陕西师范大学《线性代数》课件-第2章-矩阵

《线性代数》

chapter2矩阵代数第一节矩阵的概念第二节矩阵的代数运算第三节逆矩阵与矩阵的初等变换E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410chapter2矩阵代数

第一节矩阵的概念为什么要引入矩阵？先看一些结果依赖于操作次序的例子1.魔方，两次沿着不同轴扭动操作前后次序不一，魔方转后结

果一般不一致！（书本也可以做演示）量子力学测量力学量A和B，测量A可能会造成系统变化导致测量B并不是原先状态对应的B。从而先A后B以及先B后A，测量值可能不同。股票交易，所有资金第1天买a股票，第2天卖出买入b股票；

第1天

买入b股票，第2天卖出再买入a股票，最终市值可能不同。很大一类化学反应，尤其是临界点附近，几个控制条件次序

不同，产物也未必相同（例如有些同素异形体之类的）市场做空（多）操作（融券融资）：发布研报与买入（出）证券次序不能颠倒。[人的心理学箭头决定的行为，类似的还有谈判过程，训狗过程（先摇铃再给食物和先给食物再摇铃，在脑子中强制形成一种“序”）]……n.先玩再学习和先学习再玩的效果造成的考试成绩也可能是不

同的

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

对带一定“惯性”[不施加外作用，状态保持]

刻画的量[例如某些系统状态（极化、磁化、应力，甚至微观系统的量子态等），甚至惯性思维，心理等），这些往往可用向量刻画]，我们研究对其进行引起其变化的线性效应的[只考虑直接原因导致的后果，不带反馈]某些操作时，

先A后B（）与先B后A（）结果不同！即，而矩阵（其他代数也可能）恰好满足此性质，但考虑最简单的线性效应时，矩阵是个合适的描述，因此这类理论往往借助矩阵来建立一套理论描述。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

定义：（1）矩阵：称个数构成的m行n列的数表为m行n列矩阵（或称矩阵，或简称矩阵

）.

（2）矩阵元：

（3）常用A，B，C，…来表示矩阵；

或用矩阵元表示：；也用行列数来表示：或

（4）方阵:m=n.(一阶方阵：m=n=1,平庸的)E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

（5）实矩阵：所有矩阵元.

（6）复矩阵：所有矩阵元.（7）同型矩阵：是同型矩阵iff

.

本课程中矩阵除特殊说明外均为实矩阵。事实上，数表中每个元从数推广到其他对象，例如矩阵，对应规则（函数），甚至运算操作+，-，…等，甚至混合形式，都可以定义一种数学结构，然后再定义一套运算规则。但这个能被大众喜欢的一个原则是“有用”且“方便”。类比有的研发光靠政府接济能长期存活概率不大，而被市场热捧才是生存长久之道。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例1:向量也是特殊的矩阵。n维行向量是矩阵；

m维列向量是矩阵。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例2：与线性方程组相关的矩阵系数矩阵：；常数列矩阵：；增广矩阵：

.

(能表示方程组）)E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例3：应力张量是3阶方阵。

或者可以从垂直于3个面的正压力和平行于3个面（每个面两个自由方向）的剪切力分析。参考：图片来自于网络。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

除了量子力学中力学量对应矩阵外，还有经典物理中电导率张量，磁导率张量，热导率张量，介电张量，压电张量等。但其一般都是方阵（除了某些算法中引入非方阵情况）。以介电张量为例，可以描述外加电场下的电介质的电极化矢量（单位体积的电偶极矩）的响应：其中为电极化矢量，是个对称矩阵，每个矩阵元其实和电介质的分子排列有关。很多晶体的光学性质研究可以归结到这个量的性质，研究这个量可以理解晶体的双折射现象等。

参考：图片来自于网络。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

用行向量或者列向量表示矩阵

方案1：m个n维行向量表示

方案2：n个m维列向量表示E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410第二节矩阵的代数运算2-2-1矩阵的加法与数乘1.定义与基本性质(1)矩阵相等E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(2)加法：（同型矩阵下才有定义）

或者通过矩阵元定义加法E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(3)零矩阵.记为或0

.

推论：或

负矩阵

则B称为A的负矩阵.E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(4)差（矩阵的减法，也必须是同型矩阵）

在前面负矩阵定义上也可以这么定义：

推论：E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(5)数乘：

记为或，E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

矩阵加减法与数乘统称为矩阵的线性运算。定义(1)-(5)定义的运算与数域上的运算规则类似。即有如下性质：(i)加法交换律：A+B=B+A，(ii)加法结合律：(A+B)+C=A+(B+C)，(ii)数乘分配律：(iv)数乘结合律：，(v)1A=A.E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

2.线性组合（线性表出）最一般的线性运算形式，其中

[数乘+加减

生成上面形式]

称矩阵B为矩阵的线性组合。或称矩阵B可由矩阵线性表出。

前提：同型矩阵才有线性组合（线性表出）的定义。

应用：矩阵（或者向量）如何由其他矩阵（向量）展开。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例1：矩阵的自然基表示（自然基也是矩阵）矩阵的自然基

:第i行

第j列则任一矩阵都是的线性组合。（）

这是因为：

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例2：，问可否由

线性表出？解：假定可以线性表出，则可以表示为即

显然问题转化为线性方程组求解问题，是否有解对应是否可以线性表出；有唯一解即可唯一线性表出；有无穷多解即对应线性表出不唯一。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

2-2-2.矩阵的乘法(0)方程组的启示（为什么要引入矩阵乘法操作的特例）

方程组的表示（向量形式）

可记

不妨规定，则方程化简为：

（大大简化了表示）E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

同样，若用矩阵C乘以，则显然，仅当C为矩阵时，即，上式才有意义！E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

要想保持上面结合性，即CA=D，则要求矩阵乘法按照如下规则进行：E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

规则：C矩阵第i行对应行向量乘以A矩阵第j列对应列向量，结果（数）放到CA矩阵的第i行第j列。即若记则（运算规则）

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(1)定义：矩阵与矩阵的乘积

鉴于上面启示，作如下自洽性定义，设则E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

受矩阵与向量乘积启示，AB又可以写为注意：型乘型得型。其他情况不能相乘（或者相乘无意义）！E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

矩阵相乘一般没有交换律，即AB与BA不相等（如果AB，BA均有意义）例1：

则有数

n阶方阵E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

即使同型矩阵相乘，一般AB也不等于BA。例2：

于是

显然E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(2)矩阵乘法的性质(i)结合律(AB)C=A(BC),(ii)分配律A(B+C)=AB+AC;(A+B)C=AC+BC,(iii)数乘结合律（下文可见此允许我们在任何地方插入单位矩阵）证明：(ii)(iii)显然,证(i).为了和物理上用法对应，我们此处直接在矩阵下面加行列标表示矩阵元（这与该书后面定义的伴随矩阵等略有重复记号的问题，但此处算是特别声明），只需验证左右两边任意矩阵元相等。

（不是表示代数余子式）E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例3：A,B均为n阶方阵。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例4：与的关系以及与

的关系如下：求与的函数关系。

解：记上述表达式即

其中E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

方阵的若干性质n阶单位阵的定义

物理上记法显然有任何矩阵与单位矩阵的乘积仍为其本身！

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

回想矩阵自然基的定义，

不难发现：第i行

习题：试验证之。推论：任一矩阵A可展开为：例：由于自然基下，任一矩阵则

如何用自然基展开？解：对而言，其对角矩阵元全为1，其余为0，即.E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(ii)方阵的幂：A是n阶方阵的前提下，有限个A相乘

有意义.k个A相乘称为A的k次幂，记为为了自洽，约定.此外，.但是，一般而言，E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(iii)n阶矩阵A的函数

例1：例2：

则E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

n阶矩阵乘积的行列式

定理：

证明：

(性质4)

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(性质4)(性质3)(性质3)

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(任意两个列标，导致右边行列式为0,因此求和只在排列上进行才有贡献)改写为自然排列时，会贡献一个系数因子。

多个连乘情况也类似：E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

4.m阶矩阵和n阶矩阵的直和（directsum），直积(directproduct).直和:直积:例：不难证明E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例:量子力学学习中常见的L和S耦合的困惑。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例如:

类似的应用还有讨论两个自旋的耦合等方面的计算，类似的过程，前后都是2阶矩阵，直积计算更简单些。

直和的应用主要在群论或者高轨道角动量耦合时诱导出一系列不同的角动量，各自成一个字空间，都排到一张表上，看起来就是一系列矩阵的直和。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410第三节逆矩阵与矩阵的初等变换

导入：逆矩阵从操作的意义上看，就是个反操作（或者说恢复操作）有逆前提：方阵（n阶矩阵），其他限制（行列式不为0之类的几种等效条件）1

.逆矩阵

定义：若AB=BA=E，则称A是可逆矩阵，B是A的逆矩阵，同样，A也是B的逆矩阵.[注：对A是有限阶矩阵，只要AB=E即可。]E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

[问]为何要两个条件AB=BA=E？一个条件（如AB=E）可否？[答]是为了可以适用于无限维矩阵情况。此时，A只有右逆而无左逆！B只有左逆而无右逆！这种情况在物理中量子光学方向有的问题（相干态等问题上考虑某些算子的作用）会涉及到。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

定理1：A可逆，则A的逆矩阵唯一。（唯一性定理）证明:若存在B，C均为A的逆，则AB=BA=E，AC=CA=E.

于是B=BE=B(AC)=(BA)C=EC=C.

因此，A的逆唯一。基于此，以后可以采用唯一的记号A-1

来记A的逆。

于是：AA-1=E,A-1A=E,(A-1)-1=A.E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

定理2：可逆.

.证明:：A可逆，即AA-1=E，于是|AA-1|=|A||A-1|=|E|=1,因此:构造法，利用代数余子式的辅助。

由于

记，称为A的伴随矩阵。

注意脚标，这可视为代数余子式按正常行列排成的矩阵，再转置得到。

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

则只要，则有，类似地可证明.即左逆右逆均存在。

即，显然A可逆。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

[注意]定理2的一个中间结果给出了求A的逆A-1的一种方法。例1:（P58）

问：A与B是否均可逆，若可逆，求逆矩阵。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

解：第1步看行列式是否为0，为0则无逆。

第2步利用前面的公式，求出伴随矩阵和行列式，一除即可。基于这个思路，，显然A不可逆，B可逆。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

推论：设A，B为n阶矩阵（n有限），若AB=E（或BA=E），则B=A-1

.

证:第1步，证明A可逆（计算行列式），这是

显然的，因为|AB|=|A||B|=|E|=1,因此.

其次因为A可逆，则A的逆唯一。

由于

，

显然.E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

定理3:A,B均可逆，则(AB)-1=B-1A-1.（注意次序）证：利用定理1的逆的唯一性。

由于

且由逆的唯一性推论：均为n阶可逆矩阵，则

也可逆，且

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

定理4：A为n阶可逆矩阵，对任意的，

矩阵方程有唯一解.证:A可逆，也可逆，用左乘方程

的两边，即得.

此外，假定存在C也是方程的解，即AC=B.

注意到C=EC=(A-1A)C==A-1(AC)=A-1B.因此解唯一。定理4’：A为n阶可逆矩阵，对任意的，

矩阵方程有唯一解.证明过程类似。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

定理4中如果AX=B情形下，B是n行1列情况，可过渡到定理5。定理5：（Cramer法则）n元线性方程组当其系数矩阵A的行列式时，存在唯一解其中

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

事实上，

可以由的第j列替换为常数列矩阵得出。证明：E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

比较左右两边，得注意：(1)上面等式倒过来看很明显，就是个行列式按某列代

数余子式展开;(2)这给我们提供了一种线性方程组存在唯一解时解的

通用形式。（很容易看出分母确实是系数行列式）E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

例:课本P61.（似乎是去年考题）例:解解：E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D604102.3.2矩阵的初等变换〈引子〉前面给了用伴随矩阵求逆矩阵的方法。但随着矩阵阶

数增加，计算量快速增长，因此实用性不强（4阶以及4阶

之下或者稀疏矩阵还能勉强一用）

更有效求逆方法：初等变换求逆法。

〈引入初等变换的想法起源〉根据我们解线性方程组的一般方法（消元法），我们通常进行的做法有：(1)将某个方程选为基准（加上其他方程的倍数或者组合消去n-1个元），即把这个方程放到第1行，不是第1行就换到第1行。[交换行](2)将某行乘以倍数，加到另一行。（3）把某行缩小或者增大一定倍数（例如cx=d，就需要缩小c倍，解出结果）。

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

消元法的过程演示：(初始形式)

(最终目标形式)从系数矩阵角度看，上面过程如下：(初始形式)

(最终目标形式)E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

基于此（再推广到列变换的情况），可以如下定义初等变换。定义：对矩阵的行(列)实施下列三种变换成为矩阵的初等行(列)

变换。

(1)互换矩阵两行（列）的位置；(2)用非零常数乘矩阵的某行（列）；(3)将矩阵某行（列）的倍加到矩阵的另一行（列）上。矩阵的初等行变换矩阵的初等变换矩阵的初等列变换E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

第(1)类初等行变换形式的推导：假定n阶矩阵V将任意矩阵A的第i行和第j行互换，看看V形式。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

思路：

既然V将任意矩阵A的第i行和j行互换，那对一些特殊的A，也是成立的。因此我们选择特殊的A，即可求出V的所有矩阵元，最后再回头检验任意矩阵情况即可。[选择n阶矩阵的原因是为了确保变换形式的存在性以及唯一性！按照上页的做法，我们把V的每一列矩阵元当作未知数，解方程时，也要有n个独立方程（矩阵A的任意性能保证其独立）才能保证唯一解。如果V的行列数不一样多，则会导致无穷多解或者无解情况。]（为了简单，我们甚至可以选择A为方阵的情况，反正最终还要检验。）E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

由此，V的所有矩阵元均求出，则V的形式如下：顺便记其为，实际上表示一种普适交换任意矩阵第i行和第j行的操作。事实上，其与单位矩阵E有关系，可由单位矩阵经过交换第i行和第j行得出，所以记为.E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

上面为第(1)类初等行变换，如果考虑第(1)类初等列变换U情况会如何？其实情况类似，只是要注意此时U要右乘A，然后U的阶数也不再是n，而是m.然后类似行初等变换的做法，也选特殊的A来求U的矩阵元，最终再检验一般矩阵即可！结论：第(1)类初等列变换与行初等变换形式上相同，只是阶数有差异，具体由变换的矩阵定。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

注意：(i)以上分别取A为特殊矩阵（自然基矩阵）下得到的V的矩阵元。还需检验一般性。(ii)为了使得变换矩阵V是n阶的，即保证的

合法性，此处A与之前遇到的不同，而是应该

形式。当然交换m和n指标，即回到课本形式。(iii)我们得到第(1)类初等行变换的一般矩阵形式。(iv)注意到行列对称性，行变换列变换其实只要转置一

下即可相互转化（但要注意行变换左乘，另外列变换要

右乘，原因下一小节讲了转置可以看出）。(v)该初等变换矩阵可逆，另外逆矩阵是其本身。(vi)该矩阵是三种初等矩阵的一种。

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

检验

n阶矩阵确实满足将任意矩阵的第i行和第j行互换：发现确实满足第(1)类初等变换的要求。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

第(2)类初等行变换形式的推导：类似地，可假定n阶矩阵W将任意矩阵A的第i行乘以倍。

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

同样的做法，我们取A为特殊矩阵（自然基矩阵，且为方阵）下得到的W的矩阵元，然后再检验其一般性。

(i),有，即不难看出，E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

时，有

于是

E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

由(i)(ii),我们得到了W的所有矩阵元，于是W可以表达为：

第i行

将W记为也是由于该初等行变换形式可由单位矩阵E的第i行乘以得出。检验过程类似第(1)类初等变换的做法，此处略。第(2)类初等列变换处理方法也一样，差异仅仅在于右乘。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

第(3)类初等行变换形式推导与第(1)(2)类初等行变换推导类似。此处不再详述，直接给出结果，用来描述一种将任意矩阵的第j行乘以,再加到第i行上的初等变换。

第i行

第j行不难发现这种形式（阶数未必与上面初等行变换表达式相同）也可以描述第(3)类初等列变换：将的第i列乘以,再加到第j列上。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

三种行（列）初等变换总结：交换任意矩阵第i行(列)和第j行(列)。该形式也可由单位矩阵E经第(1)类行(列)初等变换得到。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054CE3D0BE32711A616D0819A1C3DE018F08F5BE103BC41BA965B4FDCF0472B73A72FC0F2BE2AA537FE6A09217357F9B54DBF2DB6715F2B3FB87DC24D60410

(2)将任意矩阵A的第i行乘以倍.该形式也可由单位矩阵E经第(2)类行(列)初等变换得到。E6636B02012BD195C019CE06C16E3054