新人教版九年级上册期中考试试题(含答案)

新人教版九年级数学上册期中考试试题(含答案)一.选择题（每小题3分，总分36分）1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣12．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠23．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝04．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）A．（x+1）（x﹣2）＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1 C．（x+2）2＝1 D．5．把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1 C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+16．函数y＝﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣7） B．（2，7） C．（﹣2，﹣7） D．（﹣2，7）7．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）8．y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．y＝﹣1 D．y＝19．如果x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，那么x1+x2的值为（）A．﹣1 B．2 C． D．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A． B． C． D．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞012．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2 C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）．16．抛物线y＝﹣x2+15有最点，其坐标是．17．水稻今年一季度增产a吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x，则第三季度化肥增产的吨数为．18．已知二次函数y＝+5x﹣10，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系为三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x2﹣4x+1＝0x（x﹣2）＝4﹣2x；20．（6分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1＝1时，求另一个根x2的值．22．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？25．（10分）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？

参考答案一.选择题1．下列方程中，关于x的一元二次方程是（）A．（x+1）2＝2（x+1） B． C．ax2+bx+c＝0 D．x2+2x＝x2﹣1【分析】利用一元二次方程的定义判断即可．解：下列方程中，关于x的一元二次方程是（x+1）2＝2（x+1），故选：A．【点评】此题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解本题的关键．2．若关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，则m的取值范围是（）A．m＜3 B．m≤3 C．m＜3且m≠2 D．m≤3且m≠2【分析】由于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，那么二次项系数不等于0，并且其判别式△是非负数，由此可以建立关于m的不等式组，解不等式组即可求出m的取值范围．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣2）x2﹣2x+1＝0有实根，∴m﹣2≠0，并且△＝（﹣2）2﹣4（m﹣2）＝12﹣4m≥0，∴m≤3且m≠2．故选：D．【点评】本题考查了根的判别式的知识，总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．此题切记不要忽略一元二次方程二次项系数不为零这一隐含条件．3．方程x（x﹣1）＝x的根是（）A．x＝2 B．x＝﹣2 C．x1＝﹣2，x2＝0 D．x1＝2，x2＝0【分析】先将原方程整理为一般形式，然后利用因式分解法解方程．解：由原方程，得x2﹣2x＝0，∴x（x﹣2）＝0，∴x﹣2＝0或x＝0，解得，x1＝2，x2＝0；故选：D．【点评】本题考查了一元二次方程的解法﹣﹣因式分解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．4．下列方程中以1，﹣2为根的一元二次方程是（）A．（x+1）（x﹣2）＝0 B．（x﹣1）（x+2）＝1 C．（x+2）2＝1 D．【分析】根据因式分解法解方程对A进行判断；根据方程解的定义对B进行判断；根据直接开平方法对C、D进行判断．解：A、x+1＝0或x﹣2＝0，则x1＝﹣1，x2＝2，所以A选项错误；B、x＝1或x＝﹣2不满足（x﹣1）（x+2）＝1，所以B选项错误；C、x+2＝±1，则x1＝﹣1，x2＝﹣3，所以C选项错误；D、x+＝±，则x1＝1，x2＝﹣2，所以D选项正确．故选：D．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣因式分解法：先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）．也考查了直接开平方法解一元二次方程，5．把二次函数y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位，所得到的图象对应的二次函数表达式是（）A．y＝3（x﹣2）2+1 B．y＝3（x+2）2﹣1 C．y＝3（x﹣2）2﹣1 D．y＝3（x+2）2+1【分析】变化规律：左加右减，上加下减．解：按照“左加右减，上加下减”的规律，y＝3x2的图象向左平移2个单位，再向上平移1个单位得到y＝3（x+2）2+1．故选D．【点评】考查了抛物线的平移以及抛物线解析式的性质．6．函数y＝﹣x2﹣4x+3图象顶点坐标是（）A．（2，﹣7） B．（2，7） C．（﹣2，﹣7） D．（﹣2，7）【分析】先把二次函数化为顶点式的形式，再得出其顶点坐标即可．解：∵原函数解析式可化为：y＝﹣（x+2）2+7，∴函数图象的顶点坐标是（﹣2，7）．故选：D．【点评】本题考查的是二次函数的性质，根据题意把二次函数的解析式化为顶点式的形式是解答此题的关键．7．抛物线y＝（x+2）2+1的顶点坐标是（）A．（2，1） B．（﹣2，1） C．（2，﹣1） D．（﹣2，﹣1）【分析】已知解析式是抛物线的顶点式，根据顶点式的坐标特点，直接写出顶点坐标．解：因为y＝（x+2）2+1是抛物线的顶点式，由顶点式的坐标特点知，顶点坐标为（﹣2，1）．故选：B．【点评】考查顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h．要掌握顶点式的性质．8．y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线（）A．x＝﹣1 B．x＝1 C．y＝﹣1 D．y＝1【分析】二次函数的一般形式中的顶点式是：y＝a（x﹣h）2+k（a≠0，且a，h，k是常数），它的对称轴是x＝h，顶点坐标是（h，k）．解：y＝（x﹣1）2+2的对称轴是直线x＝1．故选：B．【点评】本题主要考查二次函数顶点式中对称轴的求法．9．如果x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，那么x1+x2的值为（）A．﹣1 B．2 C． D．【分析】可以直接利用两根之和得到所求的代数式的值．解：如果x1，x2是方程x2﹣2x﹣1＝0的两个根，那么x1+x2＝2．故选：B．【点评】本题考查一元二次方程ax2+bx+c＝0的根与系数的关系即韦达定理，两根之和是，两根之积是．10．当a＞0，b＜0，c＞0时，下列图象有可能是抛物线y＝ax2+bx+c的是（）A． B． C． D．【分析】根据二次函数的图象与系数的关系可知．解：∵a＞0，∴抛物线开口向上；∵b＜0，∴对称轴为x＝＞0，∴抛物线的对称轴位于y轴右侧；∵c＞0，∴与y轴的交点为在y轴的正半轴上．故选：A．【点评】本题考查二次函数的图象与系数的关系．11．不论x为何值，函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的值恒大于0的条件是（）A．a＞0，△＞0 B．a＞0，△＜0 C．a＜0，△＜0 D．a＜0，△＞0【分析】根据二次函数的性质可知，只要抛物线开口向上，且与x轴无交点即可．解：欲保证x取一切实数时，函数值y恒为正，则必须保证抛物线开口向上，且与x轴无交点；则a＞0且△＜0．故选：B．【点评】当x取一切实数时，函数值y恒为正的条件：抛物线开口向上，且与x轴无交点；当x取一切实数时，函数值y恒为负的条件：抛物线开口向下，且与x轴无交点．12．某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1035张照片，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（）A．x（x+1）＝1035 B．x（x﹣1）＝1035×2 C．x（x﹣1）＝1035 D．2x（x+1）＝1035【分析】如果全班有x名同学，那么每名同学要送出（x﹣1）张，共有x名学生，那么总共送的张数应该是x（x﹣1）张，即可列出方程．解：∵全班有x名同学，∴每名同学要送出（x﹣1）张；又∵是互送照片，∴总共送的张数应该是x（x﹣1）＝1035．故选：C．【点评】本题考查一元二次方程在实际生活中的应用．计算全班共送多少张，首先确定一个人送出多少张是解题关键．二.填空题（每小题3分，总分18分）13．若关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，则m的取值范围是m≤．【分析】在与一元二次方程有关的求值问题中，必须满足下列条件：在有实数根下必须满足△＝b2﹣4ac≥0．解：一元二次方程x2﹣3x+m＝0有实数根，△＝b2﹣4ac＝9﹣4m≥0，解得m．【点评】总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．14．方程x2﹣3x+1＝0的解是x1＝，x2＝．【分析】观察原方程，可用公式法求解；首先确定a、b、c的值，在b2﹣4ac≥0的前提条件下，代入求根公式进行计算．解：a＝1，b＝﹣3，c＝1，b2﹣4ac＝9﹣4＝5＞0，x＝；∴x1＝，x2＝．故答案为：x1＝，x2＝．【点评】在一元二次方程的四种解法中，公式法是主要的，公式法可以说是通法，即能解任何一个一元二次方程．但对某些特殊形式的一元二次方程，用直接开平方法简便．因此，在遇到一道题时，应选择适当的方法去解．15．如图所示，在同一坐标系中，作出①y＝3x2②y＝x2③y＝x2的图象，则图象从里到外的三条抛物线对应的函数依次是（填序号）①③②．【分析】抛物线的形状与|a|有关，根据|a|的大小即可确定抛物线的开口的宽窄．解：①y＝3x2，②y＝x2，③y＝x2中，二次项系数a分别为3、、1，∵3＞1＞，∴抛物线②y＝x2的开口最宽，抛物线①y＝3x2的开口最窄．故依次填：①③②．【点评】抛物线的开口大小由|a|决定，|a|越大，抛物线的开口越窄；|a|越小，抛物线的开口越宽．16．抛物线y＝﹣x2+15有最高点，其坐标是（0，15）．【分析】根据抛物线的开口方向判断该抛物线的最值情况；根据顶点坐标公式求得顶点坐标．解：∵抛物线y＝﹣x2+15的二次项系数a＝﹣1＜0，∴抛物线y＝﹣x2+15的图象的开口方向是向下，∴该抛物线有最大值；当x＝0时，y取最大值，即y最大值＝15；∴顶点坐标是（0，15）．故答案是：高、（0，15）．【点评】本题考查了二次函数的最值．求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法．17．水稻今年一季度增产a吨，以后每季度比上一季度增产的百分率为x，则第三季度化肥增产的吨数为a（1+x）2．【分析】第二季度的吨数为：a（1+x），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a（1+x）（1+x）＝a（1+x）2．关键描述语是：以后每季度比上一季度增产的百分率为x．解：依题意可知：第二季度的吨数为：a（1+x），第三季度是在第二季度的基础上增加的，为a（1+x）（1+x）＝a（1+x）2．故答案为a（1+x）2．【点评】本题考查了列代数式．解决问题的关键是读懂题意，找到所求的量的等量关系，需注意第三季度是在第二季度的基础上增加的．18．已知二次函数y＝+5x﹣10，设自变量的值分别为x1，x2，x3，且﹣3＜x1＜x2＜x3，则对应的函数值y1，y2，y3的大小关系为y1＜y2＜y3【分析】先利用抛物线的对称轴方程得到抛物线的对称轴为直线x＝﹣5，而﹣3＜x1＜x2＜x3，然后根据二次函数的性质得到y1，y2，y3的大小关系．解：抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣5，抛物线开口向上，所以当x＞﹣5时，y随x的增大而增大，而﹣3＜x1＜x2＜x3，所以y1＜y2＜y3．故答案为y1＜y2＜y3．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．也考查了二次函数的性质．三.解答题（本大题共8个小题，）19．（6分）解方程x2﹣4x+1＝0x（x﹣2）＝4﹣2x；【分析】先移项得x2﹣4x＝﹣1，再把方程两边加上4得到x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，然后利用直接开平方法求解；先移项，然后分解因式得出两个一元一次方程，解一元一次方程即可．解：x2﹣4x+1＝0x2﹣4x＝﹣1，x2﹣4x+4＝﹣1+4，即（x﹣2）2＝3，∴x﹣2＝±，∴x1＝2+，x2＝2﹣；x（x﹣2）＝4﹣2xx（x﹣2）+2（x﹣2）＝0，（x﹣2）（x+2）＝0，∴x﹣2＝0或x+2＝0，∴x1＝2，x2＝﹣2．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：先把方程二次项系数化为1，再把常数项移到方程右边，然后把方程两边加上一次项系数的一半得平方，这样方程左边可写成完全平方式，再利用直接开平方法解方程．也考查了因式分解法解一元二次方程．20．（6分）抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，4），且过（1，2）点，求抛物线的解析式．【分析】先设为顶点式，再把顶点坐标和经过的点（1，2）代入即可解决，解：由抛物线y＝ax2+bx+c的顶点为（2，4），且过（1，2）点，可设抛物线为：y＝a（x﹣2）2+4，把（1，2）代入得：2＝a+4，解得：a＝﹣2，所以抛物线为：y＝﹣2（x﹣2）2+4，即y＝﹣2x2+8x﹣4，【点评】此题考查了待定系数法求二次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．21．（8分）已知关于x的一元二次方程x2﹣3x+m＝0有两个不相等的实数根x1、x2．（1）求m的取值范围；（2）当x1＝1时，求另一个根x2的值．【分析】（1）根据题意可得根的判别式△＞0，再代入可得9﹣4m＞0，再解即可；（2）根据根与系数的关系可得x1+x2＝﹣，再代入可得答案．解：（1）由题意得：△＝（﹣3）2﹣4×1×m＝9﹣4m＞0，解得：m＜；（2）∵x1+x2＝﹣＝3，x1＝1，∴x2＝2．【点评】此题主要考查了根与系数的关系，以及根的判别式，关键是掌握一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．上面的结论反过来也成立．22．（8分）已知：抛物线y＝﹣x2+x﹣（1）直接写出抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标；（2）求抛物线与坐标轴的交点坐标；（3）当x为何值时，y随x的增大而增大？【分析】（1）把二次函数的一般式配成顶点式，然后根据二次函数的性质解决问题；（2）计算自变量为0对应的函数值得到抛物线与y轴的交点坐标，通过判断方程﹣x2+x﹣＝0没有实数得到抛物线与x轴没有交点；（3）利用二次函数的性质确定x的范围．解：（1）y＝﹣x2+x﹣＝﹣（x﹣1）2﹣2，所以抛物线的开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为（1，﹣2）；（2）当x＝0时，y＝﹣x2+x﹣＝﹣，则抛物线与y轴的交点坐标为（0，﹣）；当y＝0时，﹣x2+x﹣＝0，△＜0，方程没有实数解，则抛物线与x轴没有交点；即抛物线与坐标轴的交点坐标为（0，﹣）；（3）当x＜1时，y随x的增大而增大．【点评】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．23．（9分）百货商店服装柜在销售中发现：某品牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”国际儿童节，商场决定采取适当的降价措施，扩大销售量，增加盈利，减少库存．经市场调查发现：如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1200元，那么每件童装应降价多少元？【分析】利用童装平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售这种童装利润列出方程解答即可；解：设每件童装应降价x元，根据题意列方程得，（40﹣x）（20+2x）＝1200，解得x1＝20，x2＝10（因为尽快减少库存，不合题意，舍去），答：每件童装降价20元；【点评】本题是一道运用一元二次方程解答的运用题，考查了一元二次方程的解法和基本数量关系：平均每天售出的件数×每件盈利＝每天销售的利润的运用．24．（9分）某广告公司要为客户设计一幅周长为12m的矩形广告牌，广告牌的设计费为每平方米1000元．请你设计一个广告牌边长的方案，使得根据这个方案所确定的广告牌的长和宽能使获得的设计费最多，设计费最多为多少元？【分析】设矩形一边长为xm，面积为Sm2，则另一边长为m，列出面积与x的二次函数关系式，求最值．解：设矩形一边长为xm，面积为Sm2，则另一边长为m，则其面积S＝x•＝x（6﹣x）＝﹣x2+6x．∵0＜2x＜12，∴0＜x＜6．∵S＝﹣x2+6x＝﹣（x﹣3）2+9，∴a＝﹣1＜0，S有最大值，当x＝3时，S最大值＝9．∴设计费最多为9×1000＝9000（元）．【点评】本题主要考查二次函数的应用，由矩形面积等于长乘以宽列出函数关系式，利用函数关系式求最值，运用二次函数解决实际问题，比较简单．25．（10分）如图，对称轴为直线x＝2的抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，且点A的坐标为（﹣1，0）（1）求抛物线的解析式；（2）直接写出B、C两点的坐标；（3）求过O，B，C三点的圆的面积．（结果用含π的代数式表示）【分析】（1）利用待定系数法求抛物线的解析式；（2）由对称性可直接得出B（5，0），当x＝0时，代入抛物线的解析式可得与y轴交点C的坐标；（3）根据90°所对的弦是直径可知：过O，B，C三点的圆的直径是线段BC，利用勾股定理求BC的长，代入圆的面积公式可以求得面积．解：（1）由题意得：，解得：，∴抛物线的解析式为：y＝x2﹣4x﹣5；（2）∵对称轴为直线x＝2，A（﹣1，0），∴B（5，0），当x＝0时，y＝﹣5，∴C（0，﹣5），（3）∵∠BOC＝90°，∴BC是过O，B，C三点的圆的直径，由题意得：OB＝5，OC＝5，由勾股定理得；BC＝＝5，S＝π•＝π，答：过O，B，C三点的圆的面积为π．【点评】本题考查了利用待定系数法求抛物线的解析式和抛物线与两坐标轴的交点，明确令x＝0时，求抛物线与y轴的交点；令y＝0时，求抛物线与x轴的交点；同时要想求过O，B，C三点的圆的面积就要先求圆的半径可直径，根据圆周角定理可以解决这个问题，从而使问题得以解决．26．（10分）某片果园有果树80棵，现准备多种一些果树提高果园产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所受光照就会减少，单棵树的产量随之降低．若该果园每棵果树产果y（千克），增种果树x（棵），它们之间的函数关系如图所示．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）在投入成本最低的情况下，增种果树多少棵时，果园可以收获果实6750千克？（3）当增种果树多少棵时，果园的总产量w（千克）最大？最大产量是多少？【分析】（1）函数的表达式为y＝kx+b，把点（12，74），（28，66）代入解方程组即可．（2）列出方程解方程组，再根据实际意义确定x的值．（3）构建二次函数，利用二次函数性质解决问题．解：（1）设函数的表达式为y＝kx+b，该一次函数过点（12，74），（28，66），得，解得，∴该函数的表达式为y＝﹣0.5x+80，（2）根据题意，得，（﹣0.5x+80）（80+x）＝6750，解得，x1＝10，x2＝70∵投入成本最低．∴x2＝70不满足题意，舍去．∴增种果树10棵时，果园可以收获果实6750千克．（3）根据题意，得w＝（﹣0.5x+80）（80+x）＝﹣0.5x2+40x+6400＝﹣0.5（x﹣40）2+7200∵a＝﹣0.5＜0，则抛物线开口向下，函数有最大值∴当x＝40时，w最大值为7200千克．∴当增种果树40棵时果园的最大产量是7200千克．【点评】本题考查二次函数的应用、一次函数的应用、一元二次方程等知识，解题的关键是熟练掌握待定系数法，学会构建二次函数解决实际问题中的最值问题，属于中考常考题型．

新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷(含答案)一、选择题(本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求)题号12345678910答案ADBBCCDDDA1.抛物线y＝2x2－1的顶点坐标是(A)A．(0，－1)B．(0，1)C．(－1，0)D．(1，0)2．如果x＝－1是方程x2－x＋k＝0的解，那么常数k的值为(D)A．2B．1C．－1D．－23．将抛物线y＝x2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线的解析式是(B)A．y＝(x＋2)2＋1B．y＝(x－2)2＋1C．y＝(x＋2)2－1D．y＝(x－2)2－14．小明在解方程x2－4x－15＝0时，他是这样求解的：移项，得x2－4x＝15，两边同时加4，得x2－4x＋4＝19，∴(x－2)2＝19.∴x－2＝±eq\r(19).∴x1＝2＋eq\r(19)，x2＝2－eq\r(19).这种解方程的方法称为(B)A．待定系数法B．配方法C．公式法D．因式分解法5．下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是(C)ABCD6．已知抛物线y＝－2x2＋x经过A(－1，y1)和B(3，y2)两点，那么下列关系式一定正确的是(C)A．0＜y2＜y1B．y1＜y2＜0C．y2＜y1＜0D．y2＜0＜y17．已知a，b，c分别是三角形的三边长，则方程(a＋b)x2＋2cx＋(a＋b)＝0的根的情况是(D)A．有两个不相等的实数根B．有两个相等的实数根C．可能有且只有一个实数根D．没有实数根8．如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形AB′C′D′的位置，旋转角为α(0°＜α＜90°)．若∠1＝112°，则∠α的大小是(D)A．68° B．20° C．28° D．22° 9．已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列结论正确的是(D)A．a＞b＞cB．c＞a＞bC．c＞b＞aD．b＞a＞c10．如图，将△ABC绕着点B顺时针旋转60°得到△DBE，点C的对应点E恰好落在AB的延长线上，连接AD，AC与DB交于点P，DE与CB交于点Q，连接PQ.若AD＝5cm，eq\f(PB,AB)＝eq\f(2,5)，则PQ的长为(A)A．2cmB.eq\f(5,2)cmC．3cmD.eq\f(7,2)cm二、填空题(本大题共5个小题，每小题3分，共15分)11．在平面直角坐标系中，点A(0，1)关于原点对称的点是(0，－1)．12．方程x(x＋1)＝0的根为x1＝0，x2＝－1．13．某楼盘2016年房价为每平方米8100元，经过两年连续降价后，2018年房价为7600元．设该楼盘这两年房价平均降低率为x，根据题意可列方程为8__100(1－x)2＝7__600．14．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中x，y的部分对应值如下表：x－1012y6323则当x＝－2时，y的值为11．15.如图，射线OC与x轴正半轴的夹角为30°，点A是OC上一点，AH⊥x轴于H，将△AOH绕着点O逆时针旋转90°后，到达△DOB的位置，再将△DOB沿着y轴翻折到达△GOB的位置．若点G恰好在抛物线y＝x2(x＞0)上，则点A的坐标为(3，eq\r(3))．三、解答题(本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)16．(共题共2个小题，每小题5分，共10分)(1)解方程：x(x＋5)＝5x＋25；解：x(x＋5)＝5(x＋5)，x(x＋5)－5(x＋5)＝0，∴(x－5)(x＋5)＝0.∴x－5＝0或x＋5＝0.∴x1＝5，x2＝－5.(2)已知点(5，0)在抛物线y＝－x2＋(k＋1)x－k上，求出抛物线的对称轴．解：将点(5，0)代入y＝－x2＋(k＋1)x－k，得0＝－52＋5×(k＋1)－k，解得k＝5.∴y＝－x2＋6x－5.∴该抛物线的对称轴为直线x＝－eq\f(6,2×（－1）)＝3.17．(本题6分)如图所示的是一桥拱的示意图，它的形状类似于抛物线，在正常水位时，该桥下面宽度为20米，拱顶距离水面4米，建立平面直角坐标系如图所示．求抛物线的解析式．解：设该抛物线的解析式为y＝ax2.由图象可知，点B(10，－4)在函数图象上，代入y＝ax2，得100a＝－4，解得a＝－eq\f(1,25)，∴该抛物线的解析式为y＝－eq\f(1,25)x2.18．(本题7分)如图，在平面直角坐标系中，有一Rt△ABC，已知△A1AC1是由△ABC绕某点顺时针旋转90°得到的．(1)请你写出旋转中心的坐标是(0，0)；(2)以(1)中的旋转中心为中心，画出△A1AC1顺时针旋转90°，180°后的三角形．解：如图，△B1A1C2，△BB1C3即为所求作图形．19．(本题7分)(1)求二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标；(2)若二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴只有一个交点，求a的值．解：(1)令y＝0，则有x2＋x－2＝0.解得x1＝1，x2＝－2.∴二次函数y＝x2＋x－2与x轴的交点坐标为(1，0)，(－2，0)．(2)∵二次函数y＝－x2＋x＋a与x轴只有一个交点，∴令y＝0，即－x2＋x＋a＝0有两个相等的实数根．∴Δ＝1＋4a＝0，解得a＝－eq\f(1,4).20．(本题7分)如图，已知在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE后，再把△ABC沿射线AB平移至△FEG，DE，FG相交于点H.(1)判断线段DE，FG的位置关系，并说明理由；(2)连接CG，求证：四边形CBEG是正方形．解：(1)FG⊥DE，理由如下：∵把△ABC绕点B顺时针旋转90°至△DBE，∴∠DEB＝∠ACB.∵把△ABC沿射线平移至△FEG，∴∠GFE＝∠A.∵∠ABC＝90°，∴∠A＋∠ACB＝90°.∴∠DEB＋∠GFE＝90°.∴∠FHE＝90°.∴FG⊥DE.(2)证明：根据旋转和平移可得∠GEF＝90°，∠CBE＝90°，CG∥EB，CB＝BE，∵CG∥EB，∴∠BCG＝∠CBE＝90°.∴四边形CBEG是矩形．又∵CB＝BE，∴四边形CBEG是正方形.21．(本题12分)我市某童装专卖店在销售中发现，一款童装每件进价为40元，若销售价为60元，每天可售出20件，为迎接“双十一”，专卖店决定采取适当的降价措施，以扩大销售量，经市场调查发现，如果每件童装降价1元，那么平均每天可多售出2件．设每件童装降价x元(x＞0)时，平均每天可盈利y元．(1)写出y与x的函数关系式；(2)根据(1)中你写出的函数关系式，解答下列问题：①当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利多少元？②当该专卖店每件童装降价多少元时，平均每天盈利400元？③该专卖店要想平均每天盈利600元，可能吗？请说明理由．解：(1)根据题意，得y＝(20＋2x)(60－40－x)＝(20＋2x)(20－x)＝400＋40x－20x－2x2＝－2x2＋20x＋400.∴y＝－2x2＋20x＋400.(2)①当x＝5时，y＝－2×52＋20×5＋400＝450，∴当该专卖店每件童装降价5元时，平均每天盈利450元．②当y＝400时，400＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＝0，解得x1＝10，x2＝0(不合题意，舍去)，∴当该专卖店每件童装降价10元时，平均每天盈利400元．③该专卖店平均每天盈利不可能为600元．理由：当y＝600时，600＝－2x2＋20x＋400，整理，得x2－10x＋100＝0，∵Δ＝(－10)2－4×1×100＝－300＜0，∴方程没有实数根．故该专卖店平均每天盈利不可能为600元．22．(本题12分)综合与实践：问题情境：(1)如图1，两块等腰直角三角板△ABC和△ECD如图所示摆放，其中∠ACB＝∠DCE＝90°，点F，H，G分别是线段DE，AE，BD的中点，A，C，D和B，C，E分别共线，则FH和FG的数量关系是FH＝FG，位置关系是FH⊥FG；合作探究：(2)如图2，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转至A，C，E在一条直线上，其余条件不变，那么(1)中的结论还成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；(3)如图3，若将图1中的△DEC绕着点C顺时针旋转一个锐角，那么(1)中的结论是否还成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由．解：(2)(1)中的结论还成立．证明：延长AD交BE于点M.∵CD＝CE，AC＝BC，∠ACD＝∠BCE＝90°，∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠CAD＝∠CBE.∵∠CBE＋∠CEB＝90°，∴∠CAD＋∠CEB＝90°.∴∠AME＝90°.∴AD⊥BE.∵F，H，G分别是DE，AE，BD的中点，∴FH＝eq\f(1,2)AD，FH∥AD，FG＝eq\f(1,2)BE，FG∥BE.∴FH＝FG.∵AD⊥BE，∴FH⊥FG.∴(1)中结论还成立．(3)(1)中的结论仍成立．证明：连接AD，BE，两线交于点Z，AD交BC于点X.同(2)可得FH＝eq\f(1,2)AD，FH∥AD，FG＝eq\f(1,2)BE，FG∥BE.∵△ECD，△ACB都是等腰直角三角形，∠ECD＝∠ACB＝90°，∴CE＝CD，AC＝BC.∴∠ACD＝∠BCE.∴△ACD≌△BCE(SAS)．∴AD＝BE，∠EBC＝∠DAC.∴FH＝FG.∵∠DAC＋∠CXA＝90°，∠CXA＝∠DXB，∴∠DXB＋∠EBC＝90°.∴∠BZA＝180°－90°＝90°.∴AD⊥BE.∵FH∥AD，FG∥BE，∴FH⊥FG.∴(1)中的结论仍成立．23．(本题14分)综合与探究：如图，二次函数y＝－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4的图象与x轴交于点B，点C(点B在点C的左边)，与y轴交于点A，连接AC，AB.(1)求证：AO2＝BO·CO；(2)若点N在线段BC上运动(不与点B，C重合)，过点N作MN∥AC，交AB于点M，当△AMN的面积取得最大值时，求直线AN的解析式；(3)连接OM，在(2)的结论下，试判断OM与AN的数量关系，并证明你的结论．解：(1)证明：当y＝0时，－eq\f(1,4)x2＋eq\f(3,2)x＋4＝0，整理，得x2－6x－16＝0，解得x1＝－2，x2＝8，∴B(－2，0)，C(8，0)．令x＝0，得y＝4，∴A(0，4)．∴AO＝4，BO＝2，CO＝8.∴AO2＝BO·CO.(2)设点N(n，0)(－2＜n＜8)，则BN＝n＋2，易得，yAC＝－eq\f(1,2)x＋4，yAB＝2x＋4.∵MN∥AC，N(n，0)，∴yMN＝－eq\f(1,2)x＋eq\f(n,2).联立eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋\f(n,2)，,y＝2x＋4，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝\f(n－8,5)，,y＝\f(2n＋4,5).))∴M(eq\f(n－8,5)，eq\f(2n＋4,5))．∴S△AMN＝S△ABN－S△BMN＝eq\f(1,2)×(n＋2)×4－eq\f(1,2)×(n＋2)×eq\f(2n＋4,5)＝－eq\f(1,5)(n－3)2＋5.∵－eq\f(1,5)<0，∴当n＝3时，即N(3，0)，△AMN的面积最大．设直线AN的解析式为y＝kx＋b.将A(0，4)，N(3，0)代入，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4＝b，,0＝3k＋b.))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝－\f(4,3)，,b＝4，))∴此时直线AN的解析式为y＝－eq\f(4,3)x＋4.(3)OM2＝AN.证明：当n＝3时，N(3，0)，M(－1，2)，∴OM＝eq\r(（－1）2＋22)＝eq\r(5)，AN＝eq\r(OA2＋ON2)＝eq\r(42＋32)＝5.∴OM2＝AN，即OM与AN的数量关系是OM2＝AN.

新人教版九年级第一学期期中模拟数学试卷及答案一．选择题（满分30分，每小题3分）1．下列方程中①2x﹣3＝0；②x2﹣2y＝0；③x2+＝﹣3；④x2＝0，是一元二次方程的有（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．下列图形中，即是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A． B． C． D．3．⊙O的半径是13，弦AB∥CD，AB＝24，CD＝10，则AB与CD的距离是（）A．7 B．17 C．7或17 D．344．如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，若AD＝4，CD＝2，则BD的长为（）A．6 B．2 C．5 D．25．一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0配方后化为（）A．（x+2）2＝10 B．（x﹣2）2＝10 C．（x+2）2＝﹣2 D．（x+2）2＝﹣26．已知x＝1是方程x2+m＝0的一个根，则m的值是（）A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．27．已知A（4，y1），B（1，y2），C（﹣3，y3）在函数y＝﹣3（x﹣2）2+m（m为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是（）A．y3＜y1＜y2 B．y1＜y3＜y2 C．y3＜y2＜y1 D．y1＜y2＜y38．《九章算术》勾股章有一问题，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱上端系有绳索，绳索从木柱上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有3尺，牵着绳索退行，在离木柱根部8尺处时绳索用尽，请问绳索有多长？若设绳索长度为x尺，根据题意，可列方程为（）A．82+x2＝（x﹣3）2 B．82+（x+3）2＝x2 C．82+（x﹣3）2＝x2 D．x2+（x﹣3）2＝829．已知抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点．以下四个结论：①abc＞0；②该抛物线的对称轴在x＝﹣1的右侧；③关于x的方程ax2+bx+c+1＝0无实数根；④≥2．其中，正确结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个10．如图，小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线y＝﹣0.2x2+3.5的一部分，若命中篮圈中心，则他与篮圈底的距离l是（）A．3m B．3.5m C．4m D．4.5m二．填空题（满分15分，每小题3分）11．点P（﹣4，3n+1）与Q（2m，﹣7）关于原点对称，则m+n＝．12．如图，AB是⊙O的直径，∠AOE＝78°，点C、D是弧BE的三等分点，则∠COE＝．13．如图，抛物线y₁＝﹣x2+2向右平移1个单位得到抛物线y2，回答下列问题：（1）阴影部分的面积S＝；（2）若再将抛物线y2绕原点O旋转180°得到抛物线y3，则顶点坐标为．14．如图，四边形ABCD中，∠ABC＝45°，∠CAD＝90°，AB＝BC＝100，AC＝AD．则BD＝．15．某种火箭背向上发射时，它的高度h（m）与时间t（s）的关系可以用公式h＝﹣5t2+160t+10表示．经过s，火箭到达它的最高点．三．解答题16．（10分）9x2﹣2x＝017．（6分）已知关于x的一元二次方程x2﹣4mx+2m2＝0（1）求证：不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）若x＝1是该方程的根，求代数式2（m﹣1）2﹣3的值．18．（7分）如图，二次函数y＝（x﹣3）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点，已知一次函数y＝kx+b的图象经过该二次函数图象上的点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）抛物线上是否存在一点P，使S△ABP＝S△ABC？若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．19．（9分）已知在图（1）与图（2）中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△AOB的三个顶点都在格点上．（1）将△OAB关于点P对称，在图（1）中画出对称后的图形△O′A′B′，并涂黑；（2）先画出△OAB关于y轴的轴对称图形△O′A′B′，然后将△O′A′B′向右平移2个单位，再向上平移3个单位，在图（2）中画出平移后的图形△O″A″B″，并涂黑．20．（8分）习近平总书记说：“读书可以让人保持思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若进馆人次的月平均增长率相同．（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由．21．（10分）某商场经营某种品牌的玩具，购进时的单价30元，根据市场调查：在一段时间内，销售单价是40元时，销售是600件，而销售单价每涨1元，就会少售出10件玩具．（1）若设该种品脚玩具上x元（0＜x＜60）元，销售利润为w元，请求出w关于x的函数关系式；（2）若想获得最大利润，应将销售价格定为多少，并求出此时的最大利润．22．（12分）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝4cm，∠ADB＝30°．（1）试探究线段BD与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；（2）把△BCD与△MEF剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，求β的度数．（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．23．（13分）如图1，抛物线y＝ax2+bx﹣3经过点A，B，C，已知点A（﹣1，0），点B（3，0）（1）求抛物线的解析式（2）点D为抛物线的顶点，DE⊥x轴于点E，点N是线段DE上一动点①当点N在何处时，△CAN的周长最小？②若点M（m，0）是x轴上一个动点，且∠MNC＝90°，求m的取值范围．

参考答案一．选择题1．解：①方程2x﹣3＝0中的未知数x的最高次数是1，它属于一元一次方程．②方程x2﹣2y＝0中含有两个未知数x、y，未知数的最高次数是2，它属于二元二次方程．③方程x2+＝﹣3是分式方程，不是整式方程．④方程x2＝0中只含有一个未知数x，且x的最高次数是2，它属于一元二次方程．综上所述，属于一元二次方程的是④，共有1个．故选：A．2．解：A、是轴对称图形，是中心对称图形；B、不是轴对称图形，是中心对称图形；C、是轴对称图形，不中心对称图形；D、是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：A．3．解：如图，AE＝AB＝×24＝12，CF＝CD＝×10＝5，OE＝＝＝5，OF＝＝＝12，①当两弦在圆心同侧时，距离＝OF﹣OE＝12﹣5＝7；②当两弦在圆心异侧时，距离＝OE+OF＝12+5＝17．所以距离为7或17．故选：C．4．解：作AD′⊥AD，AD′＝AD，连接CD′，DD′，如图：∵∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，∴∠BAC＝∠DAD'＝90°，AC＝AB，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAD′+∠CAD，即∠BAD＝∠CAD′，在△BAD与△CAD′中，，∴△BAD≌△CAD′（SAS），∴BD＝CD′，∵AD＝AD'＝4，∠DAD'＝90°，∴DD'＝＝＝4，∠ADD'＝45°，且∠ADC＝45°∴∠D'DC＝90°，∴CD'＝＝＝6，∴BD＝6故选：A．5．解：根据题意，把一元二次方程x2﹣4x﹣6＝0配方得，（x﹣2）2﹣10＝0，∴化成（x+a）2＝b的形式为（x﹣2）2＝10．故选：B．6．解：把x＝1代入方程得1+m＝0，解得m＝﹣1．故选：A．7．解：∵y＝﹣3（x﹣2）2+m，∴图象的开口向下，对称轴是直线x＝2，A（4，y1）关于直线x＝2的对称点是（0，y1），∵﹣3＜0＜1，∴y3＜y1＜y2故选：A．8．解：设绳索长为x尺，可列方程为（x﹣3）2+82＝x2，故选：C．9．解：①∵抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，∴抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，∴abc＞0．故正确；②∵0＜2a≤b，∴≥1，∴﹣≤﹣1，∴该抛物线的对称轴不在x＝﹣1的右侧．故错误；③由题意可知：对于任意的x，都有y＝ax2+bx+c≥0，∴ax2+bx+c+1≥1＞0，即该方程无解，故正确；④∵抛物线y＝ax2+bx+c（0＜2a≤b）与x轴最多有一个交点，∴当x＝﹣1时，y≥0，∴a﹣b+c≥0，∴a+b+c≥2b，∵b＞0，∴≥2．故正确．综上所述，正确的结论有3个．故选：C．10．解：如图，把C点纵坐标y＝3.05代入y＝0.2x2+3.5中得：x＝±1.5（舍去负值），即OB＝1.5，所以l＝AB＝2.5+1.5＝4．故选：C．二．填空题（共5小题，满分15分，每小题3分）11．解：∵点P（﹣4，3n+1）与Q（2m，﹣7）关于原点对称，∴2m＝4，3n+1＝7，解得：m＝2，n＝2，则m+n＝4．故答案为：4．12．解：∵∠AOE＝78°，∴劣弧的度数为78°，∵AB是⊙O的直径，∴劣弧的度数为180°﹣78°＝102°，∵点C、D是弧BE的三等分点，∴∠COE＝×102°＝68°，故答案为：68°．13．解：（1）把阴影部分进行平移，可得到阴影部分的面积即为图中两个方格的面积＝1×2＝2；（2）由题意可得：抛物线y3的顶点与抛物线y2的顶点关于原O成中心对称．∴抛物线y3的顶点坐标为（﹣1，﹣2）．故答案为：2，（﹣1，﹣2）．14．解：以AB为边向外作等腰直角三角形ABE，AE＝AB，∠BAE＝90°，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE＝BD，∵BE＝AB＝100，∵∠ABC＝45°，∴∠EBC＝90°，∴CE＝＝＝100，∴BD＝100，故答案为：100．15．解：函数的对称轴为：t＝﹣＝﹣＝16，即经过16s，火箭到达它的最高点，故答案为16．三．解答题（共8小题，满分75分）16．解：∵9x2﹣2x＝0，∴x（9x﹣2）＝0，∴x＝0或x＝；17．（1）证明：△＝（4m）2﹣4•2m2＝8m2≥0，所以不论m为何值，该方程总有两个实数根；（2）解：把x＝1代入方程得1﹣4m+2m2＝0，则2m2﹣4m＝﹣1，所以2（m﹣1）2﹣3＝2m2﹣4m+2﹣3＝﹣1+2﹣3＝﹣2．18．解：（1）将点A（1，0）代入y＝（x﹣3）2+m得（1﹣3）2+m＝0，解得m＝﹣4．所以二次函数解析式为y＝（x﹣3）2﹣4，即y＝x2﹣6x+5；当x＝0时，y＝9﹣4＝5，所以C点坐标为（0，5），由于C和B关于对称轴对称，而抛物线的对称轴为直线x＝3，所以B点坐标为（6，5），将A（1，0）、B（6，5）代入y＝kx+b得，，解得：．所以一次函数解析式为y＝x﹣1；（2）假设存在点P，设点P（a，a2﹣6a+5），∵S△ABP＝S△ABC，∴C到直线AB的距离为P到直线AB距离相等，，即﹣a2+7a﹣6＝6，﹣a2+7a﹣6＝﹣6，解得：a＝3，4或a＝7，则a2﹣6a+5＝﹣4或﹣3或12，∴P点坐标为（3，﹣4）或（4，﹣3或）（7，12）．19．解：（1）如图（1）所示：△O′A′B′，即为所求；（2）如图（2）所示：△O″A″B″，即为所求．20．解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意得：128+128（1+x）+128（1+x）2＝608化简得：4x2+12x﹣7＝0∴（2x﹣1）（2x+7）＝0，∴x＝0.5＝50%或x＝﹣3.5（舍）答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）∵进馆人次的月平均增长率为50%，∴第四个月的进馆人次为：128（1+50%）3＝128×＝432＜500答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．21．解：（1）根据题意得：w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000；（2）w＝[600﹣10（x﹣40）]（x﹣30）＝﹣10x2+1300x﹣30000＝﹣10（x﹣65）2+12250，∵a＝﹣10＜0，∴对称轴为x＝65，∴当x＝65时，W最大值＝12250（元）答：商场销售该品牌玩具获得的最大利润是12250元，此时玩具的销售单价应定为65元．22．解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由：如图1，延长FM交BD于点N，由题意得：△BAD≌△MAF．∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．又∵∠DMN＝∠AMF，∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，∴∠DNM＝90°，∴BD⊥MF．（2）如图2，①当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，即β＝60°；②当AF＝FK时，∠FAK＝（180°﹣∠F）＝75°，∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，即β＝15°；综上所述，β的度数为60°或15°；（3）如图3，由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，则PN＝x，在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝4，∠F＝∠ADB＝30°，∴A2M2＝2，A2F2＝2，∴AF2＝2﹣x．∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，∴AP＝AF2•tan30°＝2﹣x，∴PD＝AD﹣AP＝2﹣2+x．∵NP∥AB，∴∠DNP＝∠B．∵∠D＝∠D，∴△DPN∽△DAB，∴＝，∴＝，解得x＝3﹣，即A2A＝3﹣，∴平移的距离是（3﹣）cm．23．解：（1）函数的表达式为：y＝a（x+1）（x﹣3）＝a（x2﹣2x﹣3），故﹣3a＝﹣3，解得：a＝1，故函数的表达式为：y＝x2﹣2x﹣3；（2）①过点C作x轴的平行线交抛物线于点C′（2，﹣3），连接AC′交DE于点N，则此时△CAN的周长最小，将点A、C′的坐标代入一次函数表达式：y＝kx+b得：，解得：，故直线AC′的表达式为：y＝﹣x﹣1，当x＝1时，y＝﹣2，故点N（1，﹣2）；②如图2，过点C作CG⊥ED于点G，设NG＝n，则NE＝3﹣n，∵∠CNG+∠GCN＝90°，∠CNG+∠MNE＝90°，∴∠NCG＝∠MNE，则tan∠NCG＝n＝tan∠MNE＝，故ME＝﹣n2+3n，∴﹣1＜0，故ME有最大值，当n＝时，ME＝，则m的最小值为：﹣；如下图所示，当点N与点D处时，m取得最大值，同理可得：m＝5；故：﹣≤m≤5．

新九年级上学期期中考试数学试题(答案)一、选择题（每小题3