线性代数 第一章

线性代数

Linear

Algebra第1章行列式

1.二阶、三阶行列式

2.排列、逆序与对换

3.

n阶行列式的定义

4.行列式的性质

5.行列式按行（列）展开

6.克莱姆法则1.1二阶、三阶行列式1.1.1二阶行列式对于二元一次线性方程组

(1.1.1)其中，x1、x2为未知量，a11、a12、a21、a22为系数，b1、b2

为常数，可用消元法分别消去x2、x1，得

当a11a22-a12a21≠0时，有

(1.1.2)二阶行列式可用对角线法则来记忆，如图1-1所示。在行列式中，从左上角元素到右下角元素的直线称为主对角线，从右上角元素到左下角元素的直线称为次对角线。二阶行列式的值等于主对角线上两个元素的乘积减去次对角线上两个元素的乘积。图1-1根据二阶行列式的定义式，可将式(1.1.2)中的两个分子分别写成

其中，Di(i=1，2)表示把D中第i

列换成式(1.1.1)右边的常数列所得到的行列式。于是，当D≠0时，方程组(1.1.1)的解(1.1.2)可以表示成(1.1.3)

解

(1)当λ为何值时，D=0;(2)当λ为何值时，D≠0。解

(1)当λ=0或λ=2时，D=0；(2)当λ≠0且λ≠2时，D≠0。

由于

因此，方程组的解为

解类似地，对三元一次线性方程组的求解进行讨论。

其中，x1、x2、x3

为未知量，a11、a12、a13、a21、a22、a23、a31、a32、a33为系数，b1、b2、b3

为常数。为了方便计算，引入记号

1.1.2三阶行列式

图1-2令

则当D≠0时，三元一次方程组的解可简单地表示成

D=1×1×1+0×4×2+(-3)×(-2)×2-1×4×2-0×(-2)×1-(-3)×1×2=11解

解由于

所以

解若要a2+b2=0，则a

与b

须同时等于零。所以，当a=0且b=0时，给定行列式等于零。因

1.2排列、逆序与对换1.2.1排列与逆序数定义1由数码1，2，…，n

组成的n

元有序数组称为一个n

级排列。例如，1234和3412都是4级排列，52341是5级排列。由数码1、2、3组成的所有3级排列为123、132、213、231、312、321，共有3!=6个数字由小到大的n

级排列1234…n

称为n级自然排列。定义2在一个n

级排列p1p2…pn

中，如果较大的数pt排在较小的数ps

的前面(ps<pt)，则称pt

与ps

构成一个逆序。一个n

级排列中逆序的总数称为逆序数，记作(p1p2…pn)。对于任意一个排列，可以按照以下方法来求逆序数：设p1p2…pn

是1，2，…，n

这n个自然数的任一排列，并规定由小到大为标准次序。先看有多少个比p1大的数排在p1

前面，记为t1；再看有多少个比p2

大的数排在p2

前面，记为t2；……；最后看有多少个比pn

大的数排在pn

前面，记为tn；则此排列的逆序数为τ=t1

+t2

+…+tn。容易看出，自然排列的逆序数为0。定义3如果排列p1p2…pn

的逆序数τ(p1p2…pn)是奇数，则称此排列为奇排列；如果是偶数，则称此排列为偶排列。例如，排列3412的逆序数为4，所以是偶排列；排列52341的逆序数为7，所以是奇排列；自然排列123…n

的逆序数为0，所以是偶排列。例如例1求下列排列的逆序数，并指出奇偶性:(1)6372451;(2)135…(2n-1)24…(2n)解

(1)对于所给排列，6排在首位，所以逆序个数为0;3的前面有1个比它大的数，所以逆序个数为1;7的前面没有比它大的数，所以逆序个数为0;2的前面有3个比它大的数，所以逆序个数为3;4的前面有2个比它大的数，所以逆序个数为2;5的前面有2个比它大的数，所以逆序个数为2;1的前面有6个比它大的数，所以逆序个数为6。故此排列的逆序数为τ=t1

+t2

+…+t7

=0+1+0+3+2+2+6=14(2)对于所给排列，前n

个元素：1，3，5，…，(2n-1)不构成逆序；2前面有n-1个数比它大，故逆序个数为n-1；4前面有n-2个数比它大，故逆序个数为n-2；依次下去，2n前面没有数比它大，故逆序个数为0。将所有元素的逆序个数相加，得逆序数为

1.2.2对换在一个n

级排列p1…ps…pt…pn

中，如果将其中某两个数ps

与pt

对调位置，其余各数位置不变，得到另一个新的n

级排列p1…pt…ps…pn，这样的变换称为一个对换，记作对换(ps、pt)。定义4例如例如，在排列3412中，将4与2对换，得到新的排列3214。可以看到：偶排列3412经过4与2的对换后，变成了奇排列3214。任意一个排列经过一次对换后，其奇偶性改变定理1证分两种情况讨论:(1)对换相邻两个数的情况若该排列为a1a2…alijb1b2…bmc1c2…cn。将相邻两个数i

与j作一次对换，则排列变为a1a2…aljib1b2…bmc1c2…cn。显然，对数1，a2，…，al，b1，b2，…，bm

和c1，c2，…，cn

来说，并不改变它们的逆序数。但当i<j

时，经过i与j

的对换后，排列的逆序数增加1个；当i>j

时，经过i与j的对换后，排列的逆序数减少1个。所以，对换相邻两数后，排列改变了奇偶性。(2)一般情况设排列为a1a2…alib1b2…bmjc1c2…cn。将i与j

作一次对换，则排列变为a1a2…aljb1b2

…bmic1c2…cn。这就是对换不相邻两个数的情况。它可以看成是先将i与b1对换，再与b2

对换，……，最后与bm

的对换，即i与它后面的数作m次相邻两数的对换变成排列a1a2…alb1b2

…bmijc1c2…cn；然后将数j

与它前面的数i，bm

，…，b1作m+1次相邻两数的对换而成的。因此，对换不相邻的数i与j(中间有m

个数)，相当于作2m+1次相邻两数的对换。由前面的证明知，排列的奇偶性改变了2m+1次，而2m+1为奇数。因此，不相邻的两数i，j

经过对换后的排列与原排列的奇偶性不同。任一n级排列p1p2…pn

都可通过一系列对换与n级自然序排列12…n互变，且所作对换次数的奇偶性与这个n

级排列的奇偶性相同。定理2

定理31.3

n

阶行列式的定义二阶与三阶行列式的定义式分别为可以看出以下规律:(1)二阶行列式是2!项的代数和；三阶行列式是3!项的代数和；(2)二阶行列式中的每一项是两个元素的乘积，它们分别取自不同的行和不同的列；三阶行列式中的每一项是三个元素的乘积，它们也是取自不同的行和不同的列；(3)每一项的符号按如下方法确定：这一项中元素的行标按自然数排列，若元素的列标排列为偶排列，取正号；若为奇排列，取负号。因此，二阶、三阶行列式可写成根据这些规律和二阶、三阶行列式的表示方法，可推出n

阶行列式的定义。定义1由排成n

行n列的n2

个元素aij(i，j=1，2，…，n)组成的行列式称为n

阶行列式，它是n!项的代数和，其每一项都是取自不同行和不同列的n

个元素的乘积，各项的符号按如下方法确定：每一项中各元素的行标按自然数排列，若列标的排列为偶排列，取正号；若为奇排列，取负号，即(1.3.1)例1在五阶行列式中，a12a23a35a41a54这一项应取什么符号?解这一项各元素的行标是按自然数顺序排列的，列标的排列为23514。因τ(23514)=4，故这一项应取正号。例2写出四阶行列式中，带负号且包含因子a11a23的项解包含因子a11a23项的一般形式为(-1)τ(13j3j4)a11a23a3j3a4j4

，按定义，j3

可取2或4，j4

可取4或2，因此包含因子a11a23的项只能是a11a23a32a44或a11a23a34a42。因τ(1324)=1为奇数，τ(1342)=2为偶数，所以此项只能是-a11a23a32a4。例3计算上三角行列式(主对角线下侧的元素全为零）：解在D

中，第n行元素除ann

外，其余均为0，所以只能取jn=n；在第n-1行中，除an-1n-1和an-1n外，其余元素都是零，因而jn-1只取n-1，n。又由于ann

和an-1，n位于同一列，所以只能取jn-1=n-1，这样逐步往上推，可以得出，在展开式中只有a11a22…ann

一项不等于零。而这项的列标所组成排列的逆序数τ(12…n)=0，故取正号。因此，由行列式的定义有即上三角行列式的值等于主对角线上各元素的乘积。同理，对于下三角行列式(主对角线上侧的元素全为零)，有特别地，对于对角行列式(除主对角线上的元素外其余元素均为零)，有例4计算行列式的值。解这个行列式除了a1na2，n-1…an1项外，其余项均为零，现在来看这一项的符号。行标的n

级排列为自然数排列，列标的n

级排列为n(n-1)…21，它的逆序数为所以由行列式的定义，行列式中的每一项都是取自不同行和不同列的n个元素的乘积，所以可得出：如果行列式有一行(列)的元素全为0，则该行列式等于0。在n

阶行列式中，为了确定每一项的正负号，把n

个元素的行标排成自然数排列，即a1p1a2p2

…anpn

。事实上，数的乘法是满足交换律的，因而这n

个元素的次序是可以任意写的，一般地，n

阶行列式的项可以写成(1.3.2)其中，i1i2…in，p′1p′2

…p′n

是两个n

阶排列，它的符号由下面的定理来确定。定理1n

阶行列式的一般项可以写成(1.3.3)其中，i1i2…in，p′1p′2

…p′n

都是n

级排列。同样，也可以把行列式一般项中元素的列标排成自然顺序123…n，而此时相应行标的n级排列为i1i2…in，则行列式的定义又可叙述为1.4行列式的性质定义1

设有n

阶行列式，将D

的第1，2，…，n

行依次变为第1，2，…，n

列，得到的新行列式称为D

的转置行列式，记为DT，即显然，(DT)T=D。性质1行列式与它的转置行列式相等，即证令bij=aji(i，j=1，2，…，n)，则此性质说明，在行列式中行与列具有相同的地位，即行列式中行具有的性质，其列也具有。性质2交换行列式中任意两行(列)，行列式的符号改变，即证根据行列式的定义及对换的性质，有推论如果行列式中有两行(列)的对应元素相同，则行列式的值为零。证由性质2可知，互换相同的两行(列)，有D=-D，所以D=0。性质3

把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k，等于以数k

乘以该行列式，即证用数k乘行列式D

的第i

行中所有元素得到行列式D1，则由性质3可以得到以下推论：推论

行列式中某一行(列)所有元素的公因子，可以提到行列式符号的外面。性质4

如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例,则该行列式的值为零证根据行列式的定义可得性质5如果行列式某一行(列)的元素为两组数的和,则该行列式可以分为两个行列式之和,这两个行列式除这一行(列)以外的其他元素与原行列式的对应元素一样,即性质6

把行列式某一行(列)的所有元素乘以数k加到另一行(列)的对应元素上去，所得行列式的值不变，即计算行列式时，为叙述方便，约定如下记号:以ri

表示行列式的第i

行，以cj

表示行列式的第j列。交换i，j两行，记作ri↔rj；第i行乘以k，记作kri；第i行加上(或减去)第j行的k

倍，记作ri±krj。对列也有类似记号。例1

计算行列式解通过观察，可以发现，行列式的第1列与第2列对应元素成比例，所以例2

计算行列式解通过观察可以发现，行列式的第2行恰为第1行与第3行之和，所以例3计算行列式解例4计算解例5计算n

阶行列式解行列式D的主对角线上的元素全为a，其余元素全为b。注意到行列式每一行的元素之和是相同的，因此，将第2，3，…，n

列都加到第1列，然后提出第1列的公因子a+(n-1)b，可得1.5行列式按行（列）展开定义1

在n

阶行列式中，划去元素aij

所在的第i

行和第j列，余下的(n-1)2

个元素按原来的排列构成的n-1阶行列式，称为元素aij

的余子式，记作Mij。在Mij前面加上符号(-1)i+j后，得到(-1)i+jMij，称它为aij的代数余子式，记作Aij，即Aij=(-1)i+jMij例1

已知三阶行列式，分别求元素a21，a32的余子式和代数余子式。解根据定义知，元素a21的余子式和代数余子式分别为元素a32的余子式和代数余子式分别为引理

如果在n

阶行列式D

中，第i行元素除了aij外全为0，则该行列式的值等于aij与它的代数余子式的乘积，即D=aijAij证(1)先证(i，j)=(1，1)的情形，此时(2)对于一般情形，此时，对D

作如下调换:将第i行依次与第i-1，第i-2，…，第1行对调，再将第j列依次与第j-1，第j-2，…，第1列对调，得其中，b11=ai，等于D

中元素aij的余子式Mij，故定理1

n

阶行列式D

等于它的任一行(列)的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即或证此定理称为行列式的按行(列)展开定理，利用此定理可以进行降阶运算。在计算行列式时，直接利用此定理进行行列式展开并不一定能简化运算，但当行列式中某一行或某一列中含有较多零时，运用此定理将会非常简便。例如:定理2，Aij是元素aij的代数余子式，则有(1)(2)(1)对于二阶、三阶行列式，通常应用对角线法则直接求值;(2)对于高阶行列式，可以利用行列式的性质，将其转化为三角行列式再求值;(3)利用行列式的展开，可以使行列式的阶数降低，从而简化其运算过程，特别是当行列式中的某行(列)中含有较多个零元素时。通过前面知识的学习，关于行列式的计算方法，可以总结为以下几种:例2求下列行列式的值:解(1)(2)(1)(2)例3解方程解因为例4

证明范德蒙(Vandermonde)行列式。其中，记号“Π”表示全体同类因子的乘积。证用数学归纳法证明。当n=2时，结论成立。现假设n-1阶范德蒙行列式成立，即则对n

阶行列式，从第n

行开始，后行依次减去前行的x1

倍，得按照第1列展开，并提出每列的公因子(xi-x1)，就有上式右端的行列式是n-1阶范德蒙行列式，由归纳法假设，它等于所有(xi-xj)因子的乘积，所以定理3(拉普拉斯定理)分析

对D1

作行运算，相当于对D的前k

行作相同的行运算，且D

的后n

行不变;对D2作列运算，相当于对D

的后n列作相同的列运算，且D的前k列不变。证因为对D1作适当的运算ri+krj，可将D1

化为下三角形;同理，对D2

作适当的列运算ci+kcj，可将D2

化为下三角形，分别设为故对D

的前k

行作上述行运算和对D

的后n

列作上述列运算后，D

可化为1.6克莱姆法则设含有n个未知量和n

个方程的线性方程组为(1.6.1)方程组(1.6.1)中的未知量系数在保持原来的相对位置不变的情况下构成的n

阶行列式称为方程组(1.6.1)的系数行列式。定理1(克莱姆法则)

若n

元线性方程组(1.6.1)的系数行列式D≠0，那么此方程组有唯一解，且(1.6.2)其中，Dj(j=1，2，…，n)是把系数行列式D

的第j

列元素用方程组的常数项b1，b2，…，bn

替换而得到的n

阶行列式，即

将Dj

按第j

列展开，得于是所以这说明式(1.6.2)是方程组(1.6.1)的一个解。再证式(1.6.2)是方程组(1.6.1)的唯一解。设x1=c1，x2

=c2，…，xn

=cn

是方程组(1.6.1)的解，则(1.6.3)由行列式按行