2026 年大学同济版线性代数矩阵专项检测卷

2026年大学同济版线性代数矩阵专项检测卷满分：100分，考试时间：90分钟姓名___、班级___一、单项选择题（每题2分，共30分）1.设A为3阶矩阵，且|A|=2，则|2A|=（）A.4B.8C.16D.22.设A是n阶可逆矩阵，k为非零常数，下列公式错误的是（）A.(A^{-1})^{-1}=AB.(kA)^{-1}=kA^{-1}C.(A^T)^{-1}=(A^{-1})^TD.(AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}3.设A为2阶矩阵，且|A|=-3，则|A^|=（）A.-3B.3C.9D.-94.初等矩阵一定是（）A.可逆矩阵B.对称矩阵C.单位矩阵D.对角矩阵5.设矩阵A的秩为r，则下列说法正确的是（）A.A中所有r-1阶子式都为0B.A中存在r阶子式不为0C.A中所有r阶子式都不为0D.A中最高阶非零子式阶数小于r6.设A、B为n阶矩阵，满足AB=0，则下列结论一定成立的是（）A.A=0或B=0B.A+B=0C.|A|=0或|B|=0D.|A|+|B|=07.若矩阵A可逆，则A的伴随矩阵A^满足（）A.A^=|A|AB.A^=|A|A^{-1}C.A^=(|A|A)^{-1}D.A^=(A^{-1})|A|^{-1}8.设A为n阶对称矩阵，则下列矩阵中仍是对称矩阵的是（）A.A-A^TB.A^2C.AA^TD.kA（k为任意常数）9.设矩阵A经过初等行变换得到矩阵B，则下列说法正确的是（）A.A与B相等B.A与B的行向量组等价C.A与B的列向量组等价D.A与B的行列式相等10.设A是n阶矩阵，若存在非零向量α使得Aα=0，则（）A.|A|≠0B.A可逆C.A的秩小于nD.A的秩等于n11.设A、B为n阶矩阵，且A可逆，若AB=AC，则（）A.B=CB.B≠CC.B与C无法比较D.以上都不对12.设三阶矩阵A的行列式|A|=4，则|A^|=（）A.2B.4C.8D.1613.下列矩阵中，与单位矩阵等价的是（）A.秩为n的n阶矩阵B.秩小于n的n阶矩阵C.秩为1的n阶矩阵D.秩为0的n阶矩阵14.设A为m×n矩阵，B为n×m矩阵，且m≠n，则下列说法正确的是（）A.AB必可逆B.AB必不可逆C.AB的行列式可能为0D.无法判断15.若矩阵A的秩为r，那么A的行向量组的最大无关组所含向量个数为（）A.rB.mC.nD.r+m-n二、多项选择题（每题2分，共30分）1.下列关于可逆矩阵的说法正确的有（）A.可逆矩阵的行列式不为0B.可逆矩阵的伴随矩阵也可逆C.两个可逆矩阵的和仍是可逆矩阵D.可逆矩阵的转置矩阵也是可逆矩阵2.设A、B为n阶矩阵，下列等式一定成立的有（）A.(A+B)^2=A^2+2AB+B^2B.(AB)^T=B^TA^TC.|AB|=|A||B|D.|A+B|=|A|+|B|3.下列矩阵中属于初等矩阵的有（）A.[[1,0,0],[0,5,0],[0,0,1]]B.[[0,1,0],[1,0,0],[0,0,1]]C.[[1,2,0],[0,1,0],[0,0,1]]D.[[2,0,0],[0,1,0],[0,0,1]]4.设A为n阶矩阵，A^是A的伴随矩阵，则下列结论正确的有（）A.若|A|≠0，则|A^|≠0B.|A^|=|A|^{n-1}C.(A^)^{-1}=A/|A|（|A|≠0）D.(AB)^=A^B^5.设矩阵A的秩为r，下列说法正确的有（）A.A中至少有一个r阶子式不为0B.A中所有r+1阶子式都为0C.A中最高阶非零子式的阶数为rD.A的行向量组的秩为r6.设A、B为n阶可逆矩阵，则下列矩阵可逆的有（）A.A+BB.ABC.A^TD.A^{-1}7.若Aα=0有非零解，则下列结论正确的有（）A.|A|=0B.A不可逆C.A的秩小于nD.A的行向量组线性相关8.下列关于矩阵秩的说法正确的有（）A.矩阵的秩等于其行向量组的秩B.矩阵的秩等于其列向量组的秩C.等价矩阵的秩相等D.秩为r的矩阵所有r阶子式都不为09.设A为对称矩阵，即A^T=A，则下列矩阵是对称矩阵的有（）A.A+A^TB.A-A^TC.AA^TD.kA（k为常数）10.设A为n阶矩阵，下列条件能推出A可逆的有（）A.|A|≠0B.A的行向量组线性无关C.A的列向量组线性无关D.A的秩为n11.设A、B为n阶矩阵，下列结论错误的有（）A.若AB=0，则A=0或B=0B.若AB=AC，则B=CC.若|A|≠0，则A可逆D.若A≠0，则A可逆12.下列说法正确的有（）A.初等变换不改变矩阵的秩B.初等矩阵都是可逆矩阵C.可逆矩阵可表示为若干初等矩阵的乘积D.单位矩阵经过一次初等变换得到的矩阵是初等矩阵13.设A为m×n矩阵，B为n×p矩阵，若AB=0，则（）A.B的列向量都是Ax=0的解B.A的行向量都是x^TB=0的解C.R(A)+R(B)≤nD.R(A)≥n或R(B)≥n14.设A为n阶矩阵，A^为伴随矩阵，当|A|=0时，下列结论正确的有（）A.|A^|=0B.A^=0C.R(A^)≤1D.R(A^)≥115.设A、B为n阶矩阵，且A与B等价，则（）A.R(A)=R(B)B.A与B有相同的秩C.A可经过初等变换得到BD.|A|=|B|三、判断题（每题1分，共20分）1.若A是n阶矩阵，且A≠0，则A可逆（）2.两个可逆矩阵的乘积仍是可逆矩阵（）3.(AB)^k=A^kB^k，其中A、B为n阶矩阵，k为正整数（）4.设A为n阶矩阵，则|A^T|=|A|（）5.若|A|≠0，则A的伴随矩阵A^也可逆（）6.初等矩阵的行列式值只能是1（）7.设A为n阶矩阵，若R(A)=n，则A可逆（）8.若A、B均为n阶对称矩阵，则AB也是对称矩阵（）9.矩阵的秩等于其非零行的个数（）10.若AB=0，且A为非零矩阵，则B=0（）11.设A为3阶矩阵，|A|=2，则|A^{-1}|=1/2（）12.转置矩阵的逆矩阵等于逆矩阵的转置（）13.等价矩阵一定有相同的秩（）14.若A为n阶矩阵，且A^2=A，则A=0或A=E（）15.设α为n维非零向量，则αα^T是秩为1的n阶矩阵（）16.若A可逆，则A的伴随矩阵A^=|A|A^{-1}（）17.设A为m×n矩阵，若R(A)=r，则A中所有r阶子式都不为0（）18.两个n阶矩阵的和的行列式等于行列式的和（）19.初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性（）20.若A、B为可逆矩阵，则(AB)^{-1}=A^{-1}B^{-1}（）四、简答题（每题5分，共20分）1.简述n阶矩阵A可逆的充要条件。2.设A为n阶可逆矩阵，求|A^|的值，其中A^为A的伴随矩阵。3.说明初等矩阵与初等变换的关系。4.简述矩阵秩的定义。参考答案与解析一、单项选择题答案1.C2.B3.C4.A5.B6.C7.B8.B9.B10.C11.A12.C13.A14.B15.A二、多项选择题答案1.ABD2.BC3.ABD4.ABC5.ABCD6.BCD7.ABCD8.ABC9.ACD10.ABCD11.ABD12.ABCD13.ABC14.AC15.ABC三、判断题答案1.×2.√3.×4.√5.√6.×7.√8.×9.×10.×11.√12.√13.√14.×15.√16.√17.×18.×19.√20.×四、简答题答案1.n阶矩阵A可逆的充要条件包括：（1）行列式|A|≠0；（2）A的秩等于n；（3）A的行（列）向量组线性无关；（4）存在n阶矩阵B，使得AB=BA=单位矩阵E。2.因为A可逆，故|A|≠0，由伴随矩阵性质AA^=|A|E，两边取行列式得|A||A^|=||A|E|=|A|^n，两边