湖北省武汉市实验中学高一数学第3章函数性质同步练习题及答案

湖北省武汉市实验中学高一数学第3章函数性质同步练习题及答案第1页共1页湖北省武汉市实验中学高一数学第3章函数性质同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.函数f(x)=x²-4x+3的图像的对称轴是（）A.x=-2B.x=2C.x=-1D.x=1参考答案：B2.下列函数中，在其定义域内是减函数的是（）A.y=-2x+1B.y=x²-2x+1C.y=|x|D.y=1/x参考答案：C3.函数f(x)=|x-2|+|x+1|的最小值是（）A.1B.2C.3D.4参考答案：B4.若函数f(x)=x²+mx+1在x=-1时取得极小值，则m的值是（）A.-2B.-4C.2D.4参考答案：B5.函数y=1/(x+1)的图像关于（）对称A.x=-1B.x=1C.y=xD.y=-x参考答案：A6.已知函数f(x)是偶函数，且f(3)=5，则f(-3)的值是（）A.-5B.5C.±5D.无法确定参考答案：B7.函数f(x)=3|x|-2的图像与y轴的交点坐标是（）A.(0,3)B.(0,-2)C.(0,2)D.(0,-3)参考答案：B8.函数y=cos(x)+sin(x)的最大值是（）A.√2B.1C.2D.√3参考答案：A9.若函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，且顶点在x轴上，则f(0)的值是（）A.aB.bC.cD.0参考答案：C10.函数f(x)=|x|在区间[-2,2]上的最大值与最小值分别是（）A.2,0B.0,-2C.2,-2D.4,-4参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.函数f(x)=x²-2x+1的图像的对称轴是______。参考答案：x=12.函数y=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是______。参考答案：13.若函数f(x)=ax+b与g(x)=x-1在x=1处相交，则a的值为______。参考答案：14.函数f(x)=1/x在x→0时，其函数值的变化趋势是______。参考答案：趋于无穷大和趋于负无穷大5.函数y=2x-1的图像与y轴的交点坐标是______。参考答案：(0,-1)6.函数f(x)=x³-x的图像关于______对称。参考答案：原点7.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的最大值与最小值分别是______和______。参考答案：1,-18.函数y=x²-4x+4在区间[0,4]上的最小值是______。参考答案：09.若函数f(x)是偶函数，且f(2)=3，则f(-2)的值为______。参考答案：310.函数f(x)=x²-2x+1的图像开口______。参考答案：向上三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.函数y=x²在区间[0,1]上是增函数。参考答案：√2.如果函数f(x)在某个区间上是单调递减的，那么它的反函数也在该区间上单调递减。参考答案：√3.函数y=1/x在x→0时，其函数值会趋于无穷大或无穷小。参考答案：√4.偶函数的图像一定关于y轴对称。参考答案：×5.函数y=ax²+bx+c的图像的顶点坐标是(-b/2a,4ac-b²/4a)。参考答案：×6.已知函数f(x)=ax+b，若f(1)=3且f(-1)=-1，则a=2，b=2。参考答案：×7.函数y=|x-1|+|x+2|的最小值是3。参考答案：√8.若函数f(x)=x²+mx+1在x=1时取得最小值，则m=-2。参考答案：×9.函数f(x)=1/(x-1)的图像关于点(1,0)中心对称。参考答案：×10.函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的最大值是1，最小值是0。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知函数f(x)=x²-4x+3，判断f(x)在区间(1,3)上是增函数还是减函数，并说明理由。参考答案：f(x)在区间(1,3)上是增函数。理由：f(x)=x²-4x+3的导数f'(x)=2x-4，当x∈(1,3)时，f'(x)0，因此f(x)在(1,3)上是增函数。2.函数g(x)=|x-2|+1的图像关于哪条直线对称？请说明依据。参考答案：g(x)=|x-2|+1的图像关于直线x=2对称。理由：绝对值函数y=|x-a|的图像总是关于直线x=a对称，因此g(x)的图像关于x=2对称。3.若函数h(x)=2^x在R上是增函数，请判断函数k(x)=log₂(x)在R上的单调性，并说明理由。参考答案：k(x)=log₂(x)在R上是增函数。理由：对数函数y=log_a(x)在a1时是增函数，在0a1时是减函数。由于21，所以log₂(x)在R上是增函数。4.函数m(x)=1/x在区间(0,1)上的图像是凹函数还是凸函数？请说明理由。参考答案：m(x)=1/x在区间(0,1)上的图像是凸函数。理由：m(x)=1/x的二阶导数m''(x)=2/x³，当x∈(0,1)时，m''(x)0，因此m(x)在(0,1)上是凸函数。5.判断函数n(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上是增函数还是减函数，并说明理由。参考答案：n(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上是增函数。理由：n(x)的导数n'(x)=cos(x)-sin(x)，当x∈[0,π/2]时，cos(x)≥sin(x)，因此n'(x)≥0，所以n(x)在[0,π/2]上是增函数。6.已知函数p(x)=ax+b，若p(1)=3且p(2)=5，求a和b的值。参考答案：a=2，b=1。理由：根据题意，p(1)=a+b=3，p(2)=2a+b=5。解方程组得a=2，b=1。7.函数q(x)=x³在R上是单调递增函数吗？请说明理由。参考答案：是。理由：函数f(x)=x³的导数f'(x)=3x²，当x∈R时，3x²≥0，因此f(x)在R上是单调递增函数。8.判断命题“若函数f(x)在某个区间上是单调递减的，那么它的反函数也在该区间上单调递增”的真假，并说明理由。参考答案：真。理由：若函数f(x)在某个区间上是单调递减的，则其反函数也在该区间上单调递增。这是反函数单调性的基本性质。五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某城市为了缓解交通压力，对市民出行方式进行了调查。调查发现，市民选择骑自行车出行的人数与天气温度成正相关关系。当温度为20℃时，有200人选择骑自行车出行；当温度为25℃时，有300人选择骑自行车出行。假设该城市某天的温度为22℃，请根据上述信息，建立骑自行车出行人数y与温度x之间的函数关系式，并求出当温度为22℃时，选择骑自行车出行的人数。参考答案：y=10x+1002.某工厂生产一种产品，其成本C（元）与产量x（件）之间的关系可以近似地用函数C(x)=50x+1000表示。该产品的售价P（元）与产量x（件）之间的关系可以近似地用函数P(x)=200-2x表示。请计算当产量为100件时，该工厂的总利润是多少？参考答案：1500元3.某商场为了吸引顾客，推出了一种促销活动。活动规定：顾客购买商品时，可以按照商品原价的80%付款。小明购买了一件原价为500元的商品，请问小明需要支付多少钱？参考答案：400元4.某班级组织了一次篮球比赛，比赛规则规定：每队每场比赛胜1场得2分，负1场得1分。某队在一个赛季中一共参加了10场比赛，胜了6场，负了4场。请问该队在这个赛季中的总得分是多少？参考答案：14分5.某城市为了改善空气质量，计划在市区内建设一批绿化带。绿化带的面积A（平方米）与建设成本C（万元）之间的关系可以近似地用函数A(C)=1000ln(C+1)表示。如果该城市计划投入1000万元用于建设绿化带，请问可以建设多少平方米的绿化带？参考答案：约3675平方米6.某公司生产一种产品，其成本C（元）与产量x（件）之间的关系可以近似地用函数C(x)=50x+1000表示。该产品的售价P（元）与产量x（件）之间的关系可以近似地用函数P(x)=200-2x表示。请计算当产量为100件时，该公司的总利润是多少？参考答案：1500元7.某城市为了缓解交通压力，对市民出行方式进行了调查。调查发现，市民选择乘坐公交车出行的人数与天气温度成负相关关系。当温度为20℃时，有500人选择乘坐公交车出行；当温度为25℃时，有400人选择乘坐公交车出行。假设该城市某天的温度为22℃，请根据上述信息，建立乘坐公交车出行人数y与温度x之间的函数关系式，并求出当温度为22℃时，选择乘坐公交车出行的人数。参考答案：y=-10x+6008.某班级组织了一次数学竞赛，竞赛规则规定：每道题答对得10分，答错或不答扣5分。某同学在竞赛中一共回答了10道题，答对了6道题，答错了4道题。请问该同学在这次竞赛中的总得分是多少？参考答案：55分标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查二次函数图像的对称轴。二次函数f(x)=ax²+bx+c的对称轴公式为x=-b/(2a)。本题中a=1,b=-4，所以对称轴为x=-(-4)/(2×1)=2。选项B正确。2.参考答案：C解析：本题考查常见函数的单调性。一次函数y=-2x+1是减函数，选项A正确；二次函数y=x²-2x+1在x=1处取得极小值，在(-∞,1)上减，在(1,+∞)上增，选项B错误；绝对值函数y=|x|在(-∞,0)上减，在(0,+∞)上增，选项C错误；反比例函数y=1/x在(-∞,0)和(0,+∞)上均为减函数，选项D错误。正确答案为A。3.参考答案：B解析：本题考查绝对值函数的最小值。函数f(x)=|x-2|+|x+1|表示数轴上点x到点2和点-1的距离之和。当x在[-1,2]之间时，距离之和最小，为2-(-1)=3。选项B正确。4.参考答案：B解析：本题考查二次函数的极值。函数f(x)=x²+mx+1的导数为f'(x)=2x+m。在x=-1处取得极小值，则f'(-1)=-2+m=0，解得m=2。选项B正确。5.参考答案：A解析：本题考查反比例函数的对称性。函数y=1/(x+1)的图像是反比例函数y=1/x的图像向左平移1个单位得到的，因此其图像关于直线x=-1对称。选项A正确。6.参考答案：B解析：本题考查偶函数的性质。偶函数满足f(-x)=f(x)。已知f(3)=5，则f(-3)=f(3)=5。选项B正确。7.参考答案：B解析：本题考查绝对值函数的图像。函数f(x)=3|x|-2的图像是y=3|x|的图像向下平移2个单位得到的。当x=0时，y=-2。所以图像与y轴的交点坐标为(0,-2)。选项B正确。8.参考答案：A解析：本题考查三角函数的最值。函数y=cos(x)+sin(x)可以化简为√2sin(x+π/4)。正弦函数的最大值为1，所以y的最大值为√2。选项A正确。9.参考答案：C解析：本题考查二次函数图像的性质。函数f(x)=ax²+bx+c的图像开口向上，则a0。顶点在x轴上，则判别式Δ=b²-4ac=0。f(0)=c，所以f(0)的值等于二次函数的常数项。选项C正确。10.参考答案：A解析：本题考查绝对值函数在区间上的最值。函数f(x)=|x|在区间[-2,2]上是一个V形图像，顶点在原点(0,0)，在x=-2和x=2处取得最大值2，在x=0处取得最小值0。选项A正确。二、填空题1.参考答案：x=1解析：本题考查二次函数的对称轴。二次函数f(x)=x²-2x+1可化为f(x)=(x-1)²，其对称轴为x=1。2.参考答案：1解析：本题考查绝对值函数的最值。函数y=|x-1|在x=1时取得最小值0。3.参考答案：1解析：本题考查函数图像交点。由f(1)=g(1)得a+b=0，又g(1)=-1，故a=1。4.参考答案：趋于无穷大和趋于负无穷大解析：本题考查反比例函数的性质。函数f(x)=1/x在x→0时，左正右负，值趋于无穷大和负无穷大。5.参考答案：(0,-1)解析：本题考查一次函数图像与坐标轴交点。令x=0得y=-1，故交点为(0,-1)。6.参考答案：原点解析：本题考查奇函数的对称性。函数f(x)=x³-x是奇函数，其图像关于原点对称。7.参考答案：1,-1解析：本题考查绝对值函数的最值。函数y=|x|在区间[-1,1]上的最大值为1，最小值为-1。8.参考答案：0解析：本题考查二次函数的最值。函数y=x²-4x+4在区间[0,4]上的最小值为0，当x=2时取得。9.参考答案：3解析：本题考查偶函数的性质。函数f(x)是偶函数，故f(-2)=f(2)=3。10.参考答案：向上解析：本题考查二次函数图像的性质。函数f(x)=x²-2x+1的图像开口向上，因为二次项系数大于0。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查二次函数的单调性。函数y=x²的导数为y'=2x，在区间[0,1]上，x≥0，所以y'≥0，函数在该区间上单调递增。因此说法正确。2.参考答案：√解析：本题考查反函数的性质。如果函数f(x)在某个区间上是单调递减的，那么其反函数f⁻¹(x)在该区间上的对应区间也是单调递减的。因为反函数的增减性与其原函数相反。因此说法正确。3.参考答案：√解析：本题考查反比例函数的极限行为。当x→0时，1/x的值会无限增大或无限减小，即趋于无穷大或无穷小。因此说法正确。4.参考答案：×解析：本题考查偶函数的对称性。偶函数的图像一定关于y轴对称，而不是关于x轴对称。关于x轴对称的是奇函数。因此说法错误。5.参考答案：×解析：本题考查二次函数的顶点坐标公式。函数y=ax²+bx+c的图像的顶点坐标是(-b/2a,c-b²/4a)，而不是4ac-b²/4a。因此说法错误。6.参考答案：×解析：本题考查一次函数的解析式求解。由f(1)=a+b=3和f(-1)=-a+b=-1，联立方程组得a=2，b=1，而不是a=2，b=2。因此说法错误。7.参考答案：√解析：本题考查绝对值函数的性质。函数y=|x-1|+|x+2|可以分段表示为：当x-2时，y=-(x-1)-(x+2)=-2x-1；当-2≤x≤1时，y=-(x-1)+(x+2)=3；当x1时，y=(x-1)+(x+2)=2x+1。在区间[-2,1]上，函数值为3，因此最小值是3。因此说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查二次函数的最值问题。函数f(x)=x²+mx+1在x=1时取得最小值，说明x=1是二次函数的顶点，即-m/2=1，解得m=-2。但是题目中说的是最小值，而不是顶点坐标，因此说法错误。9.参考答案：×解析：本题考查反比例函数的对称性。函数f(x)=1/(x-1)的图像关于直线x=1对称，而不是关于点(1,0)中心对称。因此说法错误。10.参考答案：√解析：本题考查绝对值函数的性质。函数f(x)=|x|在区间[-1,1]上的最大值是1，最小值是0。因为当x=0时，f(x)=0；当x=-1或x=1时，f(x)=1。因此说法正确。四、简答题1.参考答案：f(x)在区间(1,3)上是增函数。理由：f(x)=x²-4x+3的导数f'(x)=2x-4，当x∈(1,3)时，f'(x)0，因此f(x)在(1,3)上是增函数。解析：本题考查二次函数的单调性。首先求导数f'(x)=2x-4，然后判断导数在区间(1,3)上的符号。由于2x-4在x∈(1,3)时始终大于0，所以f(x)在(1,3)上是增函数。该题融合了二次函数求导和单调性判断两个考点。2.参考答案：g(x)=|x-2|+1的图像关于直线x=2对称。理由：绝对值函数y=|x-a|的图像总是关于直线x=a对称，因此g(x)的图像关于x=2对称。解析：本题考查绝对值函数的对称性。绝对值函数y=|x-a|的图像具有对称性，对称轴为x=a。由于g(x)=|x-2|+1中的a=2，所以其图像关于x=2对称。该题融合了绝对值函数图像和对称轴判断两个考点。3.参考答案：k(x)=log₂(x)在R上是增函数。理由：对数函数y=log_a(x)在a1时是增函数，在0a1时是减函数。由于21，所以log₂(x)在R上是增函数。解析：本题考查对数函数的单调性。对数函数y=log_a(x)的单调性与底数a的取值有关。当a1时，对数函数是增函数；当0a1时，对数函数是减函数。由于底数21，所以log₂(x)在R上是增函数。该题融合了对数函数性质和单调性判断两个考点。4.参考答案：m(x)=1/x在区间(0,1)上的图像是凸函数。理由：m(x)=1/x的二阶导数m''(x)=2/x³，当x∈(0,1)时，m''(x)0，因此m(x)在(0,1)上是凸函数。解析：本题考查反比例函数的凹凸性。首先求二阶导数m''(x)=2/x³，然后判断二阶导数在区间(0,1)上的符号。由于2/x³在x∈(0,1)时始终大于0，所以m(x)在(0,1)上是凸函数。该题融合了反比例函数求导和凹凸性判断两个考点。5.参考答案：n(x)=sin(x)+cos(x)在区间[0,π/2]上是增函数。理由：n(x)的导数n'(x)=cos(x)-sin(x)，当x∈[0,π/2]时，cos(x)≥sin(x)，因此n'(x)≥0，所以n(x)在[0,π/2]上是增函数。解析：本题考查三角函数的和的单调性。首先求导数n'(x)=cos(x)-sin(x)，然后判断导数在区间[0,π/2]上的符号。由于在[0,π/2]上，cos(x)≥sin(x)，所以cos(x)-sin(x)≥0，因此n(x)在[0,π/2]上是增函数。该题融合了三角函数求导和单调性判断两个考点。6.参考答案：a=2，b=1。理由：根据题意，p(1)=a+b=3，p(2)=2a+b=5。解方程组得a=2，b=1。解析：本题考查一次函数的解析式求解。根据题意列出方程组a+b=3和2a+b=5，解方程组即可得到a和b的值。该题融合了一次函数解析式求解和方程组解法两个考点。7.参考答案：是。理由：函数f(x)=x³的导数f'(x)=3x²，当x∈R时，3x²≥0，因此f(x)在R上是单调递增函数。解析：本题考查幂函数的单调性。首先求导数f'(x)=3x²，然后判断导数在R上的符号。由于3x²在R上始终大于等于0，所以f(x)在R上是单调递增函数。该题融合了幂函数求导和单调性判断两个考点。8.参考答案：真。理由：若函数f(x)在某个区间上是单调递减的，则其反函数也在该区间上单调递增。这是反函数单调性的基本性质。解析：本题考查反函数的单调性。反函数的单调性与原函数的单调性有直接关系：若原函数在某个区间上是单调递减的，则其反函数在该区间上一定是单调递增的。该题融合了反函数性质和单调性判断两个考点。五、应用题1.参考答案：y=10x+100解析：本题考查一次函数的建立。根据题意，骑自行车出行人数y与温度x成正相关关系，可以设y=kx+b。由题意得，当x=20时，y=200；当x=25时，y=300。代入上述两个方程，得到以下两个方程：200=20k+b300=25k+b解这个方程组，得到k=10，b=100。因此，骑自行车出行人数y与温度x之间的函数关系式为y=10x+100。当温度为22℃时，选择骑自行车出行的人数为y=1022+100=320人。2.参考答案：1500元解析：本题考查函数的应用。根据题意，成本C（元）与产量x（件）之间的关系可以近似地用函数C(x)=50x+1000表示；售价P（元）与产量x（件）之间的关系可以近似地用函数P(x)=200-2x表示。当产量为100件时，成本C=50100+1000=6000元；售价P=200-2100=100元。因此，该工厂的总利润为100100