浙江天域名校协作体2027届高三上学期10月学科练习数学试卷（含答案）

浙江天域名校协作体2027届高三上学期10月学科练习数学试卷学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．2．已知，i为虚数单位，若为纯虚数，则a的值为（

）A．1 B． C．0 D．3．已知，，则“”的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．4．若将函数的图象向左平移个单位后的函数图象关于y轴对称，则可取值为（

）A． B． C． D．5．已知事件与事件同时发生时，事件必然发生，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．6．设，分别为数列，的前项和，且，则当取得最大值时，A．23 B．24 C．25 D．267．已知函数，则（

）A．-2 B．0 C．2 D．108．设为原点，，分别为双曲线C：的左右焦点，，分别为左右顶点，点在双曲线上且满足，平分，则该双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题9．掷一枚质地均匀的骰子，连续抛掷4次，记录每次朝上的点数．若该组数据的平均数为3，则（

）A．中位数可能为3 B．极差可能为1 C．众数可能为2 D．方差可能为610．在棱长为2的正四面体中，点在平面内，且，则下列说法正确的有（

）A．点的轨迹是圆B．三棱锥的体积最大值为C．存在点，使得D．的最小值为11．已知奇函数和偶函数的定义域均为，其导函数分别为，，且，，，则下列结论中正确的是（

）A．B．函数的值域为C．对任意，都有，那么的取值范围为D．若直线与函数、函数的图象分别交于、两点，函数在点处的切线与函数在点处的切线相交于，则的最小值为三、填空题12．已知两单位向量，满足，则，的夹角为______．13．已知抛物线：上点，斜率为1的直线过点，抛物线上存在两点，关于直线对称，则______．14．设数列满足，，，记为不超过实数的最大整数，则______．四、解答题15．在中，角，，所对应的边分别为，，，，．(1)求；(2)若，求．16．如图，在三棱柱中，为边长为2的正三角形，顶点在底面的投影为线段的中点，已知直线与平面所成的角为，为棱上一动点．(1)求三棱锥的体积；(2)若，求平面与平面所成角的正弦值．17．已知函数．(1)求证：函数在上存在唯一极值点；(2)设为（1）中的极值点，求证：对任意，都有．18．已知椭圆：，点在椭圆上，为坐标原点，，关于原点对称，设直线斜率为，过点作斜率为的直线交轴于点，直线与椭圆交于另一点．(1)证明：直线与直线斜率之和为定值；(2)若直线，直线，直线的斜率依次成等比数列，求的值；(3)求外接圆圆心的纵坐标的最大值．19．已知，，…，为1，2，…，的一个排列，定义一次划分变换：把小于的数按照原排列的顺序排在左边（若没有小于，则其左侧不放任何数）；把大于的数按照原排列的顺序排在右边（若没有大于，则其右侧不放任何数），得到新的数列记为，其中，，．(1)若排列为4，2，3，1，写出以及；(2)对于任意有限排列，必定存在正整数使得．记使得成立的最小的正整数为随机变量，且表示满足的排列的个数，其中．（ⅰ）若，求的值（用表示）；（ⅱ）证明：．《浙江天域名校协作体2027届高三上学期10月学科练习数学试卷》参考答案题号12345678910答案DACBDBCAACACD题号11答案ABD1．D2．A3．C4．B5．D6．B7．C8．A9．AC10．ACD11．ABD12．/13．14．102315．(1)(2)16．(1)(2)17．(1)由，则，令，，则，则在上单调递减，令，，则，当，，则在上单调递减；当，，则在上单调递增，所以，所以，即，所以，由，则，所以，所以存在唯一零点，使得，当，，即；当，，即，因此是的唯一极值点，证毕．(2)由（1）可知是极大值点，所以对任意，都有．因此只需证明不等式：对任意，都有．由，得，得，则，则，令，则，当时，，则在上单调递减，故，即，证毕．18．(1)设，则，则直线的斜率为，又直线AD的斜率为，则直线AD的方程为，又点在轴上，则点的坐标为，则直线的斜率为，所以直线与直线斜率之和为（定值），证毕．(2)(3)19．(1)：2，3，1，4，：1，2，3，4(2)（ⅰ）（ⅱ）解法一：，当时，，从而，满足结论．当时，由（ⅰ）得.令，则又因为，于是．综上，．记，则，于是单调递增，从而，当且仅当等号成立．所以，即．故．命题得证．解法二：当时，，从而，满足结论．当时，将1，2，…，m任意排列得到随机排列A：，使得成立的最小的正整数k为X，记此时X的期望为．设A：中，则t等可能地取1，2，…，m，故，．对A作用一次划分变换F若，则没有小于1的数，变换后排列不变，此时；若，则：其中是1，2，…，的一个排列，并且此后的划分变换F只对左侧的个数起作用，右侧大数保