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文档简介
第3讲等式与不等式的性质·分类练习(解析卷)
答案速查表
12345
BBCACDACABD
678910
(1)证明见解
析(2)当
DAD时相等,当
�=
②⑥时大于
�
1112131415
�≠�
(1)
(2)DAD
证明(�见+解12)析(�+1
�<2𝑎<
5)<(�+3)
1617218221920
<�+�<�
ABDABD、
ln2+ln5ln2
1
21(−2∞2,]232>4<ln3+25ln5>ln3
9
BCDBCCDABD
6
考点一:不等式性质的应用3
考法1:利用不等式性质判断真假
1.(2026·长郡中学·二模)已知,且,则下列不等式不一定成立的是
()�>�>0�+�=1
A.B.C.D.
111111
【答案】�−B�>��−�<��+�<2�+�>4
【解析】因为,得.
1
对于A,因为�>�>0,�+,�所=以10<,�A<正2确<;�<1
11
对于B,取0<�−�,<则��−�>�,B错误;
53118
对于C,�=8,�=8�−�=4>�=3,C正确;
对于D,�+�=�+�+2𝑎<1+�+�=2(因为,故不等式
1111����1
无法取等�)+,�D=正�确+.�(�+�)=2+�+�>2+2�⋅�=40<�<2<�<1
【点拨】判断不等式是否恒成立,可结合不等式性质进行代数推导,对于不成立的选项直接举出
反例更为高效.
2.(2026·山东淄博·一模)(多选)已知实数满足,则下列说法正确的是
()�,�𝑎>0
A.B.
222
C.�若+�<�,�则D.2若(�+�)≥(�+�),则
11��+�
【答案】BC�>��<�0<�<�,�>0�>�+�
【解析】对于A,若,此时,满足,但,故A错误;
对于B,因为�=�,=即1�+�=2,�,�=所1以𝑎>0�+�>𝑎,
22222222
即(�−�)≥恒0成立�,故+�B正−确2�;�≥02�+2�≥�+�+2𝑎=(�+�)
222
对于2(�C,+因�为)≥(�+且�),不等式两边同除以,得,即,故C正确;
1111
对于D,因为�>�𝑎>0,由于𝑎�>��,<所�以
��+�𝑎+��−𝑎−���(�−�)
,故�−�+�=,即�(�+�),=故�D(�+错�误).0<�<�,�>0�−�<0,�(�+
�(�−�)��+�
【�)点>拨0】处理�(多�+�项)选<择0题中的�<不�等+�式真假判断时,可通过特值法迅速排除错误选项,再运用作差
法与基本不等式严谨证明正确选项.
3.(2026·山东济宁·三模)(多选)已知为实数,则()
A.若,则�,�,�
22
B.若��>��,�则>�
11
C.若�>�,𝑎≠0,则�<�
�+��
D.若�>�>�>0�+�,>则�
11
【答案】AC�D>0,�>0,�+�=1�+�≥4
【解析】对于A,若,则隐含,不等式两边同除以得,故A正确;
2222
对于B,若��>,�满�足且�>0,但,�此时�>�,故B错误;
1111
对于C,因为�=1,�=−1�>��,�≠由0�=1,�=可−知1�>�,
�+��𝑎+��−𝑎−���(�−�)
所以�,+�即−�=�,(�故+�)C正=确�(;�+�)�>�>�>0�−�>0,�>0,�(�+�)>0
�(�−�)�+��
�(�+�)>0�+�>�
对于D,因为,所以,
1111����
当且仅当�>0时,�取>等0,号�+,�故=D1正确.�+�=�+�(�+�)=2+�+�≥2+2�⋅�=4
1
【点拨】在�利=用�=不2等式性质进行变形时,必须时刻关注乘除变量的符号(特别是能否为负或为
零);分式的比较优先考虑作差通分法.
考法2:结合函数单调性判断不等式真假
4.(2026·山东东营·二模)(多选)已知,则下列说法正确的是()
A.�>�>0B.
C.l若n�>ln,�则D.cos�<cos�
1�1�
�>0��>��2>2
【答案】AC
【解析】对于A,因为函数在上单调递增,又,所以,故
A正确;�=ln�(0,+∞)�>�>0ln�>ln�
对于B,函数在上不具备单调性(例如取,则),
故B错误;�=cos�(0,+∞)�=2�,�=�cos�>cos�
对于C,因为,且,由不等式的同向同正可乘性可知,故C正确;
对于D,因为指�数>函�数�>0在上单调递减,又,所以��>��,故D错误.
1�1�1�
【点拨】比较两个代数式�的=大2小时,�若能将其抽象为同�一>函�数的不同函2数<值,2利用该函数在对应
区间上的单调性直接判定是最佳策略.
5.(2025·山东名校联盟·二模)(多选)已知实数满足,则下列不等关系
一定成立的是()�,�|�|>|�+1|
A.B.C.D.
【答案】��+12222
2AB>D2�>4��>�+1�>�|�+1|
【解析】因为,所以,所以,故A对;
��+1
因为|�|>|�+1|≥�+1,所以�>�+1,2>2
222
由(�+1)−4�,=所(�以−1)≥0(�+,1故)B≥对4�;
22
若�>|�+1|≥,0满足�>(�+,1)显然≥4�不成立,故C错;
22
当�=2,�=,−则2,�必>有|�+1|�>�,+1
2
当�+1≤1,则�≤0,故�>0≥�|�+1,|必有,故D对.
2
【点�拨+1】>利1用绝对�值>的0性质和�函>数�+的1单>调�性>是0解决这类�问>题�的|�一+般1|方法.需要注意的是,若按原卷
题干条件无法推出,题干应为才严谨,在保留原题解析的同时,
解题时应留|�意|>此|细�+节1.|�>�+1�>|�+1|
考法3:结合不等式性质与函数单调性判断充要条件
6.(2025·河南TOP名校·5月联考)设甲:;乙:,则甲是乙的()
11��
A.充分不必要条件B.必要不充分条�>件�>0C.充要条2件>2D.既不充分也
不必要条件
【答案】D
【解析】由可得,由可得,所以由推不出,
11��11��
即充分性不成�>立�;>由00<也�推<不�出2>2,即必要�>性�不成立.所以�甲>是�>乙0的既不充2分也>不2必
��11
要条件.故选D.2>2�>�>0
【点拨】判断充分必要条件时,需将命题分别等价转化为最简的参数范围,再考察两者之间的包
含关系.
7.(2026·江苏苏锡常镇·二模)已知,则“”是“
���
”的()�>0,�>0,0<�<1�<�<1�<
�
�<A1.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也
不必要条件
【答案】A
【解析】由得,所以充分.取
����
,则�<�<1,但0<�<,�<所以1,0不<必�要<.1,�<�⇒�<�<1�=2,�=
1���
3【,�点=拨2】利用�指<数�函<数1和幂函�数>的1单调性将不等式条件转化为底数或指数的大小关系,是处理此
类逻辑推断题的核心.
8.(2025·福建福九联盟·5月联考)若,则的一个充要条件是
()�,�∈�𝑎(�−�)>0
A.B.C.D.
11
【答案】�D<0<��<�<0�>�>0�<�
【解析】(方法一)依题意,,故.则
1
2222222
,即.𝑎≠0��>0𝑎(�−�)>0⇔��>𝑎⇔��⋅��>
111
222
(𝑎方⋅法�二�)�<�或或或,
𝑎>0𝑎<0
又𝑎(�−�)>0⇔⇔�>�>0,�<�<0�<0<�
�−�>0�−�<022
𝑎��11
22222222
故𝑎(�−�)>0的⇔一�个�充−要𝑎条>件0是⇔𝑎.<��⇔��<��⇔�<�
11
【点𝑎拨(�】−对�于)>多0项乘积大于零的不等�式<,�既可以通过同除以恒正的平方项进行等价变形,也可以
直接利用分类讨论解出的关系.
�,�
考点二:比较数(式)的大小与证明
考法4:利用作差法与作商法比较大小或证明不等式
9.如果,给出下列不等式:①;②;③;④;⑤
11332222
;�⑥>�.其�<中�一定成�立>的�不等式的�序>号是�___2�_�_>_2�.�
�22
�【>答1案】②�⑥+�+1>𝑎+�+�
【解析】令,,排除①,,排除③选项,,排除⑤.
1122�
当时,�排=除1,④�.=−1�>��=��=−1<1
由于�=幂函0数为上的递增函数,故,②是一定成立的.
333
由于�=���>�,故
22122222
�.故+⑥�正确+.1−(𝑎+�+�)=2[(�−�)+(�−1)+(�−1)]>0�+�+1>𝑎+
�所+以�一定成立的是②⑥.
【点拨】在条件仅为时,切忌主观臆断变量的正负性.遇到不确定的不等式,寻找跨越零点
的反例最能切中要害.�>�
10.(1)已知,求证:;
��
(2)设�>,�比>较0,�<�<0与�−�<的�−大�小.
2222
【答案】(�,1�)∈证�明见解析((�2)−当�)时��相(�等−,�当)时大于
【解析】(1)由,�=�,得�≠�,,从而得
1
.�>�>0�<�<0−�>−�>0�−�>�−�>00<�−�<
1
又�−�,所以.
��
(2�)>因�为>0�−�<�−�
2222443333
(�−�)−��(�−�)=�+�−��−��=�(�−�)+�(�,−�)
2
332222�32
当=且(�仅−当�)(�−�时)等=号(�成−立�,)(�+��+�)=(�−�)�+2+4�≥0
所以当�=时�,;
2222
当�时=,�(�−�)=��(�−.�)
2222
【点�拨≠】�第一(问�利−用�不)等>式�的�(同�−向�同)正可乘性进行证明;第二问作差后必须通过彻底的因式分解
与配方,将差值化为非负形式,并注意讨论等号成立的条件.
11.(1)试比较与的大小;
2
(2)已知(,�+1)(,�求+证5):(�+3.)
11
【答案】(1�)>��<�𝑎>(02)证明见解析
2
【解析】(1)(由�+题1意)(,�+5)<(�+3),
222
所以(�+1.)(�+5)−(�+3)=�+6�+5−�−6�−9=−4<0
2
(2)(�证+明1:)(因�+为5)<(,�+所3以),即,
1111�−�
而,所以�<�,则�−�<.得0证.𝑎<0
【点�拨>】�多项式�的−比�较<大0小首选𝑎作>差0法;分式不等式的证明则通过移项通分,将减法转化为乘除
法的符号判定.
考法5:结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小
12.(2026·山东九五协作体·一模)若,则()
−�−�
A.B.�−�<2−C2.D.
1111
�>��<�ln(�−�+1)>0ln(�−�+
【答案】
1)>0D
【解析】已知不等式可化为.
−�−�−�−�
构造函数�−,�因<为2−2是增函数,�−2<�也−是2增函数,所以在上单调递增.
−�−�
由�(�)=可�得−2,即�=�,�=−2�(�)�
�(�)<�(�)�<��−�>0
所以,则.对应选项D.
【点拨�】−将�+不1等>式1两端整ln理(�为−结�构+一1)致>的ln同1类=形0式,进而构造函数利用单调性脱去函数符号,是
处理超越不等式的通法.
13.若,则将从小到大排列为______.
122
【答案0】<�<�,�+�=1�,�,2,2𝑎,�+�
122
【解析】�因<为2𝑎<2<�+�<�,不妨令,
12
则有0<�<�,�,+�=1�=3,�=3
4225
所以有2𝑎=9,�+�=9,
221
即�>�+�>2>2𝑎.>�
122
【点�拨<】2�对�于<满2<足�特+定�代数<和�关系的变量,利用特值法进行代入验算,能迅速排定多项式的大小
顺序.
考点三:求目标式的取值范围
考法6:利用不等式同向可加性与待定系数法求范围
14.已知,则的取值范围是()
A.1≤�≤2,−1≤�≤B.4�−2�C.D.
−7≤�−2�≤4−6≤�−2�≤96≤�−2�≤9−2≤�−
【答案】
2�≤8A
【解析】因为,所以,
由,−得1≤�≤4−.8≤−2�≤2
故选1:≤A�.≤2−7≤�−2�≤4
【点拨】利用不等式的性质求范围时,应先利用数乘性质求出的范围,再利用同向可加性与
的范围相加.−2�
�
15.已知,则的取值范围为()
A.1≤�−�≤3,3≤�B+.�≤75�+�C.D.
【答案】
[1D5,31][14,35][12,30][11,27]
【解析】设,
所以5�+�=�(�−,�)+�(�+�)=(�+�)�+(�−�)�
�+�=5�=2
则⇒,又,,
�−�=1�=3
所以5�+�=2(�−�)+,3(�+�)1≤�,−�≤33≤�+�≤7
由不等2式≤的2(性�−质�得):≤69≤3(�+�)≤21,
则的取值范围1为1≤2(�−.故�)选+:3(D�.+�)≤27
5�+�[11,27]
【点拨】在已知整体范围求目标代数式范围时,切忌直接拆分求出单一变量后再叠加,必须使用
待定系数法将目标式凑成已知整体的线性组合.
16.(多选)已知实数满足,则()
A.的取值范围为�,�−3<�+2�<2,−B1.<的2�取−值�范<围4为
C.�的取值范围(为−1,2)D.�的取值范围(为−2,1)
【答案】�A+BD�(−3,3)�−�(−1,3)
【解析】因为,所以.因为,所以
,则−1<,2故�−A�正<确4;−2<4�−2�<8−3<�+2�<2−5<5�<
1因0为−1<�<2,所以.因为,所以
−3<�+2�<,所2,−以1<2�−�<4,所以−6<2�+4,�故<B4正确;−1<2�−�<4
−因4为<−2�+�<1−10<5�<5,所以−2<�<1,则
936114
−3<�+2,�故<C2,错−误1<;2�−�<4−5<5(�+2�)<5,−5<5(2�−�)<5
−因2为<�+�<2,所以,则
2133312
−3<�+2,�故<D2,正−确1<.2�−�<4−5<−5(�+2�)<5,−5<5(2�−�)<5
−【1点<拨�】−已�知<两3变量构成的代数式范围,求另一组合式范围时,需用已知代数式的系数表示待求
式的系数,严防范围的盲目扩大.
考法7:利用换元法或二次函数求复杂目标式范围
17.已知三个实数、、,当时,且,则的取值范围是_
2�−2�
_____.����>0�≤2�+3���=��
【答案】
1
【解析】(当−∞,9]时满足:且,
2
�>,0即�≤2�+3�,��=�
2
�22
∴进而�≤2�+3��−2,�解�−得3�≤0.
�2��
所以(�)−或2⋅�−3,≤0−1≤�≤3
�1�
�≥3�≤−1,
2
�−2���−2����
22
令�=�=�−2(�)=�(�),
�1
�=�,�∈[3,+∞)∪(−∞,−1],
2121
由∴�于(�)=−2�+�=−2(�−4),+8
1
所以�∈[在3,+∞)∪(−∞,−单1调]递增,在单调递减,
1
当�(�时),�∈(−∞,,−当1]时,�∈[3,+∞,)
111
所以�=3�.故(3答)=案为9:�=−1.�(−1)=−3
11
�(�)≤9(−∞,9]
【点拨】处理多元变量的范围最值问题,可结合齐次结构将多变量问题化归为单变量问题,再利
用二次函数的单调区间求得最值.
考点四:糖水不等式
考法8:糖水不等式的应用与拓展
18.(多选)已知g糖水中含有g糖(),若再添加g糖完全溶解在其中,则
糖水变得更甜了(�即糖水中含糖浓�度变大�)>,�根>据0这个事实,下�列不等式中一定成立的有
()
A.
��+�
�<�+�
B.�
�+��+2
�
C.�+�<�+2
D.(�+2�)(�+�)<(�+�)(�+2�)
21
�−1�−1
【答案】3ABD<3
【解析】对于A,由题意可知,正确;
��+�
对于,因为,所以�<�+�,正确;
B��
�+��+�+2−��+2
���
对于C,�<2�即+�<�+�+2−�=�+2,错误;
�+��+�+��+2�
对于D,�+�<�+�+�=�+2�(�+�,)(正�+确2.�)<(�+2�)(�+�)
22+1311
�−1�−1��−1�−1
【点拨】3糖水<不3等式+1本=质3是=分3子分<母3同加一个正数后分式值变大(前提为真分数).在解题时需敏
锐识别结构特征并灵活嵌套应用.
19.我们都知道一杯糖水中再加入一些糖,糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为:
�
,其中,且.据此可以判断两个分数的大小关系,比如�_<_
�+�+854366239
_�+�___�>�(填“�,>�,”�或∈“�<”).998763421
854366236
【答案】998763418
【解析】>令,则,
令�=85,43则66236�+3=85,4366239
所以�=998763418,�+3=99,8763421
854366239�+3854366236�
根据题99设876知34:21=�+3998763418=�.
854366236��+3854366239
【点拨】当遇到998极76其341庞8=大�的<数�据+3且=差99异876固34定21时,直接对应糖水不等式的结构模型能起到“秒杀”
的效果.
20.若克不饱和糖水中含有克糖,则糖的质量分数为,这个质量分数决定了糖水的甜
�
度.如果�在此糖水中再添加�克糖,生活经验告诉我们糖水�会变甜,从而可抽象出不等式
�
()数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出__
�+��
_�+�_>_�_�>�>0(,用�“><0”或“>”填空);并写出上述结论所对应的一个糖水不lo等g式32__
____.log1510
【答案】、
ln2+ln5ln2
【解析】<空1l:n3+因ln为5>ln3,所以可得:;
log52log52+1log52log510
33555515
空2:由空1可得:0<log2<1log2=,log即3<log3+1⇒.log3<log15=log10
ln2ln10ln2+ln5ln2+ln5ln2
【点拨】将对数通过lo换g3底2公<式lo转g15化10为⇒同l底n3分<数ln1形5=式l,n3+再ln嵌5套糖ln水3+不ln5等>式ln,3是解决复杂对数大小比
较的一条捷径.
考点五:不等式的综合应用
考法9:综合应用不等式求范围或判断真假
21.(2026·湖南永州·一模)(多选)若实数满足,则下列选项一定正确的
有()�,��+�≥2
A.B.
22
C.��≥1D.�+�≥2
22122
【答案】(�BC−D1)+�≥2|�−2�|+|�−2�|≥2
【解析】对A:当时,满足,但,则不成立,故A错误;
对B:因为�=3,�,=所0以�+�≥2��=0��≥1,所以,
222222222
故B正确;�+�≥2��2(�+�)≥�+2��+�=(�+�)≥4�+�≥2
对C:设,其中,则
22|1+0−2|12
222
,故�(C�,正�)确;�+�≥2,�(1,0)|��|=(�−1)+�≥1+1=⇒(�−1)+
21
�对D≥:2因为
22222222
|�−2�|+|�−2�|≥|�−2�+�−,2�|=|�+�−2(�+�)|≥2(�+�)−
2
(因�为+�)≥(�+�)−(�+�)=,(所�以+�)(�+�−1),所以成立,
22
故D正�+确�.≥2,�+�−1≥1(�+�)(�+�−1)≥2|�−2�|+|�−2�|≥2
故选:BCD.
【点拨】处理多项式的综合最值与不等式证明,可以引入基本不等式、绝对值三角不等式,甚至
赋予其解析几何意义(如点到直线的距离公式)进行降维打击.
22.(多选)已知实数满足,则()
11
A.�,��>�B.
33
C.log0.2023�<log0.2023�D.�<�的最小值为
��+11
【答案】�B>C�+1𝑎+𝑎+11
【解析】由可知,由不等式的性质可知,则.
1111
选项A:因为�对>数�函数�>0,�>0为减函数,,�所>以�0<�<�,故A错
误;�=log0.2023�0<�<�log0.2023�>log0.2023�
选项B:由函数的单调性可知,故B正确;
333
选项C:因为�=��<�,所以,故C正确;
��+1�(�+1)−�(�+1)�−���+1
�−�+1=�(�+1)=�(�+1)>0�>�+1
选项D:,当且仅当,
1111
即�时�+取�得�+等1=号(,𝑎显+然1等)+号�不�+成1−立1,≥故2D(错𝑎误+.1)×𝑎+1−1=1𝑎+1=𝑎+1
【点𝑎拨=】0根据起始条件提炼出的明确大小与正负关系是第一步.应用基本不等式求最值时,切
莫忽视“一正二定三相等”的等�,号�成立条件检查.
23.(多选)已知,且满足.则的取值可以为
415122
()�>0,�>0�≥�+�,�≥�+��+�
A.B.C.D.
【答案】
1C0D111220
【解析】因为,
4151
所以�≥�+�,�≥,�+�
2�2�
�≥4+�,�≥5+�
故,
22����
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