2027届高考数学复习第41讲统计(知识清单+14典例讲)(学生版)

第41讲统计（知识清单+14典例精讲+方法技巧+分层训练）

近3年考查情况题型分值

抽样方法、统计图表分析单选/多选/解5分/6分/12

答题分

分层抽样、频率分布直方图单选/解答题5分/12分

样本数字特征、统计案例单选/多选/解5分/6分/12

答题分

众数、中位数、平均数与频率直方图单选/多选/解5分/6分/12

答题分

系统抽样、茎叶图单选/多选/填5分/6分/12

空/解答题分

频率分布表、样本均值与方差单选/多选/填5分/6分/12

空/解答题分

【知识点01】总体、个体、样本

调查对象的全体(或调查对象的某些指标的全体)称为总体，组成总体的每一个调查对象(或每一个调查对象的相应

指标)称为个体，在抽样调查中，从总体中抽取的那部分个体称为样本，样本中包含的个体数称为样本容量，简称

样本量.

【例1】为调查某高中2000名高一学生的身高情况，随机抽取100名学生测量身高，指出该调查中的总体、个体、样

本、样本容量。

【知识点02】简单随机抽样

抽签法和随机数法是比较常用的两种方法.

【例2】已知总体容量为80，采用简单随机抽样抽取容量为8的样本，求每个个体被抽到的概率。

【知识点03】分层随机抽样

一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立

地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每

一个子总体称为层.

【例3】某学校高一、高二、高三学生分别为400人、300人、300人，现采用分层随机抽样抽取100人的样本，求各

年级抽取的人数。

【知识点04】统计图表

(1)常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等.

(2)作频率分布直方图的步骤

①求极差；

②决定组距与组数；

③将数据分组；

④列频率分布表；

⑤画频率分布直方图.

【例】已知一组数据分组区间为，组距为2，该区间频率，求该组数据的频率。

4组距

[2,4)=0.08

【知识点05】百分位数

一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少

有(100－p)%的数据大于或等于这个值.

【例5】已知数据：，求该组数据的50百分位数（中位数）。

2,3,5,6,8,9

【知识点06】平均数、中位数和众数

(1)平均数：＝(x1＋x2＋…＋xn).

1

��

(2)中位数：将一组数据按从小到大或从大到小的顺序排列，处在最中间的一个数据(当数据个数是奇数时)或最中间

两个数据的平均数(当数据个数是偶数时).

(3)众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频数最大值所对应的样本数据).

【例6】求数据的平均数、中位数、众数。

1,2,2,3,4

【知识点07】方差和标准差

22

(1)方差：s＝(xi－)或－.

1�1�22

������

�=1�=1

(2)标准差：s＝.

1�2

�Σ(��−�)

�=1

【例7】求样本数据的方差与标准差。

1,3

【知识点08】总体方差和总体标准差

22

(1)一般式：如果总体中所有个体的变量值分别为Y1，Y2，…，YN，总体平均数为，则总体方差S＝(Yi－).

1�

���

�=1

(2)加权式：如果总体的N个变量值中，不同的值共有k(k≤N)个，不妨记为Y1，Y2，…，Yk，其中Yi出现的频数为

22

fi(i＝1，2，…，k)，则总体方差为S＝fi(Yi－).

1�

�Σ�

�=1

【例8】已知总体数据：，求总体方差和总体标准差。

2,4,6

【题型一】简单随机抽样

【例1】已知甲、乙、丙三人均去某健身场所锻炼，其中甲每隔1天去一次，乙每隔2天去一次，丙每隔3天去一

次.若2月14日三人都去锻炼，则下一次三人都去锻炼的日期是（）

A．2月25日B．2月26日C．2月27日D．2月28日

【变式1】（2026·黑龙江哈尔滨·一模）统计学中，常以前个区间的平均长度估计所有区间的平均长度.某工厂生产

的零件以个为一箱，成箱出售（）.每箱中的零件按照�生产顺序，从1到连续编号.现从一箱中随机抽取6个

∗

零件，发现�上面的编号从小到大依�次∈为N：12，15，33，38，55，60，则下列4个�选项中，作为的估计值，最合适的

一项是（）�

A．61B．70C．98D．120

【变式2】某校高一共有10个班，编号分别为01，02，…，10，现用抽签法从中抽取3个班进行调查，设高一

（5）班被抽到的可能性为a，高一（6）班被抽到的可能性为b，则___________；___________.

�=�=

【变式3】假设要考查某公司生产的狂犬疫苗的剂量是否达标，现从500支疫苗中抽取50支进行检验，利用随机数

表抽取样本时，先将500支疫苗按000，001，…，499进行编号，如果从随机数表第7行第8列的数开始向右读，请

写出第3支疫苗的编号______．

（下面摘取了随机数表第7行至第9行）

84421753315724550688770474476721763350258392120676

63016378591695566719981050717512867358074439523879

33211234297864560782524207443815510013429966027954

【题型二】系统抽样

【例1】某印刷厂为了保证图书的印刷质量，将每批次印刷出来的图书排放整齐，每隔20本检查一下其封面和内文

的质量情况，则这样的抽样方法是（）

A．简单随机抽样B．系统抽样C．分层抽样D．以上三种方法都有

【变式1】某学校为响应“平安出行号召”，拟从2019名学生中选取名学生加入“交通志愿者”，若采用以下方法

选取：先用简单随机抽样方法剔除名学生，剩下的名再按照5系0统抽样的方法抽取，则每名学生入选的概率

192000

A．不全相等B．均不相等

C．都相等，且为D．都相等，且为

150

402019

【变式2】（2026·山东·一模）计划从560袋某品牌食品中抽取8袋进行质量检测，拟采用系统抽样方法，为此将他

们逐一编号为1~560，并对编号依次分段，若抽出的编号中含有550，则从第1个号码段中抽出的编号应是______．

【变式3】（2024·山东·二模）某中职学校计划从300名学生中抽取30名进行问卷调查，拟采用系统抽样方法，为

此将他们逐一编号为1—300，并对编号进行分段，若从第一个号码段中随机抽取的号码是6，则从第五个号码段中抽

取的号码应是______.

【题型三】抽样比、样本总量、各层总数、总体容量的计算

【例3】（2026·湖南长沙·模拟预测）甲校有名学生，乙校有名学生，丙校有名学生，为统计三校

学生某方面的情况，计划采用分层随机抽样法抽20取00一个容量为的样24本00，应在这三校分别抽30取00学生（）

74

A．人，人，人B．人，人，人

202430302420

C．人，人，人D．人，人，人

243020203024

【变式1】（2026·甘肃金昌·三模）（多选）某高级中学为了解学生每天的睡眠情况，用比例分配的分层随机抽样方

法作抽样调查，拟从高一､高二､高三三个年级中共抽取87名学生，其中从高三年级抽取的学生人数为28，已知该校

高一､高二､高三年级学生人数分别为，则（）

600,580,�

A．

�=560

B．从高一年级中抽取的学生人数为30

C．从高二年级中抽取的学生人数为27

D．从全校学生中任选一人，此人是高三学生的概率是

1

3

【变式2】（2026·山西太原·二模）一支田径队有男运动员56人，女运动员35人，按性别分层，采用样本量比例分

配进行分层随机抽样，若所抽样本中男运动员的人数为16，则该样本中女运动员的人数为__________.

【变式3】（2024·陕西西安·模拟预测）2023年被称为交互式元年.人工智能是今年的一大焦点，因为它的发展方

式很快就变得无处不在，并像电子邮件､流媒体或任何其他曾经是AI未来主义､现在成为日常的技术一样融入到我们的生

活中.公众反复讨论生成式人工智能对社会协作方式的影响.中学生是祖国科技发展之光，为了激发中学生对科技创新

的兴趣，现调查了某重点中学生高一年级学生对的了解情况.调查问卷主要设置了在以下六个方面的应用：传媒

､机器人､办公､医药､自动驾驶､军事.已知该学校高A一I年级共600人，随机选取30名学A生I（其中男生16人，女生14

人）做了一次调查，结果显示：对有较多了解的男生有12人，女生8人，其他均表示了解较少.其中表示有较多了

解的学生最感兴趣的应用领域具体人AI数情况如下表：

性别传媒机器人办公医药自动驾驶军事

男142131

女322010

(1)估计该学校高一年级对有较多了解且在机器人应用最感兴趣的学生人数；

AI

(2)现学校从对机器人最感兴趣的这6名学生中抽取2名到某机器人基地研学，求参加机器人基地研学的至少有一名女

生的概率.

【题型四】分层抽样的概率

【例4】（2024·湖北·模拟预测）从一个容量为的总体中抽取一个容量为3的样本，当选取简单随

机抽样方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中�的可�能≥性3,是�，∈�则选取分层随机抽样方法抽取样本时，总体中每个个

1

体被抽中的可能性是（）5

A．B．C．D．

1111

5423

【变式1】已知某民营车企1月份生产了A，B，C三种型号的新能源汽车，台数依次为120，210，现用分层抽

样的方法从中随机抽取16台车进行安全测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为_______1.50.

【变式2】某省数学学业水平考试成绩共分为、、、四个等级，在学业水平考试成绩分布后，从该省某地区考

生中随机抽取名考生，统计他们的数学成绩�，部�分数�据�如下：

60

等级

����

频数

2412

频率

0.1

（1）补充完成上述表格的数据；

（2）现按上述四个等级，用分层抽样方法从这名考生中抽取名.在这名考生中，从成绩为等和等的所有

考生中随机抽取名，求至少有名成绩为等的60概率.1010��

21�

【变式3】4月23日是“世界读书日”，某中学开展了一系列的读书教育活动．学校为了解高三学生课外阅读情况，

采用分层抽样的方法从高三某班甲、乙、丙、丁四个读书小组（每名学生只能参加一个读书小组）学生抽取12名学

生参加问卷调查．各组人数统计如下：

小组甲乙丙丁

人数12969

（1）从参加问卷调查的12名学生中随机抽取2人，求这2人来自同一个小组的概率；

（2）从已抽取的甲、丙两个小组的学生中随机抽取2人，用表示抽得甲组学生的人数，求随机变量的分布列和数

学期望．��

【题型五】条形统计图、折线统计图、扇形统计图

【例5】（2024·四川乐山·三模）为了解某中学三个年级的学生对食堂饭菜的满意程度，用分层随机抽样的方法抽取

30%的学生进行调查，已知该中学学生人数和各年级学生的满意率分别如图1和图2所示，则样本容量和抽取的二年

级学生中满意的人数分别为（）

A．800，360B．600，108C．800，108D．600，360

【变式1】（2026·河北邢台·二模）某小商品生产企业对2025年1月到11月甲，乙两个车间的产量（单位：百万

件）进行了统计，得到如图所示的折线图，则（）

A．乙车间产量的中位数为6月份的产量

B．甲车间产量的极差大于乙车间产量的极差

C．甲车间产量的平均值小于乙车间产量的平均值

D．甲车间产量的第80百分位数大于乙车间产量的第80百分位数

【变式2】（2025·河南·模拟预测）（多选）2024年中国经济社会发展“成绩单”中，科技创新的分项尤为亮眼，无论

是整体实力，还是结构性指标都稳步提升.2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出及其增长速度如图

所示，则（）

A．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出逐年增长

B．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出的第25百分位数为24393亿元

C．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的极差为

6.3%

D．2020至2024年我国研究与试验发展（R\&D）经费支出增长速度的平均数超过

10%

【变式3】“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了

新实践.某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品，，的开发.

���

（1）在对三种饮品市场投放的前期调研中，对100名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图.若

饮品的百件利润为400元，饮品的百件利润为300元，饮品的百件利润为700元，请估计三种饮品的平均百件利

润；���

（2）为进一步提高企业利润，企业决定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发.已知工艺改进成功的概率为，

4

开发新饮品成功的概率为，且工艺改进与饮品研�发相互独立；�5

1

3

（ⅰ）求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；

（ⅱ）若工艺改进成功则可为企业获利80万元，不成功则亏损30万元，若饮品研发成功则获利150万元，不成功则

亏损70万元，求该企业获利的数学期望.

�

【题型六】频率分布表

【例6】（2024·四川成都·模拟预测）在年巴黎奥运会上，我国网球选手郑钦文历经场比赛，勇夺巴黎奥运

会女子网球单打冠军，书写了中国网球新的20历24史．某学校有名学生，一机构在该校随机6抽取了名学生对郑

钦文奥运会期间场单打比赛的收看情况进行了调查，将数据20分00组整理后，列表如下：800

6

观看场次

0123456

观看人数占调查

人数的百分比

15%5%5%�%10%15%4�%

从表中数据可以得出的正确结论为（）．

A．表中的数值为

�15

B．观看场次不超过场的学生的比例为％

330

C．估计该校观看场次不超过场的学生约为人

2400

D．估计该校观看场次不低于场的学生约为人

41300

【变式1】（多选）在“世界杯”足球赛闭幕后，某中学学生会对本校高三年级1000名学生收看比赛的情况用随机抽

样方式进行调查，样本容量为50，将数据分组整理后，列表如下：

观看场数01234567

观看人数占调查人数的百分比8%10%20%26%m%12%6%2%

从表中可以得出正确的结论为（）

A．表中m的数值为16

B．估计全年级观看比赛低于4场的学生约为32人

C．估计全年级观看比赛不低于4场的学生约为360

D．估计全年级观看比赛场数的众数为2

【变式2】将一个样本容量为的样本数据分组如下：，，，，，其中样本数

据在和内的频率之50和为，，[10对,20应)的[频20数,3分0)别为[30,4，0)，[则40样,5本0)数据[5在0,60]内的频数

为__[_1_0_,_2_0_)___[.40,50)0.7[20,30)[30,40)45[50,60]

【变式3】某校1200名高三年级学生参加了一次数学测验（满分为100分），为了分析这次数学测验的成绩，

从这1200人的数学成绩中随机抽取200人的成绩绘制成如下的统计表，请根据表中提供的信息解决下列问题：

成绩分组频数频率平均分

30.01516

0,20

ab32.1

20,40

250.12555

40,60

c0.574

60,80

620.3188

80,100

(1)求a，b，c的值；

(2)如果从这1200名学生中随机抽取一人，试估计这名学生该次数学测验及格的概率P（注：60分及60分以上为及

格）.

【题型七】由频率分布直方图计算频率、频数、样本容量、总体容量

【例7】（2026·辽宁·三模）某学校随机抽取了100名学生，对其课外阅读情况进行调查．并将这100名学生每月阅

读课外书的数量（单位：本）绘制成如图所示的条形图．若从这100名学生中随机抽取1名学生，该学生每月阅读课

外书数量不少于4本的概率为（）

A．0.15B．0.25C．0.4D．0.6

【变式1】（2026·河北张家口·二模）（多选）从工厂生产的零件中随机抽出100个，测量其直径（单位：），

将所得数据分为5组：，并整理得到频率分布直方图m如m图，

记这100个零件的直径的4.中98位,5.数08为,5，.0平8,5均.1数8为,5.，18极,5差.28为,，5.2众8,数5.3为8,，5.则38（,5.48）

����

A．B．

�≥5.18�<5.28

C．D．

�≤0.5�>5.28

【变式2】（2024·山西·模拟预测）某商场为了了解顾客的停车时长（单位：分钟），现随机抽取了100辆该商场到

访顾客的车辆进行停车时长调查，将数据整理得到如下频率分布直方图：

则样本中停车时长在区间上的车辆数为______辆.

400,500

【变式3】（2024·四川成都·三模）某手机生产厂商要生产一款5G手机，在生产之前，该公司对手机屏幕的需求尺

寸进行社会调查，共调查了400人，将这400人按对手机屏幕的需求尺寸分为6组，分别是：，，

，，，（单位：英寸），得到如下频率分布直方图：其中，屏5幕.0需,5求.5尺寸5在.5,6.0

的6.一0,6组.5人数6为.5,570.0人.7.0,7.57.5,8.05.5,6.0

(1)求和的值；

��

(2)用分层抽样的方法在屏幕需求尺寸为和两组人中抽取6人参加座谈，并在6人中选择2人做代表

发言，则这2人来自同一分组的概率是多5少.0,？5.57.0,7.5

【题型八】频率分布直方图的实际应用

【例8】我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出，某市政府为了节约生活用水，计划在本市试

行居民生活用水定额管理，即确定一个居民月用水量标准a（单位：t），用水量不超过a的部分按平价收费，超出a

的部分按议价收费，如果当地政府希望使80%以上的居民每月的用水量不超出该标准，为了科学合理确定出a的数

值，政府采用抽样调查的方式，绘制出100位居民全年的月均用水量（单位：t）频率分布直方图如图，通过分析样本

数据来估计全市居民用水量的分布情况，可推断标准a大约为（）

A．2.4B．2.6C．2.8D．3.2

【变式1】（多选）某学校为了提高高三年级学生的某学科成绩，在第一次联考后采取了“培优补短”等一系列举

措．为了更好地总结经验，现从高三年级1000名学生中随机抽取100名学生，将其前后两次联考成绩(满分150分)分

别按照[50,70)，[70,90)，…，[130,150]分成五组，绘制成频率分布直方图，如图所示．下列说法正确的是（）

A．

�=0.02

B．估计该年级第二次联考成绩在130分以上的学生比第一次联考对应分数段的多10人

C．第二次联考学生的成绩波动更小

D．与第一次联考相比，第二次联考成绩在[50,90)内的学生人数减少，在[110,150]内的学生人数增加

【变式2】我国上是世界严重缺水的国家，城市缺水问题较为突出，某市政府为了鼓励居民节约用水，计划在本市

试行居民生活用水定额管理，即确定一个合理的居民月用水量标准x（吨），用水量不超过x的部分按平价收费，超

过的部分按议价收费，为了了解全市民月用水量的分布情况，通过抽样，获得了100位居民某年的月用水量（单位：

吨），将数据按照分成9组，制成了如图所示的频率分布直方图．若该市政府希望使85%的居

民每月的用水量不超0,过0.5标,准0.x5（,1吨,⋯）4，,4估.5计x的值为__________．

【变式3】（2026·江西新余·二模）在某高校举行的一次国际学术与文化交流会上，对外国留学生举行了“中华文化

知多少”的知识竞赛．某数学兴趣小组从中随机抽取部分学生的成绩，整理后分成五段：，，，，

，，，，，，绘制了如下的频率分布直方图．4050)5060)

6070)7080)8090

(1)求的值；

�

(2)若参赛学生共有2000名，估计其中成绩小于70分的人数；

【题型九】计算几个数的众数、中位数、平均数

【例9】（2026·福建漳州·三模）样本数据的众数为（）

5,8,8,9,9,9

A．B．C．D．

488.59

【变式1】（2026·湖南长沙·三模）一组数据：3，5，7，9，11，这组数据的中位数是（）

A．3B．5C．7D．9

【变式2】（2026·陕西·二模）中山大学X同学参加了今年3月组织的考研复试测试，共有5名考官打分，如果去

掉一个最高分和最低分，则X同学的平均成绩为95.8；如果仅去掉一个最低分，则X同学的平均成绩为96.6；如果

仅去掉一个最高分，则X同学的平均成绩为94分．如果5位考官的成绩都保留，则X同学的平均分为_____．

【变式3】某部门为了解某企业在生产过程中的用电情况，对其每天的用电量做了记录，得到了大量该企业的日用

电量（单位：度）的统计数据，从这些数据中随机抽取15天的数据作为样本，得到如图所示的统计表.若日用电量不

低于200度，则称这一天的用电量超标.

分组

170,180180,190190,200200,210

频数3633

(1)估计该企业日用电量的平均值；（各组数据以该组数据的中点值作代表）

(2)用分层抽样的方法从日用电量在和内的数据中抽取6天的日用电量数据，再从这6个数据中随

机抽取2天的日用电量数据，求这21天80中,19至0少有2100天,2的10日用电量超标的概率.

【题型十】由频率分布直方图估计中位数、平均数

【例10】如图，已知某频率分布直方图形成“左拖尾”形态，则下列结论正确的是（）

A．众数平均数中位数

==

B．众数中位数平均数

>>

C．众数平均数中位数

>>

D．中位数平均数众数

>>

【变式1】（2026·福建福州·模拟预测）某校从参加高二年级学业水平测试的学生中抽出80名学生，其数学成绩

（均为整数）的频率分布直方图如图所示，则这次测试数学成绩的中位数约为__________.（精确到0.1）

【变式2】某汽车公司最近研发了一款新能源汽车，并在出厂前对100辆汽车进行了单次最大续航里程的测试．现

对测试数据进行分析，得到如图所示的频率分布直方图：

估计这100辆汽车的单次最大续航里程的平均值为__________千米．

【变式3】藏文中学举行了趣味数学知识竞赛，现将高二参赛学生的成绩进行整理后分成五组绘制成如图所示的频

率分布直方图.

(1)求参赛学生成绩的众数、中位数；

(2)按分层抽样的方法从，，中抽取6名学生，再从这6人中，抽取2人，则求这两人都是在

的概率.70,8080,9090,100

70,80

【题型十一】计算几个数据的极差、方差、标准差

【例11】（2026·湖南株洲·模拟预测）一组数据0，1，3，4，5，6的极差为（）

A．6B．4C．3D．5

【变式1】（2026·福建泉州·三模）已知一组样本数据的样本容量为10，平均数为6，方差为2．现去掉其中的两个

数据3和9，则剩下的8个样本数据的方差为（）

A．B．

11

42

C．2D．

11

4

【变式2】（2026·福建福州·模拟预测）已知样本数据，，…，的平均数为6，方差为9．前五个数据，

，，，的平均数7，方差为6，则后十个数据�，1�，2…，�1的5方差是__________．�1

�2�3�4�5�6�7�15

【变式3】（2024·宁夏银川·三模）某工厂甲、乙两名工人参加操作技能培训，他们在培训期间参加的8次测试成绩

记录如下：

甲：9582888193798478

乙：8392809590808575

(1)哪个工人的成绩较好？

(2)甲、乙成绩位于内的有多少？

[�−�,�+�]

【题型十二】各数据同时加减、乘除同一数对方差的影响

【例12】（2026·福建龙岩·三模）已知数据：，将这组数据中的每个数值都加上3后，与原始数据相

比，调整后的数据中不会发生改变的是（）1,2,2,3,3,3,5,5

A．方差B．众数C．中位数D．平均数

【变式1】（2026·山西忻州·模拟预测）已知一组样本数据，，…，的方差为2，令，，

2，…，n，则样本数据，，…，的方差为（）�1�2����=2��−1�=1

�1�2��

A．4B．6C．8D．10

【变式2】（2026·河南濮阳·模拟预测）（多选）下列说法正确的是（）

A．数据5，7，8，8，9，10，13，14，16，16的80%分位数是14

B．若数据的平均数为4，则数据的平均数为16

�1,�2,⋅⋅⋅,��3�1+4,3�2+4,⋅⋅⋅,3��+4

C．若数据的平均数为6，方差为9，现又加入3个数据5，6，7，则这10个数据的方差为6.5

�1,�2,⋅⋅⋅,�7

D．若数据的平均数为，则的方差为

22220

�1,�2,⋅⋅⋅,�97,�1+�2+⋅⋅⋅+�9=501�1,�2,⋅⋅⋅,�93

【变式3】（2025·四川泸州·模拟预测）已知数据的平均数是4，数据的平均数是20，

22222

则，的方差�为1,_�_2,_�_3_,_�_4_,_�_5.�1,�2,�3,�4,�5

2�1−1,2�2−12�3−1,2�4−1,2�5−1

【题型十三】用方差、标准差说明数据的波动程度

【例13】（2026·山东青岛·三模）为评价某种蓝莓的种植效果，随机选择5块地作为试验田，这5块地的亩产量

（单位：）分别为，，…，，下面给出的指标中可以评估这种蓝莓亩产量稳定程度的是（）

kg�1�2�5

A．众数B．平均数C．中位数D．标准差

【变式1】（2026·江苏·三模）在某足球联赛的常规赛中，甲队进球个数的平均数为2.1，标准差为1.1；乙队进球个

数的平均数为1.4，标准差为1.2，则（）

A．甲队进攻能力比乙队强，甲队进球数波动较大

B．乙队进攻能力比甲队强，乙队进球数波动较大

C．甲队进攻能力比乙队强，乙队进球数波动较大

D．乙队进攻能力比甲队强，甲队进球数波动较大

【变式2】在2022年世界技能大赛特别赛上，中国代表团共获得21枚金牌，名列金牌榜第一.甲､乙两人在准备参选

制造与工程技术项目中进行了6次比赛，每次的得分如下：

甲779868

乙6889107

则平均成绩较高的是__________，成绩比较稳定的是__________

【变式3】（2024·陕西渭南·模拟预测）某高中为配合爱国主义教育，开展国防科技知识竞赛，预赛后，将成绩最好

的甲、乙两个班学生（每班都是40人）的得分情况做成如下的条形图（20道单项选择题，每题5分，满分100分）.

记甲、乙两班学生得分的平均数分别为，方差分别为，已求得

222

�1,�2�1,�2�1=90,�2=33.5.

(1)分别求出甲、乙两班的学生得分为95分及以上的频率；

(2)试计算，并判断哪个班的学生的成绩波动更小.

2

�1

【题型十四】总体百分位数的估计

【例14】（2026·河南周口·模拟预测）已知一组数据3，7，11，7，13，15，则该组数据的第40百分位数为（）

A．7B．9C．11D．12

【变式1】（2026·陕西咸阳·三模）已知样本数据8，12，13，a，17的第80百分位数为16，则（）

�=

A．14B．15C．16D．17

【变式2】（2026·甘肃张掖·二模）米兰冬季奥运会于2026年2月7日至2月23日举行，奖牌榜前10名金牌数如

下：18，12，10，10，8，8，8，6，5，5，则这组数据的第80百分位数为__________．

【变式3】（2024·陕西榆林·一模）某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所

有答卷中随机抽取100份作为样本，将100个样本数据按分成6组，

并整理得到如下频率分布直方图.[30,40),[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90]

(1)请通过频率分布直方图估计这100份样本数据的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）.

(2)该市决定表彰知识竞赛成绩排名前的市民，某市民知识竞赛的成绩是，请估计该市民能否得到表彰

30%78

【解题大招01】分层抽样比例速算技巧

技巧原理

分层抽样核心为全程比例相等，总体、各层、样本抽样比完全统一，无需分步求总人数，可直接列比例式速算，规避分

步计算出错。

核心公式

�����

=⇒��=⋅�

����

式中：总体容量，样本容量，单层总体数，单层抽取样本数

【例1】�某单位老、�中、青员工人�数�分别为120、�1�80、240，采用分层抽样抽取容量为18的样本，求中年员工抽取人

数。

【解题大招02】频率分布直方图三秒读数技巧

技巧原理

直方图核心：纵坐标不是频率，是频率/组距，频率=矩形面积，所有矩形面积和为1，中位数为左右面积各0.5的分界

点。

核心公式

频率

频率组距频数总体容量频率

组距

=×,=×

【例2】一组数据分组区间，组距均为5，对应纵坐标分别为0.02、0.06，求两组数据的总频率。

[10,15),[15,20)

【解题大招03】百分位数快速定位计算技巧

技巧原理

固定两步秒杀：排序→算指数，整数取平均、非整数向上取整，适配所有百分位数题型，无需死记特例。

核心公式

�判=定�规×则�%：

1.，百分位数

��+��+1

2.，向上取整对应位置数据

�∈ℤ=2

【例�∉3】ℤ数据：，求70%百分位数。

12,15,18,20,22,25,28

【解题大招04】平均数平移速算技巧

技巧原理

一组数据全部加减同一个常数，平均数同步加减，方差、标准差不变，适合大数数据快速化简，规避大数运算出错。

��

核心公式

若新数据，则：

【例4】求��数=据��+��=�+的�平均数。

102,104,106,108

【解题大招05】方差缩放平移万能技巧

技巧原理

数据线性变换，均值、方差、标准差有固定变换规律，无需逐一代入计算，直接秒杀。

��=���+�

核心公式

已知原数据均值，方差，若：

2

����=���+�

222

�【=例�5�】+已�,知��数=据��均�,�值�为=|3�，|�方�差为2，求数据的均值与方差。

��2��+1

【解题大招06】众数、中位数快速判定技巧

技巧原理

1.众数：统计图中最高矩形中点横坐标（直方图）、出现次数最多的数据；

2.中位数：直方图中累计面积达0.5的区间，无需精确计算可快速定位区间。

【例6】某直方图三组区间：（面积0.2）、（面积0.5）、（面积0.3），快速判定中位数所在区间。

[0,2)[2,4)[4,6]

【解题大招07】样本与总体方差区分答题技巧

技巧原理

高考答题核心规则：

1.描述整体全部数据，用总体方差，分母；

2.抽取部分样本估计总体，无特殊说明高考统一用分母计算。

�

�

核心公式

总体方差：

21�2

�

样本方差（高�考=通�用）�=1：(�−�)

21�2

�=��=1(��−�)

【例7】求全部数据的总体方差。

3,5,7

【基础过关】（共8题）

一、单选题

1．（2026·江苏扬州·三模）已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（）．

A．4.5B．5C．5.5D．6

2．（2026·广西桂林·模拟预测）高三（2）班有女生20人，男生30人，用分层抽样的方法从该班所有学生中抽取一

个容量为10的样本，则男生应抽取（）

A．3人B．4人C．5人D．6人

3．（2024·福建泉州·模拟预测）从一个含有个个体的总体中抽取一容量为的样本，当选取抽签法、随机数法和分

层随机抽样三种不同方法时，总体中每个个体�被抽中的概率分别为，�三者关系可能是（）

�1,�2,�3

A．B．C．D．

�1=�2<�3�1=�2=�3�1=�3<�2�2=�3<�1

4．（2026·陕西榆林·模拟预测）某同学收集并整理了某市年月日至日每日最高气温（单位：）的数

据（均为整数），并绘制了如图所示的折线图，则月2日02至61日最1高1气温的1中8位数为（）℃

11118

A．B．C．D．

5678.5

二、多选题

5．（2026·山东东营·模拟预测）一组数据1，2，2，4，5，6，8，则（）

A．该组数据的极差为