四川省遂宁市射洪中学2026-2027学年高二上学期10月考试数学试卷

2025级高二上期第一次综合素质测评（考试时间：120分 满分：150分第I卷（选择题，共58分8540分.在每小题给出的四个选项中，只有已知点，点，则向量的坐标是（B．C．D．2x的值为D．-一个袋中装有大小、质地相同的3个红球和3个黑球，从中随机摸出3个球，设事件“至少有2个黑球”，下列事件中，与事件互斥而不互为对立的是（ 都是黑 B．恰好有1个黑C．恰好有1个红球 D．至少有2个红球4．不透明的盒子里面装有五个分别标有数字1、2、3、4、5的乒乓球，这些球除数字外，其他完全相同，一位学生随机摸出两个球，两个球的数字之和是偶数的概率是（）A．B．C．D．在棱长为的正方体中，为中点，则直线与𝐸𝐵所成角的余弦值 B．C．D．6A，B，C，下列结论正确的是 A．B，CB，则C．若A，B互斥，则 D．若A，B相互独立，则在空间直角坐标系中，向量，则下列选项中正确的是（若，则 B．向量是的一个单位向C．若，则在上的投影向量 D．若为钝角，已知正方体的棱长为2，点P为线段上的动点，则点P到直线距离的最小值为

C．D．B多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有错选的得0分. 空间中三个向量，若，则向量共已知四点不共面，点满足：，则四点共1，2，3，44张卡牌，现从中依次不放回摸出两张卡牌，记事件“第一次摸出的卡牌的编号为奇数”，事件“摸法正确的是（）BABC．𝑃(𝐴+𝐵)=

DBC在直四棱柱中所有棱长均 分别为的中点，点在四边形内（包括边界）运动，下列结论中正确的是（平面∥平面若∥平面，则的最小值为当点在线段上运动时四面体的体积为定若且，则的最小第II卷（非选择题，共92分填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分已知，则 PA，PB，PC是从点P出发的三条射线，每两条射线的夹角均为60°，那么直线PC与平面PAB所成的角的余弦值为 解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤15（13分）抛掷一红一绿两颗质地均匀的正六面体骰子，记下骰子朝上面的点数，用表和等于6”，“至少有一颗骰子的点数为4”(1)求事件，的概率 (2)求事件，的概率16（15分）如图，在空间四边形中，，点为的中点，设，，.(1)试用向量，，表示向量(2)若，，，求的值.17（15已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立．(1)平面设为与平面夹角的余弦值18（17分）如图，在四棱锥中，平面，底面是直角梯形，其中，，，(1)平面设为与平面夹角的余弦值所成角的正弦值为，求的值19（17平分，将若平面平面求证：；（ii）已知F在线段BC上，且𝐶𝐷//平面𝑃𝐸𝐹，求点到平面PEF的距离；(2)试判断锐二面角是否存在最大角，若存在，求出其正弦值，若不射洪中学高2025级高二上期第一次综合素质测评1(4,1,-11.【详解】因为M、P分别为的中点，所以且因为，所以，四边形ABPM为平行四边形，所以，因为平面，平面，所以平面.因为分别为的中点，所以，又，所以，因为平面，平面，所以平面.因为,平面AMN，所以平面∥平面，A正确由A选项知，若∥平面，则点Q的轨迹为线段MN，在△AMN中，当时，AQ取得最小AMN的距离.因为且，所以△ABD为等边三角形，取AB的中点为点E，则有，所以在直四棱柱中，以D为坐标原点，以DE、DC、为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，,,点A到直线MN的距离为B错误因为，平面，平面，所以平面当点在线段上运动时点Q到平面的距离为定值，所以四面体的体积为定值，C正确，因为，所以，代入上式可此式在平面直角坐标系中表示点到的距离之和，其距离之和的最小值为点与点之间的距离，D正确.【详解】解法一：如图，设直线在平面的射影为作于点G，则平面，直线与平面所成角为作于点H，连接，因平面，则，又平面，则平面，又平面，则于是有，即因由对称性知，，代入（*）得解法二：如图所示，把放在正方体中，的夹角均为则，所以设平面的法向量，则令，则，所以，所以.设直线与平面所成角为，所 ，所【详解】（1），样本点总数，，所以，（2），所以 所以.【详解】（1） ．点为的中点，（2），，17【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为则 ，解 ，所以乙、丙能被录用的概率分别为，（2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相则三人至少有两人能被录用包括，18.【答案】(1)证明：因为平面，平面，平面，所以，，又因为，建立如图所示的空间直角坐标系.由已知可得，，，，，所以，，，因为，所以，又，平面，平面 所以平面解：设平面的法向量，由（1）可知，设平面的法向 因为 所 ， ，不妨设，得设平面APC与平面PCD的夹角为，则cos𝜃=|cos⟨𝑚,𝑛⟩|=

2222+(−1)2×

=2解：设，即，由于所以.因为直线与平面所成角的正弦值为所 即，解得，即19.【详解】(1)（i）因为，在中，由余弦定理，，所以，即，所以因为平面平面，平面平面，平面，，所以平面因为平面，所以因为𝐶𝐷//平面PEF，平面，平面𝐵𝐶𝐷∩平面PEF=𝐸𝐹，所以．因为平分，所以所以，由（1）知，，，，平面法1：以为原点，，及垂直平面所在的直线分别为轴、轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，因为，，，设平面（即）的一个法向量为，所 ， ，令， ，，所 设到平面的距离是， 所以点到平面的距离是法2：由，得所以的面积为由（1）知平面，平面，所以又,平面，所以平面因为平面，所以所以，即在中，由余弦定理设到平面的距离为，因为，所以所 ，所以点到平（2）以为原