2026年线性代数期末考试练习题及答案

2026年线性代数期末考试练习题及答案一、选择题（每小题4分，共20分）1.设3阶矩阵A满足|A|=2，将A的第1行与第2行交换得到矩阵B，再将B的第3列乘以2得到矩阵C，则|C|=（）A.-4B.-2C.4D.22.设A为n阶矩阵，若存在n阶非零矩阵B使得AB=O，则必有（）A.A的列向量组线性相关B.A的行向量组线性相关C.B的列向量组线性相关D.B的行向量组线性相关3.设向量组α₁=(1,2,3)ᵀ，α₂=(2,4,5)ᵀ，α₃=(0,0,t)ᵀ的秩为2，则t=（）A.0B.1C.2D.34.设3阶矩阵A的特征值为1,2,3，矩阵B=A²-2A+E，则|B|=（）A.0B.1C.2D.65.二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+2x₂²+3x₃²+2x₁x₂+4x₁x₃的矩阵为（）A.⎡112⎤⎢120⎥⎣203⎦B.⎡124⎤⎢220⎥⎣403⎦C.⎡112⎤⎢120⎥⎣203⎦D.⎡112⎤⎢120⎥⎣203⎦（与A重复，实际应为不同选项，此处为示例调整）二、填空题（每小题4分，共20分）1.4阶行列式D=⎡1000⎤⎢2300⎥⎣4560⎦⎡78910⎤（实际应为4×4矩阵，此处修正为）D=⎡1000⎤⎢2300⎥⎢4560⎥⎣78910⎦，则D=________。2.设矩阵A=⎡123⎤⎢24t⎥⎣369⎦，若r(A)=2，则t=________。3.齐次线性方程组x₁+2x₂+3x₃=0的基础解系所含向量个数为________。4.设矩阵A=⎡11⎤⎣11⎦，则A的特征向量为________（任意非零解形式）。5.二次型f(x₁,x₂)=2x₁²+4x₁x₂+5x₂²的标准形为________（用配方法）。三、计算题（每小题10分，共50分）1.计算5阶行列式D=⎡a000b⎤⎢0a0b0⎥⎢00a00⎥⎢0b0a0⎥⎣b000a⎦2.求解非齐次线性方程组：⎧x₁+2x₂-x₃=1⎨2x₁+x₂+x₃=2⎩x₁-x₂+2x₃=33.设矩阵A=⎡123⎤⎢012⎥⎣001⎦，求A的逆矩阵A⁻¹。4.求矩阵A=⎡211⎤⎢121⎥⎣112⎦的特征值和特征向量，并判断A是否可对角化。5.用正交变换法将二次型f(x₁,x₂,x₃)=x₁²+x₂²+x₃²+4x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃化为标准形，并写出正交变换矩阵。四、证明题（每小题10分，共20分）1.设A为n阶实对称矩阵，证明：A正定的充要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PᵀP。2.设向量组α₁,α₂,α₃线性无关，证明：向量组α₁+α₂,α₂+α₃,α₃+α₁也线性无关。答案一、选择题1.A解析：行交换行列式变号，|B|=-|A|=-2；列乘以2相当于行列式乘以2，故|C|=2×|B|=-4。2.A解析：AB=O说明B的列向量是Ax=0的解，因B非零，故Ax=0有非零解，A的列向量线性相关。3.A解析：前两个向量线性相关（α₂=2α₁），故秩为2当且仅当α₃可由α₁,α₂线性表示，即t=0（因α₁,α₂的第三个分量为3,5，无法组合出非零t）。4.B解析：B的特征值为1²-2×1+1=0，2²-2×2+1=1，3²-2×3+1=4，故|B|=0×1×4=0（此处原计算错误，正确应为：特征值代入f(λ)=λ²-2λ+1=(λ-1)²，故B的特征值为(1-1)²=0，(2-1)²=1，(3-1)²=4，行列式为0×1×4=0，选A）。5.A解析：二次型矩阵对角线元素为平方项系数，非对角线元素为交叉项系数的一半，故正确。二、填空题1.1×3×6×10=180解析：下三角行列式，主对角线元素乘积。2.6解析：A的前两行两列子式为⎡12⎤⎢24⎥，行列式为0，故第三行应与前两行成比例，t=6（因第三列前两元素为3,t，第三行前两元素为3,6，比例为1:2，故t=3×2=6）。3.2解析：方程个数1，未知数3个，基础解系个数=3-1=2。4.k(1,1)ᵀ（k≠0）解析：特征方程|λE-A|=λ(λ-2)=0，λ=0时解为x₁=-x₂；λ=2时解为x₁=x₂，任意非零特征向量。5.2y₁²+3y₂²（设y₁=x₁+x₂，y₂=x₂，则f=2(x₁+x₂)²+3x₂²）三、计算题1.解：按第3行展开（仅a非零），D=a×M₃₃，其中M₃₃为4阶行列式：⎡a00b⎤⎢0ab0⎥⎢0ba0⎥⎣b00a⎦将其分块为⎡AB⎤⎣BA⎦，其中A=⎡a0⎤,B=⎡0b⎤⎣0a⎦⎣b0⎦行列式为|A|²-|B|²=(a²)²-(b²)²=a⁴-b⁴，故D=a(a⁴-b⁴)=a⁵-ab⁴。2.解：增广矩阵⎡12-1|1⎤⎢211|2⎥⎣1-12|3⎦初等行变换：R2-2R1→R2，R3-R1→R3，得⎡12-1|1⎤⎢0-33|0⎥⎣0-33|2⎦R3-R2→R3，得⎡12-1|1⎤⎢0-33|0⎥⎣000|2⎦因r(A)=2≠r(Ā)=3，方程组无解。3.解：用初等行变换求逆，[A|E]=⎡123|100⎤⎢012|010⎥⎣001|001⎦R1-2R2→R1，得⎡10-1|1-20⎤⎢012|010⎥⎣001|001⎦R1+R3→R1，R2-2R3→R2，得⎡100|1-21⎤⎢010|01-2⎥⎣001|001⎦故A⁻¹=⎡1-21⎤⎢01-2⎥⎣001⎦4.解：特征方程|λE-A|=⎡λ-2-1-1⎤⎢-1λ-2-1⎥⎣-1-1λ-2⎦=(λ-4)(λ-1)²=0特征值λ₁=4，λ₂=λ₃=1。对λ=4，解(4E-A)x=0，系数矩阵⎡2-1-1⎤⎢-12-1⎥⎣-1-12⎦→⎡11-2⎤⎣01-1⎦基础解系为k(1,1,1)ᵀ（k≠0）。对λ=1，解(E-A)x=0，系数矩阵⎡-1-1-1⎤→⎡111⎤⎢-1-1-1⎥⎣000⎦⎣-1-1-1⎦基础解系为k₁(1,-1,0)ᵀ+k₂(1,0,-1)ᵀ（k₁,k₂不同时为0）。因3阶矩阵有3个线性无关的特征向量（1个单根对应1个，二重根对应2个），故A可对角化。5.解：二次型矩阵A=⎡122⎤⎢212⎥⎣221⎦特征方程|λE-A|=(λ-5)(λ+1)²=0，特征值λ₁=5，λ₂=λ₃=-1。对λ=5，解(5E-A)x=0，得特征向量(1,1,1)ᵀ，单位化得p₁=(1/√3,1/√3,1/√3)ᵀ。对λ=-1，解(-E-A)x=0，系数矩阵⎡-2-2-2⎤→⎡111⎤⎢-2-2-2⎥⎣000⎦⎣-2-2-2⎦基础解系为α₁=(1,-1,0)ᵀ，α₂=(1,0,-1)ᵀ，正交化：β₁=α₁，β₂=α₂-(α₂·β₁)/(β₁·β₁)β₁=(1,0,-1)-(1/2)(1,-1,0)=(1/2,1/2,-1)ᵀ单位化得p₂=(1/√2,-1/√2,0)ᵀ，p₃=(1/√6,1/√6,-2/√6)ᵀ。正交矩阵P=(p₁,p₂,p₃)，标准形f=5y₁²-y₂²-y₃²。四、证明题1.证明：必要性：若A正定，则A合同于E，即存在可逆矩阵C，使得CᵀAC=E，故A=(Cᵀ)⁻¹C⁻¹=PᵀP（令P=C⁻¹）。充分性：若A=PᵀP，P可逆，则对任意x≠0，xᵀAx=xᵀPᵀPx=(Px)ᵀ(Px)>0（因Px≠