工程数学(近世代数)

高等工程数学近世代数代数结构部分2第6章环和域第5章群第4章知识准备010203第4章知识准备3二元运算定义及其实例运算的表示二元运算的性质交换律、结合律、消去律分配律二元运算的特异元素单位元零元可逆元素及其逆元二元运算的定义及其实例4定义

设S为集合,映射f:S×S→S称为S上的二

元运算,简称为二元运算.也称S对f封闭.例1(1)N上的加法、乘法.(2)Z上:加法、减法、乘法.

(3)非零实数集R*上的二元运算:乘法、除法.(4)设S={a1,a2,…,an},ai∘aj=ai，∘为S上二

元运算.

二元运算的实例（续)5合,即(5)设Mn(R)表示所有n阶(n≥2)实矩阵的集01矩阵加法和乘法都是Mn(R)上的二元运算.幂集P(S)上的二元运算:∪,∩,－,

.SS为S上的所有函数的集合:合成运算∘.

02二元运算的表示6STEP5STEP4STEP3STEP2STEP1算符:∘,∗,·,

,

等符号

表示二元运算对二元运算∘,如果x与y运算得到z,记做

x∘y=z;表示二元或一元运算的方法:公式、运算表二元运算的表示（续)7那么3∗4=3x,y∈R,x∗y=x.运算表（表示有穷集上的二元运算)例2设R为实数集合,如下定义R上的二元运0.5∗(-3)=0.5算∗:公式表示运算表的形式8∘a1

a2…ana1a2...ana1∘a1

a1∘a2…a1∘ana2∘a1

a2∘a2…a2∘an.........an∘a1

an∘a2…an∘an运算表的实例（续)9例3Z5={0,1,2,3,4},模5加法

的运算表

01234012340123412340234013401240123二元运算的性质10

定义设∘

为S上的二元运算,(1)如果对于任意的x,y

S有

x∘

y=y∘

x,

则称运算在S上满足交换律.(2)如果对于任意的x,y,z∈S有

(x∘

y)∘

z=x∘

(y

∘

z),

则称运算在S上满足结合律.

(3)如果对于任意的x,y,z

S,

若x∘y=x∘z,则y=z

若y∘x=z∘x,则y=z那么称∘运算满足

消去律.消去律11实例:Z,Q,R关于普通加法和乘法满足消去律.Mn(R)关于矩阵加法满足消去律,但是关于矩阵模n乘法满足消去律.当n为合数时关于模n乘乘法不满足消去律.Zn关于模n加法满足消去律,当n为素数时关于法不满足消去律.二元运算的性质（续)121定义设∘和∗为S上两个不同的二元运算,2如果x,y,z∈S有5则称∘运算对∗运算满足分配律.4z∘(x∗y)=(z∘x)∗(z∘y)3(x∗y)∘z=(x∘z)∗(y∘z)实例分析集合运算分配律Z,Q,R普通加法+与乘法

对+可分配+对不分配Mn(R)矩阵加法+与乘法

对+可分配+对不分配Z,Q,R分别为整数、有理数、实数集;Mn(R)为n阶实矩阵集合,n

2;二元运算的特异元素14唯一的.单位元也叫做幺元.e∘x=x∘e=x,定义

设∘为S上的二元运算,如果存在e

S,使定理

若S中关于运算存在单位元,则

单位元是则称e是S中关于∘运算的单位元.得对任意x∈S都有单位元二元运算的特异元素（续)15零元设∘为S上的二元运算,如果存在θ∈S,使得对任意x∈S都有θ∘x=x∘θ=θ),则称θ是S中关于∘运算的零元.定理

若S中关于运算存在零元,则

零元是唯一的.可逆元素及其逆元二元运算的特异元素（续)16215令e为S中关于运算∘的单位元.对于x∈S,如果存在y∈S使得如果x的逆元存在,则唯一,记为x-1,称x是4则称y是x的逆元.3y∘x=x∘y=e,6可逆的.实例分析17集合运算单位元零元逆元Z,Q,R普通加法+0无X的逆元

x普通乘法

10X的逆元x

1(x-1属于给定集合)Mn(R)矩阵加法+n阶全0矩阵无X逆元

X矩阵乘法

n阶单位矩阵n阶全0矩阵X的逆元X

1（X是可逆矩阵）P(B)并

B

的逆元为

交B

B的逆元为B对称差

无X的逆元为X例题分析18解(1)∘运算可交换,可结合.任取x,y

Q,x∘y=x+y+2xy=y+x+2yx=y∘x,

任取x,y,z

Q,(x∘y)∘z=(x+y+2xy)+z+2(x+y+2xy)z=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyzx∘(y∘z)=x+(y+z+2yz)+2x(y+z+2yz=x+y+z+2xy+2xz+2yz+4xyz例4设∘运算为Q上的二元运算,

x,y

Q,x∘y=x+y+2xy,(1)∘运算是否满足交换和结合律?说明理由.(2)求∘运算的单位元、零元和所有可逆元.例题分析（续)19给定x,设x的逆元为y,则有x∘y=0成立,即x+y+2xy=0

(x

=

1/2)因此当x

1/2时,是x的逆元.(2)设∘运算的单位元和零元分别为e和

,则对于任意x有x∘e=x成立,即x+e+2xe=x

e=0由于∘运算可交换,所以0是幺元.对于任意x有x∘

=

成立,即x+

+2x

=

x+2x

=0

=

1/2代数系统定义与实例20定义

非空集合S和S上k个一元或二元运算f1,f2,…,fk组成的系统称为一个代数系统,简称代数,记做V=<S,f1,f2,…,fk>.实例21<N,+>,<Z,+,·>,<R,+,·>是代数系统,1+和·分别表示普通加法和乘法.2<Mn(R),+,·>是代数系统,3+和·分别表示n阶(n≥2)实矩阵的加法和乘法.4<Zn,

,

>是代数系统,Zn＝{0,1,…,n-1},5

和

分别表示模n的加法和乘法,

x,y∈Zn,6x

y=(x＋y)modn,x

y=(xy)modn7<P(S),∪,∩,~>也是代数系统,8∪和∩为并和交,~为绝对补9第5章群22ADBC子群循环群置换群群的定义与性质5.1群的定义及性质23群的定义群中的相关概念有限群、无限群与群的阶Abel群群中元素的幂元素的阶群的性质幂运算规则、群方程的解消去律群的运算表的排列群的定义24定义

设G是非空集合，∘为G上的二元运算.如果(1)此运算是封闭的；（2)此运算满足结合律；（3)存在单位元e∈G，即对任意x∈G，有e∘x=x∘e=x（4)对G中的任何元素x都有x

1∈G，即x

1∘x=x∘x

1=e则称G关于∘是

群.有时也记作<G,∘>群的实例<Z,+>,<Q,+>,<R,+>是群;<Z+,+>,<N,+>不是群.<Mn(R),+>是群，而<Mn(R),·>不是群.<Zn,

>是群.Zn={0,1,…,n

1}，为模n加.Klein四元群26设G={e,a,b,c},G上的运算由下表给出,称为Klein四元群

eabceabceabcaecbbceacbae运算表特征:

对称性---运算可交换

主对角线元素都是幺元---每个元素是自己的逆元a,b,c中任两个元素运算

都等于第三个元素.

二、群中的相关概念27若群G是有穷集,则称G是有限群,否则称为无限群.群G的所含元素的个数称为群G的

阶有限群G的阶记作|G|.若群G中的二元运算是可交换的,则称G为交换群

或

阿贝尔(Abel)群.

0102实例28<Z,+>和<R,+>是无限群1<Zn,

>是有限群,也是n阶群

2Klein四元群G={e,a,b,c}是4阶群3上述群都是交换群4n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法构成的群是非交换群.5二、群中的相关概念29

实例在<Z3,

>中有2

3=(2

1)3=13=11

1=0

在<Z,+>中有

(2)

3=23=2+2+2=6

定义

设G是群,x∈G,n∈Z,则x的n次幂xn定义为

二、群中的相关概念30设G是群,x∈G,使得等式xk=e成立的最小正1整数k称为x的阶（或周期)，记作|x|=k，称

2x为k阶元.若不存在这样的正整数k,则称x为3无限阶元.4在<Z6,

>中,2和4是3阶元,3是2阶元,1和

5是6阶元,0是1阶元

6在<Z,+>中,0是1阶元,其它整数的阶都不存在.7三、群的性质---幂运算规则31定理1设G为群,则G中的幂运算满足:(1)

x∈G，(x

1)

1=x.(2)

x,y∈G，(xy)

1=y

1x

1.(3)

x∈G，xnxm=xn+m，n,m∈Z.(4)

x∈G，(xn)m=xnm，n,m∈Z.注:(xy)n=(xy)(xy)…(xy),是n个xy运算，G为

交换群，才有(xy)n=xnyn.三、群的性质---群方程存在唯一解32123定理2G为群,

a,b∈G,方程ax=b和ya=b在G中有解且仅有惟一解.a1b是ax=b的解.ba1是ya=b的唯一解.123定理3G为群,则G适合消去律,即a,b,c∈G有三、群的性质---消去律33

(1)若ab=ac,则b=c.若ba=ca,则b=c.三、群的性质---运算表排列规则34定理4设G为有限群，则G的运算表中每行每列都是G中元素的一个置换，且不同的行（或列)的置换都不相同.注意：必要条件，用于判断一个运算表不是群.abcdabcdbcda

bacdcdbadbacabcdabcdabcdcdabbcdadabc第5章群35群的定义与性质子群置换群循环群子群36213定义子群的判定定理重要的几类子群定义

设G是群,H是G的非空子集,如果H关子群的定义37对任何群G都存在子群.G和{e}都是G的实例nZ（n是自然数)是整数加群<Z,+>的H≤G.若H是G的子群,且H

G,则称H是G子群,称为G的平凡子群.

子群.当n≠1时,nZ是Z的真子群.于G中的运算构成群,则称H是G的子群,记作的真子群,记作H<G.判定定理1子群判定定理38设G为群,H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当

x,y∈H有xy

1∈H.

判定定理2设G为群,H是G的非空子集.H是G的子群当且仅当

x,y∈H有xy∈H且x

1∈H.

生成子群重要子群39A定义

设G为群,a∈G,令H={ak|k∈Z},B则H是G的子群,称为由a生成的子群,记作CD证

首先由a∈<a>知道<a>≠

.任取am,al∈<a>,则Eam(al)1=amal=aml∈<a>F根据判定定理可知<a>≤G.实例40整数加群<Z,+>，由2生成的子群是<2>={2k|k∈Z}=2Z模6加群<Z6,

>中由2生成的子群<2>={0,2,4}Klein四元群G={e,a,b,c}的所有生成子群是:={e},={e,a},<b>={e,b},<c>={e,c}.重要子群（续)41群G的中心C设G为群,令C={a|a∈G且x∈G有ax=xa},则C是G的子群,称为G的中心.证e∈C.C是G的非空子集.

任取a,b∈C,证明ab

1与G中所有的元素都可交换.

x∈G,有

(ab

1)x=ab

1x=ab

1(x

1)

1=a(x

1b)

1=a(bx

1)

1=a(xb

1)=(ax)b

1=(xa)b

1=x(ab

1)由判定定理可知C≤G.

第5章群4201040203群的定义与性质子群循环群置换群循环群43生成元定义循环群的子群循环群的分类循环群的定义44定义

设G是群,若存在a∈G使得

1G={ak|k∈Z}2则称G是循环群,记作G=<a>,称a为G的生成3元.

4实例5整数加群G=<Z,+>=<1>=<-1>6模6加群G=<Z6,>=<1>=<5>7循环群的分类45设

循环群G=<a>,根据生成元a的阶可以分1成两类:n阶循环群和无限循环群.2设G=<a>是循环群,若a是n阶元,则

3G={a0=e,a1,a2,…,an1}4那么|G|=n,称G为n阶循环群.5若a是无限阶元,则

6G={a±0=e,a±1,a±2,…}7这时称G为无限循环群.

8循环群的生成元46定理设G=<a>是循环群.

若G是无限循环群,则G只有a和a

1两个生成元.

若G是n阶循环群,则ar是G的生成元当且仅当

r是小于等于n且与n互质的正整数.生成元的实例47设G={e,a,…,a11}是12阶循环群，

则小于或等于12且与12互素的数是1,5,7,11,

由定理可知a，a5，a7和a11是G的生成元.(2)设G=<Z9,

>是模9的整数加群，

则小于或等于9且与9互素的数是1,2,4,5,7,8.

根据定理，G的生成元是1,2,4,5,7和8.(3)设G=3Z={3z|z∈Z},G上的运算是普通加法.

那么G只有两个生成元:3和

3.循环群的子群48定理设G=<a>是循环群.

设G=<a>是循环群,则G的子群仍是循环群.若G=<a>是无限循环群,则G的子群除{e}以外都是无限循环群.若G=<a>是n阶循环群,则对n的每个正因子d,G恰好含有一个d阶子群.子群的实例49（1)G=<Z,+>是无限循环群，对于自然数m∈N，1的m次幂

是m，m生成的子群是mZ，m∈N.即

<0>={0}=0Z<m>={mz|z∈Z}=mZ，m>0(2)G=Z12是12阶循环群.12的正因子是1,2,3,4,6和12，

因此G的子群是：

1阶子群<12>=<0>={0}，2阶子群<6>={0,6}3阶子群<4>={0,4,8}，4阶子群<3>={0,3,6,9}6阶子群<2>={0,2,4,6,8,10}，12阶子群<1>=Z12

第5章群50群的定义与性质子群置换群循环群置换群51置换及置换的表示01N次对称群02n元置换的定义5201040203定义设S={1,2,…,n},S上的双射函数:S→S称为S上的n元置换.一般将n元置换σ记为

例如S={1,2,3,4,5},则

都是5元置换.n元置换的表示53CBA置换符号表示轮换表示对换表示k阶轮换与对换54定义

设σ是S={1,2,…,n}上的n元置换.若

σ(i1)=i2,σ(i2)=i3,…,σ(ik

1)=ik,σ(ik)=i1且保持S中的其他元素不变,则称σ为S上的k次轮换,记作(i1i2…ik).若k=2,称σ为S上的对换.例如5元置换

分别是5阶和2阶轮换σ=(12345),τ=(13),其中τ也叫做对换n元置换分解为轮换55设S={1,2,…,n},对于任何S上的n元置换σ,一01定可以写成若干个轮换的乘积02σ=σ1σ2…σt03分解实例56例

设S={1,2,…,8},

σ=(15236)(4)(78)=(15236)(78)

τ=(18342)(567)注意:在轮换分解式中，1阶轮换可以省略.

n元置换的乘法与求逆57两个n元置换的乘法就是函数的复合运算n元置换的求逆就是求反函数.例

设

使用轮换表示是:

=(154)(23)(1423)=(152)

=(1423)(154)(23)=(354)

-1=(154)-1(23)-1=(451)(23)=(145)(23)n元置换群及其实例58考虑所有的n元置换构成的集合Sn

（1)Sn关于置换的乘法是封闭的.

（2)置换的乘法满足结合律.

（3)恒等置换(1)是Sn中的单位元.

（4)对于任何n元置换σ∈Sn，逆置换σ

1是σ的逆元.这就证明了Sn关于置换的乘法构成一个群，称为n次对称群.n元对称群的子群称为n次置换群.

例

设S={1,2,3}，3次对称群

S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)}S3的运算表59(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(23)(123)(132)(12)(1)(123)(132)(13)(23)(13)(132)(1)(123)(23)(12)(23)(123)(132)(1)(12)(13)(123)(23)(12)(13)(132)(1)(132)(13)(23)(12)(1)(123)S3的子群60S3={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},A3=<(123)>={(1),(123),(132)},<(1)>={(1)}<(12)>={(1),(12)},<(13)>={(1),(13)},<(23)>={(1),(23)}第6章环与域61环的定义与实例特殊的环交换环含幺环无零因子环整环域环的定义62定义

设<R,+,·>是代数系统，+和·是二元运算.如果满足以下条件:<R,+>构成交换群<R,·>构成半群（封闭，结合律)·运算关于+运算适合分配律则称<R,+,·>是一个环.环的实例63(1)整数集、有理数集、实数集和复数集关于普通的加法和乘法构成环,分别称为整数环Z,有理数环Q,实数环R和

复数环C.

(2)n(n≥2)阶实矩阵的集合Mn(R)关于矩阵的加法和乘法构成环,称为n阶实矩阵环.

(3)设Zn＝{0,1,...,n－1},和分别表示模n的加法和乘法,则<Zn,

,

>构成环,称为模n的整数环.环中的相关