数学详细解析答案江苏南通市海安市2027届高三年级上学期期初测试（9.17-9.18）

高三数学一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出A.4B.5C.6D.7【答案】C【解析】【详解】不等式，即，解得-2<x<5，当为整数时解集为，所以满足的整数的个数是6.2.已知复数，则z在复平面内对应的点所在象限是()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【答案】B【解析】【详解】复数，在复平面内对应的点为，在第二象限.A.B.C.D.【答案】A【解析】【详解】，,又，所以A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】使用导数的几何意义求解切线方程.【详解】当时切点坐标为，所以切线方程为：，即.5.函数的零点所在区间为()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据零点存在性定理，结合函数的单调性即可计算端点处的函数值求解.【详解】由于函数均为单调递增函数，故为单调递增函数，函数至多有一个零点，故零点位于，故选：B6.某科技馆欲靠一面长墙规划一块面积为的矩形机器人表演区，为了保证观演效果，表演区的左、右两侧以及前方均需留出宽3m的观演区，则表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据矩形面积公式，结合基本不等式进行求解即可.【详解】如图所示：设矩形ABCD为表演区，AB=X,BC=Y，则有V=I8，由题意可知：EF=GH=JA=BI=JK=IH=3，所以EK=Y+3,EH=X+3+3=X+6，设矩形EHLK的面积为S，所以，由基本不等式，得，即S272，当且仅当时取等号，所以当x=6,y=3时，表演区与观演区所形成的矩形演区面积的最小值是.7.已知函数不等式的解集为()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根据函数奇偶性的定义得为奇函数，利用函数单调性的性质得函数在R上单调递增，进而结合奇函数性质利用单调性求解不等式即得.【详解】的定义域为，因为，所以是奇函数．因为，所以在R上单调递增，因为在R上单调递增，所以X<2x-1，解得，故不等式的解集为．8.设函数．若满足对任意的t>0，都存在唯一实数x使得A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由题意得在上严格单调，即在恒成立，或在恒成立，分类讨论即可求解.【详解】若满足对任意的t>0，都存在唯一实数使得，（若f(x)不严格单调，则至少存在一个t，使得除x=t外还有其他x满足，与“唯一实数x”的条件矛盾）所以在上严格单调，所以，所以在恒成立，或在恒成立，当在恒成立时，即对恒成立，所以，令，所以，令，解得，令，解得，令，解得，所以在单调递减，在单调递增，又，当0cxcl时所以，当x>1时所以，所以在单调递减，在单调递增，所以，所以2as-2，即as-1，当在恒成立时，即对恒成立，当x→0时不满足题意，综上所述，ae(-r,-1l.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．9.设，β,表示空间中三个不同的平面，下列结论正确的是()A.若则alrB.若则alrC.若则alrD.a，p，可能交于一点【答案】ACD【解析】【分析】利用平面平行、垂直的位置关系判定各命题真假，借助空间模型举出反例判断错误选项.【详解】对于A，由平面平行的传递性，若allp则allr，A正确.对于B，若平面a与r可以平行，也可以相交，不一定垂直，B错误.对于C，设平面a内存在直线，由plr得lur，又lca，故CLY，C正确.对于D，三个不同平面可以交于同一点，如空间直角坐标系中三个坐标平面交于原点，D正确.A.B.C.D.【答案】ABD【解析】,可得，得到解析式，从而判断BCD【详解】A选项，令x-l得，故，A正确；B选项，设，故c=l-a，，由①得，显然a>0，且，由②得，即显然成立，故所以，C选项C错误；D选项，恒成立，D正确11.已知定义域为R的函数不恒为0且A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】使用赋值法计算与，推导函数的周期求解.【详解】令x=lI,y=0，则，选项A正确；令x=y=0，则解得f(0)=0或,令y=l，则，即f(x+1)=-f(o)f(l-x)，若f(0)=0，则f(x+1)=0，即f(x)=0，与条件矛盾，所以f(0)=l，选项B正确；由f(0)=l，得f(x+1)=-f(l-x)，选项C错误；令y=2，得，所以的周期是4，由f(x+1)=-f(l-x)，令x=2，得f(3)=-f(-1)=012.已知二项式的展开式中，的系数为24，则【答案】4【解析】【详解】的展开式通项公式为，令n-r=2得r=n-2，故的系数为，所以，其中，所以，即，解得n=4（负值舍去）.13.据行业预测，因大模型训练与推理需求激增，某AI公司用于算力基础设施的月度投资额将在9月初至11月末这三个月内实现翻倍．设该期间月度投资额的月均增长率为r，则【答案】【解析】【详解】由题意得，所以，即，解得14.设集合，函数fx→x同时满足条件：①当1<xs5时当,所有符合题设的函数的个数是．【答案】①.22②.40【解析】【分析】由条件①可以推出f(2)=l，f(9)=10，再结合条件②可以推出，f(10)=f(9)算出第一空，再利用三个条件推出的可能取值，根据分步分类思想算出函数f(x)的个数.【详解】:当1<xs5时，f(x)<x=f(2)<2，:f(2)=l.时，f(x)>x=f(9)>9，.又:当任意xs9时，f(x)sf(xt1)=f(1)sf(2)，f(9)sf(10)=f(1)=l，f(10)-10..由条件①>1sf3)s2，1sf(4)s3，Isf(5)s4，7sf(6)s1o，8sf(7)s1o，9sf(8)s1o由条件②f(3)sf(4)sf(5)sf(6)sf7)sf(8)由条件③当f(5)=l时，f(6)=7，f(3)=f()=l，的可能取值有、、时，/0-s，的可能取值有、、，的可能取值有、、、、此时函数f(x)有3x5=15个.同理可得，当f(5)=3时函数f(x)有15个，当f(5)=4时函数f(x)有5个.符合题设的函数f(x)有40个.【点睛】方法总结：根据函数的概念结合集合的相关知识推出函数f(x)的所有可能取值，再结合分步分类思想对其进行排列，进而算出函数f(x)满足条件的个数.易错归纳：本题的约束条件多，需要学生认真审题，读懂题目的条件，不然容易犯低级错误.15.在平面凸四边形ABCD中，AC=3AC与BD相交于点O（1）若，求；（2）若AD=BC求On．【答案】【解析】【分析】（1）结合特殊角的三角函数值，利用正弦定理即可求解；（2）设OD=m，在sa0o和abco中，利用余弦定理得，解出即可.【小问1详解】依题意，在SADO中由正弦定理得所以【小问2详解】在SADO中，由余弦定理得，,在sbco中，由余弦定理得，因为，所以，解得，所以．16.某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，甲同学从这8门课中随机选修4门，要求每类选修课至少选修门．（1）甲同学恰好选修门体育类选修课的概率；（2）在已知甲同学首选门体育类选修课篮球的条件下，求甲同学剩余的三门选修课中选修艺术类选修课门数X的数学期望．【答案】【解析】【分析】（1）先用排除法确定满足“每类至少选修门”的选法总数，再由分步乘法计数原理求出“门体育、3门艺术”的选法数，最后代入古典概型公式求概率.（2）把条件转化为“从剩余体育类与艺术类课程中选足门数且至少含门艺术”的计数问题，用排除法求出条件总选法数，再分别计数各取值对应的选法数并求出相应概率，最后代入数学期望公式求解.【小问1详解】满足“每类至少选修门”的选法总数为．恰好选修i门体育类、3门艺术类的选法数为．所以甲同学恰好选修门体育类选修课的概率．【小问2详解】满足“已知甲同学已选篮球，则还需从剩余3门体育类、4门艺术类共7门中选3门，且至少选门艺术类．”的选法总数为．依题意，的可能取值为1，2，3．,.所以．17.如图，在三棱柱中，D为bc的中点二面角的平面角的大小为．（1）证明：平面；（2）证明：平面ABC；（3）求点4到平面的距离．【答案】（1）如图，连接与交于点，连接，由三棱柱性质得为的中点，又因为D为bc的中点，所以．又因为平面，ODC平面，所以平面．（2）因为是二面角的平面角，所以ADlDC，．，所以ADl平面．又因为平面，所以．由余弦定理得．所以，得．又因为ADncD=DCDC平面ABC，所以平面ABC．【解析】【分析】（1）利用中位线的性质得到，再利用线面平行的判定定理求证即可；（2）利用二面角的定义和线面垂直的判定定理求出ADl平面，进而求出，再结合余弦定理与勾股定理得到，最后利用线面垂直的判定定理求证即可；（3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，再结合点到平面距离的向量求法求解即可.【小问1详解】略【小问2详解】略【小问3详解】由（2）知ADlDC，平面ABC如图，以为原点，建立空间直角坐标系．而CD=BD=1，则所以设平面的法向量为，所以，令z=l，得，又因为，所以点到平面的距离为．18.已知aeR，函数（1）求函数的所有零点之和；（2）证明（3）w20求a的取值范围．【答案】（1）0（2．则在在上单调递增，则，故在上单调递增，有，所以【解析】原点本身），由对称性直接得出所有零点之和.（2）构造函数，用"连续多次求导、逐层判断导函数单调性并结合端点值非负"的方法，从而得证.（3）先由分离参数得aa的必要下界；再对导函数作换元放缩（利用2+cosxr的范围）证明当a不小于该下界时在上单调递减，由单调性验证充分性，最终确定的取值范围.【小问1详解】依题意，函数的定义域为，定义域关于原点对称，所以为R上的奇函数．若，则必有．又，故函数的所有零点之和为0.【小问2详解】略【小问3详解】依题意，．因为又由（2）可得，所以有．令t=2+cosx，则，故在恒成立，所以在上递减，故．所以a的取值范围是．19.已知函数的定义域和值域均为．对于teR，定义集合．（1）若求；（2）若vxeA，总有-xeA，则称A是对称集．证明：是偶函数”的充要条件是“，是对称集”；（3）设a,beR，函数的定义域和值域均为R，非空点