线性代数 第三章

线性代数

Linear

Algebra2第3章向量组与向量空间向量组的线性相关性413向量组及其线性组合向量组的秩向量空间3.1向量组及其线性组合向量组1向量组的线性组合23.1.1向量组定义1

n

个有次序的数a1，a2，…，an

所组成的数组称为n维向量。ai

称为该向量的第i

个分量。分量全为实数的向量称为实向量，分量为复数的向量称为复向量。n

维向量可以写成一列，记作称为列向量，也就是n×1列矩阵。n

维向量也可以写成一行，记作称为行向量，也就是1×n

行矩阵。规定:n

维向量的运算按矩阵运算规则进行，即设λ

是数，n

维向量分别是向量α

与β

的和以及数λ

与向量α

的乘积。则在解析几何中，如果取定一个空间直角坐标系[O；x，y，z]，并以i，j，k

分别表示与三个坐标轴方向一致的单位向量，那么空间任一向量α可分解为其中，x，y，z称为向量α在坐标系[O；x，y，z]中的坐标(或分量)。向量α也可用它的坐标简单地表示为同维数向量的集合称为向量组。例如，n

维向量的全体所组成的集合为在Rn中，向量个数有无限个。给定一个m×n

矩阵A=(aij)m×n，A

的每一列都是一个列向量，因此A

有n个m

维列向量它们组成的向量组称为矩阵A

的列向量组,并且把称为列向量矩阵。A

的每一行都是一个行向量，因此A

有m个n维行向量它们组成的向量组称为矩阵A

的行向量组，并且把称为行向量矩阵。反之，由有限个向量组成的向量组可以构成一个矩阵。m

个n

维列向量组成的向量组A

：α1，α2，…，αm

可以构成一个n×m

矩阵m

个n

维行向量组成的向量组B：可以构成一个m×n

矩阵3.1.2向量组的线性组合设向量组由向量的线性运算知道，这时称α3

是α1，α2

的线性组合。定义2设有向量组，对于任意一组数，向量：称为向量组A

的一个线性组合,数称为这个线性组合的系数。设有向量组，以及向量β,如果有一组数使则β

是向量组A

的线性组合，这时也称向量β

能由向量组A

线性表示。利用分块矩阵乘法，可写成在n

维向量的全体中，向量组称为n

维基本单位向量组。任一n

维向量都可以由表示成如何判断别向量β

能否由向量组线性表示呢?给出下面的定理：？定理1向量β

可由向量组线性表示的充分必要条件是:矩阵与矩阵的秩相等。当(向量组所含向量个数)时,向量β

可由向量组线性表示,且表示式唯一。当(向量组所含向量个数)时,向量β

可由向量组线性表示,且表示式唯一。当时,向量β

不能由向量组线性表示。例1已知向量组,问β是否可由

线性表示。解由定理1,需证矩阵与的秩相等.为此,把B

化为行最简形,在把B

化为行最简形的同时,把A

也化成了行最简形:可见，，因此，向量β可由向量组线性表示。例2设说明向量β可由向量组

线性表示。解由定理1，需证矩阵与的秩相等。为此，把B

化为行最简形，在把B

化为最简形的同时，把A

也化为了行最简形:由于，因此，向量β

可由向量组

线性表示，但表示式不唯一。3.2向量组的线性相关性3向量组的等价2线性相关的几个重要定理1线性相关性及其判别法3.2.1线性相关性及其判别法定义2对于向量组，若存在不全为零的数，使得成立，则称向量组线性相关。否则，即当且仅当时式(3.2.1)成立，则称向量组

线性无关。(3.2.1)例1设，向量组

及向量组

的线性相关性如何?解对向量组,设,即可得解得

，故向量组

线性无关。对向量组

,设

,即可得解得取得则有所以向量组

线性相关。定理1推理推理(1)m

维向量组

线性相关的充分必要条件是:以

为列向量组成的矩阵A

的秩小于向量的个数n，即

(2)m

维向量组

线性无关的充分必要条件是:以

为列向量组成的矩阵A

的秩等于向量的个数n，即n

个n

维向量线性无关的充分必要条件是|A|≠0;n

个n

维向量

线性相关的充分必要条件是|A|=0,其中例2已知,判别向量组

及向量组

的线性相关性。解记，则因为只对矩阵B作行初等变换,各列的次序没有改变,则从上述矩阵的前三列组成的矩阵可得,所以向量组

线性无关;又因为

，

所以向量组

线性相关。例3证明下列命题:(1)坐标单位向量组线性无关。(2)一个零向量线性相关,一个非零向量线性无关。(3)含有零向量的向量组必线性相关。(4)如果向量组所含向量的个数大于向量组中向量的维数,则该向量组线性相关。证(1)因为

，所以坐标单位向量组线性无关。(2)因为对任意的

，有

成立，所以一个零向量线性相关;而当一个向量

时，当且仅当

时才有

成立，所以一个非零向量线性无关。(3)设含有零向量的向量组为,因为存在不全为零的数

使得所以

线性相关。(4)设向量组为n

个m

维向量组成的向量组,其中m<n。记,则,所以该向量组线性相关。例4证明:若向量组

线性无关,则向量组

线性无关。证设有一组数

使得(3.2.2)成立,整理可得因为向量组

线性无关,则方程组仅有零解,即只有

时式(3.2.2)才成立,所以向量组线性无关。定理2如果向量组中有一部分向量组(称为部分组)线性相关,则整个向量组线性相关。证不妨设向量组

中的部分组

线性相关,其中s≤n，由向量组线性相关的定义，存在一组不全为零的数

使得成立。那么,存在一组不全为零的数,使得所以向量组

线性相关。推论线性无关的向量组中的任一部分组必线性无关。定理3若m

维向量组

线性无关,则在每个向量上添加k(k≥1)个分量后得到的m+k

维新向量组(称为接长向量组)也线性无关。证因为向量组A

线性无关,则齐次线性方程组(3.2.3)只有零解。考虑以向量组

为系数列向量的齐次线性方程组(3.2.4)在方程组(3.2.4)的m+k

个方程中,前m

个方程即为方程组(3.2.3)。因为方程组(3.2.3)只有零解,所以方程组(3.2.4)也只有零解,于是向量组B

线性无关。推理若m

维向量组

线性相关,则将其每个向量去掉i(i<m)个分量后得到的m-i维新向量组也线性相关。3.2.2线性相关的几个重要定理定理4向量组

线性相关的充分必要条件是,该向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。证必要性：因为向量组

线性相关,所以存在一组不全为零的数

使得成立。不妨设k1≠0,于是有即

可由

线性表示。充分性：因为向量组

中至少有一个向量可由其余向量线性表示,不妨设αj可由

线性表示,即则存在一组不全为零的数

使得成立，即向量组

线性相关。定理5设向量组

线性无关,而向量组

线性相关,则向量必可由向量组

线性表示,且表示式唯一。证因向量组

线性相关,则存在一组不全为零的数

使得(3.2.5)此时必有k≠0,否则式(3.2.5)即成为且

不全为零,这与向量组

线性无关矛盾,因此k≠0。从而即向量β

可由向量组

线性表示。再证表示式的唯一性。假设β

可由向量组

线性表示为则两式相减得因为向量组

线性无关,有即所以表示式唯一。定理6设向量组

可由向量组

线性表示且s>t，则向量组A

必线性相关。证因向量组A

可由向量组B

线性表示,不妨设(3.2.6)如果有一组数

使得(3.2.7)成立,只需证明

不全为零,即得向量组A

线性相关。将式(3.2.6)代入式(3.2.7)得(3.2.8)整理得(3.2.9)要使式(3.2.9)成立,可令(3.2.10)考虑以

为未知量的齐次线性方程组(3.2.10)。因为s>t，所以方程组(3.2.10)有非零解,即有不全为零的数,使得方程组(3.2.10)成立，而方程组(3.2.10)成立必有式(3.2.9)成立。从而有不全为零的数

使得式(3.2.8)，也就是式(3.2.7)成立。所以向量组A线性相关。推论1如果向量组

可由向量组

线性表示,且向量组

线性无关,则s≤t。例5设向量组讨论此向量组的线性相关性。本题有多种解法，现介绍两种，读者可自己试用其他方法解一下。解法1从定义出发,设有数使即解得，所以

线性无关。解法2设由

构成的矩阵为。因为,等于向量个数,所以

线性无关。例6设向量组

线性相关,向量组

线性无关,证明:(1)

能由

线性表示;(2)不能由

线性表示。例6证(1)因

线性无关,由定理2的推论知

线性无关,而

线性相关,由定理4知

能由

线性表示；(2)用反证法。假设

能由

表示,而由(1)知

能由

表示,因此

能由

线性表示,这与

线性无关矛盾。3.2.3向量组的等价定义2如果向量组A

中每一个向量都能由向量组B

线性表示，则称向量组A

可以由向量组B

线性表示；如果向量组A

可以由向量组B

线性表示，同时向量组B也可以由向量组A

线性表示，则称向量组A

与向量组B

等价。向量组的等价具有的性质对称性传递性反身性A组与A组等价;如果A组与B组等价,则B组与A组等价;如果A

组与B

组等价,B

组与C

组等价,则A

组与C

组等价。推论2推论3设向量组

与向量组

等价,且两向量组都线性无关,则s=t。证一方面,向量组A

可由向量组B

线性表示,且向量组A

线性无关,由推论1得s≤t；另一方面,向量组B

可由向量组A线性表示,且向量组B线性无关,由推论1得t≤s。所以s=t。等价的线性无关向量组所含向量个数相等。3.3向量组的秩定义1设

是向量组A

的部分组,如果满足:(1)

线性无关;(2)从向量组A

中任意取一个向量(如还有的话)加入该部分组,此含有r+1个向量的向量组必线性相关,则称向量组

为向量组A

的极大线性无关组,简称极大无关组。定理1(1)向量组与它的极大无关组等价。(2)向量组的任意两个极大无关组等价,且所含向量的个数相等。证

(1)设向量组A

有极大无关组

。由定义1,向量组A

中的任一向量γ

与向量组

组成的s+1个向量线性相关.而

线性无关,由3.2节定理5,向量γ

可由向量组

线性表示,即向量组A

可由向量组

线性表示.又向量组

是向量组A

的一个部分组,向量组

当然能由向量组A

线性表示。所以向量组A

与它的极大无关组

等价。(2)设向量组A

有两个极大无关组,分别为

及

。由(1)知,向量组

与向量组A

等价,向量组A

也与向量组

等价,由等价的传递性得,向量组

与向量组

等价。再证明s=t因为向量组

与向量组

等价,且向量组

及

都线性无关,由3.2节定理6的推论2得s=t。定义2向量组

的极大无关组中所含向量的个数称为该向量组的秩,记为。若将向量组组成一个矩阵,那么矩阵的秩与该向量组的秩实际是相等的。定理2矩阵的秩=矩阵列向量组的秩(称为矩阵的列秩)=矩阵行向量组的秩(称为矩阵的行秩)证设,并设r阶子式Dr≠0。由Dr≠0知Dr所在的r

列线性无关;又由A

中所有r+1阶子式均为零知，A

中任意r+1个列向量都线性相关。因此Dr

所在的r

列是A

列向量组的一个极大无关组,所以列向量组的秩等于r。可以得出

如果对列向量组

组成的矩阵A施以初等行变换得到矩阵B，B的列向量组为,则矩阵A与矩阵B的列向量组有相同的线性关系。对矩阵A

施以初等行变换得到矩阵B,则存在可逆矩阵P,使PA=B,即可得。假设向量组

的向量间的线性关系可表示为(3.3.1)等式两边左乘矩阵P,得即(3.3.2)式(3.3.1)与式(3.3.2)说明向量组

与

有相同的线性关系。例6求向量组的秩和它的一个极大无关组。解设

构成矩阵

。对A

施以初等行变换,化A

为行阶梯形矩阵因为,所以向量组

的秩为2。A

的一个最高阶非零子式为由此可知,是向量组

的一个极大无关组。推论设向量组A

满足:(1)A

中有r

个向量

线性无关;(2)任取

，α

能由

线性表示，则

是向量组A

的一个极大无关组,数r即是向量组A的秩。例2证明:如果向量组A能由向量组B线性表示,那么向量组A

的秩小于等于向量组B

的秩。证设向量组A

的一个极大无关组为

，向量组B

的秩为s，只要证r≤s。因为向量组A

能由向量组B

线性表示,而向量组A

的极大无关组

能由向量组A

线性表示,所以向量组A的极大无关组

能由向量组B

线性表示.再由3.2节定理6的推论1,可得r≤s。得出:等价向量组的秩必相等。例3全体n维向量构成的向量组记作Rn，求Rn

的一个极大无关组及Rn

的秩。解在上一节中,已证明了n

维单位坐标向量构成的向量组是线性无关的,又根据线性相关的定理,知Rn

中的任意n+1个向量都线性相关,因此向量组E是Rn

的一个极大无关组,且Rn的秩等于n。显然,Rn的极大无关组很多,任何n个线性无关的n

维向量都是Rn

的极大无关组。推论设向量组

是向量组A的一个部分组,且满足(1)向量组A0

线性无关;(2)向量组A的任一向量都能由向量组A0

线性表示,那么向量组A0便是向量组A

的一个极大无关组。例4设齐次线性方程组的全体解构成的向量组为S，求S

的秩。解先解方程,为此把系数矩阵A

化成行最简形:得令自由未知数

，得通解把上式记作

，则即S

能由向量组

线性表示。又因

的四个分量显然不成比例,故

线性无关.因此根据最大无关组的等价定义知,是S

的极大无关组,从而

。3.4向量空间向量空间的概念基、维数与坐标基变换与坐标变换3.4.13.4.23.4.33.4.1向量空间的概念定义1设V

是非空的n

维向量集合,如果集合V对于向量的加法和数乘运算满足：(1)对任意的

，有;(2)对任意的

，有,则称V为向量空间定义中的(1)表示该集合中向量对于加法运算封闭;(2)表示该集合中向量对于数乘运算封闭.因而向量空间也可以表述成:对向量的加法和数乘运算封闭的非空向量集合。例1实数域R

上n

维向量的全体Rn

是一个向量空间,即显然

，所以Rn

非空;且

及对任意实数k,有故Rn

是一个向量空间。例2证明:(1)集合

是一个向量空间。(1)集合

不是一个向量空间。证(1)显然集合V1非空,对任意,以及任意实数k,有所以V1是一个向量空间。(2)因为对于集合V2中的任意两个向量

所以V2不是一个向量空间。定义2设V1,V2

是两个向量空间,如果

，则称V1

是V2

的子空间。单独由一个零向量构成的集合{0}也是一个向量空间,称为零空间。设

为一组n

维向量,容易证明它的线性组合是向量空间,称为由向量

生成的向量空间,记为

。若，则α

可由

线性表示,而

又可由

线性表示,所以α

可由

线性表示,即，因此

例3如果向量组

与向量组

等价,则证同理可证，故3.4.2基、维数与坐标定义3设V

是数域P上的向量空间,向量

，如果(1)

线性无关;(2)V

中任一向量都能由

线性表示，则称

为空间V的一组基(或基底)，m

称为向量空间V的维数，记为

，并称V是数域P上的m维向量空间。定义4设

为向量空间V的一组基,对任意

，有则称有序数组

为向量α在基

下的坐标,记为

特别地,在n

维向量空间Rn

中,取单位坐标向量组

为基,则以

为分量的向量x,可表示为可见,向量在基

中的坐标就是该向量的分量。因此,