2026-2027学年济南天桥区泺口实验学校九年级9月份数学月考考试试题以及答案

年九年级数学阶段性素养大赛（2026.9）本试卷满分150分，考试用时120分钟。一、单选题。（每小题4分，满分48分）1.下列四条线段是成比例线段的是（）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，3，4，5D．2，2，3，32.如图所示的是一个边长为2的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为1的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（）A．12B．13C．143.如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．甲和乙和丙4.二次函数y=ax2(a>0)的图象大致是（）5.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE，∠B=∠AED，若AD:AC=3:5，DE=6，则BC=（）A．6B．10C．15D．以上都不对6.二次函数y=-2(x-4)2+1的顶点坐标是（）A．(-2,1)B．(-4,-1)C．(4,-1)D．(4,1)7.爸爸手中有三张牌面数字分别为3，9，10的扑克牌，小军手中有三张牌面数字分别为6，7，8的扑克牌．现两人各随机出一张牌，则爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的概率是（）A．13B．23C．598.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC上的一点，且ADDC=32，DE⊥AB于点E，若△ABC的面积为25，则△AED的面积为（A．9B．12C．15D．209.如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为3m时，标准视力表中最大的“E”字高度为43.62mm，当测试距离为5m时，最大的“E”字高度为（）A．72.7mmB．87.24mmC．130.86mmD．218.1mm10.抛物线的对称轴为x=-1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点A(2,0)；那么点B为（）A．(-1,0)B．(-2,0)C．(-3,0)D．(-4,0)11.如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，连接BD，点E、F分别在BD、BC上，BE=AD，若EF把△BCD的面积平分，则EF的长为（）．A．132B．233C．21312.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．点P从点A出发，沿A→C→B的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以每秒2个单位的速度运动．当点Q到达点A时，运动停止．设运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S的最大值为（）A．9.6B．10C．12D．16.8二、填空题。（每小题4分，共28分）13.若ab=34，则b﹣14.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（请填上编号）．15.将二次函数y=2x2的图像向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的函数解析式是．（用顶点式表示）16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点A(1,1)的对应点A'的坐标为(2,2)，则点B(-1,2)的对应点B'的坐标为．17.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC与△A'B'C'成位似关系，则位似中心的坐标为．18.抛物线y=2x2+4x-1的顶点坐标是．19.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有5个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在20%，估计盒子中小球的个数n为．三、解答题。（共74分）20.（8分）(1)解方程组：x+y=3①3x﹣21.（8分）如图，点D，E是△ABC中AB边上的点，DE∥BC．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AE=5、AC=6，BC=7，求DE的长．22.（10分）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同．(1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是________；(2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率．23.（12分）已知一个形如y=ax2+c(a≠0)的二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：(1)m=____．(2)该二次函数的表达式______________．(3)在给定的坐标系中画出该二次函数的图象．(4)当-1≤x≤3，则y的取值范围________．24.（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-2,2)，B(-6,4)，C(-4,8)．(1)以坐标原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出△(2)△A'B'C'的面积为________．25.（12分）已知：二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为(-3,0)，与y轴交于点C，点D(-2,-3)在抛物线上(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若PA+PD最小，求P的坐标；(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q，使得△BDQ的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及△BDQ的最大面积；若不存在，请说明理由．26.(14分)(1)【问题背景】已知D、E分别是△ABC的AB边和AC边上的点，且DE∥BC，则△ABC∽△ADE，把△ADE绕着点A逆时针方向旋转，连接BD和CE．如图2，找出图中的另外一组相似三角形________；并加以证明．(2)【迁移应用】如图3，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=5，D、E、M分别是AB、AC、BC中点，连接DE．①如图4，把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转，在旋转过程中直接写出线段CE和BD始终存在的位置关系和数量关系：、；②把Rt△ADE绕着点A逆时针方向旋转到如图5所在的位置，连接CD和CE，取CD中点N，连接MN，若CE=3，求MN的长．(3)【创新应用】如图6：AB=AC=AE=25，BC=4，△ADE是直角三角形，∠DAE=90°，将△ADE绕着点A旋转，连接BE，F是BE上一点，BFBE=2答案一、单选题。（每小题4分，满分48分）1.下列四条线段是成比例线段的是（D）A．1，1，2，3B．1，2，3，4C．2，3，4，5D．2，2，3，32.如图所示的是一个边长为2的正方形纸板，阴影部分是三个边长均为1的小正方形．若将一根针随机投掷到该正方形纸板上，则针尖落在空白区域的概率是（C）A．12B．13C．143.如图有三个矩形，其中为相似矩形的是（C）A．甲和乙B．乙和丙C．甲和丙D．甲和乙和丙4.二次函数y=ax2(a>0)的图象大致是（A）5.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，连接DE，∠B=∠AED，若AD:AC=3:5，DE=6，则BC=（B）A．6B．10C．15D．以上都不对6.二次函数y=-2(x-4)2+1的顶点坐标是（D）A．(-2,1)B．(-4,-1)C．(4,-1)D．(4,1)7.爸爸手中有三张牌面数字分别为3，9，10的扑克牌，小军手中有三张牌面数字分别为6，7，8的扑克牌．现两人各随机出一张牌，则爸爸出的牌的牌面数字比小军的大的概率是（B）A．13B．23C．598.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D是AC上的一点，且ADDC=32，DE⊥AB于点E，若△ABC的面积为25，则△AED的面积为（A．9B．12C．15D．209.如图，利用相关知识“制作视力表”：当测试距离为3m时，标准视力表中最大的“E”字高度为43.62mm，当测试距离为5m时，最大的“E”字高度为（A）A．72.7mmB．87.24mmC．130.86mmD．218.1mm10.抛物线的对称轴为x=-1，该抛物线与x轴交于A、B两点，且点A(2,0)；那么点B为（D）A．(-1,0)B．(-2,0)C．(-3,0)D．(-4,0)11.如图，在矩形ABCD中，AD=3，AB=2，连接BD，点E、F分别在BD、BC上，BE=AD，若EF把△BCD的面积平分，则EF的长为（A）．A．132B．233C．21312.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8．点P从点A出发，沿A→C→B的方向以每秒2个单位的速度运动；同时点Q从点B出发，沿B→A的方向以每秒2个单位的速度运动．当点Q到达点A时，运动停止．设运动时间为t秒，△APQ的面积为S，则S的最大值为（B）A．9.6B．10C．12D．16.8二、填空题。（每小题4分，共28分）13.若ab=34，则b﹣aa14.如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是①③（请填上编号）．15.将二次函数y=2x2的图像向左平移1个单位，再向上平移5个单位，得到的函数解析式是y=2（x+1）2+5．（用顶点式表示）16.如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△A'B'C'是位似图形，位似中心为点O．若点A(1,1)的对应点A'的坐标为(2,2)，则点B(-1,2)的对应点B'的坐标为（﹣2，4）．17.在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点△ABC与△A'B'C'成位似关系，则位似中心的坐标为（4，5）．18.抛物线y=2x2+4x-1的顶点坐标是（﹣1，﹣3）．19.一个不透明的盒子里有n个除颜色外其他完全相同的小球，其中有5个黄球，每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球实验后发现，摸到黄球的频率稳定在20%，估计盒子中小球的个数n为25．三、解答题。（共74分）20.（8分）(1)解方程组：x+y=3①3x﹣（1）①+②得4x=4解得x=1将x=1代入①得y=2所以原方程组的解为x（2）（x﹣3）（x+1）=0x1=3，x2=﹣121.（8分）如图，点D，E是△ABC中AB边上的点，DE∥BC．(1)求证：△ADE∽△ABC；(2)若AE=5、AC=6，BC=7，求DE的长．(1)证明：∵DE∥BC，∴∠B=∠ADE，∠C=∠AED（两直线平行，同位角相等），∴△ADE∽△ABC（两角分别相等的两个三角形相似）。(2)解：∵△ADE∽△ABC∴DEBC=AE代入AE=5、AC=6，BC=7：DE7=∴DE=3522.（10分）2026年，是长征胜利90周年，也是中国共产党成立105周年．在这一承载历史荣光、赓续革命血脉的重要时刻，某校开展了“传承红色基因，争做时代新人”红色研学活动，有四个研学地点可供选择：A．南泥湾；B．川陕革命根据地纪念馆；C．八路军西安办事处纪念馆；D．渭华起义纪念馆．每个同学只能从这四个地点中随机选一个，且选择任意一个地点的可能性都相同．(1)甲同学从这四个地点中随机选择一个，选到地点A的概率是________；(2)请用列表或画树状图的方法求甲、乙两名同学选到同一地点的概率．（1）1（2）画树状图如下：由图可知，共有16种等可能的结果，其中甲、乙两名同学选到同一地点的结果有4种，∴甲、乙两名同学选到同一地点的概率为416=23.（12分）已知一个形如y=ax2+c(a≠0)的二次函数图象上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如表：(1)m=____．(2)该二次函数的表达式______________．(3)在给定的坐标系中画出该二次函数的图象．(4)当-1≤x≤3，则y的取值范围________．由x=0,y=3得c=3；代入(1,2)：2=a+3∴a=-1∴解析式：y=-x2+3，当x=-2时，m=-(-2)2+3=-1函数解析式：y=-x2+3（3）描点：(-2,-1),(-1,2),(0,3),(1,2),(2,-1)，用平滑抛物线连接即可。(4)抛物线开口向下，对称轴x=0x=0取最大值3；x=3取最小值y=-9+3=-6∴取值范围：-6≤y≤324.（10分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别为A(-2,2)，B(-6,4)，C(-4,8)．(1)以坐标原点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的12，得到△A'B'C'，使△ABC与△A'B'C'位于位似中心的两侧，请在平面直角坐标系中画出△(2)△A'B'C'的面积为________．（1）（2）2.525.（12分）已知：二次函数y=x2+bx+c的图像与x轴交于A，B两点，其中A点坐标为(-3,0)，与y轴交于点C，点D(-2,-3)在抛物线上(1)求抛物线的解析式；(2)抛物线的对称轴上有一动点P，若PA+PD最小，求P的坐标；(3)在直线BD下方的抛物线上是否存在动点Q，使得△BDQ的面积有最大值？若存在，请求出点Q坐标，及△BDQ的最大面积；若不存在，请说明理由．(1)把A(-3,0),D(-2,-3)代入y=x2+bx+c：得9−3b+c=0解得b=2∴y=x2+2x-3令y=0，解得x1=-3,x2=1，得B(1,0)，对称轴x=-22(2)由抛物线对称性：PA=PB，PA+PD=PB+PD，当B,P,D共线时值最小。得m+n解得m=1∴y=x-1对称轴x=-1代入：y=-1-1=-2∴P(-1,-2)(3)设(Q(t,t2+2t-3)(-2<t<1))，作QE⊥x轴交BD于(E(t,t-1)竖直高度：QE=(t-1)-(t2+2t-3)=-t2-t+2B、D水平距离1-(