初三【数学(北京版)】圆的切线(4) 教学设计

课程基本信息课例编号学科数学年级初三学期第一学期课题圆的切线（4）教科书书名：义务教育教科书数学九年级上册出版社：北京出版社出版日期：2015年7月教学人员姓名单位授课教师指导教师教学目标教学目标：1.经历用尺规作三角形内切圆的过程，理解三角形内心的概念.2.理解三角形的内切圆和圆的外切三角形的概念，并对三角形的内心和外心相关知识作比较.3.通过例题的分析与解答，提升学生应用数学知识的能力，积累数学活动经验.教学重点：三角形内切圆的概念和内心的性质的探索与应用.教学难点：三角形内切圆的尺规作图方法的探索.教学过程时间教学环节主要师生活动2分钟一、复习引入教师：同学们，大家好!前面我们学习了圆的切线和切线长定理，下面同学们和老师一起来复习一下：1.切线的判定定理：经过半径的外端，并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.符号语言：∵直线CB过半径OD的外端D点，OD⊥CB,∴直线CB与⊙O相切于点D.2.切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径.符号语言：∵直线CB与⊙O相切于点D.∴OD⊥CB于点D.8分钟二、探索新知3.切线长定理:从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角.符号语言：∵BA、BC分别切⊙O于点F、D,∴BF＝BD,OB平分∠ABC.教师：切线长定理为我们解决有关线段和角的问题提供了新的方法.今天，我们继续对圆的切线进行研究.(一）解决问题：小明在一家木料厂上班，工作之余想对厂里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料，怎样才能使裁下的圆的面积最大呢？教师提问：问题1.若想裁得的圆最大，它与三角形三边O应有怎样的位置关系？O学生尝试、讨论并回答（如右图）：最大的圆与三角形三边都相切.问题2.如何帮助小明操作呢？也就是如何用尺规作图作出一个圆，使它与已知三角形的三边都相切呢？我们首先来分析一下：教师进一步提问：（1）作圆的关键是什么？学生回答：作圆的关键是确定圆心和半径.提问：（2）假设⊙O就是所求作的圆，切点分别是D、E、F,连接OA、OB、OC、OD、OE、OF.观察图形，你有什么发现吗？学生回答：圆心是三角形三条角平分线的交点.提问：(3)当圆心O确定后，半径应如何确定？学生回答：半径是圆心到各边的距离.提问：（4）我们在尺规作图的过程中，用作三角形三个内角的平分线吗？学生回答：不用，只需要作两个内角的平分线找到交点即可，因为根据角平分线上的点到角两边的距离相等，可得到OD=OE,OD=OF,从而可以证明OE=OF，再根据到角两边距离相等的点在这个角的平分线上，可以证明OA就是第三个角的平分线.总结：同学们，经过大家的辨析，我们就得要了用尺规作和三角形三边都相切的圆的方法，下面和老师一起来进行操作.动手操作：已知：△ABC.求作：和△ABC的各边都相切的圆.作法：1.作∠ABC和∠ACB的平分线，两线交点为O.过点O作OD⊥BC，垂足为D.3.以O为圆心，OD长为半径作圆O.⊙O就是所求作的圆.总结：圆的切线、切线长定理以及三角形的内切圆，实际上是圆与三角形一边相切，两边相切，和三边相切.所以，当圆与三角形三边都相切时，圆的切线和切线长的性质它都具有.(二）达成共识：1.当圆和三角形的三边都相切时，我们称这个圆为三角形的内切圆.内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形称为这个圆的外切三角形.如图：⊙O叫做△ABC的内切圆.△ABC叫做⊙O的外切三角形.2.三角形的内心到三边的距离相等.过三角形顶点和内心的射线，平分三角形的内角.10分钟三、学以致用同学们：前面我们还学习过三角形的外心，大家还记得吗？外心和内心一样吗？对，不一样，下面我们辨析一下：（三）辨析比较：三角形内心和外心的相关知识的比较：名称定义确定方法图形性质三角形外心三角形外接圆的圆心．三角形三边中垂线的交点．⊙O叫做△ABC的外接圆.△ABC叫做⊙O的内接三角形.三角形的外心到各顶点的距离相等．（外心不一定在三角形的内部）．三角形内心三角形内切圆的圆心．三角形三条角平分线的交点．⊙O叫做△ABC的内切圆.△ABC叫做⊙O的外切三角形.三角形的内心到三边的距离相等．（内心一定在三角形内部）．例题：如图，△ABC中，∠A=62°，点O是△ABC的内心，连接OB，OC.求∠BOC的度数.解：∵∠A=62°，∴∠ABC+∠ACB=118°.∵点O是△ABC的内心，∴OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(∠ABC+∠ACB)=121°.变式1：若∠A=α，其余条件不变，求∠BOC的度数.解：∵∠A=α，∴∠ABC+∠ACB=180°-α.∵点O是△ABC的内心，∴OB，OC分别是∠ABC，∠ACB的平分线.∴∠BOC=180°-(∠1+∠2)=180°-(∠ABC+∠ACB)=90°+α.方法小结：解题用到的知识点：三角形的内角和，三角形的内心.我们研究由特殊到一般的数学问题时可以采用类比的方法加以解决，同时，在思考分析数学问题时也可以采用逆向思维的方式.下面和老师一起将例题中△ABC的内切圆作出来，看看还能研究什么问题.学生回答：还可以研究边的问题.变式2:△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=13，BC=14，CA=9，求AF、BD、CE的长.解：∵⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，∴AE=AF，CE=CD，BF=BD.设AE=AF=x，CE=CD=y，BF=BD=z.2分钟四、课堂小结五、课后作业x+y=9x=4AF=4∴x+z=13解得：y=5∴CE=5y+z=14z=9BD=9其它方法也可.方法小结：关键是熟练运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上,依据已知条件，从而建立方程或方程组.1.知识层面：三角形内切圆有关概念和性质：三角形内切圆的圆心叫做三角形的内心.三角形的内心是角平分线的交点，三角形内心到三边的距离相等.2.方法层面：（1）从特殊到一般是数学研究问题的一种方法，可以采用类比的方法解决有关问题.（2）运用切线长定理，将相等线段转化集中到某条边上，从而建立方程或方程组解决有关线段问题.对于转化和