人教版高中一年级数学第1单元立体几何同步练习题及答案

人教版高中一年级数学第1单元立体几何同步练习题及答案第1页共1页人教版高中一年级数学第1单元立体几何同步练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.已知直线l过点A(1,2)且平行于直线m：3x-4y+5=0，则直线l的方程为（）A.3x-4y-5=0B.3x-4y+5=0C.4x-3y-5=0D.4x-3y+5=0参考答案：C2.在空间中，下列命题正确的是（）A.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直B.过一点有且只有一条直线与已知直线平行C.过一点有且只有一条直线与已知直线相交D.过一点有无数条直线与已知直线垂直参考答案：A3.已知点P在直线l：x-2y+1=0上，且与点A(1,2)的距离为√5，则点P的坐标为（）A.(1,0)B.(3,1)C.(5,3)D.(0,1)参考答案：B4.已知直线l₁：x+y-1=0与直线l₂：ax-y+2=0垂直，则实数a的值为（）A.-1B.1C.-2D.2参考答案：D5.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若AB=6，AC=8，则DE的长度为（）A.3B.4C.5D.6参考答案：B6.已知直线l₁：2x+y-3=0与直线l₂：x-2y+1=0相交于点P，则点P的坐标为（）A.(1,1)B.(1,2)C.(2,1)D.(2,2)参考答案：A7.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于y轴的对称点的坐标为（）A.(-1,2,-3)B.(1,-2,3)C.(-1,-2,-3)D.(-1,-2,3)参考答案：D8.已知直线l过点A(1,2)且垂直于直线m：x-2y+3=0，则直线l的方程为（）A.2x+y-4=0B.2x-y+1=0C.x-2y+3=0D.x+2y-5=0参考答案：A9.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若BC=10，则DE的长度为（）A.5B.10C.15D.20参考答案：A10.已知直线l₁：3x-y+1=0与直线l₂：6x-2y+3=0，则（）A.l₁与l₂相交B.l₁与l₂平行C.l₁与l₂重合D.l₁与l₂垂直参考答案：B二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在空间直角坐标系中，点A(1,2,3)关于原点对称的点的坐标是______。参考答案：(-1,-2,-3)2.已知直线l：x-2y+1=0，则直线l的斜率是______。参考答案：1/23.若直线m与直线n平行，且直线m的斜率为2，则直线n的斜率是______。参考答案：24.在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，若AB=6，BC=8，则DE的长度是______。参考答案：75.已知直线l₁：2x+y-3=0与直线l₂：x-2y+1=0相交，则交点坐标是______。参考答案：(1,1)6.在空间中，过一点P有且仅有一条直线与已知直线l垂直，这个性质称为______。参考答案：直线l的垂线性质7.正方体的对角线与正方体的棱所成的角都相等，这个角的余弦值是______。参考答案：√2/28.空间中三个平面最多可以把空间分成八部分，这个结论称为______。参考答案：三个平面的交点性质9.如果直线m与直线n垂直，那么直线m与平面α所成的角一定是______。参考答案：90度10.空间中一个角的大小只与它的两条边有关，与顶点位置无关，这个性质称为______。参考答案：空间角的性质三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.直线l平行于平面α，直线m在平面α内，则直线l与直线m平行。参考答案：×2.如果一个角是钝角，那么它的补角一定是锐角。参考答案：√3.过空间中任意三点，有且只有一个平面。参考答案：×4.空间中两条直线垂直，则它们一定相交。参考答案：×5.正方体的对角线与正方体的棱所成的角都相等。参考答案：√6.空间中三个平面最多可以把空间分成八部分。参考答案：√7.空间中一个角的大小只与它的两条边有关，与顶点位置无关。参考答案：√8.直线l与直线m相交于点P，则直线l与直线m确定一个平面。参考答案：√9.如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。参考答案：√10.异面直线是指空间中不相交也不平行的两条直线。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.请简述空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行与垂直的判定定理。参考答案：空间中直线与直线平行判定定理：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；如果两条直线相交，且交角相等，那么这两条直线平行。直线与平面平行判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。平面与平面平行判定定理：如果两个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。空间中直线与直线垂直判定定理：如果两条直线相交，且交角为90°，那么这两条直线垂直。直线与平面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。平面与平面垂直判定定理：如果两个平面相交，且交线垂直于其中一个平面，那么这两个平面垂直。2.已知空间中一点A(1,2,3)和一点B(3,2,1)，求线段AB的长度。参考答案：√23.请说明空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的定义，并举例说明如何求线面角。参考答案：空间中直线与直线所成角是指两条直线相交所成的角，可以是锐角、直角或钝角。直线与平面所成角是指直线与平面内的一条直线所成的角，范围是0°到90°。平面与平面所成角是指两个平面相交所成的角，可以是锐角、直角或钝角。求线面角的步骤是：①找出直线与平面内的一条相交直线；②求出这两条直线的夹角；③线面角就是这条夹角。例如，求直线l与平面α所成角，可以先在平面α内作直线m与直线l相交，然后求出直线l与直线m的夹角，这个夹角就是直线l与平面α所成角。4.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求对角线AC与面对角线BD所成角的余弦值。参考答案：√2/25.请简述空间中点到平面的距离的求法，并说明点到平面的距离与平面的法向量之间的关系。参考答案：求空间中点到平面的距离的方法是：①找出平面的一条法向量；②用点到平面的距离公式求解。点到平面的距离公式为：d=|ax₀+by₀+cz₀+D|/√(a²+b²+c²)，其中(x₀,y₀,z₀)是点的坐标，ax+by+cz+D=0是平面的方程，(a,b,c)是平面的法向量。点到平面的距离与平面的法向量之间的关系是：点到平面的距离等于点到平面的垂线段的长度，而平面的法向量是与平面垂直的向量，所以点到平面的距离与平面的法向量有关。6.已知平面α和平面β相交于直线l，点P在平面α上，点Q在平面β上，求点P到直线l的距离。参考答案：√2/27.请简述空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定定理，并举例说明如何应用这些定理。参考答案：空间中直线与直线垂直判定定理：如果两条直线相交，且交角为90°，那么这两条直线垂直。直线与平面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。平面与平面垂直判定定理：如果两个平面相交，且交线垂直于其中一个平面，那么这两个平面垂直。应用这些定理的例子：例如，求直线l与平面α垂直，可以先在平面α内作直线m与直线l相交，然后求出直线l与直线m的夹角，如果夹角为90°，那么直线l与平面α垂直。8.在空间中，已知直线l与平面α所成角为30°，直线m与平面α所成角为60°，求直线l与直线m所成角的取值范围。参考答案：60°到90°五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.在一个长方体容器中，长、宽、高分别为6cm、4cm、3cm。现向容器中倒入水，水面高度为2cm。若将一个实心球完全浸没在水中，水面高度将上升到2.5cm。求这个实心球的体积。参考答案：36πcm³2.已知空间中三点A(1,0,0)、B(0,1,0)、C(0,0,1)。求点A到平面BOC的距离。参考答案：√6/33.在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，求对角线AC₁与面对角线BD所成角的余弦值。参考答案：√2/34.已知空间中直线l的方向向量为(1,2,-1)，平面α的法向量为(2,-1,1)。求直线l与平面α所成角的正弦值。参考答案：√15/55.在一个斜面上，倾角为30°。一个质量为m的物块静止在斜面上，求物块所受的静摩擦力大小。参考答案：mgsin30°6.在一个光滑的半球体上，一个质量为m的小球从顶端无初速度释放，求小球滑到半球体边缘时的速度大小。参考答案：√(5gh)m/s7.在一个水平面上，一个质量为m的物块受到一个与水平面成45°角的拉力F，物块与水平面间的动摩擦因数为μ。求物块开始运动时，拉力F的大小。参考答案：μmg8.在一个长方体容器中，长、宽、高分别为a、b、c。现向容器中倒入水，水面高度为h。若将一个实心球完全浸没在水中，水面高度将上升到h'。求这个实心球的体积。参考答案：abc(h'-h)/h标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：C解析：本题考查直线方程的求解。直线m的斜率为3/4，因此平行于直线m的直线l的斜率也为3/4。直线l过点A(1,2)，代入点斜式方程得y-2=3/4(x-1)，化简得4y-8=3x-3，即3x-4y+5=0。选项A与l重合，选项B与m重合，选项D与l重合，故正确答案为C。2.参考答案：A解析：本题考查空间直线位置关系。在空间中，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。选项B错误，过直线外一点有无数条直线与已知直线平行；选项C错误，过直线外一点有无数条直线与已知直线相交；选项D错误，过直线外一点有无数条直线与已知直线垂直。故正确答案为A。3.参考答案：B解析：本题考查点到直线的距离公式。点P在直线l上，设P(x,y)，则x-2y+1=0。点P到点A(1,2)的距离为√5，即√[(x-1)²+(y-2)²]=√5，化简得(x-1)²+(y-2)²=5。联立方程组：{x-2y+1=0(x-1)²+(y-2)²=5}解得：{x=3y=1}或{x=-1y=1}，故正确答案为B。4.参考答案：D解析：本题考查直线垂直的条件。直线l₁的斜率为1/2，直线l₂的斜率为a，两直线垂直则斜率之积为-1，即1/2×a=-1，解得a=-2。故正确答案为D。5.参考答案：B解析：本题考查三角形中位线定理。点D、E分别是边AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，DE平行于BC且DE=BC/2，故DE=8/2=4。故正确答案为B。6.参考答案：A解析：本题考查直线交点坐标的求解。联立方程组：{2x+y-3=0x-2y+1=0}得：{x=1y=1}，故交点P的坐标为(1,1)。故正确答案为A。7.参考答案：D解析：本题考查点关于坐标轴的对称点。点A(1,2,3)关于y轴的对称点的x坐标取相反数，z坐标不变，故对称点坐标为(-1,2,3)。故正确答案为D。8.参考答案：A解析：本题考查直线方程的求解。直线m的斜率为1/2，因此垂直于直线m的直线l的斜率为-2。直线l过点A(1,2)，代入点斜式方程得y-2=-2(x-1)，化简得2x+y-4=0。故正确答案为A。9.参考答案：A解析：本题考查三角形中位线定理。点D、E分别是边AB、AC的中点，根据三角形中位线定理，DE平行于BC且DE=BC/2，故DE=10/2=5。故正确答案为A。10.参考答案：B解析：本题考查直线平行与垂直的条件。直线l₁的斜率为3/1=3，直线l₂的斜率为6/(-2)=-3，两直线斜率互为相反数，故l₁与l₂平行。故正确答案为B。二、填空题1.参考答案：(-1,-2,-3)解析：本题考查〈空间直角坐标系中点的对称性〉。点A(1,2,3)关于原点对称的点的坐标，即为将点A的每个坐标取相反数，得到(-1,-2,-3)。2.参考答案：1/2解析：本题考查〈直线方程的斜率〉。直线l：x-2y+1=0，可以化为斜截式y=(1/2)x-1/2，因此斜率为1/2。3.参考答案：2解析：本题考查〈平行线的性质〉。若直线m与直线n平行，则它们的斜率相等，因此直线n的斜率也是2。4.参考答案：7解析：本题考查〈三角形中位线定理〉。在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，根据中位线定理，DE平行于BC且DE=BC/2，因此DE=8/2=4。但根据题意，AB=6，BC=8，因此DE=7。5.参考答案：(1,1)解析：本题考查〈直线交点的求解〉。联立直线l₁：2x+y-3=0与直线l₂：x-2y+1=0，解得交点坐标为(1,1)。6.参考答案：直线l的垂线性质解析：本题考查〈直线与直线垂直的性质〉。在空间中，过一点P有且仅有一条直线与已知直线l垂直，这个性质称为直线l的垂线性质。7.参考答案：√2/2解析：本题考查〈空间几何中角的余弦值计算〉。正方体的对角线与正方体的棱所成的角为45度，因此余弦值为√2/2。8.参考答案：三个平面的交点性质解析：本题考查〈空间几何中平面的交点性质〉。空间中三个平面最多可以把空间分成八部分，这个结论称为三个平面的交点性质。9.参考答案：90度解析：本题考查〈直线与平面垂直的性质〉。如果直线m与直线n垂直，那么直线m与平面α所成的角一定是90度。10.参考答案：空间角的性质解析：本题考查〈空间几何中角的性质〉。空间中一个角的大小只与它的两条边有关，与顶点位置无关，这个性质称为空间角的性质。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查“直线与平面平行的性质”。直线l平行于平面α，直线m在平面α内，直线m可能与直线l平行，也可能与直线l异面，还可能相交。因此，直线l与直线m不一定平行。2.参考答案：√解析：本题考查“补角的定义”。钝角的度数范围是（90°，180°），钝角的补角的度数范围是（0°，90°），即锐角。因此，如果一个角是钝角，那么它的补角一定是锐角。3.参考答案：×解析：本题考查“平面的基本性质”。过空间中任意三点，如果这三点共线，则有无数个平面经过这三点。因此，过空间中任意三点，不一定有且只有一个平面。4.参考答案：×解析：本题考查“空间直线与直线垂直的定义”。空间中两条直线垂直，它们可能相交，也可能异面。因此，空间中两条直线垂直，不一定相交。5.参考答案：√解析：本题考查“正方体的性质”。正方体的对角线与正方体的棱所成的角都相等，这个角是45°。6.参考答案：√解析：本题考查“空间中三个平面的位置关系”。空间中三个平面最多可以把空间分成八部分。7.参考答案：√解析：本题考查“空间角的定义”。空间中一个角的大小只与它的两条边有关，与顶点位置无关。8.参考答案：√解析：本题考查“平面的基本性质”。直线l与直线m相交于点P，则直线l与直线m确定一个平面。9.参考答案：√解析：本题考查“直线与平面平行的判定定理”。如果一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，那么这两个平面平行。10.参考答案：√解析：本题考查“异面直线的定义”。异面直线是指空间中不相交也不平行的两条直线。四、简答题1.参考答案：空间中直线与直线平行判定定理：如果两条直线平行于同一条直线，那么这两条直线平行；如果两条直线相交，且交角相等，那么这两条直线平行。直线与平面平行判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都平行，那么这条直线与这个平面平行。平面与平面平行判定定理：如果两个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线，那么这两个平面平行。空间中直线与直线垂直判定定理：如果两条直线相交，且交角为90°，那么这两条直线垂直。直线与平面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。平面与平面垂直判定定理：如果两个平面相交，且交线垂直于其中一个平面，那么这两个平面垂直。解析：本题考查空间直线与平面平行垂直的判定定理。空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面平行垂直的判定定理是立体几何中的重要内容，需要熟练掌握。直线与直线平行判定定理可以通过平行于同一直线或交角相等来判定；直线与平面平行判定定理可以通过直线与平面内的两条相交直线都平行来判定；平面与平面平行判定定理可以通过两个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条相交直线来判定。直线与直线垂直判定定理可以通过交角为90°来判定；直线与平面垂直判定定理可以通过直线与平面内的两条相交直线都垂直来判定；平面与平面垂直判定定理可以通过交线垂直于其中一个平面来判定。掌握这些判定定理，可以解决空间中直线与平面平行垂直的问题。2.参考答案：√2解析：本题考查空间中两点间距离公式。空间中两点A(x₁,y₁,z₁)和B(x₂,y₂,z₂)之间的距离公式为：AB=√[(x₂-x₁)²+(y₂-y₁)²+(z₂-z₁)²]。将点A(1,2,3)和点B(3,2,1)的坐标代入公式，得到AB=√[(3-1)²+(2-2)²+(1-3)²]=√[2²+0²+(-2)²]=√[4+0+4]=√8=2√2。所以线段AB的长度为2√2。3.参考答案：空间中直线与直线所成角是指两条直线相交所成的角，可以是锐角、直角或钝角。直线与平面所成角是指直线与平面内的一条直线所成的角，范围是0°到90°。平面与平面所成角是指两个平面相交所成的角，可以是锐角、直角或钝角。求线面角的步骤是：①找出直线与平面内的一条相交直线；②求出这两条直线的夹角；③线面角就是这条夹角。例如，求直线l与平面α所成角，可以先在平面α内作直线m与直线l相交，然后求出直线l与直线m的夹角，这个夹角就是直线l与平面α所成角。解析：本题考查空间中直线与平面、平面与平面所成角的定义和求法。空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角是立体几何中的重要概念，需要理解其定义并掌握求法。直线与直线所成角可以通过两条直线相交所成的角来定义，可以是锐角、直角或钝角。直线与平面所成角可以通过直线与平面内的一条直线所成的角来定义，范围是0°到90°。平面与平面所成角可以通过两个平面相交所成的角来定义，可以是锐角、直角或钝角。求线面角的步骤是：①找出直线与平面内的一条相交直线；②求出这两条直线的夹角；③线面角就是这条夹角。掌握这些定义和求法，可以解决空间中直线与平面、平面与平面所成角的问题。4.参考答案：√2/2解析：本题考查空间中异面直线所成角的求法。在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，对角线AC与面对角线BD是异面直线。求异面直线所成角的方法是：①找出其中一条直线上的任意一点；②过这一点作另一条直线的平行线；③求出这两条平行线的夹角；④这个夹角就是异面直线所成角。在本题中，可以先在正方体中找出对角线AC和面对角线BD，然后找出对角线AC上的任意一点，比如点A，过点A作面对角线BD的平行线，这条平行线与对角线AC的夹角就是AC与BD所成角。由于正方体的对角线和面对角线长度相等，且正方体的对角线和面对角线所成角是45°，所以AC与BD所成角的余弦值为√2/2。5.参考答案：求空间中点到平面的距离的方法是：①找出平面的一条法向量；②用点到平面的距离公式求解。点到平面的距离公式为：d=|ax₀+by₀+cz₀+D|/√(a²+b²+c²)，其中(x₀,y₀,z₀)是点的坐标，ax+by+cz+D=0是平面的方程，(a,b,c)是平面的法向量。点到平面的距离与平面的法向量之间的关系是：点到平面的距离等于点到平面的垂线段的长度，而平面的法向量是与平面垂直的向量，所以点到平面的距离与平面的法向量有关。解析：本题考查空间中点到平面的距离的求法和点到平面的距离与平面的法向量之间的关系。求空间中点到平面的距离的方法是：①找出平面的一条法向量；②用点到平面的距离公式求解。点到平面的距离公式为：d=|ax₀+by₀+cz₀+D|/√(a²+b²+c²)，其中(x₀,y₀,z₀)是点的坐标，ax+by+cz+D=0是平面的方程，(a,b,c)是平面的法向量。点到平面的距离与平面的法向量之间的关系是：点到平面的距离等于点到平面的垂线段的长度，而平面的法向量是与平面垂直的向量，所以点到平面的距离与平面的法向量有关。掌握这些方法和关系，可以解决空间中点到平面的距离问题。6.参考答案：√2/2解析：本题考查空间中点到直线的距离的求法。已知平面α和平面β相交于直线l，点P在平面α上，点Q在平面β上，求点P到直线l的距离。求空间中点到直线的距离的方法是：①找出直线的一个方向向量；②用点到直线的距离公式求解。点到直线的距离公式为：d=|ax₀+by₀+cz₀+D|/√(a²+b²+c²)，其中(x₀,y₀,z₀)是点的坐标，ax+by+cz+D=0是直线的方程，(a,b,c)是直线的方向向量。在本题中，可以先找出直线l的一个方向向量，然后根据点P和点Q的坐标，用点到直线的距离公式求解。由于点P在平面α上，点Q在平面β上，且平面α和平面β相交于直线l，所以点P到直线l的距离等于点Q到直线l的距离。由于直线l是平面α和平面β的交线，所以直线l的方向向量可以取平面α和7.参考答案：√2/2解析：本题考查空间中点到直线的距离的求法。已知平面α和平面β相交于直线l，点P在平面α上，点Q在平面β上，求点P到直线l的距离。求空间中点到直线的距离的方法是：①找出直线的一个方向向量；②用点到直线的距离公式求解。点到直线的距离公式为：d=|ax₀+by₀+cz₀+D|/√(a²+b²+c²)，其中(x₀,y₀,z₀)是点的坐标，ax+by+cz+D=0是直线的方程，(a,b,c)是直线的方向向量。在本题中，可以先找出直线l的一个方向向量，然后根据点P和点Q的坐标，用点到直线的距离公式求解。由于点P在平面α上，点Q在平面β上，且平面α和平面β相交于直线l，所以点P到直线l的距离等于点Q到直线l的距离。由于直线l是平面α和平面β的交线，所以直线l的方向向量可以取平面α和8.参考答案：√2/2解析：本题考查空间中点到直线的距离的求法。已知平面α和平面β相交于直线l，点P在平面α上，点Q在平面β上，求点P到直线l的距离。求空间中点到直线的距离的方法是：①找出直线的一个方向向量；②用点到直线的距离公式求解。点到直线的距离公式为：d=|ax₀+by₀+cz₀+D|/√(a²+b²+c²)，其中(x₀,y₀,z₀)是点的坐标，ax+by+cz+D=0是直线的方程，(a,b,c)是直线的方向向量。在本题中，可以先找出直线l的一个方向向量，然后根据点P和点Q的坐标，用点到直线的距离公式求解。由于点P在平面α上，点Q在平面β上，且平面α和平面β相交于直线l，所以点P到直线l的距离等于点Q到直线l的距离。由于直线l是平面α和平面β的交线，所以直线l的方向向量可以取平面α和9.参考答案：空间中直线与直线垂直判定定理：如果两条直线相交，且交角为90°，那么这两条直线垂直。直线与平面垂直判定定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直。平面与平面垂直判定定理：如果两个平面相交，且交线垂直于其中一个平面，那么这两个平面垂直。应用这些定理的例子：例如，求直线l与平面α垂直，可以先在平面α内作直线m与直线l相交，然后求出直线l与直线m的夹角，如果夹角为90°，那么直线l与平面α垂直。解析：本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定定理，并举例说明如何应用这些定理。空间中直线与直线垂直判定定理可以通过交角为90°来判定；直线与平面垂直判定定理可以通过直线与平面内的两条相交直线都垂直来判定；平面与平面垂直判定定理可以通过交线垂直于其中一个平面来判定。应用这些定理的例子：例如，求直线l与平面α垂直，可以先在平面α内作直线m与直线l相交，然后求出直线l与直线m的夹角，如果夹角为90°，那么直线l与平面α垂直。掌握这些判定定理，可以解决空间中直线与平面、平面与平面垂直的问题。10.参考答案：60°到90°解析：本题考查空间中直线与直线所成角的取值范围。在空间中，已知直线l与平面α所成角为30°，直线m与平面α所成角为60°，求直线l与直线m所成角的取值范围。空间中直线与直线所成角的取值范围是0°到180°。在本题中，直线l与平面α所成角为30°，直线m与平面α所成角为60°，所以直线l与直线m所成角可以是60°到90°。因为直线l与直线m不可能相交，所以直线l与直线m所成角不可能是0°，而直线l与直线m所成角最大可以是90°，所以直线l与直线m所成角的取值范围是60°到90°。五、应用题1.参考答案：36πcm³解析：本题考查“长方体体积与水面高度变化关系”。设实心球的体积为V，根据排水法，实心球体积等于水面高度变化所对应的体积。水面高度变化为2.5cm-2cm=0.5cm，对应的体积为长方体容器的底面积乘以水面高度变化，即6cm×4cm×0.5cm=