人教版高三数学第一轮复习线性规划第二章测试卷及答案

人教版高三数学第一轮复习线性规划第二章测试卷及答案第1页共1页人教版高三数学第一轮复习线性规划第二章测试卷及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知变量x,y满足约束条件：x+y≤4,x-y≥1,x≥0,y≥0，则目标函数z=3x+2y在可行域内的最大值为（）A.8B.10C.12D.14参考答案：C2.在平面直角坐标系中，若点A(a,b)在直线l:x-y+1=0上，则点B(-a,-b)到直线l的距离为（）A.1B.√2C.2D.√5参考答案：A3.已知函数f(x)=|x-1|+|x+2|，则f(x)的最小值为（）A.1B.2C.3D.4参考答案：C4.不等式组：{x+y≤3,x-y≥1,x≥0,y≥0}所表示的平面区域的面积为（）A.1B.2C.3D.4参考答案：B5.若点P(a,b)在可行域内，且目标函数z=2a+3b取得最大值6，则a的值为（）A.0B.1C.2D.3参考答案：B6.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y+4=0互相平行，则a的值为（）A.-2B.1C.-2或1D.0参考答案：A7.在约束条件：x+y≤4,x≥0,y≥0下，目标函数z=mx+ny的最大值只与m有关，与n无关，则n的取值范围是（）A.n≥0B.n≤0C.n=0D.n无限制参考答案：C8.已知点A(1,2)和点B(3,0)，则直线AB的方程为（）A.2x+y-4=0B.x-2y+3=0C.x+2y-5=0D.2x-y-1=0参考答案：A9.若可行域为一个三角形，则目标函数z=ax+by在该可行域内必有（）A.最大值，无最小值B.最小值，无最大值C.最大值和最小值D.无最大值和最小值参考答案：C10.已知直线l1:x-y+1=0与直线l2:2x+y-3=0相交于点P，则点P到直线l:x+y-2=0的距离为（）A.√2/3B.√5/3C.1D.2参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知变量x,y满足约束条件：x+y≤4,x-y≥1,x≥0,y≥0，则目标函数z=2x+3y在可行域内的最大值为______。参考答案：72.在平面直角坐标系中，若点A(a,b)在直线l:x-y+1=0上，且a+b=4，则点A的坐标为______。参考答案：(3,1)3.函数f(x)=|x-1|+|x+2|的最小值为______。参考答案：34.不等式组：{x+y≤3,x-y≥1,x≥0,y≥0}的可行域为______边形。参考答案：四5.已知直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y-3=0垂直，则a的值为______。参考答案：-26.若可行域为一个三角形，则目标函数z=ax+by在该可行域内必______有最大值和最小值。参考答案：一定7.已知点P(a,b)在可行域内，且目标函数z=2a+3b取得最大值6，则a+b的取值范围是______。参考答案：[3,4]8.在约束条件：x+y≤4,x≥0,y≥0下，目标函数z=mx+ny取得最大值3，则m+n的值为______。参考答案：39.已知直线l1:x-y+1=0与直线l2:2x+y-3=0相交，则两直线夹角的正切值为______。参考答案：√310.若点A(1,2)和点B(3,0)在直线l上，则直线l的方程为______。参考答案：x-y-1=0三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在线性规划问题中，目标函数的最大值一定在可行域的顶点处取得。参考答案：√2.若线性约束条件中包含等式，则该等式对应的直线一定是可行域的边界。参考答案：√3.当线性规划问题的可行域无界时，目标函数一定不存在最大值或最小值。参考答案：×4.若两个线性约束条件互为相反数，则它们表示的直线是重合的。参考答案：×5.在线性规划模型中，决策变量必须是非负实数。参考答案：√6.若目标函数的系数向量与某个约束条件的系数向量正交，则该约束条件对最优解的位置没有影响。参考答案：×7.在线性规划问题的单纯形法求解过程中，若某次迭代后所有检验数都非正，则已找到最优解。参考答案：√8.若线性规划问题的可行域是一个多边形，则目标函数在该可行域内必有最优解。参考答案：√9.在线性规划模型中，增加一个新的约束条件可能会使原问题的最优解发生变化。参考答案：√10.若线性规划问题的目标函数与某个约束条件平行，则该约束条件对最优解的位置没有影响。参考答案：×四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知线性约束条件为x+y≤4,x≥0,y≥0，请画出可行域。参考答案：见配图2.在可行域中，求目标函数z=3x+2y的最大值。参考答案：最大值为103.若目标函数变为z=2x+5y，请说明如何调整约束条件或目标函数系数，使得最优解发生改变。参考答案：将目标函数系数改为z=5x+3y，最优解将变为(x,y)=(4,0)4.在线性规划问题中，若可行域无界，目标函数一定存在最大值或最小值吗？为什么？参考答案：不一定。若目标函数无界，则不存在最大值或最小值。5.已知某线性规划问题的最优解为(x,y)=(2,3)，请写出该问题的目标函数和约束条件。参考答案：目标函数z=7x+8y，约束条件为x+y≤4,x≥0,y≥06.在线性规划模型中，决策变量有什么要求？为什么？参考答案：决策变量必须是非负实数。因为线性规划模型通常用于资源分配问题，决策变量表示资源的数量，必须非负。7.若两个线性约束条件互为相反数，它们表示的直线有什么关系？参考答案：它们表示的直线重合。8.在单纯形法求解过程中，若某次迭代后所有检验数都非正，这意味着什么？参考答案：这意味着已找到最优解，迭代过程可以停止。五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产A、B两种产品，每件A产品消耗原材料2千克，消耗能源3单位，利润为50元；每件B产品消耗原材料3千克，消耗能源2单位，利润为40元。工厂每周原材料供应量不超过100千克，能源供应量不超过90单位。若工厂每周生产A产品x件，B产品y件，如何安排生产计划，才能使每周利润最大？请写出线性规划模型，并画出可行域和目标函数的图像。参考答案：线性规划模型为：maxz=50x+40y,s.t.2x+3y≤100,3x+2y≤90,x≥0,y≥0.可行域如下图所示：。目标函数的图像为直线族，斜率为-5/6，当直线经过点B时，z取得最大值1900。2.已知线性约束条件为x+y≤6,x≥0,y≥0，求目标函数z=3x+5y的最大值。参考答案：最大值为15。3.在线性规划问题中，若可行域是一个四边形，且目标函数z=2x+3y的系数向量与某个约束条件的系数向量正交，则该约束条件对最优解有什么影响？请举例说明。参考答案：该约束条件对最优解没有影响。因为当目标函数的系数向量与某个约束条件的系数向量正交时，该约束条件对应的直线与目标函数的等值线平行，因此最优解不会在该约束条件的直线上取得。4.已知某线性规划问题的最优解为(x,y)=(4,2)，目标函数为z=5x+4y。若将约束条件x+y≤6改为x+y≤7，最优解会发生什么变化？请说明理由。参考答案：最优解会发生变化，变为(x,y)=(5,3)，z=35。5.某公司生产两种产品，每件产品都需要经过两道工序加工。第一道工序每件产品需要2小时，第二道工序每件产品需要3小时。公司每天最多有40小时的第一道工序时间和50小时的第二道工序时间。若每件产品A的利润为30元，每件产品B的利润为40元。公司每天应生产多少件产品A和产品B，才能使利润最大？请写出线性规划模型，并画出可行域和目标函数的图像。参考答案：线性规划模型为：maxz=30x+40y,s.t.2x+3y≤40,3x+2y≤50,x≥0,y≥0.可行域如下图所示：。目标函数的图像为直线族，斜率为-10/13，当直线经过点C时，z取得最大值320。6.已知线性约束条件为2x+y≤8,x+2y≤10,x≥0,y≥0，求目标函数z=4x+3y的最小值。参考答案：最小值为6。7.在线性规划问题中，若可行域无界，目标函数一定存在最大值或最小值吗？请举例说明。参考答案：不一定。当目标函数的等值线与可行域的边界平行时，目标函数在可行域内无界。8.已知某线性规划问题的最优解为(x,y)=(3,5)，目标函数为z=6x+7y。若将目标函数改为z=7x+6y，最优解会发生什么变化？请说明理由。参考答案：最优解会发生变化，变为(x,y)=(5,3)，z=37。标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查线性规划中目标函数在可行域内的最值问题。先画出可行域，由约束条件x+y≤4,x-y≥1,x≥0,y≥0可得可行域为三角形ABC，其中A(1,3),B(3,1),C(0,4)。目标函数z=3x+2y的几何意义是斜率为-3/2的直线族，当直线过点C(0,4)时，z取得最大值12。故选C。2.参考答案：A解析：本题考查对称点与直线距离问题。由点A(a,b)在直线l:x-y+1=0上，得a-b+1=0，即a=b-1。则点B(-a,-b)的坐标为(-b+1,-b)。点B到直线l的距离d=|-b+1+b+1|/√2=√2。故选A。3.参考答案：C解析：本题考查绝对值函数性质。函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像是折线，由两段直线组成，斜率分别为1和-1。当x=-2时，f(x)取得最小值3。故选C。4.参考答案：B解析：本题考查线性规划中可行域面积计算。由约束条件x+y≤3,x-y≥1,x≥0,y≥0可得可行域为三角形ABC，其中A(1,2),B(3,0),C(0,3)。该三角形面积为1/2×2×3=3。故选B。5.参考答案：B解析：本题考查线性规划中目标函数最值问题。由z=2a+3b=6，得a=3-3b/2。将a代入约束条件x+y≤3,x≥0,y≥0，得x≤3-3b/2,x≤3-y。当a=1时，b=2，点P(1,2)在可行域内，且z=2×1+3×2=86，故a=1。故选B。6.参考答案：A解析：本题考查直线平行条件。由l1∥l2，得a×1=2×(a+1)，解得a=-2。故选A。7.参考答案：C解析：本题考查线性规划中目标函数最值性质。当目标函数z=mx+ny的最大值只与m有关时，直线z=mx+ny必须与x轴平行，即n=0。故选C。8.参考答案：A解析：本题考查直线方程两点式。直线AB的斜率k=(0-2)/(3-1)=-1。由点斜式得y-2=-1(x-1)，即2x+y-4=0。故选A。9.参考答案：C解析：本题考查线性规划中目标函数最值性质。当可行域为三角形时，目标函数z=ax+by在顶点处取得最值。故必有最大值和最小值。故选C。10.参考答案：B解析：本题考查两直线交点与点到直线距离问题。由l1:x-y+1=0与l2:2x+y-3=0联立，解得交点P(2/3,5/3)。点P到直线l:x+y-2=0的距离d=|2/3+5/3-2|/√2=√5/3。故选B。二、填空题1.参考答案：7解析：本题考查线性规划。先作出可行域，由约束条件x+y≤4,x-y≥1,x≥0,y≥0得到四个顶点分别为(0,4),(1,3),(3,1),(4,0)。将目标函数z=2x+3y分别代入四个顶点，得到z在(3,1)处取得最大值7。2.参考答案：(3,1)解析：本题考查直线与点的位置关系。由点A(a,b)在直线l:x-y+1=0上，得到a-b+1=0，即a=b-1。又因为a+b=4，代入得到b-1+b=4，解得b=2.5，a=1.5，所以点A坐标为(1.5,2.5)。3.参考答案：3解析：本题考查绝对值函数的性质。函数f(x)=|x-1|+|x+2|的图像是折线，在x=-2和x=1处有两个转折点。分别计算f(-2)=|-2-1|+|-2+2|=3，f(1)=|1-1|+|1+2|=3，所以最小值为3。4.参考答案：四解析：本题考查线性规划可行域的形状。作出不等式组对应的平面区域，由四个顶点组成一个四边形，所以可行域为四边形。5.参考答案：-2解析：本题考查直线与直线的位置关系。由直线l1:ax+2y-1=0与直线l2:x+(a+1)y-3=0垂直，得到a(a+1)+2×1×(-2)=0，解得a=-2或a=1。6.参考答案：一定解析：本题考查线性规划的性质。若可行域为三角形，则目标函数z=ax+by在三角形三个顶点处取得最值，所以一定有最大值和最小值。7.参考答案：[3,4]解析：本题考查线性规划的应用。由目标函数z=2a+3b取得最大值6，得到2a+3b=6。又因为a+b=4，联立解得a=3，b=1。所以a+b=4，取值范围是[3,4]。8.参考答案：3解析：本题考查线性规划的应用。由目标函数z=mx+ny取得最大值3，得到mn=3。又因为m+n=3，联立解得m=1.5，n=1.5，所以m+n=3。9.参考答案：√3解析：本题考查直线与直线的位置关系。由直线l1:x-y+1=0与直线l2:2x+y-3=0相交，得到两直线夹角的正切值为|k1-k2|/|1+k1k2|，其中k1=-1，k2=-2，代入得到|(-1)-(-2)|/|1+(-1)(-2)|=√3。10.参考答案：x-y-1=0解析：本题考查直线方程的求法。由点A(1,2)和点B(3,0)在直线l上，得到直线l的斜率为(0-2)/(3-1)=-1，所以直线方程为y-2=-1(x-1)，即x-y-1=0。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查线性规划的基本性质。在线性规划理论中，目标函数在可行域上的最优值（最大值或最小值）一定在可行域的顶点（即多边形顶点或单纯形顶点）处取得。这是由线性函数在凸多边形上的性质决定的，因此该说法正确。2.参考答案：√解析：本题考查线性约束条件的几何意义。线性约束条件表示一条直线，若该条件为等式形式，则表示的直线是可行域的边界的一部分。等式约束意味着所有满足该等式的点都在直线上，而可行域的边界由所有满足约束条件的点构成，因此等式约束对应的直线一定是可行域的边界。该说法正确。3.参考答案：×解析：本题考查线性规划可行域无界时的性质。在线性规划中，若可行域无界，目标函数的最大值或最小值不一定不存在。例如，当目标函数的系数向量与可行域的方向向量平行时，目标函数可以在可行域上无限增大或减小，此时目标函数没有有限的最优值。但是，如果目标函数的系数向量与可行域的方向向量不平行，则目标函数在可行域上仍然可以取得有限的最优值。因此，该说法错误。4.参考答案：×解析：本题考查线性约束条件的几何关系。两个线性约束条件互为相反数，例如ax+by=c和ax+by=-c，它们表示的两条直线是平行的，而不是重合的。平行直线有相同的斜率但截距不同，因此它们不会相交，即不会重合。该说法错误。5.参考答案：√解析：本题考查线性规划模型的假设。线性规划模型通常要求决策变量是非负的，这是因为大多数实际应用中的决策变量（如产量、投资额等）都必须是正数或零。因此，决策变量必须是非负实数是线性规划模型的基本假设之一。该说法正确。6.参考答案：×解析：本题考查目标函数系数向量和约束条件系数向量的关系。若目标函数的系数向量与某个约束条件的系数向量正交，这并不意味着该约束条件对最优解的位置没有影响。正交关系只是说明目标函数在该约束条件对应的直线上的变化率为零，但这并不排除该约束条件仍然可能影响最优解的位置。例如，在某些情况下，正交关系可能导致最优解位于该约束条件的直线上，但仍然需要通过其他约束条件来确定具体位置。因此，该说法错误。7.参考答案：√解析：本题考查单纯形法的判断最优解的标准。在单纯形法中，检验数是目标函数系数与约束条件系数矩阵的逆矩阵乘积的结果。若所有检验数都非正（即小于或等于零），则说明当前解已经是最优解，因为再进行任何基变量与非基变量的交换都不会使目标函数值进一步增大或减小。该说法正确。8.参考答案：√解析：本题考查线性规划可行域与最优解的关系。在线性规划中，若可行域是一个多边形（即凸多边形），则根据线性规划的基本性质，目标函数在该可行域内必有最优解，且最优解一定在可行域的顶点处取得。这是由线性函数在凸多边形上的性质决定的。因此，该说法正确。9.参考答案：√解析：本题考查线性规划模型对约束条件的敏感性。在线性规划模型中，增加一个新的约束条件可能会改变可行域的形状和大小，从而可能使原问题的最优解发生变化。例如，增加的约束条件可能会将原最优解排除在新的可行域之外，或者将新的最优解引入可行域内。因此，该说法正确。10.参考答案：×解析：本题考查目标函数与约束条件平行的关系。若线性规划问题的目标函数与某个约束条件平行，这并不意味着该约束条件对最优解的位置没有影响。平行关系只是说明目标函数在该约束条件对应的直线上的变化率与约束条件的变化率相同，但这并不排除该约束条件仍然可能影响最优解的位置。例如，在某些情况下，平行关系可能导致最优解位于该约束条件的直线上，但仍然需要通过其他约束条件来确定具体位置。因此，该说法错误。四、简答题1.参考答案：见配图解析：本题考查线性规划可行域的绘制。根据约束条件x+y≤4,x≥0,y≥0，在平面直角坐标系中绘制三条直线x+y=4,x=0,y=0，并确定可行域为第一象限内由这三条直线围成的三角形区域。2.参考答案：最大值为10解析：本题考查线性规划目标函数的最大值求解。将可行域的三个顶点(0,0),(4,0),(0,4)代入目标函数z=3x+2y，计算得到z在(4,0)处取得最大值10。3.参考答案：将目标函数系数改为z=5x+3y，最优解将变为(x,y)=(4,0)解析：本题考查线性规划目标函数系数变化对最优解的影响。当目标函数变为z=5x+3y时，最优解将沿着可行域的边界移动到(4,0)处，因为该点使目标函数值最大。4.参考答案：不一定。若目标函数无界，则不存在最大值或最小值。解析：本题考查线性规划可行域无界时目标函数的性质。当可行域无界时，若目标函数在可行域内无界增大或减小，则不存在最大值或最小值。例如，目标函数z=x在可行域无界时无最小值。5.参考答案：目标函数z=7x+8y，约束条件为x+y≤4,x≥0,y≥0解析：本题考查线性规划最优解与目标函数、约束条件的关系。将最优解(2,3)代入目标函数，得到z=7×2+8×3=38，因此目标函数为z=7x+8y。约束条件保持不变。6.参考答案：决策变量必须是非负实数。因为线性规划模型通常用于资源分配问题，决策变量表示资源的数量，必须非负。解析：本题考查线性规划决策变量的要求。在线性规划模型中，决策变量表示决策者可以控制的变量，如生产某种产品的数量、投资某种项目的金额等，这些变量必须非负实数。7.参考答案：它们表示的直线重合。解析：本题考查线性规划约束条件的几何意义。若两个线性约束条件互为相反数，则它们表示的直线具有相同的斜率和截距，因此重合。8.参考答案：这意味着已找到最优解，迭代过程可以停止。解析：本题考查单纯形法求解线性规划的终止条件。在单纯形法中，若所有检验数都非正，则当前解已是最优解，迭代过程可以停止。五、应用题1.参考答案：线性规划模型为：maxz=50x+40y,s.t.2x+3y≤100,3x+2y≤90,x≥0,y≥0.可行域如下图所示：。目标函数的图像为直线族，斜率为-5/6，当直线经过点B时，z取得最大值1900。解析：本题考查线性规划模型及其解法。首先根据题意列出线性规划模型，然后画出可行域，最后用图解法求出最优解。可行域的四个顶点分别为A(0,30),B(20,30),C(30,20),D(30,0)，目标函数的