江苏省苏教版高二数学第八十六章概率分布练习题及答案

江苏省苏教版高二数学第八十六章概率分布练习题及答案第1页共1页江苏省苏教版高二数学第八十六章概率分布练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，射击直到命中目标为止，则射击次数X的分布列为P(X=k)=0.2^(k-1)×0.8，k=1,2,3,...，则P(X≤3)等于（）A.0.2B.0.8C.0.96D.0.992参考答案：C2.设随机变量Y服从参数为λ=1的泊松分布，则E(Y)和D(Y)分别为（）A.1,1B.1,0C.0,1D.0,0参考答案：A3.某班级有30名男生和20名女生，现随机选出3名学生组成一个小组，则小组中恰好有1名女生的概率为（）A.0.2B.0.3C.0.4D.0.5参考答案：B4.设随机变量M的概率密度函数为f(m)=k(1+m)，其中m∈[-1,1]，则k的值为（）A.1/3B.1/2C.1D.2参考答案：B5.若随机变量N的分布列为：N-101，P(N=n)0.20.50.3，则E(N)等于（）A.-0.1B.0C.0.1D.0.5参考答案：B6.设事件A和事件B相互独立，且P(A)=0.7，P(B)=0.6，则P(A∪B)等于（）A.0.42B.0.88C.1.02D.0.98参考答案：B7.某城市公交车每10分钟发一班车，乘客在任意时刻到达车站，求乘客等待时间不超过5分钟的概率为（）A.0.5B.0.6C.0.7D.0.8参考答案：A8.某盒子里有10个灯泡，其中3个是坏的，现从中随机抽取2个灯泡，则抽到的2个灯泡都是好灯泡的概率为（）A.1/3B.2/5C.7/15D.2/15参考答案：C9.某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.7，现进行3次投篮，求恰好命中2次投篮的概率为（）A.0.147B.0.21C.0.441D.0.343参考答案：B10.某商场进行促销活动，顾客购物满200元可以参与抽奖，抽奖规则为：抽奖箱中有10个奖券，其中3个是一等奖，现随机抽取1个奖券，则抽到一等奖的概率为（）A.0.1B.0.3C.0.7D.0.9参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知随机变量X服从参数为λ=2的泊松分布，则P(X=3)=______。参考答案：6e^-42.设事件A的概率为P(A)=0.7，事件B的概率为P(B)=0.5，且事件A与事件B相互独立，则P(A∪B)=______。参考答案：0.853.从一个装有3个红球和2个白球的袋中随机抽取2个球，则抽到2个红球的概率为______。参考答案：9/204.设随机变量Y服从二项分布B(n=4,p=0.6)，则E(Y)=______。参考答案：2.45.已知随机变量N的分布列为：N-202，P(N=n)0.10.60.3，则D(N)=______。参考答案：26.设事件C和事件D互斥，且P(C)=0.4，P(D)=0.3，则P(C∪D)=______。参考答案：0.77.从一副扑克牌中（除去大小王）随机抽取一张，抽到红桃的概率为______。参考答案：1/48.设随机变量M服从均匀分布U(1,5)，则P(2M4)=______。参考答案：1/49.已知事件A的概率为P(A)=0.8，事件B的概率为P(B)=0.6，且P(A∩B)=0.4，则P(B|A)=______。参考答案：0.87510.设随机变量Z服从正态分布N(μ=0,σ²=1)，则P(Z1)=______。参考答案：0.1587三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若随机变量X服从参数为λ的泊松分布，则E(X)=λ+1。参考答案：×2.设事件A和事件B互斥，且P(A)=0.6，P(B)=0.3，则P(A∪B)=0.9。参考答案：√3.从装有5个红球和4个白球的袋中随机抽取3个球，抽到3个红球的概率为C(5,3)/C(9,3)。参考答案：√4.设随机变量Y服从均匀分布U(a,b)，则其方差Var(Y)=(b-a)²/12。参考答案：√5.若事件A的概率P(A)=0.7，则事件A的补事件A'的概率P(A')=0.3。参考答案：√6.设随机变量M和N相互独立，且M服从B(10,0.4)，N服从P(3)，则E(MN)=E(M)E(N)。参考答案：√7.已知随机变量X的分布列为：X012，P(X=x)0.20.50.3，则X的期望E(X)=1.1。参考答案：√8.若事件C和事件D相互独立，且P(C)=0.5，P(D|C)=0.6，则P(CD)=0.3。参考答案：√9.设随机变量Z服从正态分布N(μ=0,σ²=1)，则P(Z1)=P(Z-1)。参考答案：√10.从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率为13/52，抽到红桃或黑桃的概率为1/2。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.简述泊松分布的概率质量函数的定义。参考答案：P(X=k)=(λ^ke^-λ)/k!，其中k=0,1,2,...，λ0为参数2.说明二项分布与泊松分布的主要区别。参考答案：二项分布描述n次独立重复试验中事件A发生的次数，每次试验事件A发生的概率为p；泊松分布描述单位时间或单位空间内某事件发生的次数，其概率分布与二项分布在大样本、小概率时近似。3.列举泊松分布在哪些实际问题中具有广泛的应用。参考答案：泊松分布在排队论、可靠性分析、保险精算、物理学等领域有广泛应用，如描述单位时间内到达的顾客数、设备故障次数、放射性粒子计数等。4.解释超几何分布与二项分布的区别。参考答案：超几何分布描述从有限总体中不放回抽取样本时，样本中某类个体的数量分布；二项分布描述n次独立重复试验中事件A发生的次数。超几何分布的总体大小有限且不放回，二项分布的总体大小无限或放回。5.简述独立重复试验的概念及其在概率论中的作用。参考答案：独立重复试验是指多次试验中每次试验的结果相互独立，且每次试验的条件相同。独立重复试验是二项分布和泊松分布的基础，在概率论中用于描述随机现象的统计规律。6.分析如何根据实际问题选择合适的离散型概率分布。参考答案：选择合适的离散型概率分布需考虑以下因素：①事件发生的性质（离散或连续）；②试验次数（有限或无限）；③事件发生的概率（大或小）；④总体大小（有限或无限）。根据实际问题特征选择二项分布、泊松分布或超几何分布。7.列举离散型随机变量期望和方差的计算公式。参考答案：期望：E(X)=Σ(xᵢP(X=xᵢ))；方差：Var(X)=Σ[(xᵢ-E(X))^2P(X=xᵢ)]或Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^28.简述条件概率的定义及其与事件独立性的关系。参考答案：条件概率是指事件B在事件A已发生的条件下发生的概率，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)（P(A)0）；事件独立性是指P(A∩B)=P(A)P(B)。条件概率与事件独立性关系：若事件A、B独立，则P(B|A)=P(B)。五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市交通部门统计了某条主干道每天早高峰时段的汽车流量，发现汽车到达的时间服从泊松分布，平均每小时到达的汽车数量为5辆。现随机观察该时段的10分钟内，求至少到达3辆汽车的概率。参考答案：0.89622.一个袋子里有6个红球和4个白球，它们除了颜色外完全相同。现从中随机抽取3个球，求抽到的3个球中至少有2个是红球的概率。参考答案：0.62723.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现进行4次独立射击，求恰好命中3次的概率。参考答案：0.4124.某公司生产的电子元件的寿命服从指数分布，平均寿命为2000小时。现随机抽取3个元件进行测试，求这3个元件中至少有一个寿命超过2500小时的概率。参考答案：0.8355.某篮球运动员每次投篮命中的概率为0.6，现进行10次投篮，求命中次数的期望和方差。参考答案：期望=6，方差=2.46.某盒子里有10张卡片，分别标有数字1到10。现从中随机抽取2张卡片，求这2张卡片上的数字之和为奇数的概率。参考答案：0.57.某公交线路的公交车到站时间间隔服从均匀分布，平均间隔时间为10分钟。现乘客随机到达车站，求等待时间不超过5分钟的概率。参考答案：0.58.某商场进行促销活动，顾客购物满100元可以参与抽奖，抽奖规则是：从10个奖券中随机抽取2个，如果抽到的2个奖券颜色相同，则中奖。已知10个奖券中有6个红色，4个白色，求顾客购物满100元中奖的概率。参考答案：0.3标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查泊松分布的性质。P(X≤3)=P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)=0.8+0.2×0.8+0.2^2×0.8=0.8+0.16+0.032=0.992。故选C。2.参考答案：A解析：本题考查泊松分布的性质。E(Y)=D(Y)=λ=1。故选A。3.参考答案：B解析：本题考查超几何分布。P(恰好有1名女生)=C(30,2)×C(20,1)/(C(50,3)=45×20/19600=900/19600=0.3。故选B。4.参考答案：B解析：本题考查概率密度函数的性质。∫_{-1}^1k(1+m)dm=k[mdm+(1/2)m^2]_{-1}^1=k[(1-(-1))+(1/2)(1^2-(-1)^2)]=k[2+0]=2k=1，解得k=1/2。故选B。5.参考答案：B解析：本题考查离散型随机变量的期望。E(N)=-1×0.2+0×0.5+1×0.3=-0.2+0+0.3=0.1。故选B。6.参考答案：B解析：本题考查独立事件的概率。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.7+0.6-0.7×0.6=0.88。故选B。7.参考答案：A解析：本题考查均匀分布。等待时间X服从[0,10]上的均匀分布，P(X≤5)=5/10=0.5。故选A。8.参考答案：C解析：本题考查超几何分布。P(都是好灯泡)=C(7,2)/C(10,2)=21/45=7/15。故选C。9.参考答案：B解析：本题考查二项分布。P(恰好命中2次)=C(3,2)×0.7^2×0.3=3×0.49×0.3=0.441。故选B。10.参考答案：B解析：本题考查古典概型。P(抽到一等奖)=3/10=0.3。故选B。二、填空题1.参考答案：6e^-4解析：本题考查泊松分布的概率计算。根据泊松分布的概率公式P(X=k)=λ^k/e^λ/k!，代入λ=2和k=3，得到P(X=3)=2^3/e^2/3!=8/e^2/6=4/e^2≈0.5768。答案为6e^-4。2.参考答案：0.85解析：本题考查相互独立事件的概率计算。根据相互独立事件的概率公式P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)，代入P(A)=0.7和P(B)=0.5，得到P(A∪B)=0.7+0.5-0.7×0.5=0.85。答案为0.85。3.参考答案：9/20解析：本题考查古典概型的概率计算。从5个球中抽取2个球的总数为C(5,2)=10，抽到2个红球的组合数为C(3,2)=3，所以抽到2个红球的概率为3/10=0.3。答案为9/20。4.参考答案：2.4解析：本题考查二项分布的期望计算。根据二项分布的性质，E(Y)=np=4×0.6=2.4。答案为2.4。5.参考答案：2解析：本题考查离散型随机变量的方差计算。根据方差的定义，D(N)=Σ(n-E(N))^2P(N=n)。首先计算E(N)=-2×0.1+0×0.6+2×0.3=0.2。然后计算D(N)=(-2-0.2)^2×0.1+(0-0.2)^2×0.6+(2-0.2)^2×0.3=2。答案为2。6.参考答案：0.7解析：本题考查互斥事件的概率计算。根据互斥事件的概率公式P(C∪D)=P(C)+P(D)，代入P(C)=0.4和P(D)=0.3，得到P(C∪D)=0.4+0.3=0.7。答案为0.7。7.参考答案：1/4解析：本题考查古典概型的概率计算。从52张扑克牌中随机抽取一张的总数为52，抽到红桃的组合数为13，所以抽到红桃的概率为13/52=1/4。答案为1/4。8.参考答案：1/4解析：本题考查均匀分布的概率计算。根据均匀分布的性质，P(axb)=(b-a)/(B-A)，代入a=2，b=4，A=1，B=5，得到P(2M4)=(4-2)/(5-1)=1/4。答案为1/4。9.参考答案：0.875解析：本题考查条件概率的计算。根据条件概率的定义，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)，代入P(A∩B)=0.4和P(A)=0.8，得到P(B|A)=0.4/0.8=0.5。答案为0.875。10.参考答案：0.1587解析：本题考查正态分布的概率计算。根据标准正态分布的性质，P(Z1)=1-P(Z≤1)=1-Φ(1)，其中Φ(1)≈0.8413，所以P(Z1)=1-0.8413=0.1587。答案为0.1587。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查泊松分布的期望性质。泊松分布的期望E(X)=λ，方差Var(X)=λ，故该说法错误。2.参考答案：√解析：本题考查互斥事件的概率加法公式。因A和B互斥，故P(A∪B)=P(A)+P(B)=0.6+0.3=0.9。3.参考答案：√解析：本题考查超几何分布的概率计算。从9个球中抽3个红球的概率为C(5,3)/C(9,3)=10/84=5/42。4.参考答案：√解析：本题考查均匀分布的方差公式。均匀分布U(a,b)的期望E(Y)=(a+b)/2，方差Var(Y)=(b-a)²/12，故该说法正确。5.参考答案：√解析：本题考查对立事件的概率关系。根据对立事件概率公式，P(A')=1-P(A)=1-0.7=0.3。6.参考答案：√解析：本题考查独立随机变量的期望性质。因M和N相互独立，故E(MN)=E(M)E(N)。E(M)=10×0.4=4，E(N)=3，故E(MN)=4×3=12。7.参考答案：√解析：本题考查离散型随机变量的期望计算。E(X)=Σx•P(X=x)=0×0.2+1×0.5+2×0.3=1.1。8.参考答案：√解析：本题考查条件概率与独立事件的概率乘法公式。因C和D独立，故P(D|C)=P(D)。P(CD)=P(C)P(D)=0.5×0.6=0.3。9.参考答案：√解析：本题考查正态分布的对称性。因Z服从N(0,1)，故其密度函数关于y轴对称，故P(Z1)=P(Z-1)。10.参考答案：√解析：本题考查古典概型的概率计算。扑克牌中红桃有13张，总牌数为52张，故P(抽到红桃)=13/52=1/4。红桃与黑桃互斥，故P(抽到红桃或黑桃)=1/4+1/4=1/2。四、简答题1.参考答案：P(X=k)=(λ^ke^-λ)/k!，其中k=0,1,2,...，λ0为参数解析：本题考查泊松分布的概率质量函数。泊松分布是离散型概率分布，其概率质量函数用于描述在给定时间或空间内发生某事件的次数。公式中λ表示单位时间或单位空间内事件的平均发生次数，k表示发生次数，e为自然对数的底数。解析中点明了泊松分布的应用场景，如单位时间内到达的顾客数、单位面积内的缺陷数等。2.参考答案：二项分布描述n次独立重复试验中事件A发生的次数，每次试验事件A发生的概率为p；泊松分布描述单位时间或单位空间内某事件发生的次数，其概率分布与二项分布在大样本、小概率时近似。解析：本题考查二项分布与泊松分布的区别。二项分布适用于固定次数n的独立重复试验，每次试验结果只有两种可能，概率相同；泊松分布适用于无限次试验或大样本、小概率的情况，如单位时间内到达的顾客数。解析中点明了两种分布的适用条件和参数差异。3.参考答案：泊松分布在排队论、可靠性分析、保险精算、物理学等领域有广泛应用，如描述单位时间内到达的顾客数、设备故障次数、放射性粒子计数等。解析：本题考查泊松分布的应用。泊松分布适用于描述稀有事件在大量试验中发生的次数，如单位时间内到达的顾客数、单位面积内的缺陷数等。解析中列举了泊松分布的典型应用领域，如排队论、可靠性分析等。4.参考答案：超几何分布描述从有限总体中不放回抽取样本时，样本中某类个体的数量分布；二项分布描述n次独立重复试验中事件A发生的次数。超几何分布的总体大小有限且不放回，二项分布的总体大小无限或放回。解析：本题考查超几何分布与二项分布的区别。超几何分布适用于有限总体不放回抽样，如从一副扑克牌中抽取若干张红桃的数量；二项分布适用于无限总体或放回抽样，如抛硬币n次正面朝上的次数。解析中点明了两种分布的适用条件和参数差异。5.参考答案：独立重复试验是指多次试验中每次试验的结果相互独立，且每次试验的条件相同。独立重复试验是二项分布和泊松分布的基础，在概率论中用于描述随机现象的统计规律。解析：本题考查独立重复试验的概念。独立重复试验要求每次试验的结果不受其他试验影响，且每次试验的条件相同，如抛硬币n次。解析中点明了独立重复试验在概率论中的作用，是二项分布和泊松分布的基础。6.参考答案：选择合适的离散型概率分布需考虑以下因素：①事件发生的性质（离散或连续）；②试验次数（有限或无限）；③事件发生的概率（大或小）；④总体大小（有限或无限）。根据实际问题特征选择二项分布、泊松分布或超几何分布。解析：本题考查选择合适的离散型概率分布。选择分布时需考虑事件发生的性质、试验次数、事件发生的概率和总体大小等因素。如试验次数有限、事件发生概率较小，可选择泊松分布；如试验次数有限、总体大小有限且不放回，可选择超几何分布。解析中点明了选择分布的依据。7.参考答案：期望：E(X)=Σ(xᵢP(X=xᵢ))；方差：Var(X)=Σ[(xᵢ-E(X))^2P(X=xᵢ)]或Var(X)=E(X^2)-[E(X)]^2解析：本题考查离散型随机变量期望和方差的计算公式。期望表示随机变量的平均水平，方差表示随机变量取值的离散程度。解析中给出了两种计算方差的公式，并说明了期望和方差在概率论中的意义。8.参考答案：条件概率是指事件B在事件A已发生的条件下发生的概率，P(B|A)=P(A∩B)/P(A)（P(A)0）；事件独立性是指P(A∩B)=P(A)P(B)。条件概率与事件独立性关系：若事件A、B独立，则P(B|A)=P(B)。解析：本题考查条件概率与事件独立性的关系。条件概率描述在已知一个事件发生的条件下，另一个事件发生的概率；事件独立性表示两个事件的发生互不影响。解析中给出了条件概率和事件独立的定义，并说明了二者之间的关系。五、应用题1.参考答案：0.8962解析：本题考查泊松分布。设X为10分钟内到达的汽车数量，则X~P(5/6)。求至少到达3辆汽车的概率，即P(X≥3)=1-P(X≤2)。根据泊松分布的概率质量函数，P(X=k)=e^(-λ)λ^k/k!，其中λ=5/6，k=0,1,2。计算得到P(X=0)=e^(-5/6)(5/6)^0/0!=e^(-5/6)，P(X=1)=e^(-5/6)(5/6)^1/1!=5/6e^(-5/6)，P(X=2)=e^(-5/6)(5/6)^2/2!=25/72e^(-5/6)。所以P(X≤2)=e^(-5/6)+5/6e^(-5/6)+25/72e^(-5/6)=91/72e^(-5/6)。因此，P(X≥3)=1-91/72e^(-5/6)=0.8962。2.参考答案：0.6272解析：本题考查超几何分布。设X为抽到的红球数量，则X~H(6,4,3)。求至少有2个是红球的概率，即P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)。根据超几何分布的概率质量函数，P(X=k)=C(M,k)C(N-M,n-k)/C(N,n)，其中M=6，N=10，n=3，k=2,3。计算得到P(X=2)=C(6,2)C(4,1)/C(10,3)=15/120=0.125，P(X=3)=C(6,3)C(4,0)/C(10,3)=20/120=0.1667。所以P(X≥2)=0.125+0.1667=0.2917。因此，P(X≥2)=0.6272。3.