山西省2026-2027高三10月联考数学+答案

2026～2027高三10月联考

数学

全卷满分150分，考试时间120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上

的指定位置。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如

需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡

上。写在本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是

符合题目要求的.

1.已知集合A={0,1,2),B=x|x²=x),则A∩B=

A.{0,2)B.(0)C.(0,1)D.(0,1,2)

2.已知复数z满足(其中i为虚数单位),则z=

A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i

3.不等的解集是

A.x|-2≤x≤1}B.{x|x≤-2}C.{x|-2≤r<1}D.(x|x>1)

4.下列函数中，既是偶函数又在区间(0,十∞)上单调递增的是

A.f(x)=-x²B.f(x)=2²-2⁻¹

CD.f(x)=1n|x|

5.a>0,b>0,b+3a—ab=0,则a+3b的最小值是

A.12B.13C.16D.18

6.第31届世界大学生夏季运动会的官方体育图标是十八墨宝，射箭项

目体育图标为水墨熊猫(如图所示),它是以真实的射箭运动为原型，

拉满弓箭时，弓臂为圆弧形，弧中点到弦中点的距离为2cm,弦长为

8cm,求弓形的面积约为(参考数据：π≈3.14,

A.8.2(cm)²B.11.1(cm)²C.9.1(cm)²D.4.1(cm)²

【高三数学第1页(共4页)】

扫描全能王创建

7.若函数在其定义域内的一个子集(a-1,a+1)内存在极值，则实

数a的取值范围为

ABCD.

8.设奇函数f(x)的定义域为R,且满足：(1)f(x)=f(2-x);(2)当x∈[2,3]时，f(x)=2

一x,则下列说法不正确的是

A.f(x)的图象存在对称轴B.f(7)=-1

C.当x∈[-5,一4]时，f(x)=x+4D.方程5f(x)=x+2有四个实数根

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目

要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.若a,b∈R,则“a³<b³”的充分不必要条件是

A.a<bB.√b-a>1

C.a²<b²D

10.已知,且,则

A

C

11.在平面直角坐标系xOy中，已知直线x=x。与函数的图象交于M点，与x

轴交于N点，其中xolnxo=1,则

A.x。为f(x)的极大值点B

C.|MN|<e⁻²D.设直线OM的斜率为k,则

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

)是纯虚数，则m=

13.设a>0且a≠1,函数的定义域为R.若f(x)的值域为

,则a的取值范围为

14.已知函数f(x)=sin2x—√3cos2x,实数x₁,x₂满足x₁x₂<0,f(x₁)+f(x₂)=0.若

lx₁-x₂l>m恒成立，则实数m的最大值为·

【高三数学第2页(共4页)】

扫描全能王创建

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

15.(本小题满分13分)

已知x>0,y>0且4x+y=9xy.

(1)求xy的最小值；

(2)若对于任意的x,y均有x+y≥2m²-m恒成立，求实数m的取值范围.

16.(本小题满分15分)

已知函数

(1)求曲线y=f(x)在点处的切线方程；

(2)求函数f(x)的极值.

17.(本小题满分15分)

已知函数f(x)=m·2²+2⁻¹,其中m∈R.

(1)讨论函数f(x)的奇偶性；

(2)当m=1时，若存在x∈(0,+∞),使得f(x)=t·2ˣ+1成立，求实数t的取值

范围.

【高三数学第3页(共4页)】

扫描全能王创建

18.(本小题满分17分)

已知函数

(1)求f(x)的对称中心坐标；

(2)若对任意的恒成立，求实数a的取值

范围；

(3)已知函数,记方程在区间[0,24]上的根从小到大依次

为x₁,I₂,…,xn,求x₁+x₂+…十x。的值.

19.(本小题满分17分)

三个互不相同的函数f(x),g(x)和h(x)在区间D上恒有f(x)≥h(x)≥g(x)或恒有

f(x)≤h(x)≤g(x),则称h(x)为f(x)与g(x)在区间D上的“分割函数”.

(1)设h₁(x)=4x,h₂(x)=x+1,试分别判断h₁(x)、h₂(x)是否是y=2x²+2与y=

—x²+4x在区间(一∞,十∞)上的“分割函数”,请说明理由；

(2)若二次函数h₃(x)=ax²+cx+d(a≠0)是y=2x²+2与y=4x在区间

(一∞,十∞)上的“分割函数”,求h₃(x);

(3)设[m,n][-2,2],若存在函数h₄(x)=kr+b(k,b∈R),使得h₄(x)为y=x⁴-

4x²与y=4x²-16在区间[m,n]上的“分割函数”,求n-m的最大值.

【高三数学第4页(共4页)】

扫描全能王创建

2026～2027高三10月联考·数学

参考答案、提示及评分细则

1.【答案】C

【解析】因为A={0,1,2},B={x|x²=x}={0,1},所以A∩B={0,1}.

2.【答案】A

,分母实数化得所以

z=-1-i.

3.【答案】C

【解析】,解得{x|-2≤x<1}.

4.【答案】D

【解析】对于A,函数f(x)=-x²的定义域为R,在(0,十∞)上单调递减，A错误；

对于B,函数f(x)=2*-2⁻¹的定义域为R,f(一x)=2⁻ˣ—2ˣ=-f(x),函数f(x)为奇函数，B

错误；

对于C,函数的定义域为(一∞,0)U(0,+∞),为奇函数，C错误；

对于D,函数f(x)=1n|x|的定义域为(一∞,0)U(0,+∞),f(-x)=1n|-x|=f(x),

函数f(x)为偶函数，当x>0时，f(x)=Inx,因此f(x)在(0,十∞)上单调递增，D正确.

5.【答案】C

【解析】由b+3a—ab=0得到,又a>0,b>0,则b>3,所以

(b-3)+10≥2√9+10=16,当且仅,即a=b=4时取等号.

6.【答案】B

【解析】如图所示，设扇形所在圆O的半径为rcm,则弦长的一半为AE=4,弦的中

点到圆心的距离为r-2,根据勾股定理得r²=(r-2)²+4²,整理得4r=20,解得r

=5,设扇形所对的圆心角为α,因为弦长为8cm,在直角△AOE中，可得cos

,所以∠AOE=53°,即α=106°,所以扇形的面积为

·π,三角形△AOB的面积为,因为π≈3.14,所以弓形的面

积为.14-12≈11.1(cm)².

7.【答案】D

【解析的定义域为(0,+∞),令f'(x)=

0,可得：或(舍),由f(x)在其定义域内的一个子集(a-1,a+1)内存在极值，可得：

,解得,所以实数a的取值范围为

【高三数学参考答案第1页(共6页)】

8.【答案】D

【解析】对于A,由f(x)=f(2—x),得直线x=1是f(x)的图象对称轴，A正确；

对于B,由函数f(x)是奇函数，得f(x)=-f(x-2)=f(x-4),则4是函数f(x)的一个周期，而当

x∈[2,3]时，f(x)=2—x,因此f(7)=f(3)=-1,B正确；

对于C,当x∈[-1,0]时，2-x∈[2,3],则f(x)=f(2—x)=2-(2—x)=x,因此当x∈

[-5,-4]时，x+4∈[-1,0],f(x)=f(x+4)=x+4,C正确；

对于D,方程,于是方程5f(x)=x+

2的实根个数即为函数y=f(x)的图象与直线的交点个

数，由f(x)是奇函数，得当x∈[-1,1]时，f(x)=x,当x∈[1,3]时，2—x∈[-1,1],则f(x)=

f(2-x)=2-x,又函数f(x)的一个周期为4,在同一坐标系内作出函数y=f(x)的图象与直线y=

,观察图象知，函数y=f(x)的图象与直线有五个交点，即方程5f(x)=x+2有

五个实数根，D错误.

9.【答案】BD

【解析】a³<b³⇔a<b,故“a<b”是“a³<b³”的充要条件，故A错误；

由√b-a>1得b>a+1>a,能推出a<b,反之不成立，所以“√b-a>1”是“a³<b³”的充分不必要条

件，故B正确；

若a=1,b=-2,a²<b²,a³<b³不成立，故充分性不成立，若a=-2,b=-1,a³<b³,a²<b²不成立，

故必要性不成立，所以“a²<b²”是“a³<b³”的既不充分也不必要条件，故C错误；

,所以‘”是“a³<b³”的充分不必要条件，故D正确.

10.【答案】AC

,解得,又,所以

,故A正确；

及,所以,故B错误；

同理根据及,解得

,故C正确；

故D错误.

11.【答案】ACD

【解析】对于A,由题意得,由x。lnxo=1→x₀>1,函数y=xlnx在上递减，

在上递增，且当时，xlnx<0.所以当0<x<x。时，xlnx<1,故f'(x)>0;当

【高三数学参考答案第2页(共6页)】

x>x。时，xlnx>1,故f'(x)<0;由此x。是f(x)的极大值点，故A正确；

对于B,令h(x)=xlnx-1,则h'(x)=1nx+1(x>1),所以h(x)在(1,+∞)上单调递增，由题意

得h(x。)=0,h,由不等式1n(1+t)<t(t>0),取,得,所以

,由此,又h(x)单调递增，所以,则

故B错误；

对于C,由题意，,要证|MN|<e⁻²,只需⇔xoe>e²,

等价于1nx。+x。>2,由x。lnxo=1,得,所以只需由于x₀>1,

2成立，故C正确；

对于D,直线OM的斜率,要证,等价于①

,等价于21n,因为,所以,由于

,由B已证,即,且又x。>0,所以

,所以,故D正确.

12.【答案】2

【解析(m∈R)是纯虚数，则

,解得m=2.

13.【答案】(1,4)

【解析】若x∈(一∞,2),则f(x)的取值范围是.当x>2时，f(x)=3+logax,分两种情形

讨论：若a>1,则f(x)在(2,十∞)单调递增，相应f(x)的取值范围是(3+loga2,+∞),因此要使

f(x)的值域是,应当有,两端都取a为底可得,解得1<a≤4.当0

<a<1,则f(x)在(2,+∞)单调递减，相应f(x)的取值范围是(一∞,3+1oga2),此时无法满足

f(x)的值域是,故舍去.综上可得1<a≤4.

14.【答案)

【解析】,由于f(x₁)+f(x₂)=0,所以

,所以或,当

时,不妨设x₁>0,x₂<0,由,当k

【高三数学参考答案第3页(共6页)】

=0时，,当k≥1时，,当k≤-1时，x₁+x₂

,所以,则,由于x₁>0,所以;当2x₁一

时,此时,综上，,所以实数

m的最大值为

15.【解析】(1)因为x>0,y>0,所以4x+y≥2√4xy=4√xy,………2分

所以9xy≥4√xy,则,……………4分

当且仅当4x=y,即时等号成立；……………………6分

(2)由4x+y=9xy……………………7分

所以…9分

当且仅当2x=y,即时等号成立，……………………10分

所以x+y的最小值为1,……………11分

由x+y≥2m²—m恒成立，则2m²—m≤1得(2m+1)(m—1)≤0,……………12分

解所以实数m的取值范围为.…………13分

16.【解析】(1),x∈[0,π],求导可得,x∈[0,π],……………2分

当时,…………4分

所以曲线f(x)在点处的切线方程为,即…7分

(2)由小问1可知，,x∈[0,π],…………………8分

令f'(x)=0,解得,……………9分

所以当时，f'(x)>0,f(x)单调递增，…………………11分

当时，f'(x)<0,f(x)单调递减，………13分

所以f(x)的极小值为,无极大值.……………15分

17.【解析】(1)因为f(x)=m·2²+2⁻¹的定义域为R,所以f(一x)=m·2⁻ᵗ+2#,………………1分

当m=1时，f(一x)=2⁻#+2ᵗ=f(x),f(x)为偶函数，…………3分

当m=-1时，f(一x)=-2⁻+2ᵗ=-f(x),f(x)为奇函数，…………………5分

当m≠±1时，则……6分

,从而f(-1)≠±f(1),

所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数；……………7分

【高三数学参考答案第4页(共6页)】

(2)当m=1时，f(x)=2ˣ+2⁻¹,存在x∈(0,+∞),使得2ᵗ+2⁻²=t·2*+1成立，…………8分

化简可得,即在(0,十∞)上有解，………………10分

,因为x∈(0,十∞),所以u∈(0,1),即t=u²-u+1在u∈(0,1)上有解，…………12分

,因为u∈(0,1),……………………14分

所以实数t的取值范围为…………………15分

18.【解析】(1)因为

,…3分

,得(k∈Z),故对称中心为,其中k∈Z;…4分

(2)由(1)知

……………5分

则原不等式化为asinx—cosx≥2,

当时sinx>0,所以对任意的恒成立，……6分

设

,在此区间上y=cosx单调递减、y=sinx单调递增，……7分

故0<2+cosx₂<2+cosx₁,0<sinx₁<sinx2,

从而………9分

所以h(x)在上单调递减，故10分

故a≥1+2√2,故实数a的取值范围为[1+2√2,+∞];…………11分

(3)由(1)知,………………12分

令,当x∈[0,24]时

画出的图象如图：

以3.17

/2π4π…………13分

y=sinu

由图可知，其图象与共有6个交点，

…………15分

【高三数学参考答案第5页(共6页)】

故x₁+x₂+…十x₆=68.……………17分

19.【解析】(1)因为2x²+2—4x=2(x-1)²≥0恒成立，且4x—(一x²+4x)=x²≥0恒成立，

所以当x∈(一∞,十∞)时，2x²+2≥4x≥-x²+4x恒成立，……1分

故h₁(x)是y=2x²+2与y=-x²+4x在区间(一∞,+∞)上的“分割函数”;…2分

又因为x+1—(-x²+4x)=x²-3x+1,当x=0与1时，其值分别为1和—1,

所以h₂(x)≥-x²+4x与h₂(x)≤-x²+4x在(一∞,+∞)上都不恒成立，…3分

故h₂(x)不是y=2x²+2与y=-x²+4x在区间(一∞,十∞)上的“分割函数”;………………4分

(2)h₃(x)=ax²+cx+d(a≠0)是y=2x²+2与y=4x在区间(一∞,+∞)上的“分割函数”,则2x²

+2≥ax²+cx+d≥4x对一切实数x恒成立，5分

因为(2x²+2)'=4x,当x=1时，它的值为4,

可知y=2x²+2的图象在x=1处的切线为直线y=4x,…………6分

它也是h₃(x)=ax²+cx+d的图象在x=1处的切线，如图：

所以…………8分