福建省龙岩市名校2027届数学九上期末学业质量监测试题含解析

福建省龙岩市名校2027届数学九上期末学业质量监测试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题（每题4分，共48分）1．若点(2,3)在反比例函数y=的图象上，那么下列各点在此图象上的是()A．(-2,3) B．(1,5) C．(1,6) D．(1,-6)2．如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使，连接DE，若，则∠E的度数是（）A．65° B．60° C．50° D．40°3．如图，的外切正六边形的边长为2，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．4．如图，在正方形纸片ABCD中，E，F分别是AD，BC的中点，沿过点B的直线折叠，使点C落在EF上，落点为N，折痕交CD边于点M，BM与EF交于点P，再展开．则下列结论中：①CM＝DM；②∠ABN＝30°；③AB2＝3CM2；④△PMN是等边三角形．正确的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个5．若关于x的一元二次方程kx2+2x–1=0有实数根，则实数k的取值范围是A．k≥–1 B．k>–1C．k≥–1且k≠0 D．k>–1且k≠06．从1到9这9个自然数中任取一个，是偶数的概率是（）A． B． C． D．7．如图所示，中，，，点为中点，将绕点旋转，为中点，则线段的最小值为()A． B． C． D．8．若，，则以为根的一元二次方程是（）A． B．C． D．9．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝4，sinA＝，则AC＝（）A．3 B．4 C．5 D．610．若关于x的一元二次方程kx2﹣4x+3=0有实数根，则k的非负整数值是（）A．1 B．0，1 C．1，2 D．1，2，311．如图是我们学过的反比例函数图象，它的表达式可能是（）A． B． C． D．12．已知一个扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，则半径为（）A．9 B．3 C． D．二、填空题（每题4分，共24分）13．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买了一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价为120元；如果购买树苗超过60棵，在一定范围内，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价降低0.5元，若该校最终向园林公司支付树苗款8800元，设该校共购买了棵树苗，则可列出方程__________．14．如图，AB为的直径，弦CD⊥AB于点E，点F在圆上，且＝，BE＝2，CD＝8，CF交AB于点G，则弦CF的长度为__________，AG的长为____________.15．计算：＝______．16．当时，二次函数有最大值4，则实数的值为________．17．将抛物线向右平移2个单位长度，则所得抛物线对应的函数表达式为______.18．一个布袋里装有10个只有颜色不同的球，这10个球中有m个红球，从布袋中摸出一个球，记下颜色后放回，搅匀，再摸出一个球，通过大量重复试验后发现，摸到红球的频率稳定在0.3左右，则m的值约为__________．三、解答题（共78分）19．（8分）已知：内接于⊙，连接并延长交于点，交⊙于点，满足．（1）如图1，求证：；（2）如图2，连接，点为弧上一点，连接，=，过点作，垂足为点，求证：；（3）如图3，在（2）的条件下，点为上一点，分别连接，，过点作，交⊙于点，，，连接，求的长．20．（8分）解方程：（x+3）（x﹣6）＝﹣1．21．（8分）如图，是的直径，点在上，垂直于过点的切线，垂足为．（1）若，求的度数；（2）如果，，则．22．（10分）如图，抛物线与轴交于点和，与轴交于点顶点为．求抛物线的解析式；求的度数；若点是线段上一个动点，过作轴交抛物线于点，交轴于点，设点的横坐标为．①求线段的最大值；②若是等腰三角形，直接写出的值．23．（10分）如图，与关于O点中心对称，点E、F在线段AC上，且AF=CE．求证：FD=BE．24．（10分）已知关于的一元二次方程.（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若方程有一个根为负数，求的取值范围.25．（12分）伴随经济发展和生活水平的日益提高，水果超市如雨后春笋般兴起．万松园一水果超市从外地购进一种水果，其进货成本是每吨0.4万元，根据市场调查，这种水果在市场上的销售量y（吨）与销售价x（万元）之间的函数关系为y＝-x＋2.6（1）当每吨销售价为多少万元时，销售利润为0.96万元？（2）当每吨销售价为多少万元时利润最大？并求出最大利润是多少？26．如图，是的直径，，，连接交于点．（1）求证：是的切线；（2）若，求的长．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】将（2，3）代入y=即可求出k的值，再根据k=xy解答即可．【详解】∵点（2，3）在反比例函数y=（k≠0）的图象上，∴k=xy=2×3=6，A、∵-2×3=-6≠6，∴此点不在函数图象上；B、∵1×5=5≠6，∴此点不在函数图象上；C、∵1×6=6，此点在函数图象上；D、∵1×（-6）=-6≠6，此点不在函数图象上．故选：C．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2、A【分析】连接BD，与AC相交于点O，则BD=AC=BE，得△BDE是等腰三角形，由OB=OC，得∠OBC=50°，即可求出∠E的度数.【详解】解：如图，连接BD，与AC相交于点O，∴BD=AC=BE，OB=OC，∴△BDE是等腰三角形，∠OBC=∠OCB，∵，∠ABC=90°，∴∠OBC=，∴；故选择：A.本题考查了矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内角和定理，以及直角三角形两个锐角互余，解题的关键是正确作出辅助线，构造等腰三角形进行解题.3、A【分析】由于六边形ABCDEF是正六边形，所以∠AOB=60°，故△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，OG=OA•sin60°，再根据S阴影=S△OAB-S扇形OMN，进而可得出结论．【详解】∵六边形ABCDEF是正六边形，

∴∠AOB=60°，

∴△OAB是等边三角形，OA=OB=AB=2，

设点G为AB与⊙O的切点，连接OG，则OG⊥AB，

∴OG=OA∙sin60°=2×

=

，

∴S

阴影

=S

△OAB

-S

扇形OMN

=

×2×

-

．

故选A．考核知识点：正多边形与圆.熟记扇形面积公式是关键.4、C【解析】∵△BMN是由△BMC翻折得到的，∴BN=BC，又点F为BC的中点，在Rt△BNF中，sin∠BNF=，∴∠BNF=30°，∠FBN=60°，∴∠ABN=90°-∠FBN=30°，故②正确；在Rt△BCM中，∠CBM=∠FBN=30°，∴tan∠CBM=tan30°=，∴BC=CM，AB2=3CM2故③正确；∠NPM=∠BPF=90°-∠MBC=60°，∠NMP=90°-∠MBN=60°，∴△PMN是等边三角形，故④正确；由题给条件，证不出CM=DM，故①错误．故正确的有②③④，共3个．故选C．5、C【解析】解：∵一元二次方程kx2﹣2x﹣1=1有两个实数根，∴△=b2﹣4ac=4+4k≥1，且k≠1，解得：k≥﹣1且k≠1．故选C．点睛：此题考查了一元二次方程根的判别式，根的判别式的值大于1，方程有两个不相等的实数根；根的判别式的值等于1，方程有两个相等的实数根；根的判别式的值小于1，方程没有实数根．6、B【解析】∵在1到9这9个自然数中，偶数共有4个，∴从这9个自然数中任取一个，是偶数的概率为：.故选B.7、B【分析】如图，连接CN．想办法求出CN，CM，根据MN≥CN−CM即可解决问题．【详解】如图，连接CN．在Rt△ABC中，∵AC＝4，∠B＝30°，∴AB＝2AC＝2，BC＝AC＝3，∵CM＝MB＝BC＝，∵A1N＝NB1，∴CN＝A1B1＝，∵MN≥CN−CM，∴MN≥，即MN≥，∴MN的最小值为，故选：B．本题考查解直角三角形，旋转变换等知识，解题的关键是用转化的思想思考问题，属于中考常考题型．8、B【分析】由已知条件可得出，再根据一元二次方程的根与系数的关系，，分别得出四个方程的两个根的和与积，即可得出答案．【详解】解：∵，∴A.，方程的两个根的和为-3，积为-2，选项错误；B.，方程的两个根的和为3，积为2，选项正确；C.，方程的两个根的和为-3，积为2，选项错误；D.，方程的两个根的和为3，积为-2，选项错误；故选：B．本题考查的知识点是根与系数的关键，熟记求根公式是解此题的关键．9、A【分析】先根据正弦的定义得到sinA==，则可计算出AB=5，然后利用勾股定理计算AC的长．【详解】如图，在Rt△ACB中，∵sinA＝，∴，∴AB＝5，∴AC＝＝1．故选：A．本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．10、A【详解】由题意得，根的判别式为△=(-4)2-4×3k，由方程有实数根，得(-4)2-4×3k≥0，解得k≤，由于一元二次方程的二次项系数不为零，所以k≠0，所以k的取值范围为k≤且k≠0，即k的非负整数值为1，故选A．11、B【分析】根据反比例函数图象可知，经过第一三象限，，从而得出答案．【详解】解：A、为二次函数表达式，故A选项错误；B、为反比例函数表达式，且，经过第一三象限，符合图象，故B选项正确；C、为反比例函数表达式，且，经过第二四象限，不符合图象，故C选项错误；D、为一次函数表达式，故D选项错误．故答案为B．本题考查了反比例函数的图象的识别，掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键．12、C【分析】根据弧长的公式进行计算即可．【详解】解：设半径为r，∵扇形的弧长为3π，所含的圆心角为120°，∴＝3π，∴r＝，故选：C．此题考查的是根据弧长和圆心角求半径，掌握弧长公式是解决此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据“总售价=每棵的售价×棵数”列方程即可．【详解】解：根据题意可得：故答案为：．此题考查的是一元二次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．14、；【分析】如图（见解析），连接CO、DO，并延长DO交CF于H，由垂径定理可知CE，在中，可以求出半径CO的长；又由＝和垂径定理得，根据圆周角定理可得，从而可知，在中可求出FG，也就可求得CF的长度；在中利用勾股定理求出DH，再求出，同样地，在中利用余弦函数求出OG，从而可求得.【详解】，，，（垂径定理）连接，设，则在中，解得，连接DO并延长交CF于H＝，由垂径定理可知，是所对圆周角，是所对圆心角，且=2，，由勾股定理得：，.本题考查了垂径定理、圆周角定理、直角三角形中的余弦三角函数，通过构造辅助线，利用垂径定理和圆周角定理是解题关键.15、-1．【分析】由题意根据负整数指数幂和零指数幂的定义求解即可．【详解】解：＝1﹣2＝﹣1．故答案为：﹣1．本题考查负整数指数幂和零指数幂的定义，熟练掌握实数的运算法则以及负整数指数幂和零指数幂的运算方法是解题的关键．16、2或【分析】求出二次函数对称轴为直线x=m，再分m＜-2，-2≤m≤1，m＞1三种情况，根据二次函数的增减性列方程求解即可．【详解】解：二次函数的对称轴为直线x=m，且开口向下，

①m＜-2时，x=-2取得最大值，-（-2-m）2+m2+1=4，

解得，，∴不符合题意，

②-2≤m≤1时，x=m取得最大值，m2+1=4，

解得，所以，③m＞1时，x=1取得最大值，-（1-m）2+m2+1=4，

解得m=2，

综上所述，m=2或时，二次函数有最大值．

故答案为：2或．本题考查了二次函数的最值，熟悉二次函数的性质及图象能分类讨论是解题的关键．17、【分析】利用顶点式根据平移不改变二次项系数可得新抛物线解析式．【详解】的顶点为(−1,0)，∴向右平移2个单位得到的顶点为(1,0)，∴把抛物线向右平移2个单位，所得抛物线的表达式为.故答案为：.本题考查了二次函数图象与几何变换，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移规则是解题的关键.18、3【解析】在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出等式解答.【详解】解:根据题意得，＝0.3，解得m＝3.故答案为:3.本题考查随机事件概率的意义，关键是要知道在同样条件下，大量重复实验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近.三、解答题（共78分）19、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．【分析】（1）如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α，再根据圆周角定理以及三角形内角和与外角的性质证明∠ACB=∠ABC即可解决问题；

（2）如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．证明△ADB≌△AZC（SAS），推出AD=AZ即可解决问题；

（3）连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．假设OH=a，PC=2a，求出sin∠OHK=，从而得出∠OHK=45°，再根据角度的转化得出∠DAG=∠ACO=∠OAK，从而有tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，进而可求出DG，AG的长，再通过勾股定理以及解直角三角形函数可求出FT，PT的长即可解决问题．【详解】（1）证明：如图1中，连接AD．设∠BEC=3α，∠ACD=α．

∵∠BEC=∠BAC+∠ACD，∴∠BAC=2α，

∵CD是直径，∴∠DAC=90°，

∴∠D=90°-α，∴∠B=∠D=90°-α，

∵∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-2α-（90°-α）=90°-α．

∴∠ABC=∠ACB，

∴AB=AC．（2）证明：如图2中，连接AD，在CD上取一点Z，使得CZ=BD．

∵=，∴DB=CF，

∵∠DBA=∠DCA，CZ=BD，AB=AC，

∴△ADB≌△AZC（SAS），∴AD=AZ，

∵AG⊥DZ，∴DG=GZ，

∴CG=CZ+GZ=BD+DG=CF+DG．（3）解：连接AD，PA，作OK⊥AC于K，OR⊥PC于R，CT⊥FP交FP的延长线于T．

∵CP⊥AC，∴∠ACP=90°，∴PA是直径，

∵OR⊥PC，OK⊥AC，∴PR=RC，∠ORC=∠OKC=∠ACP=90°，

∴四边形OKCR是矩形，∴RC=OK，

∵OH:PC=1:，∴可以假设OH=a，PC=2a，∴PR=RC=a，

∴RC=OK=a，sin∠OHK=，∴∠OHK=45°．

∵OH⊥DH，∴∠DHO=90°，∴∠DHA=180°-90°-45°=45°，

∵CD是直径，∴∠DAC=90°，∴∠ADH=90°-45°=45°，

∴∠DHA=∠ADH，∴AD=AH，

∵∠COP=∠AOD，∴AD=PC，

∴AH=AD=PC=2a，

∴AK=AH+HK=2a+a=3a，

在Rt△AOK中，tan∠OAK=，OA=，∴sin∠OAK=，∵∠ADG+∠DAG=90°，∠ACD+∠ADG=90°，∴∠DAG=∠ACD，

∵AO=CO，∴∠OAK=∠ACO，

∴∠DAG=∠ACO=∠OAK，

∴tan∠ACD=tan∠DAG=tan∠OAK=，

∴AG=3DG，CG=3AG，

∴CG=9DG，

由（2）可知，CG=DG+CF，

∴DG+12=9DG，∴DG=，AG=3DG=3×=，

∴AD=，∴PC=AD=．∵sin∠F=sin∠OAK，∴sin∠F=，∴CT=，FT=，PT=，∴PF=FT-PT=．本题属于圆综合题，考查了圆周角定理，垂径定理，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．20、x＝5或x＝﹣２．【分析】先把方程化为一元二次方程的一般形式，然后再运用因式分解法解方程即可解答．【详解】将方程整理为一般式，得：x2﹣3x﹣10＝0，则（x﹣5）（x+2）＝0，∴x﹣5＝0或x+2＝0，解得x＝5或x＝﹣2．本题考查一元二次方程的解法，属于基础题，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的四种解法．21、（1）40°；（2）【分析】（1）通过添加辅助线，连接OC，证得，再通过，证得，利用等量代换可得，即可得到答案；（2）通过添加辅助线BC，证△ADC∽△ACB，再利用相似的性质得，代入数值即可得到答案．【详解】解：（1）如图连结，∵CD为过点C的切线∴又∵∴∴；又∴，∴∵∴（2）如图连接BC∵AB是直径，点C是圆上的点∴∠ACB=90°∵AD⊥CD∴∠ADC=∠ACB=90°又∵∴△ADC∽△ACB∴∵，∴则本题考查的是圆的相关性质与形似相结合的综合性题目，能够掌握圆的相关性质是解答此题的关键．22、（1）y＝x2－4x＋2，（2）90°，（2）①，②m＝2或m＝或m＝1．【分析】（1）将点B,C代入抛物线的解析式中，利用待定系数法即可得出答案；（2）先求出点D的坐标，然后利用OB＝OC，得出∠CBO＝45°，过D作DE⊥x轴，垂足为E，再利用DE＝BE，得出∠DBO＝45°，则的度数可求；（2）①先用待定系数法求出直线BC的表达式，然后设出M,N的坐标，表示出线段MN的长度，利用二次函数的性质即可求出最大值；②分三种情况：BN＝BM，BN＝MN，NM＝BM分别建立方程求解即可．【详解】解：（1）将点B（2，0）、C（0，2）代入抛物线y＝x2＋bx＋c中，得：，解得：．故抛物线的解析式为y＝x2－4x＋2．（2）y＝x2－4x＋2＝(x－2)2－1，∴D点坐标为（2，－1）．∵OB＝OC＝2，∴∠CBO＝45°，过D作DE⊥x轴，垂足为E，则DE＝BE＝1，∴∠DBO＝45°，∴∠CBD＝90°．（2）①设直线BC的解析式为y＝kx＋2，得：0＝2k＋2，解得：k＝－1，∴直线BC的解析式为y＝－x＋2．点M的坐标为（m，m2－4m＋2），点N的坐标为（m，－m＋2）．线段MN＝（－m＋2）－（m2－4m＋2）＝－m2＋2m＝－(m－)2＋．∴当m＝时，线段MN取最大值，最大值为．②在Rt△NBH中，BH＝2－m，BN＝(2－m)．当BN＝BM时，NH＝MH，则－m＋2＝－(m2－4m＋2)，即m2－5m＋6＝0，解得m1＝2，m2＝2（舍去），当BN＝MN时，－m2＋2m＝(2－m)，解得：m1＝，m2＝2（舍去），当NM＝BM时，∠MNB＝∠NBM＝45°，则MB与x轴重合，点M与点A重合，∴m＝1，综合得：m＝2或m＝或m＝1．本题主要考查二次函数与几何综合，掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．23、详见解析【分析】根据中心对称得出OB=OD，OA=OC，求出OF=OE，根据