两个最大值函数乘积的极限展开

两个最大值函数乘积的极限展开一、最大值函数的基本性质与表示最大值函数$\max{f(x),g(x)}$是分析学中一类常见的非光滑函数，其定义为：对于任意给定的$x$，$\max{f(x),g(x)}=\begin{cases}f(x),&f(x)\geqg(x)\g(x),&f(x)<g(x)\end{cases}$。在许多实际问题中，如优化理论、随机过程、偏微分方程等领域，最大值函数频繁出现，因此对其性质的研究具有重要意义。最大值函数具有一些基本性质，例如：单调性：若$f(x)\leqf'(x)$且$g(x)\leqg'(x)$对所有$x$成立，则$\max{f(x),g(x)}\leq\max{f'(x),g'(x)}$。**Lipschitz连续性**：若$f$和$g$都是Lipschitz连续函数，Lipschitz常数分别为$L_f$和$L_g$，则$\max{f(x),g(x)}$也是Lipschitz连续函数，Lipschitz常数为$\max{L_f,L_g}$。可微性：当$f(x)\neqg(x)$时，$\max{f(x),g(x)}$在该点可微，导数为$f'(x)$（当$f(x)>g(x)$时）或$g'(x)$（当$f(x)<g(x)$时）；当$f(x)=g(x)$时，最大值函数在该点不可微，但可以定义次微分。为了方便后续的分析，我们可以将最大值函数表示为更便于处理的形式。一种常见的表示方法是利用绝对值函数：$\max{f(x),g(x)}=\frac{f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|}{2}$。这种表示方法将最大值函数转化为光滑函数与绝对值函数的组合，为后续的极限展开提供了便利。二、两个最大值函数乘积的极限问题背景在许多数学问题和实际应用中，我们常常需要研究两个最大值函数乘积的极限行为。例如，在随机过程中，我们可能需要计算两个随机变量最大值的乘积的期望或极限分布；在偏微分方程中，最大值函数的乘积可能出现在方程的非线性项中，需要对其进行渐近分析。考虑一般的情形，设$f(x,\epsilon)$和$g(x,\epsilon)$是依赖于小参数$\epsilon$的函数，我们感兴趣的是当$\epsilon\rightarrow0$时，$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}\cdot\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$的极限展开。为了简化问题，我们首先考虑两个单变量函数的情形，即$f(x,\epsilon)=f(x)+\epsilonf_1(x)+\epsilon^2f_2(x)+\cdots$，$g(x,\epsilon)=g(x)+\epsilong_1(x)+\epsilon^2g_2(x)+\cdots$，其中$f(x),g(x),f_1(x),g_1(x),\cdots$都是光滑函数。在研究两个最大值函数乘积的极限展开时，我们需要考虑不同的情形，主要取决于$f(x)$和$g(x)$之间的关系。具体来说，我们可以分为以下几种情形：严格优势情形：对于所有$x$，$f(x)>g(x)$（或$f(x)<g(x)$）。相交情形：存在某些$x$使得$f(x)=g(x)$，即$f(x)$和$g(x)$的图像在这些点相交。渐近相交情形：当$\epsilon\rightarrow0$时，$f(x,\epsilon)$和$g(x,\epsilon)$在某些点附近渐近地相等。下面我们将分别对这些情形进行详细的分析。三、严格优势情形下的极限展开3.1基本假设与问题描述在严格优势情形下，我们假设对于所有$x$在某个定义域内，$f(x)>g(x)$。此时，$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}=f(x,\epsilon)$，因为当$\epsilon$足够小时，$f(x,\epsilon)=f(x)+\epsilonf_1(x)+\cdots>g(x)+\epsilong_1(x)+\cdots=g(x,\epsilon)$。因此，两个最大值函数的乘积为$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}\cdot\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=f(x,\epsilon)\cdot\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$。为了进行极限展开，我们进一步假设$h(x,\epsilon)$和$k(x,\epsilon)$也可以展开为$\epsilon$的幂级数：$h(x,\epsilon)=h(x)+\epsilonh_1(x)+\epsilon^2h_2(x)+\cdots$，$k(x,\epsilon)=k(x)+\epsilonk_1(x)+\epsilon^2k_2(x)+\cdots$。同样，我们需要考虑$h(x)$和$k(x)$之间的关系，分为$h(x)>k(x)$，$h(x)<k(x)$和$h(x)=k(x)$三种情形。3.2当$h(x)>k(x)$时的极限展开当$h(x)>k(x)$时，类似于前面的分析，当$\epsilon$足够小时，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=h(x,\epsilon)$。因此，两个最大值函数的乘积为$f(x,\epsilon)\cdoth(x,\epsilon)$。将$f(x,\epsilon)$和$h(x,\epsilon)$的展开式代入，得到：[\begin{align*}f(x,\epsilon)\cdoth(x,\epsilon)&=(f(x)+\epsilonf_1(x)+\epsilon^2f_2(x)+\cdots)(h(x)+\epsilonh_1(x)+\epsilon^2h_2(x)+\cdots)\&=f(x)h(x)+\epsilon(f(x)h_1(x)+f_1(x)h(x))+\epsilon^2(f(x)h_2(x)+f_1(x)h_1(x)+f_2(x)h(x))+\cdots\end{align*}]这就是当$f(x)>g(x)$且$h(x)>k(x)$时，两个最大值函数乘积的极限展开式。通过这个展开式，我们可以得到当$\epsilon\rightarrow0$时，乘积的渐近行为，包括首项、一阶修正项、二阶修正项等。3.3当$h(x)<k(x)$时的极限展开当$h(x)<k(x)$时，当$\epsilon$足够小时，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=k(x,\epsilon)$。此时，两个最大值函数的乘积为$f(x,\epsilon)\cdotk(x,\epsilon)$。将$f(x,\epsilon)$和$k(x,\epsilon)$的展开式代入，得到：[\begin{align*}f(x,\epsilon)\cdotk(x,\epsilon)&=(f(x)+\epsilonf_1(x)+\epsilon^2f_2(x)+\cdots)(k(x)+\epsilonk_1(x)+\epsilon^2k_2(x)+\cdots)\&=f(x)k(x)+\epsilon(f(x)k_1(x)+f_1(x)k(x))+\epsilon^2(f(x)k_2(x)+f_1(x)k_1(x)+f_2(x)k(x))+\cdots\end{align*}]这个展开式与当$h(x)>k(x)$时的展开式形式类似，只是将$h$替换为$k$。通过这个展开式，我们同样可以分析乘积的渐近行为。3.4当$h(x)=k(x)$时的极限展开当$h(x)=k(x)$时，情况变得更加复杂，因为此时$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$的行为取决于$h_1(x)$和$k_1(x)$的关系。我们可以将$h(x,\epsilon)-k(x,\epsilon)$展开为：[h(x,\epsilon)-k(x,\epsilon)=\epsilon(h_1(x)-k_1(x))+\epsilon^2(h_2(x)-k_2(x))+\cdots]当$h_1(x)\neqk_1(x)$时，当$\epsilon$足够小时，$h(x,\epsilon)-k(x,\epsilon)$的符号由$\epsilon(h_1(x)-k_1(x))$决定。因此，当$h_1(x)>k_1(x)$时，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=h(x,\epsilon)$；当$h_1(x)<k_1(x)$时，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=k(x,\epsilon)$。此时，两个最大值函数的乘积分别为$f(x,\epsilon)\cdoth(x,\epsilon)$或$f(x,\epsilon)\cdotk(x,\epsilon)$，其极限展开式可以按照前面的方法得到。当$h_1(x)=k_1(x)$时，我们需要进一步考虑更高阶的项。此时，$h(x,\epsilon)-k(x,\epsilon)=\epsilon^2(h_2(x)-k_2(x))+\cdots$，其符号由$\epsilon^2(h_2(x)-k_2(x))$决定。由于$\epsilon^2>0$，因此当$h_2(x)>k_2(x)$时，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=h(x,\epsilon)$；当$h_2(x)<k_2(x)$时，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=k(x,\epsilon)$。此时，两个最大值函数的乘积的极限展开式需要考虑到二阶项的影响。四、相交情形下的极限展开4.1相交点的定义与性质相交情形是指存在某些点$x_0$，使得$f(x_0)=g(x_0)$。在这些点上，最大值函数$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}$的行为发生了变化，因为当$\epsilon$变化时，$f(x,\epsilon)$和$g(x,\epsilon)$的大小关系可能会在相交点附近发生改变。为了方便分析，我们假设$f(x)$和$g(x)$在相交点$x_0$处都是光滑函数，且$f'(x_0)\neqg'(x_0)$。这样的相交点称为横截相交点，在横截相交点附近，$f(x)$和$g(x)$的图像交叉，且交叉角度不为零。在横截相交点$x_0$附近，我们可以引入局部坐标$t=x-x_0$，将$f(x)$和$g(x)$在$x_0$处展开为Taylor级数：[\begin{align*}f(x)&=f(x_0)+f'(x_0)t+\frac{1}{2}f''(x_0)t^2+\cdots\g(x)&=g(x_0)+g'(x_0)t+\frac{1}{2}g''(x_0)t^2+\cdots\end{align*}]由于$f(x_0)=g(x_0)$，因此$f(x)-g(x)=(f'(x_0)-g'(x_0))t+\frac{1}{2}(f''(x_0)-g''(x_0))t^2+\cdots$。令$d(x)=f(x)-g(x)$，则$d(x_0)=0$，$d'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)\neq0$。4.2单相交点情形下的极限展开我们首先考虑单相交点的情形，即存在唯一的点$x_0$使得$f(x_0)=g(x_0)$，且在$x_0$的邻域内，$f(x)$和$g(x)$不再相交。为了研究两个最大值函数乘积的极限展开，我们需要考虑$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}$和$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$在相交点附近的行为。首先，我们分析$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}$在相交点附近的展开式。将$f(x,\epsilon)$和$g(x,\epsilon)$在$x_0$处展开为Taylor级数：[\begin{align*}f(x,\epsilon)&=f(x_0)+\epsilonf_1(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\epsilonf_1'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}f''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots\g(x,\epsilon)&=g(x_0)+\epsilong_1(x_0)+g'(x_0)(x-x_0)+\epsilong_1'(x_0)(x-x_0)+\frac{1}{2}g''(x_0)(x-x_0)^2+\cdots\end{align*}]由于$f(x_0)=g(x_0)$，令$\Deltaf(x_0,\epsilon)=\epsilon(f_1(x_0)-g_1(x_0))$，$\Deltaf'(x_0,\epsilon)=f'(x_0)-g'(x_0)+\epsilon(f_1'(x_0)-g_1'(x_0))$，则$f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)=\Deltaf(x_0,\epsilon)+\Deltaf'(x_0,\epsilon)(x-x_0)+\frac{1}{2}(f''(x_0)-g''(x_0))(x-x_0)^2+\cdots$。令$t=x-x_0$，则$f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)=\Deltaf(x_0,\epsilon)+\Deltaf'(x_0,\epsilon)t+\frac{1}{2}(f''(x_0)-g''(x_0))t^2+\cdots$。我们可以将其表示为$d(t,\epsilon)=\Deltaf(x_0,\epsilon)+\Deltaf'(x_0,\epsilon)t+\frac{1}{2}d''(x_0)t^2+\cdots$，其中$d''(x_0)=f''(x_0)-g''(x_0)$。为了找到$f(x,\epsilon)$和$g(x,\epsilon)$的交点，我们需要解方程$d(t,\epsilon)=0$。当$\epsilon$很小时，我们可以利用隐函数定理来求解这个方程。设$t_0(\epsilon)$是方程$d(t,\epsilon)=0$的解，满足$t_0(0)=0$。对$d(t_0(\epsilon),\epsilon)=0$关于$\epsilon$求导，得到：[\frac{\partiald}{\partialt}(t_0(\epsilon),\epsilon)\cdott_0'(\epsilon)+\frac{\partiald}{\partial\epsilon}(t_0(\epsilon),\epsilon)=0]当$\epsilon=0$时，$\frac{\partiald}{\partialt}(0,0)=d'(x_0)=f'(x_0)-g'(x_0)\neq0$，$\frac{\partiald}{\partial\epsilon}(0,0)=f_1(x_0)-g_1(x_0)$，因此$t_0'(0)=-\frac{f_1(x_0)-g_1(x_0)}{f'(x_0)-g'(x_0)}$。通过进一步的求导，我们可以得到$t_0(\epsilon)$的更高阶展开式。一旦我们得到了交点的位置，就可以将$x$分为两个区域：$x<x_0+t_0(\epsilon)$和$x>x_0+t_0(\epsilon)$，在每个区域内，$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}$分别等于$g(x,\epsilon)$和$f(x,\epsilon)$（或反之，取决于$f'(x_0)$和$g'(x_0)$的大小关系）。接下来，我们考虑两个最大值函数的乘积$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}\cdot\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$。为了简化问题，我们假设$h(x)$和$k(x)$在$x_0$处不相交，即$h(x_0)\neqk(x_0)$。当$\epsilon$足够小时，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$在$x_0$附近等于$h(x,\epsilon)$或$k(x,\epsilon)$，取决于$h(x_0)$和$k(x_0)$的大小关系。因此，在$x_0$附近的两个区域内，两个最大值函数的乘积分别为$g(x,\epsilon)\cdoth(x,\epsilon)$（或$g(x,\epsilon)\cdotk(x,\epsilon)$）和$f(x,\epsilon)\cdoth(x,\epsilon)$（或$f(x,\epsilon)\cdotk(x,\epsilon)$）。将这些展开式代入，并考虑到交点的位置，我们可以得到乘积在相交点附近的极限展开式。4.3多相交点情形下的极限展开多相交点情形是指存在多个点$x_1,x_2,\cdots,x_n$，使得$f(x_i)=g(x_i)$，$i=1,2,\cdots,n$。在这种情况下，我们需要分别分析每个相交点附近的行为，然后将各个区域的结果组合起来。对于每个相交点$x_i$，我们可以按照单相交点情形下的方法，分析$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}$在该点附近的展开式。然后，根据$h(x)$和$k(x)$在每个相交点附近的行为，确定$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$的表达式。在多个相交点之间的区域，$f(x)$和$g(x)$的大小关系是确定的，因此$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}$等于$f(x,\epsilon)$或$g(x,\epsilon)$。同样，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$在这些区域内也等于$h(x,\epsilon)$或$k(x,\epsilon)$。因此，在这些区域内，两个最大值函数的乘积的极限展开式可以按照严格优势情形下的方法得到。最后，我们将各个区域的结果组合起来，得到整个定义域内两个最大值函数乘积的极限展开式。需要注意的是，在相交点附近，展开式可能会出现奇异性或非光滑性，需要特别处理。五、渐近相交情形下的极限展开5.1渐近相交的定义与例子渐近相交情形是指当$\epsilon\rightarrow0$时，$f(x,\epsilon)$和$g(x,\epsilon)$在某些点附近渐近地相等，即$f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)=O(\epsilon^\alpha)$，其中$\alpha>0$。这种情形在许多实际问题中经常出现，例如在摄动理论中，当小参数$\epsilon$趋近于零时，两个解可能会在某些点附近趋近于相等。一个简单的例子是$f(x,\epsilon)=x+\epsilon$，$g(x,\epsilon)=x$。当$\epsilon\rightarrow0$时，$f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)=\epsilon\rightarrow0$，因此$f(x,\epsilon)$和$g(x,\epsilon)$在整个定义域内渐近相交。另一个例子是$f(x,\epsilon)=x^2+\epsilon$，$g(x,\epsilon)=x^2$，同样满足渐近相交的条件。5.2渐近相交情形下的极限展开方法在渐近相交情形下，我们需要采用特殊的方法来处理两个最大值函数乘积的极限展开。一种常用的方法是引入尺度变换，将渐近相交的区域放大，以便更清晰地观察函数的行为。假设$f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)=\epsilon^\alpha\phi(x,\epsilon)$，其中$\alpha>0$，$\phi(x,\epsilon)$是一个有界函数，且当$\epsilon\rightarrow0$时，$\phi(x,\epsilon)\rightarrow\phi(x,0)\neq0$。我们引入尺度变换$y=\frac{x-x_0}{\epsilon^\beta}$，其中$x_0$是渐近相交点，$\beta$是一个待定的尺度参数。通过选择合适的$\beta$，我们可以使得$f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)$在新的尺度下具有非平凡的极限。将$x=x_0+\epsilon^\betay$代入$f(x,\epsilon)$和$g(x,\epsilon)$，得到：[\begin{align*}f(x,\epsilon)&=f(x_0+\epsilon^\betay,\epsilon)=f(x_0)+\epsilon^\betayf'(x_0)+\frac{1}{2}\epsilon^{2\beta}y^2f''(x_0)+\cdots+\epsilonf_1(x_0)+\cdots\g(x,\epsilon)&=g(x_0+\epsilon^\betay,\epsilon)=g(x_0)+\epsilon^\betayg'(x_0)+\frac{1}{2}\epsilon^{2\beta}y^2g''(x_0)+\cdots+\epsilong_1(x_0)+\cdots\end{align*}]由于$f(x_0)=g(x_0)$，因此$f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)=\epsilon^\betay(f'(x_0)-g'(x_0))+\frac{1}{2}\epsilon^{2\beta}y^2(f''(x_0)-g''(x_0))+\cdots+\epsilon(f_1(x_0)-g_1(x_0))+\cdots$。我们希望这个差值在新的尺度下具有非平凡的极限，即当$\epsilon\rightarrow0$时，$\frac{f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)}{\epsilon^\alpha}\rightarrow\phi(x_0,0)\neq0$。通过比较各项的阶数，我们可以确定$\beta$的值。例如，如果$f'(x_0)\neqg'(x_0)$，我们可以选择$\beta=\alpha$，此时$\frac{f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)}{\epsilon^\alpha}=y(f'(x_0)-g'(x_0))+\cdots+\epsilon^{1-\alpha}(f_1(x_0)-g_1(x_0))+\cdots$。当$\alpha<1$时，$\epsilon^{1-\alpha}\rightarrow\infty$，这不符合我们的要求；当$\alpha=1$时，$\frac{f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)}{\epsilon}=y(f'(x_0)-g'(x_0))+(f_1(x_0)-g_1(x_0))+\cdots$，具有非平凡的极限；当$\alpha>1$时，$\epsilon^{1-\alpha}\rightarrow0$，此时$\frac{f(x,\epsilon)-g(x,\epsilon)}{\epsilon^\alpha}=\epsilon^{\alpha-1}y(f'(x_0)-g'(x_0))+\cdots+\epsilon^{1-\alpha}(f_1(x_0)-g_1(x_0))+\cdots\rightarrow0$，这也不符合我们的要求。因此，当$f'(x_0)\neqg'(x_0)$时，我们选择$\alpha=1$，$\beta=1$。通过尺度变换，我们将渐近相交情形转化为一个新的问题，在这个新的问题中，我们可以利用前面介绍的方法来研究两个最大值函数乘积的极限展开。具体来说，我们可以将$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}$和$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$在新的尺度下展开为$\epsilon$的幂级数，然后计算它们的乘积的极限展开式。5.3渐近相交情形下的极限展开例子为了更具体地说明渐近相交情形下的极限展开方法，我们考虑一个简单的例子：$f(x,\epsilon)=x+\epsilon$，$g(x,\epsilon)=x$，$h(x,\epsilon)=x$，$k(x,\epsilon)=x-\epsilon$。我们的目标是计算当$\epsilon\rightarrow0$时，$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}\cdot\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$的极限展开式。首先，我们分析$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}$和$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}$的表达式：$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}=\max{x+\epsilon,x}=x+\epsilon$，因为$x+\epsilon>x$对所有$x$成立。$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=\max{x,x-\epsilon}=x$，因为$x>x-\epsilon$对所有$x$成立。因此，两个最大值函数的乘积为$(x+\epsilon)\cdotx=x^2+\epsilonx$。这就是当$\epsilon\rightarrow0$时，乘积的极限展开式，其中首项为$x^2$，一阶修正项为$\epsilonx$。另一个例子是$f(x,\epsilon)=x^2+\epsilon$，$g(x,\epsilon)=x^2$，$h(x,\epsilon)=x^2$，$k(x,\epsilon)=x^2-\epsilon$。此时，$\max{f(x,\epsilon),g(x,\epsilon)}=x^2+\epsilon$，$\max{h(x,\epsilon),k(x,\epsilon)}=x^2$，乘积为$(x^2+\epsilon)\cdotx^2=x^4+\epsilonx^2$，其极限展开式的首项为$x^4$，一阶修正项为$\epsilonx^2$。通过这些例子，我们可以看到在渐近相交情形下，两个最大值函数乘积的极限展开式通常包含首项和一阶修正项，修正项的大小与小参数$\epsilon$成正比。六、应用举例6.1在随机过程中的应用在随机过程中，我们常常需要研究两个随机变量最大值的乘积的期望或极限分布。例如，在风险管理中，我们可能需要计算两个资产收益率的最大值的乘积的期望，以评估投资组合的风险。假设$X$和$Y$是两个独立的随机变量，其概率密度函数分别为$f_X(x)$和$f_Y(y)$。我们感兴趣的是$E[\max{X,0}\cdot\max{Y,0}]$，其中$\max{X,0}$表示$X$的正部。为了计算这个期望，我们可以将其表示为积分形式：[E[\max{X,0}\cdot\max{Y,0}]=\int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}\max{x,0}\cdot\max{y,0}f_X(x)f_Y(y)dxdy]由于$X$和$Y$独立，我们可以将积分拆分为两个积分的乘积：[E[\max{X,0}\cdot\max{Y,0}]=\left(\int_{0}^{\infty}xf_X(x)dx\right)\left(\int_{0}^{\infty}yf_Y(y)dy\right)=E[X^+]\cdotE[Y^+]]其中$X^+=\max{X,0}$，$Y^+=\max{Y,0}$。这就是两个随机变量正部乘积的期望的计算公式。当$X$和$Y$是依赖于小参数$\epsilon$的随机变量时，例如$X=X_0+\epsilonX_1+\cdots$，$Y=Y_0+\epsilonY_1+\cdots$，我们可以利用前面介绍的极限展开方法，计算$E[\max{X,0}\cdot\max{Y,0}]$的渐近展开式。通过这种方法，我们可以得到当$\epsilon\rightarrow0$时，期望的首项和修正项，从而更好地理解随机过程的渐近行为。6.2在偏微分方程中的应用在偏微分方程中，最大值函数的乘积可能出现在方程的非线性项中，需要对其进行渐近分析。例如，在Hamilton-Jacobi方程中，我们可能会遇到形如$\max{u_x,0}\cdot\max{u_y,0}$的非线性项，其中$u(x,y,t)$是方程的解，$u_x$和$u_y$分别表示$u$对$x$和$y$的偏导数。当方程中存在小参数$\epsilon$时，例如$\epsilonu_t+H(x,y,u_x,u_y)=0$，其中$H(x,y,p,q)=\max{p,0}\cdot\max{q,0}$，我们需要研究当$\epsilon\rightarrow0$时，方程的解的渐近行为。通过利用前面介绍的极限展开方法，我们可以将$\max{u_x,0}\cdot\max{u_y,0}$展开为$\epsilon$的幂级数，然后将其代入方程中，得到关于解的渐近展开式的方程。通过求解这些方程，我们可以得到解的首项和修正项，从而了解方程的解在小参数极限下的行为