电路分析教程（第5版） 课件 燕庆明 第6-11章 正弦交流电路稳态分析-非线性电路分析

第6章正弦交流电路稳态分析本章重点

电路在正弦交流电作用下的稳态情况是电路分析的重要内容，读者要认真理解和掌握以下内容：

1．正弦信号及相量表示。

2．电路的相量模型和相量分析法。

3．阻抗与导纳的概念。

4．正弦稳态电路的功率。学习导引：

简谐信号不平凡，正弦稳态最常见；巧把正弦转相量，代数分析更简单。6.1正弦信号与相量6.2电路的相量模型6.3阻抗与导纳6.4相量分析的一般方法6.5正弦稳态电路的功率6.6应用实例本章目录6.1正弦信号与相量6.1.1正弦信号图6-1所示是几种产生正弦交流信号的方法。其中图(a)为交流发电机，(b)为风力发电机，(c)为太阳能发电装置，(d)为函数发生器，它可以产生多种频率的正弦信号。图6-1正弦交流电的产生正弦信号的三要素

i(t)=Imsin(

t+

i

)

Im：振幅，最大值

：角频率，

i：初相位有效值（方均根值，rms）

设直流电流I在时间T内使电阻R产生的热能为I2RT，交流电流i(t)在T时间内产生的热能为。由定义，令可解得电流I为

I称为交流电i(t)的有效值。类似地，交流电压的有效值为

有效值又称为方均根值(root-mean-square，rms)。设i＝Imsin

t，则其有效值:即类似地，正弦电压的有效值为

这表明，正弦交流电的有效值是其最大值的0.707倍，或振幅为有效值的倍。这一关系很重要，要熟记。6.1.2相量的概念运用复数分析电路的方法称为相量法(phasormethod)。

1.复数

例如，3+j4对应于图6-2中复平面上的P1点。图6-2复平面复数还可以用复平面上的一个矢量来表示。如A=3+j4可以用一个从原点O到P点的矢量来表示。这种矢量称为复数矢量。任意一个复数A可对应一个复数矢量OP，如图6-3所示。矢量的长度定义为复数A的绝对值，称为复数的模。即图6-3复平面中的矢量矢量与实轴正方向的夹角θ称为复数A的辐角。图6-4复平面中的矢量因为根据欧拉公式上式又可以写为2.相量的概念

设有时间t的复值函数，利用数学中的欧拉公式：ej

t=cos

t

+jsin

t

显然cos

t=Re(ej

t)sin

t=Im(ej

t)

这里，Re(·)和Im(·)分别为取实部和取虚部的符号。进一步，有Imej(

t+

)=Imcos(

t+

)

+jImsin(

t+

)

故正弦电流i(t)＝Imsin(

t+

)可以表示为i(t)＝Im[Imej(

t+

)]

Imej(

t+

)称为复指数。记复数电流

则

在电路中，通常把电流的振幅（或有效值）与其初相角构成的一个复数称为电流相量。例如i(t)＝5sin(

t

30

)A

对应的相量为

若用有效值为相量的模，则有效值相量为

（振幅相量）

（有效值相量）图6-5相量图

设有电流和电压相量分别为（以有效值为模）

则它们的相量图如图6-5所示。相量的加减按平行四边形法则进行。

6.2电路的相量模型6.2.1KCL和KVL的相量表示

因对任何节点电流有KCL

i=0

故复指数电流也满足下式所以同理，对任何回路有KVL的相量形式6.2.2基本元件的相量模型

1.电阻元件的相量模型设电阻R上的电压为u=Umsin

t

，则电流其中电流振幅为相应地，电压振幅为

即有相量关系

大小和相位分别为U=RI

u=i

u与i同相得R的相量模型及电压、电流关系，如图6-6所示：图6-6（c）

（d）2.电感元件的相量模型

设电感L中有电流i

=Imsinωt，则其两端的电压为或者式中，电压振幅为由上可知，电感L中电流i和电压u的相位差为90o，即电压超前电流90o，如图6-7所示。图6-7电感L中的电压与电流由上式可得令xL=ωL这里xL称为电感的感抗，其大小与频率成正比。电感对直流相当于短路。

再考虑相量关系。设电流相量为，由于电感中电压超前于电流90o，故其相量可表示为即有或者用有效值相量表示为上式又可表示为上式含两方面的内容，即电压、电流的大小关系和初相关系分别为上述表明，电感上电压与电流的大小之间也满足欧姆定律，其中ωL=XL称为电感的感抗，单位为Ω；电压的初相超前于电流的初相90o。图6-8电感的相量模型及其相量图电感上电压与电流的大小之间满足欧姆定律，其中ωL=XL称为电感的感抗，单位为Ω;电压的初相超前于电流的初相90o。3.电容元件的相量模型

即式中电流超前于电压90o，如图6-9所示。对于直流，电容上电流为零，相当于开路（断路）。图6-9电容C中的电压与电流由式可得容抗为若用有效值相量表示，由于电流超前电压90o，故有或者

由此可知电容上电压与电流的大小关系和初相关系分别为上式表明，电容元件上U与I也存在着欧姆定律关系，其中称为电容的容抗，单位为Ω；而电容上电流超前于电压90o。图6-10电容的相量模型及电流、电压相量图

例如图6-11(a)RL电路，R=1

，L=1H，

uS=10sin(3t)V，试求电流i。图6-11

解由相量电路模型，可列出KVL方程为从而其中相量，感抗

L=3×1=3

所以最后得稳态电流i(t)＝Im[ej

t]=2sin(3t

36.9

)A

例

如图6-12(a)所示RC并联电路，已知R=1kΩ,C=0.05μF，电源电压U=10V,ω=104rad/s。试求总电流，并画出各电流相量图。图6-12

解

先画出相量模型电路如图6-12(b)所示。设电源电压初相角为0o，即有效值相量为。由图6-12(b)所示相量电路通过R的电流为电容中的电流相量为由KCL，总电流的相量从而得到稳态电流各电流的相量关系如图6-12(c)所示。相量方法（符号法）：省掉建微分方程的过程图6-13正弦量的相量有什么物理意义？利用相量模型分析电路的本质是什么？阅读与思考6.3阻抗与导纳6.3.1阻抗

欧姆定律的相量形式

Z：电路或元件的阻抗。对电阻R：对电感L：对电容C：R的阻抗：ZR=R

L的阻抗：ZL=j

L=jXL

C的阻抗：

一般而言，设一不含独立电源的二端网络N，在正弦稳态下，其端口电压和电流分别用相量和表示，并设参考方向关联，则该二端网络的阻抗Z定义为阻抗的串联

对R、L、C串联电路（如图6-14所示），由KVL，得图6-14

即

或者

式中，为该电路的总阻抗。该阻抗又可写为

其中，R为电阻分量，X

为电抗分量。它是频率的函数。再论阻抗ZZ=R+jX=

Z

式中

Z

称为阻抗Z的模或绝对值，

称为阻抗Z的阻抗角。反过来，又有R=

Z

cos

X=

Z

sin

另一方面，由于相比较，有6.3.2导纳阻抗的倒数定义为导纳（admittance），用符号Y表示，即

对于基本元件R、L和C而言，它们在交流电路中所对应的导纳分别为

对图6-15所示

RLC并联电路，由KCL，得图6-15

故

从而阻抗与导纳的关系

其中

阻抗Z与导纳Y通常是频率的函数

例如：

当，X<0，电路呈电容性；当，X>0，电路呈电感性；当，X=0，电路呈电阻性。

例

如图4-32所示电路，设R=10Ω,L=1H,C=0.005F,试求电流i、uC、uR和uL。图6-16阻抗的串联

解

根据已知，首先求出相量模型电路中的各量:总阻抗故电流相量进而得有效值相量最后有(注意将有效值变为振幅)稳态电流各电压的相量关系如图6-17所示。图6-17

例如图6-18所示电路,试求其电流和总阻抗Z。图6-18

解令Z1

=

(3

+j4)

=553.1

Z2

=

(

4

j3)

=536.9

电感支路电流电容支路电流总电流总阻抗图6-19

例音频信号产生器是由放大器和RC移相电路所组成，如图6-19所示。理论已证明,当和同相时，它能自行产生某一频率的正弦信号。试分析与同相的条件。+−

解实际电路中，放大器的输入阻抗很高，可以近似认为是开路，即=0；由图可得取二者之比，得若R1=R2=R，C1=C2=C，则

如果和同相，二者之比应为实数，即也就是说，满足上式时，和同相，可得频率为阻抗一般是频率的函数，若阻抗Z呈电感性，其电压与电流的相位有何关系？如何利用对偶性简化电路分析？阅读与思考6.4相量分析的一般方法1.网孔分析法2.节点分析法3.戴维宁定理6.4.1网孔分析法

图6-20为一正弦稳态电路的相量模型。图6-20网孔分析示例由于非公共支路有一电流源，故只需列两个网孔方程化简为由于所以从而解得电容上电流稳态响应

例如图6-21所示电路，试用网孔法求电流。图6-21即

解

先设出两个网孔电流和，则可得6.4.2节点分析法

例图6-22所示为RC振荡器的电路模型，设R=1

，C=1F，试确定参数A和角频率

。图6-22

解列节点方程代入数据整理得

该线性齐次方程组存在非零解的充要条件为其系数行列式等于零，即展开可得上式的实部和虚部应分别为零，即解得

例图6-23所示为多功能有源网络，试求电压比。图6-23

解应用节点分析法，对节点a，有又所以最后得

适当选择各导纳的元件性质，则电压比的功能将不同，请读者试之。6.4.3戴维宁定理

例交流电桥应用广泛，图6-24(a)所示为原理电路，试分析平衡条件。图6-24

解若令=0，则电压表中无电流，故电桥平衡条件为Z2Z3

Z1Z4=0或者Z2Z3=Z1Z4

图6-24(b)所示是测量电容Cx及其漏电阻Rx的电桥。若把Cx和Rx的组合认为Zx，R4和C4的组合认为Z4，电桥平衡时，应有R2

Zx=R1Z4

即具体化为解之可得图6-25

例叠加定理应用。如图6-25所示电路，设多频信号

f1=50Hz，f2=100Hz，负载RL=20

。当f1=50Hz时，XL=10

，XC=20

，试求电流i(t)。

解因输入为多频信号，可应用叠加定理并结合戴维宁定理求解。

1.对直流分量，uS1=10V，因电容相当于开路，电感相当于短路，故RL上电压u1=10V，从而I1=0.5A。

2.对f1的正弦分量，有效值电压相量断开RL后，则开路电压等效阻抗故输出电流相量

故

3.对f2的正弦分量，则XL=20

，XC=10

，且，则

最后合成稳态电流6.4.4-Y阻抗等效变换图6-26-Y互换图

对图6-26(a)所示电路列网孔方程为

由第三个方程得

将上式代入式（1）的前两个方程，得(1)

式中，Z

=ZAB+ZBC+ZAC

在图6-26(b)所示电路中，其网孔方程为

令各系数对应相等，可解得

也就是说，当已知

形接法的各阻抗后，等效变换为Y形联结的各阻抗（ZA，ZB，ZC）可用上式求得。(2)

若已知Y形联结的各阻抗，则变换为形联结时各阻抗为

式中，ZY=ZAZB+ZBZC+ZAZC。(3)

这与电阻电路的形式是一样的。

有源电路等效阻抗变换

例如图6-27所示电路，试证明其输入端等效为一电感。图6-27

解可以推得输入阻抗

其中等效电感在多频正弦周期信号输入下，其稳态如何分析？如何理解阻抗变换？阅读与思考6.5正弦稳态电路的功率1.平均功率2.复功率3.共轭匹配6.5.1平均功率电阻

设i=Imsin

tu=Umsin

t

则功率p(t)=ui

=UmImsin2(

t)

平均功率图6-28

如图6-28所示。电感

设i=Imsin

tu=Umsin(

t+90)

则p(t)=ui

=UmImcos

t

sin

t

平均功率（纯电感不消耗功率！）

无功功率图6-29

如图6-29所示。电容

设u=Umsin

t

i=Imsin(

t+90)

则p(t)=ui

平均功率即电容元件不消耗功率！图6-30

如图6-30所示。二端网络N（一般化）

设则p

(t)=ui

平均功率图6-31若N中无独立电源，则N的等效阻抗

Z=

Z

，

=

u

i则平均功率（下图为测量方法）图6-32

例

某变电所输出的电压为220V，其视在功率为220kV·A。如向电压为220V,功率因数为0.8,额定功率为44kW的工厂供电，试问能供几个这样的工厂用电?若用户把功率因数提高到1,该变电所又能供给几个同样的工厂用电?

解变电所输出的额定电流为当λ=0.8时，每个工厂所取的电流应为故供给的工厂个数为而当λ=1时，每个工厂所取的电流应为这时供给工厂的个数为

例

如果某水电站以U=22×104V的高压向某地输送P=24×104kW的电力，若输电线的总电阻为10Ω，试计算当功率因数由0.6提高到0.9时，输电线在一年中电能损失会减少多少?

解

当λ1=0.6时，用户要从电站取用的电流为当λ2=0.9时，用户取用的电流为因此在一年内输电线上可以少损耗的电能为

可见，若用电设备的功率因数很低，一方面发电机的容量不能充分利用，另一方面又会增加输电线上能量损耗。所以设法提高用电设备的功率因数，是电力系统中很重要的问题。6.5.2复功率概念

设阻抗Z=R+jX

则复功率

即

视在功率：S=UI(V·A)图6-33功率因数提高方法

[如图6-34(a)所示]:并联电容法图6-34感性负载并电容，使I<IL由P=UIcos

，P不变，U不变，I变小，cos

变大！则6.5.3共轭匹配

如图6-35电路，ZL可变，则图6-35

平均功率：

最大功率：

得条件

RL=RS

且XL=

XS

即

此时

例如图6-36所示电路，若负载Z可变，问ZL为何值时它可获得最大功率？此时最大功率为何值？图6-36

解断开ZL后，开路电压令独立源为零，可得戴维宁等效阻抗Z0=(4+j3)

=R0+jX0所以当ZL=Z0*时，即ZL=(4

j3)

负载可得到最大功率。该最大功率为

例在图6-37所示电路中，设R1=10Ω，L=10mH，uS(t)=10sin（103t）

V。为使R2和C并联之负载获得最大功率，问R2和C的值各为多少？图6-37

解由图6-37可知，由相量模型，令

ZS=R1+j

L

=（10+j10）

令R2和C的并联阻抗为ZL，则

根据ZL=ZS*的条件，应有

ZL=(10

j10)

即

解得

R2=20

C=50

F

正弦稳态电路中定义了多种功率概念，它们各有什么物理意义？阅读与思考

1、移相电路

图6-38(a)为雷达中应用的一种移相器。(b)为移相器的电路模型。图6-38雷达中应用的一种移相器6.6应用实例

用相量法分析。对于图6-38(b)所示电路。设列节点方程

由于故有

2、日光灯电路下图所示的日光灯电路中，在主教材中给出的条件下，可以解得图6-39

3、双电容振荡器当时，电路发生振荡。频率图6-40

练习题1.如图6-41所示电路，已知Uab=4

00V，求US=？

答：Us=5V图6-412.如图6-42所示正弦稳态电路，为使R获得最大功率，试求R和C值。已知电源ω

=5000rad/s。

答：R=500Ω，C=8μF图6-42

答：R=5Ω，uC

=20sin(5t

45

)V3.如图所示正弦电路，已知,电路消耗的功率P=5W，C=0.02F，L=1H，求电阻R和电压uC

。图6-43

答：U=50V，I=3A，XC

=12.5Ω4.如图6-44所示电路，已知和,电路消耗的功率P=150W，试求U、I和XC。图6-44

答：图6-455.如图6-45所示电路，试求节点电压和。，思想与方法

在任何时候，改变自已永远都不会晚。不管你有多大，不管你现在的处境有多难，有多糟糕，如果你有目标，不管路有多远都要一步一个脚印地走下去。水到绝处是风景，人到绝境是重生。

——《毛泽东选集》第7章三相交流电路本章重点

三相交流电路在电气工程中应用非常广泛。读者要理解和掌握以下内容：

1．三相正弦信号的概念。

2．三相电路的星型和三角型联结。

3．三相四线制电路分析。

4．三相正弦稳态电路的功率。学习导引

一生二，二生三，三生万物。

除了单相正弦交流电应用广泛外，工业和城乡供电系统中还广泛应用三相正弦交流电。7.1三相电源的产生7.2三相电路的连接7.3三相电路的功率及测量7.4应用实例本章目录7.1三相电源的产生

图7-1

对称三相电源

三相电压是由三相交流发电机产生的。三相发电机主要由电枢和磁极构成。如图7-1所示为一对磁极的三相发电机原理。

用相量表示时为当转子按顺时针方向匀速旋转时，每相绕组依次切割磁力线，产生感应电动势。这样，我们就得到三个频率相同、振幅相同、相位彼此相差120o的对称三相电压。如下所示

图7-2

又由于

且在三相对称时，，所以

事实上，这三相电压的瞬时值之和也为零，即uA＋uB＋uC

＝0如图7-2所示，如果把定子绕组的末端X、Y、Z联结在一起成为公共点N，称为中性点。从中性点引出的导线称为中性线。从三相电源的首端A、B、C分别引出输电线与负载相连，这三根线称为相线（俗称火线），也称端线。这样组成的三相电源就是星形（Y形）联结的三相电源。

图7-27.2三相电路的连接Y形（星形）联结与三相四线制

如图7-3所示，中线、端线（火线）

图7-3Y形联接

若三相电压大小相等，记为UP，则

从而三相线电压

可见，在星形联结时，若相电压对称，则线电压也对称，若用UL表示线电压的大小，则UL=UP

，三个线电压大小相等，相位互差120

。若相电压为120V，

则线电压为380V。

若三相电源对称，三相负载也对称相等，则相电流=线电流中性电流

若三相负载对称，则总功率P＝3UPIPcos

式中，IP为相电流，cos

是负载的功率因数。又因为

IL=IP，IL

为线电流的大小，则注意：相角

决不是线电压与线电流的相位差。三相三线制

电源为Y形或形联结，负载为形联结（如图7-4所示）。图7-4Y-

联结根据KCL，线电流同理得因相电流（如）大小为线电流的大小为

故即线电流是相电流的倍，且是平衡的。

例

如图7-5所示电路，设线电压为380V，每相电压Up=220V，三相负载分别为这时三相负载不对称。。（1）试求各相电流和中性线电流；（2）当中性线断开时，求NN’间电压；（3）A相短路，中性线断开时，求负载各相电压。图7-5解（1）设，则各相负载电流故中线电流为（2）中性线断开时，由节点电压法，NN’间电压（3）此时，N’为A点，故负载各相电压为可见，B相和C相的负载承受的电压都超过额定的220V，这是不允许的。同时，我们注意到，中性线可以使星形联结的不对称负载的相电压对称。所以，为了保证负载的相电压对称，不能让中性线断开。三相电路的

相电压与线电压：7.3三相电路的功率及测量

三相电路的功率三相电路的平均功率等于各相平均功率之和，即式中，、、分别是A、B、C各相相电压和相电流的相位差。当负载是对称时，由于三相总功率为当对称负载为星形联结时当对称负载为三角形联结时不论三相对称负载是星形联结还是三角形联结，我们总能得到用线电压和线电流表示的三相功率表达式上式中的角仍然是相电压和相电流之间的相位差。例

如图7-6所示三相星形连接的负载，每相负载三相线电压有效值为380V，试求各相电流和负载吸收的功率。图7-6解因三相电路对称，故相电压设A相电压初相为，于是A相的电流B相、C相电流大小与A相相等，相位互差120o，即各负载阻抗角为，故。负载吸收的功率

三相电路的功率测量对于三相四线制的星形联结电路，我们常采用三只单相瓦特表进行测量，这种测量方法叫做三瓦计法或者三表法。如图7-7所示。瓦特表W1、W2、W3分别测量A、B、C三相的平均功率PA、PB、PC，则总功率为图7-7三表法测量功率电路对于三相三线制电路，通常用两只瓦特表测量功率，称为二瓦计法或者二表法。如图7-8所示，功率表W1和W2的测量值分别是PA和PB。三相电路的总功率等于PA和PB的代数和。其中，是和的相位差角，是和的相位差角。图7-8二表法测量功率电路7.4应用实例1、安全用电

在低压配电系统中采用的保护措施有两种。当低压配电系统变压器中性点不接地时，采用接地保护。当低压配电系统变压器中性点接地时，采用接零保护。接地保护是为了防止触电事故而装设的接地。如电气设备不带电的金属外壳、支架及其与之相连的金属部分的接地就属于保护接地。接零保护是在中性点接地的三相四线制电网中电气设备采用的保护方法。家用电器一般采用三脚插头和三眼插座。三眼插座的正确接法如图7-9所示。图7-9三眼插座的正确接法

2、相序测定交换电源的相序可以改变电动机的旋转方向。三相电源的相序测定可根据中性点偏移的原理来测定。图7-10相序测定电路测定相序的电路如图7-10所示。先在A相中接入一个电容C=1μF，B、C两相分别接入一个参数为220V、40W的白炽灯泡。根据理论分析，灯较亮的一相应为B相，B相电压高于C相电压，灯泡暗的一相为C相，它的相位滞后灯泡亮的B相，B相又滞后接电容的A相。这就测定了相序。

3、民用住宅供电系统一般来说，住宅供电系统的任务是从电源通过电力网络合理地分配给各用电设备，如图7-11所示。图7-11民用住宅供电系统

4、三相电路配电系统图7-12

时间，抓住了就是黄金，虚度了就是流水；书，真看就是知识，没看就是废纸；理想，努力了即是梦想，放弃了就是妄想。思想与方法第8章耦合电感与理想变压器本章重点1.耦合电感的概念。

2.互感电压的正负与同名端的关系。

3.耦合电感的T形等效电路。

4.理想变压器的特性。学习导引：天生磁力斩不断，抽刀断水水更流。你中有我，我中有你，电磁耦合话神奇。本章目录8.1耦合电感及其等效8.2变压器电路分析8.3应用实例8.1耦合电感及其等效1.耦合电感2.耦合电感的等效8.1.1耦合电感

两线圈耦合时,如图8-1(a)所示，有图8-1耦合电感及其符号非线性：磁通链与电流关系

1=f1(i1，i2)

2=f2(i1，i2)线性时：

11=L1i1

22=L2i2

21=M21i1

12=M12i2磁通相助：若i1和i2均从同名端流入，则磁链

1=

11+

12=L1i1+Mi2

2=

22+

21=L2i2+Mi1

磁通相消：若一电流从同名端流入，另一电流从同名端流出，则磁链

1=

11

12=L1i1

Mi2

2=

22

21=L2i2

Mi1图8-2电压方程：由法拉第电磁感应定律所以得端口电压方程：磁通相助时（两电流均流入同名端）在正弦稳态下，互感元件的两种端口电压方程为磁通相消时，有8.1.2耦合电感的等效T形等效（互感消除法）

图8-3耦合电感的T形等效

同名端相连时，在正弦稳态下，由图8-3(a)可列出电压方程为

把上式改写为

即(1)

上式也可以改写为(2)

式(1)正是图8-3(b)所示电路的电压方程，所以图(a)与图(b)电路对于而言是互相等效的。

异名端相连时，由图8-3(c)可列出电压方程为

式(2)也正是图8-3(d)电路所具有的电压方程，所以图(c)与图(d)电路对于而言也是互相等效的。

例如，在图8-4(a)中，利用T形等效，可以得到图(b)等效电路。注意，图(b)中增加了节点c，可列方程求解。图8-4c一次侧等效（把次级负载折算到初级中）

由图8-5(a)，列出KVL方程(3)图8-5

可解得

故输入阻抗为(4)

上式表征图8-5(b)的等效电路。式中第一项由一次电感L1决定，第二项Zfl是由于电磁耦合而产生的，可以想象为二次回路阻抗对一次侧的反射阻抗（reflectedimpedance）。即(5)

其中Z22=Z2+j

L2为二次回路的总阻抗。

例如下图8-6(a)所示电路，已知U=10V，

=106rad/s，L1=L2=1mH，XC1=XC2=1000

，R1=10

，R2=40

。为使Zfl

=R1，试求所需的M值、负载R2上的功率及C2上的电压。图8-6

解由等效方法，图8-6(b)为图(a)的等效电路。二次侧一次侧的反射阻抗为

由于L1=L2，故

L1=

L2=(106

1

10

3)

=1000

已知XC2=1000

，故

它是纯实数，即Zfl为电阻性。表明二次侧对一次侧的影响如同在一次回路串入了一个电阻。令

则互感

而反射电阻上吸收的功率即R2上吸收的功率为

P2=I12Zfl=(0.5)2

10W=2.5W

这时一次电流进而电流有效值为

所以电压有效值为利用T形等效分析互感电路应注意什么？如果空心变压器的一次回路和二次回路中的阻抗虚部均为零，将会发生什么现象？阅读与思考8.2变压器电路分析1.全耦合变压器2.理想变压器8.2.1全耦合变压器电感与匝数比平方成正比

若变压器一次绕组的磁通全部穿过二次绕组，二次绕组的磁通也全部穿过一次绕组，即耦合系数k=1，称这种状态为全耦合。因为在全耦合时

11=

21

22=

12

所以

取以上二式之比，得

图8-7(a)是全耦合变压器电路，其KVL方程为电压比等于匝数比

图8-7全耦合变压器及其等效电路由于在全耦合下，，代入上面二式得

将上面二式相除，得电压关系电流关系

由于，代入上式，得电流关系图8-7阻抗变换

由于则

当，就是变压器的一次电流，该电流称为磁化电流。考虑到所以综合起来，即

上式即图8-7(b)所示等效电路。其中二次侧负载Z2在等效电路中相当于扩大为倍的阻抗。8.2.2理想变压器

条件：

1.耦合系数k=1。

2.无任何损耗。

3.L1，L2，M

。端口特性（VCR）

在正弦稳态下，有

变换电压和电流！变换阻抗

等效电路图8-8+−

例如图8-9所示电路，含有耦合电感和理想变压器。试问信号源的频率为何值时，负载电流？解为使为零，应使。由等效电路8-9(b)，为使，只要可得图8-9(a)(b)结论：

1.理想变压器是无记忆元件；

2.理想变压器既不消耗能量也不储存能量，P=0；

3.理想变压器是电压、电流、阻抗的变量器，是线性元件。图8-10实际变压器实际变压器介绍

图8-11实际变压器电力变压器：

答：P=4W1.如图所示电路，，

L1=L2=1.5H，M=0.5H，C=0.25F，RL=2Ω。求负载RL的功率P。

练习题2.如图所示电路，设负载ZL任意可变，问ZL为何值时可获得最大功率，并求出最大功率。

答：ZL=2Ω，

Pmax=50W3.如图所示正弦稳态电路，已知调节C使电流源上电压与电流同相，求C的值。

答：C=100pF8.3应用实例1、电力配送

变压器可以完成电力配送。如图8-12所示，先把2500V高压经变压器变为220V市电，然后供家用电器使用。图8-12电力配送2、电气隔离

在电子线路中，如放大器等，为了避免前级电路和后级电路的相互影响，可以使用变压器作为隔离器。它只有磁的耦合，而无电的耦合。图8-13电气隔离3、阻抗匹配

如图8-14(a)所示电路，设电源的内阻为800Ω。若喇叭负载电阻为8Ω，则负载得到的功率很小。今在电源与负载间接入一理想变压器，使变压器的输入阻抗为800Ω，则负载可获得最大功率。如图8-14(b)所示。图8-14阻抗匹配由于变压器的输入阻抗即应该使从而得变比

读书是学习，使用也是学习，而且是更重要的学习。常常不是学好了再干，而是干起来再学习，干就是学习。

——《毛泽东选集》思想与方法第9章选频电路与谐振本章重点

研究线性网络的频率特性是电路分析的重要内容，学习本章，要认真理解和掌握以下知识：

1.网络函数和频率特性的概念。

2.典型网络的选频特性，特别是低通和带通特性。

3.串联谐振电路的特点及分析方法。

4.并联谐振电路的特点及分析方法。学习导引：诗有风雅颂，乐有八音韵； 频域展特性，多姿竞美轮。9.1网络函数9.2二阶网络的频率特性9.3多频信号的电路响应9.4串联谐振电路9.5并联谐振电路9.6应用实例本章目录9.1网络函数1.网络函数与频率特性2.波特图的概念3.滤波器的概念

9.1.1网络函数与频率特性

电路(网络)本身的性能是由电路的结构和参数决定的。在正弦稳态下，表征电路或系统的重要性能之一是网络函数(networkfunction)，用H(jω)表示，其定义为网络的频率特性：

频率的函数：H(j

)=H(

)ej

(

)

H(

)——幅频特性

(

)——相频特性1.RC低通网络图9-1RC低通网络及频率特性曲线其网络函数(电压转移函数)：从而幅频特性相频特性

截止频率与通带

当，

=

c称截止频率。通带：0~

c范围（低频通过）。图9-2RC低通网络的幅频特性

网络函数的作用

在图9-1(a)所示电路中，设R=1kΩ,C=1μF，输入信号其中ω=103rad/s。根据叠加定理，响应uC(t)应为uS(t)的四个分量分别作用的结果。RC电路的网络函数为对于不同频率，H(jω)的值分别为：输入相量(对应不同频率)为所以对应各频率的响应相量分别为最后得电路响应为

由于网络的低通特性，虽然输入信号的各分量幅度相同，但输出信号频率较高分量的幅度却被大大抑制(衰减)了。

2.RC高通网络图9-3RC高通网络的频率特性曲线其网络函数(电压转移函数)为式中该RC网络选择高频信号通过(高通网络)。ωc=1/RC为高通特性的截止频率。

在图9-4所示RC高通网络中，给定四种幅度相同、频率不同的输入信号，其输出信号随着频率的升高，正弦分量的幅度不断加大。当容抗近似为零时，输出幅度达9.87V。这是高通网络的特性所使然。图9-4RC高通网络特性示例图9-5RC高通网络的幅频特性3.RC全通网络图9-6RC全通网络及其频率特性曲线其网络函数(电压转移函数)为式中9.1.2波特图的概念增益

G=20lgH(

)dB（分贝）H(

)与G/dB的对应关系H()0.010.10.7071210100100010000G/dB

40

20

3.006204060100

如RC低通网络中，得

所以

当

<0.1

c时，G

0dB。当

=

c时，G=

3dB。当

>10

c时，对特定频率

=10

c时，G=

20dB

=100

c时，G=

40dB由上可得波特图如图9-7所示。图9-7RC低通网络的波特图9.1.3滤波器的概念

滤波器是一类频率选择网络。滤波器的种类很多，如按通带的位置来划分，可分为低通、高通、带通、带阻四类：低通（low-pass）滤波器——通带在0~

c，角频率高于

c时是阻带。高通（high-pass）滤波器——通带在

c~

，角频率低于

c时是阻带。带通（band-pass）滤波器——通带在

c1~

c2之间，角频率低于

c1或高于

c2时都是阻带。带阻（band-reject）滤波器——阻带在

c1~

c2之间，角频率低于

c1或高于

c2时都是通带。这四种滤波器的理想特性如图9-8所示。图9-8四种理想滤波器特性

工程上还经常用LC元件组成各种滤波器。如图9-9(a)、(b)所示是低通滤波器，图9-9(c)、(d)为高通滤波器。图9-9LC滤波器图9-10可调的低通滤波器（4节）工程应用（航天用电子滤波器）能否用RC

构成一个带通网络？如何理解电路的相移特性？阅读与思考9.2二阶网络的频率特性1.低通频率特性2.高通频率特性3.带通频率特性4.带阻频率特性9.2.1低通频率特性图9-11二阶低通电路其网络函数

所以

该函数的特点是分母出现(j

)2，故称之为二阶电路，且其分子为常数，故H(j

)具有低通特性，令频率。若设，则

其低通幅频特性和相频特性如图9-12所示。图9-12RLC二阶网络的幅频、相频特性RC有源低通网络（如图9-13所示）

图9-13其特性：(a)RC有源低通网络(b)电路的幅频特性另一种有源低通电路形式及其特性如图9-14所示。图9-149.2.2高通频率特性

对图9-15中节点a列节点方程：图9-15RC有源高通网络

该函数分母和分子都出现(j

)2，它属于二阶高通特性。另一种形式高通网络及其特性如图9-16所示。

代入节点方程，并消去，可得图9-16RC有源高通网络的频率特性9.2.3带通频率特性图9-17二阶RC有源带通网络由图9-17可列关于a、b的节点方程可解得网络函数图9-18RC有源带通网络的频率特性

该函数分子出现j

，属带通特性。其中心频率。幅频特性和相频特性如图9-18所示。(b)

例图9-19所示为RC带通网络。(a)图9-199.2.4带阻频率特性图9-20

解之

对图9-20，令，则对未知节点电压、和可列节点方程：

故

上式分子为两项之和，前一项作用具有低通特性，后一项作用具有高通特性，故联合起来具有带阻性质。频率特性如图9-21所示。图9-21结论：

二阶电路的网络函数有以下5种形式。低通函数带通函数高通函数带阻函数全通函数应用：根据所传输的信号特点和输出的要求，选择不同电路形式。

比较低通、高通、带通、带阻网络的频率特性函数，有何异同？阅读与思考9.3多频信号的电路响应1.周期性非正弦信号2.多频信号的稳态响应9.3.1周期性非正弦信号常用的周期非正弦信号都可以分解为三角级数：

0：基波角频率a0：直流分量，an：余弦幅度，bn：正弦幅度，An：谐波幅度，图9-22所示为常见的周期信号的傅里叶级数。图9-22图中f(x)为f(t)周期方波信号的分解与合成。

信号分解为高次谐波

信号由谐波合成图9-23方波信号的谐波分解与合成：周期非正弦信号的平均功率周期非正弦信号的有效值：电压式中，为u(t)各谐波分量的有效值。电流式中，为i(t)各谐波分量的有效值。

例设图9-24矩形信号的周期T=5ms，幅度A=60V,该电压加在R=10Ω的电阻上，试求电阻上电压的前5个分量的有效值和消耗的功率。图9-24图中u(x)为u(t)

解

前5个分量的有效值为:U=28.76V

整个信号u(t)的有效值:Urms=30V

消耗的功率

而前5个分量所消耗的功率为82.7W，所以

这表明，信号低频分量所占功率达总功率的90%以上。9.3.2多频信号的稳态响应

例图9-25所示RC电路，输入为周期方波uS(t)，幅度A=

V，试求电路的稳态响应uO(t)。图9-25

解

电路的网络函数为

则

类似的，用相量法可以求出各次谐波的响应。其稳态输出为9.4串联谐振电路1.串联谐振2.频率特性9.4.1串联谐振图9-26串联谐振电路如图9-26所示RLC串联电路，串联谐振：若电路的固有振荡频率与电源频率一致，则发生谐振。回路阻抗呈电阻性。图9-26谐振条件：

若X=0，则Z为纯电阻性——电路谐振

由电抗X=0

即则谐振频率

频域特性

特性图如图9-27所示。图9-2790o−90o谐振阻抗

即谐振电流品质因数谐振电压（有效值）

例在图9-28所示的RLC串联电路中，假设信号源电压有效值US=1mV，频率f=2MHz，回路的电感量L=30μH,Q0=40。若用调节电容C的办法使电路对信号频率谐振，试求谐振时的电容量C、回路电流I0和电容上的电压UC。图9-28串联谐振电路解谐振时，电容为回路中的电阻所以回路电流(谐振时的电流有效值)电容上的电压有效值图9-29

例

在图9-29所示电路中，若R=1

，L=2

H，C=50pF，

=250mV，试求电路的谐振频率、品质因数和电容两端的电压。

解谐振频率

品质因数

电容上电压有效值

9.4.2频率特性

在图9-30中，若取电阻R上的电压为，则网络函数图9-30

其幅频特性

因，代入上式可改写为

因为U2(

)=RI(

)，I0=，代入上式又可以得到

或者图9-31电流谐振曲线

频率特性不仅与频率有关，而且与Q0有关，如图9-31（带通曲线）所示。

例今有一串联谐振电路，回路的品质因数Q0=100，回路对接收的信号频率2MHz调谐，加至回路的信号电压为10mV。现有一干扰电压加至回路也为10mV，干扰频率为2.05MHz。试问在回路中产生的信号电流与干扰电流相差多少?

解由题意知，电路的谐振频率f0=2MHz，而对f=2.05MHz电路失谐。因信号电压与干扰电压均为10mV，这相当于电压未变而改变频率的情况。可得即信号电流约是干扰电流的5倍，这就体现了谐振电路对信号的选择作用。通频带

谐振曲线下降到最大值的0.707倍时的频率范围。或BfB𝝎

试归纳串联谐振电路的谐振特性。阅读与思考实际问题1.串联谐振电路适用于信号源内阻较小的情况，否则将影响品质因数。2.选择性与Q0直接相关，Q0越高，曲线尖锐，选择性好；Q0小，曲线平坦，通频带加宽，选择性变坏。3.通频带的选取应适应传输的信号，如果信号含有频率分量多，为了不失真，必须加宽通频带；若信号含有频率分量少，应该选高Q0电路，使通频带变窄，提高选择性。9.5并联谐振电路1.并联谐振2.频率特性3.双电感和双电容并联谐振9.5.1并联谐振图9-32是最简单的RLC并联电路。图9-32并联谐振电路并联谐振图9-32谐振条件

当B=0，则与同相，电路谐振。由则谐振频率

谐振阻抗

谐振电流

品质因数

例

在图9-33所示的RLC并联电路中，若R=5kΩ,L=100μH,C=400pF，电流源IS=2mA。当电源角频率为多少时，电路发生谐振?求谐振时各支路电流和电路两端的电压U0。图9-33解为使电路谐振，电源的角频率应为这时谐振阻抗Z0=R=5kΩ，所以电路两端的谐振电压为流过电阻R的电流为电路的品质因数为所以电感和电容支路的电流分别为

因电路图9-34中总阻抗实际电路的等效

若

L>>r，则导纳Y为图9-34故从图9-35(a)所示电路可等效为图(b)所示电路。这时谐振阻抗图9-35(a)(b)

例如图9-36所示电路，求谐振时电压U0和IC。图9-36

解首先作出图9-36(a)的等效电路，如图(b)所示。由电路参数，得

谐振阻抗

考虑电源内阻RS的影响后，等效的谐振阻抗

由于

故谐振时电压U0=ISR

=1

50V=50V

电容支路的电流IC=

0CU0=107

100

10

12

50A=0.05A=50mA

或者，考虑电源内阻后电路的等效品质因数为

也可以求得IC=Q0

IS=50

1mA=50mA9.5.2频率特性

对于图9-32所示的RLC并联电路，若以R中的电流为输出，则网络函数

考虑到，则上式可改写为

与串联谐振电路相似，其幅频特性

并联RLC谐振电路各电流的频率特性：图9-37图9-38（U/Uo）-

因为，故又得

电压曲线：9.5.3双电感和双电容并联谐振

两种电路结构：图9-39电路的等效：图9-40图9-41在图9-41中，IS可以等效为图9-42

例在图9-42中，求谐振阻抗和电压有效值U。

解利用等效电路(b)，可得阅读与思考从对偶原理，审视串联与并联谐振的特点。当有内阻和负载时，如何等效和？串联谐振常称为电压谐振，并联谐振称为电流谐振，为什么？9.6应用实例1、双音多频电话音调合成，如图9-43所示。图9-432、东方红卫星1号音乐频率合成。3、低音音调控制电路，如图9-44所示。图9-44

学者与诗人之间隔着一片苍翠的田野，如果学者越过这田野，他就成了圣贤；如果诗人越过这田野，他就成了先知。

——纪伯伦（黎巴嫩）思想与方法第10章双口网络分析本章重点

双口网络的概念和分析方法是今后研究复杂电路的重要基础。学习本章的要求是：

1.认真理解双口网络方程和参数表示法，会求简单双口网络的参数。

2.要掌握双口网络的等效和组合方法，理解匹配的概念，会求双口网络的输入阻抗、输出阻抗和特性阻抗。学习导引：

燕赵有秀色，微笑画屏前。

审势形于外，万象有关联。

黑箱方法好，复杂变简单。

“想象比知识更重要，知识有尽，想象无涯”(爱因斯坦)。双口网络好像一个黑盒子，它里面也许只有一个电阻，也许有数千个晶体管，……不过，从双口网络外部看，却只要简单的方程和参数就可以表达该网络的特性。10.1双口网络的参数方程10.2网络函数与特性阻抗10.3双口网络的等效与组合10.4应用实例本章目录10.1双口网络的参数方程1.Y参数方程2.Z参数方程3.H参数方程4.A参数方程双口网络概念

图10-1

若四端网络中，满足i1=i

1，i2=i

2，则为双口。输入端口：接信号源的端口。输出端口：接负载的端口。线性双口：双口N中仅含有线性元件（包括受控源）。10.1.1Y参数方程（导纳参数）图10-2求Y参数用图依替代定理将图10-2(a)的和分别用电压源代替，如图(b)。根据叠加定理，得

式中，k1、k2、k3和k4是决定网络的比例系数，且均为导纳的量纲。

上式称为双口网络的Y方程，系数y11、y12、y21和y22称为网络的Y参数。它们均决定于网络本身。

写为矩阵形式：令矩阵则有

Y方程表明：尽管双口网络N内部是黑的，但它总可以用4个参数（Y参数）表示。由方程可知4个参数可以分别确定如下：均为短路导纳参数

例如图10-3所示双口网络，求其Y参数矩阵。图10-3

解由网络所知，可得

即有Y参数矩阵

本例也可以用节点方程确定其Y参数。即

该方程的系数与Y方程比较，可得到

y11=Y1+Y2y12=y21=

Y2y22=Y2+Y3

若网络是对称的，比如Y1=Y3，则有y11=y22。10.1.2Z参数方程（阻抗参数）图10-4求Z参数用图

以电流源代替图10-4(a)之电流和