统求逆准则从级全零点网络系统得到级全极点网络系统。系统求逆具体步骤如下。（1）交换输入和输出的位置；（2）改变输入至输出的全部无延时支路的信号流向，并把该支路的增益取倒数；（3）把指向该支路的各节点的其他支路增益乘。既然与FIR格型滤波器相同，IIR滤波器的系数求法应相同，矩阵法和递推公式也相同。故仍可用MATLAB信号处理工具箱的tf2latc函数。调用格式为K=tf2latc(a)；该函数在已知全极点IIR滤波器直接型系数向量，则返回格型滤波器反射系数向量。【例C-2】全极点IIR滤波器由下式给出，利用MATLAB求它的格型网络。解MATLAB程序如下：>>a=[1,13/24,5/8,1/3];>>K=tf2latc(a)K=0.25000.50000.3333将所得系数填入图C-5相应的位置即可。对于一般的IIR数字滤波器系统函数既含有零点，又有极点，这种滤波器的格型网络可以全极点格型作为基本框架来实现。由于对一个含有零极点的格型网络的分析十分复杂，下面只作简单介绍。一个一般的IIR系统函数可表示为,≥ (C-13)首先根据式(C-13)的分母多项式，实现以系数为系数的全极点格型网络。然后在该图上增加一个梯形部分，将进行线性加权组合以得到系统的输出，即，式中，为梯形系数，的选取取决于的分子部分。系统的格型结构如图C-7所示，图C-7具有零极点的IIR滤波器的格型梯形结构IIR滤波器格型梯形网络参数可由MATLAB函数实现。仍然调用函数tf2latc，调用格式为[K，G]=tf2latc(b，a)。【例C-3】已知IIR滤波器的系统函数为利用MATLAB求系统的梯形结构。解直接调用MATLAB函数结果如下：>>b=[1,2,2,1];>>a=[1,13/24,5/8,1/3];>>[K,G]=tf2latc(b,a)K=0.25000.50000.3333G=-0.269