2027届高考数学复习考点考法通关训练第3讲 等式与不等式的性质分类 练习(解析卷)_第1页
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文档简介

第3讲等式与不等式的性质·分类练习(解析卷)

答案速查表

12345

BBCACDACABD

678910

(1)证明见解

析(2)当

DAD时相等,当

�=

②⑥时大于

�

1112131415

�≠�

(1)

(2)DAD

证明(�见+解12)析(�+1

�<2𝑎<

5)<(�+3)

1617218221920

<�+�<�

ABDABD、

ln2+ln5ln2

1

21(−2∞2,]232>4<ln3+25ln5>ln3

9

BCDBCCDABD

6

考点一:不等式性质的应用3

考法1:利用不等式性质判断真假

1.(2026·长郡中学·二模)已知,且,则下列不等式不一定成立的是

()�>�>0�+�=1

A.B.C.D.

111111

【答案】�−B�>��−�<��+�<2�+�>4

【解析】因为,得.

1

对于A,因为�>�>0,�+,�所=以10<,�A<正2确<;�<1

11

对于B,取0<�−�,<则��−�>�,B错误;

53118

对于C,�=8,�=8�−�=4>�=3,C正确;

对于D,�+�=�+�+2𝑎<1+�+�=2(因为,故不等式

1111����1

无法取等�)+,�D=正�确+.�(�+�)=2+�+�>2+2�⋅�=40<�<2<�<1

【点拨】判断不等式是否恒成立,可结合不等式性质进行代数推导,对于不成立的选项直接举出

反例更为高效.

2.(2026·山东淄博·一模)(多选)已知实数满足,则下列说法正确的是

()�,�𝑎>0

A.B.

222

C.�若+�<�,�则D.2若(�+�)≥(�+�),则

11��+�

【答案】BC�>��<�0<�<�,�>0�>�+�

【解析】对于A,若,此时,满足,但,故A错误;

对于B,因为�=�,=即1�+�=2,�,�=所1以𝑎>0�+�>𝑎,

22222222

即(�−�)≥恒0成立�,故+�B正−确2�;�≥02�+2�≥�+�+2𝑎=(�+�)

222

对于2(�C,+因�为)≥(�+且�),不等式两边同除以,得,即,故C正确;

1111

对于D,因为�>�𝑎>0,由于𝑎�>��,<所�以

��+�𝑎+��−𝑎−���(�−�)

,故�−�+�=,即�(�+�),=故�D(�+错�误).0<�<�,�>0�−�<0,�(�+

�(�−�)��+�

【�)点>拨0】处理�(多�+�项)选<择0题中的�<不�等+�式真假判断时,可通过特值法迅速排除错误选项,再运用作差

法与基本不等式严谨证明正确选项.

3.(2026·山东济宁·三模)(多选)已知为实数,则()

A.若,则�,�,�

22

B.若��>��,�则>�

11

C.若�>�,𝑎≠0,则�<�

�+��

D.若�>�>�>0�+�,>则�

11

【答案】AC�D>0,�>0,�+�=1�+�≥4

【解析】对于A,若,则隐含,不等式两边同除以得,故A正确;

2222

对于B,若��>,�满�足且�>0,但,�此时�>�,故B错误;

1111

对于C,因为�=1,�=−1�>��,�≠由0�=1,�=可−知1�>�,

�+��𝑎+��−𝑎−���(�−�)

所以�,+�即−�=�,(�故+�)C正=确�(;�+�)�>�>�>0�−�>0,�>0,�(�+�)>0

�(�−�)�+��

�(�+�)>0�+�>�

对于D,因为,所以,

1111����

当且仅当�>0时,�取>等0,号�+,�故=D1正确.�+�=�+�(�+�)=2+�+�≥2+2�⋅�=4

1

【点拨】在�利=用�=不2等式性质进行变形时,必须时刻关注乘除变量的符号(特别是能否为负或为

零);分式的比较优先考虑作差通分法.

考法2:结合函数单调性判断不等式真假

4.(2026·山东东营·二模)(多选)已知,则下列说法正确的是()

A.�>�>0B.

C.l若n�>ln,�则D.cos�<cos�

1�1�

�>0��>��2>2

【答案】AC

【解析】对于A,因为函数在上单调递增,又,所以,故

A正确;�=ln�(0,+∞)�>�>0ln�>ln�

对于B,函数在上不具备单调性(例如取,则),

故B错误;�=cos�(0,+∞)�=2�,�=�cos�>cos�

对于C,因为,且,由不等式的同向同正可乘性可知,故C正确;

对于D,因为指�数>函�数�>0在上单调递减,又,所以��>��,故D错误.

1�1�1�

【点拨】比较两个代数式�的=大2小时,�若能将其抽象为同�一>函�数的不同函2数<值,2利用该函数在对应

区间上的单调性直接判定是最佳策略.

5.(2025·山东名校联盟·二模)(多选)已知实数满足,则下列不等关系

一定成立的是()�,�|�|>|�+1|

A.B.C.D.

【答案】��+12222

2AB>D2�>4��>�+1�>�|�+1|

【解析】因为,所以,所以,故A对;

��+1

因为|�|>|�+1|≥�+1,所以�>�+1,2>2

222

由(�+1)−4�,=所(�以−1)≥0(�+,1故)B≥对4�;

22

若�>|�+1|≥,0满足�>(�+,1)显然≥4�不成立,故C错;

22

当�=2,�=,−则2,�必>有|�+1|�>�,+1

2

当�+1≤1,则�≤0,故�>0≥�|�+1,|必有,故D对.

2

【点�拨+1】>利1用绝对�值>的0性质和�函>数�+的1单>调�性>是0解决这类�问>题�的|�一+般1|方法.需要注意的是,若按原卷

题干条件无法推出,题干应为才严谨,在保留原题解析的同时,

解题时应留|�意|>此|细�+节1.|�>�+1�>|�+1|

考法3:结合不等式性质与函数单调性判断充要条件

6.(2025·河南TOP名校·5月联考)设甲:;乙:,则甲是乙的()

11��

A.充分不必要条件B.必要不充分条�>件�>0C.充要条2件>2D.既不充分也

不必要条件

【答案】D

【解析】由可得,由可得,所以由推不出,

11��11��

即充分性不成�>立�;>由00<也�推<不�出2>2,即必要�>性�不成立.所以�甲>是�>乙0的既不充2分也>不2必

��11

要条件.故选D.2>2�>�>0

【点拨】判断充分必要条件时,需将命题分别等价转化为最简的参数范围,再考察两者之间的包

含关系.

7.(2026·江苏苏锡常镇·二模)已知,则“”是“

���

”的()�>0,�>0,0<�<1�<�<1�<

�

�<A1.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也

不必要条件

【答案】A

【解析】由得,所以充分.取

����

,则�<�<1,但0<�<,�<所以1,0不<必�要<.1,�<�⇒�<�<1�=2,�=

1���

3【,�点=拨2】利用�指<数�函<数1和幂函�数>的1单调性将不等式条件转化为底数或指数的大小关系,是处理此

类逻辑推断题的核心.

8.(2025·福建福九联盟·5月联考)若,则的一个充要条件是

()�,�∈�𝑎(�−�)>0

A.B.C.D.

11

【答案】�D<0<��<�<0�>�>0�<�

【解析】(方法一)依题意,,故.则

1

2222222

,即.𝑎≠0��>0𝑎(�−�)>0⇔��>𝑎⇔��⋅��>

111

222

(𝑎方⋅法�二�)�<�或或或,

𝑎>0𝑎<0

又𝑎(�−�)>0⇔⇔�>�>0,�<�<0�<0<�

�−�>0�−�<022

𝑎��11

22222222

故𝑎(�−�)>0的⇔一�个�充−要𝑎条>件0是⇔𝑎.<��⇔��<��⇔�<�

11

【点𝑎拨(�】−对�于)>多0项乘积大于零的不等�式<,�既可以通过同除以恒正的平方项进行等价变形,也可以

直接利用分类讨论解出的关系.

�,�

考点二:比较数(式)的大小与证明

考法4:利用作差法与作商法比较大小或证明不等式

9.如果,给出下列不等式:①;②;③;④;⑤

11332222

;�⑥>�.其�<中�一定成�立>的�不等式的�序>号是�___2�_�_>_2�.�

�22

�【>答1案】②�⑥+�+1>𝑎+�+�

【解析】令,,排除①,,排除③选项,,排除⑤.

1122�

当时,�排=除1,④�.=−1�>��=��=−1<1

由于�=幂函0数为上的递增函数,故,②是一定成立的.

333

由于�=���>�,故

22122222

�.故+⑥�正确+.1−(𝑎+�+�)=2[(�−�)+(�−1)+(�−1)]>0�+�+1>𝑎+

�所+以�一定成立的是②⑥.

【点拨】在条件仅为时,切忌主观臆断变量的正负性.遇到不确定的不等式,寻找跨越零点

的反例最能切中要害.�>�

10.(1)已知,求证:;

��

(2)设�>,�比>较0,�<�<0与�−�<的�−大�小.

2222

【答案】(�,1�)∈证�明见解析((�2)−当�)时��相(�等−,�当)时大于

【解析】(1)由,�=�,得�≠�,,从而得

1

.�>�>0�<�<0−�>−�>0�−�>�−�>00<�−�<

1

又�−�,所以.

��

(2�)>因�为>0�−�<�−�

2222443333

(�−�)−��(�−�)=�+�−��−��=�(�−�)+�(�,−�)

2

332222�32

当=且(�仅−当�)(�−�时)等=号(�成−立�,)(�+��+�)=(�−�)�+2+4�≥0

所以当�=时�,;

2222

当�时=,�(�−�)=��(�−.�)

2222

【点�拨≠】�第一(问�利−用�不)等>式�的�(同�−向�同)正可乘性进行证明;第二问作差后必须通过彻底的因式分解

与配方,将差值化为非负形式,并注意讨论等号成立的条件.

11.(1)试比较与的大小;

2

(2)已知(,�+1)(,�求+证5):(�+3.)

11

【答案】(1�)>��<�𝑎>(02)证明见解析

2

【解析】(1)(由�+题1意)(,�+5)<(�+3),

222

所以(�+1.)(�+5)−(�+3)=�+6�+5−�−6�−9=−4<0

2

(2)(�证+明1:)(因�+为5)<(,�+所3以),即,

1111�−�

而,所以�<�,则�−�<.得0证.𝑎<0

【点�拨>】�多项式�的−比�较<大0小首选𝑎作>差0法;分式不等式的证明则通过移项通分,将减法转化为乘除

法的符号判定.

考法5:结合特殊值法或函数单调性比较数(式)的大小

12.(2026·山东九五协作体·一模)若,则()

−�−�

A.B.�−�<2−C2.D.

1111

�>��<�ln(�−�+1)>0ln(�−�+

【答案】

1)>0D

【解析】已知不等式可化为.

−�−�−�−�

构造函数�−,�因<为2−2是增函数,�−2<�也−是2增函数,所以在上单调递增.

−�−�

由�(�)=可�得−2,即�=�,�=−2�(�)�

�(�)<�(�)�<��−�>0

所以,则.对应选项D.

【点拨�】−将�+不1等>式1两端整ln理(�为−结�构+一1)致>的ln同1类=形0式,进而构造函数利用单调性脱去函数符号,是

处理超越不等式的通法.

13.若,则将从小到大排列为______.

122

【答案0】<�<�,�+�=1�,�,2,2𝑎,�+�

122

【解析】�因<为2𝑎<2<�+�<�,不妨令,

12

则有0<�<�,�,+�=1�=3,�=3

4225

所以有2𝑎=9,�+�=9,

221

即�>�+�>2>2𝑎.>�

122

【点�拨<】2�对�于<满2<足�特+定�代数<和�关系的变量,利用特值法进行代入验算,能迅速排定多项式的大小

顺序.

考点三:求目标式的取值范围

考法6:利用不等式同向可加性与待定系数法求范围

14.已知,则的取值范围是()

A.1≤�≤2,−1≤�≤B.4�−2�C.D.

−7≤�−2�≤4−6≤�−2�≤96≤�−2�≤9−2≤�−

【答案】

2�≤8A

【解析】因为,所以,

由,−得1≤�≤4−.8≤−2�≤2

故选1:≤A�.≤2−7≤�−2�≤4

【点拨】利用不等式的性质求范围时,应先利用数乘性质求出的范围,再利用同向可加性与

的范围相加.−2�

�

15.已知,则的取值范围为()

A.1≤�−�≤3,3≤�B+.�≤75�+�C.D.

【答案】

[1D5,31][14,35][12,30][11,27]

【解析】设,

所以5�+�=�(�−,�)+�(�+�)=(�+�)�+(�−�)�

�+�=5�=2

则⇒,又,,

�−�=1�=3

所以5�+�=2(�−�)+,3(�+�)1≤�,−�≤33≤�+�≤7

由不等2式≤的2(性�−质�得):≤69≤3(�+�)≤21,

则的取值范围1为1≤2(�−.故�)选+:3(D�.+�)≤27

5�+�[11,27]

【点拨】在已知整体范围求目标代数式范围时,切忌直接拆分求出单一变量后再叠加,必须使用

待定系数法将目标式凑成已知整体的线性组合.

16.(多选)已知实数满足,则()

A.的取值范围为�,�−3<�+2�<2,−B1.<的2�取−值�范<围4为

C.�的取值范围(为−1,2)D.�的取值范围(为−2,1)

【答案】�A+BD�(−3,3)�−�(−1,3)

【解析】因为,所以.因为,所以

,则−1<,2故�−A�正<确4;−2<4�−2�<8−3<�+2�<2−5<5�<

1因0为−1<�<2,所以.因为,所以

−3<�+2�<,所2,−以1<2�−�<4,所以−6<2�+4,�故<B4正确;−1<2�−�<4

−因4为<−2�+�<1−10<5�<5,所以−2<�<1,则

936114

−3<�+2,�故<C2,错−误1<;2�−�<4−5<5(�+2�)<5,−5<5(2�−�)<5

−因2为<�+�<2,所以,则

2133312

−3<�+2,�故<D2,正−确1<.2�−�<4−5<−5(�+2�)<5,−5<5(2�−�)<5

−【1点<拨�】−已�知<两3变量构成的代数式范围,求另一组合式范围时,需用已知代数式的系数表示待求

式的系数,严防范围的盲目扩大.

考法7:利用换元法或二次函数求复杂目标式范围

17.已知三个实数、、,当时,且,则的取值范围是_

2�−2�

_____.����>0�≤2�+3���=��

【答案】

1

【解析】(当−∞,9]时满足:且,

2

�>,0即�≤2�+3�,��=�

2

�22

∴进而�≤2�+3��−2,�解�−得3�≤0.

�2��

所以(�)−或2⋅�−3,≤0−1≤�≤3

�1�

�≥3�≤−1,

2

�−2���−2����

22

令�=�=�−2(�)=�(�),

�1

�=�,�∈[3,+∞)∪(−∞,−1],

2121

由∴�于(�)=−2�+�=−2(�−4),+8

1

所以�∈[在3,+∞)∪(−∞,−单1调]递增,在单调递减,

1

当�(�时),�∈(−∞,,−当1]时,�∈[3,+∞,)

111

所以�=3�.故(3答)=案为9:�=−1.�(−1)=−3

11

�(�)≤9(−∞,9]

【点拨】处理多元变量的范围最值问题,可结合齐次结构将多变量问题化归为单变量问题,再利

用二次函数的单调区间求得最值.

考点四:糖水不等式

考法8:糖水不等式的应用与拓展

18.(多选)已知g糖水中含有g糖(),若再添加g糖完全溶解在其中,则

糖水变得更甜了(�即糖水中含糖浓�度变大�)>,�根>据0这个事实,下�列不等式中一定成立的有

()

A.

��+�

�<�+�

B.�

�+��+2

�

C.�+�<�+2

D.(�+2�)(�+�)<(�+�)(�+2�)

21

�−1�−1

【答案】3ABD<3

【解析】对于A,由题意可知,正确;

��+�

对于,因为,所以�<�+�,正确;

B��

�+��+�+2−��+2

���

对于C,�<2�即+�<�+�+2−�=�+2,错误;

�+��+�+��+2�

对于D,�+�<�+�+�=�+2�(�+�,)(正�+确2.�)<(�+2�)(�+�)

22+1311

�−1�−1��−1�−1

【点拨】3糖水<不3等式+1本=质3是=分3子分<母3同加一个正数后分式值变大(前提为真分数).在解题时需敏

锐识别结构特征并灵活嵌套应用.

19.我们都知道一杯糖水中再加入一些糖,糖水会更甜.这句话用数学符号可表示为:

�

,其中,且.据此可以判断两个分数的大小关系,比如�_<_

�+�+854366239

_�+�___�>�(填“�,>�,”�或∈“�<”).998763421

854366236

【答案】998763418

【解析】>令,则,

令�=85,43则66236�+3=85,4366239

所以�=998763418,�+3=99,8763421

854366239�+3854366236�

根据题99设876知34:21=�+3998763418=�.

854366236��+3854366239

【点拨】当遇到998极76其341庞8=大�的<数�据+3且=差99异876固34定21时,直接对应糖水不等式的结构模型能起到“秒杀”

的效果.

20.若克不饱和糖水中含有克糖,则糖的质量分数为,这个质量分数决定了糖水的甜

�

度.如果�在此糖水中再添加�克糖,生活经验告诉我们糖水�会变甜,从而可抽象出不等式

�

()数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可得出__

�+��

_�+�_>_�_�>�>0(,用�“><0”或“>”填空);并写出上述结论所对应的一个糖水不lo等g式32__

____.log1510

【答案】、

ln2+ln5ln2

【解析】<空1l:n3+因ln为5>ln3,所以可得:;

log52log52+1log52log510

33555515

空2:由空1可得:0<log2<1log2=,log即3<log3+1⇒.log3<log15=log10

ln2ln10ln2+ln5ln2+ln5ln2

【点拨】将对数通过lo换g3底2公<式lo转g15化10为⇒同l底n3分<数ln1形5=式l,n3+再ln嵌5套糖ln水3+不ln5等>式ln,3是解决复杂对数大小比

较的一条捷径.

考点五:不等式的综合应用

考法9:综合应用不等式求范围或判断真假

21.(2026·湖南永州·一模)(多选)若实数满足,则下列选项一定正确的

有()�,��+�≥2

A.B.

22

C.��≥1D.�+�≥2

22122

【答案】(�BC−D1)+�≥2|�−2�|+|�−2�|≥2

【解析】对A:当时,满足,但,则不成立,故A错误;

对B:因为�=3,�,=所0以�+�≥2��=0��≥1,所以,

222222222

故B正确;�+�≥2��2(�+�)≥�+2��+�=(�+�)≥4�+�≥2

对C:设,其中,则

22|1+0−2|12

222

,故�(C�,正�)确;�+�≥2,�(1,0)|��|=(�−1)+�≥1+1=⇒(�−1)+

21

�对D≥:2因为

22222222

|�−2�|+|�−2�|≥|�−2�+�−,2�|=|�+�−2(�+�)|≥2(�+�)−

2

(因�为+�)≥(�+�)−(�+�)=,(所�以+�)(�+�−1),所以成立,

22

故D正�+确�.≥2,�+�−1≥1(�+�)(�+�−1)≥2|�−2�|+|�−2�|≥2

故选:BCD.

【点拨】处理多项式的综合最值与不等式证明,可以引入基本不等式、绝对值三角不等式,甚至

赋予其解析几何意义(如点到直线的距离公式)进行降维打击.

22.(多选)已知实数满足,则()

11

A.�,��>�B.

33

C.log0.2023�<log0.2023�D.�<�的最小值为

��+11

【答案】�B>C�+1𝑎+𝑎+11

【解析】由可知,由不等式的性质可知,则.

1111

选项A:因为�对>数�函数�>0,�>0为减函数,,�所>以�0<�<�,故A错

误;�=log0.2023�0<�<�log0.2023�>log0.2023�

选项B:由函数的单调性可知,故B正确;

333

选项C:因为�=��<�,所以,故C正确;

��+1�(�+1)−�(�+1)�−���+1

�−�+1=�(�+1)=�(�+1)>0�>�+1

选项D:,当且仅当,

1111

即�时�+取�得�+等1=号(,𝑎显+然1等)+号�不�+成1−立1,≥故2D(错𝑎误+.1)×𝑎+1−1=1𝑎+1=𝑎+1

【点𝑎拨=】0根据起始条件提炼出的明确大小与正负关系是第一步.应用基本不等式求最值时,切

莫忽视“一正二定三相等”的等�,号�成立条件检查.

23.(多选)已知,且满足.则的取值可以为

415122

()�>0,�>0�≥�+�,�≥�+��+�

A.B.C.D.

【答案】

1C0D111220

【解析】因为,

4151

所以�≥�+�,�≥,�+�

2�2�

�≥4+�,�≥5+�

故,

22����

当�+�≥4+�+5+�且≥9+2,而�⋅�=11时,即等号不能同时成立,

2�2���22

所以�=4+�,

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