上海市浦东新区实验中学高三数学第4章概率统计综合练习题及答案

上海市浦东新区实验中学高三数学第4章概率统计综合练习题及答案第1页共1页上海市浦东新区实验中学高三数学第4章概率统计综合练习题及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.一个袋子里有5个红球和7个蓝球，从中随机抽取一个球，放回后再抽取一个球，两个球都是红球的概率是A.5/12B.25/144C.5/24D.7/24参考答案：B2.已知一组数据：3,5,7,9,x，其方差为9，则x的值是A.3B.5C.7D.9参考答案：C3.某班级有50名学生，其中30名男生和20名女生，现要随机选出3名学生参加比赛，其中至少有一名女生的概率是A.0.4B.0.6C.0.7D.0.8参考答案：B4.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.4，且A与B互斥，则事件A或B发生的概率是A.0.24B.0.4C.0.84D.1参考答案：C5.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且μ=0，σ=1，则P(X1)的值是A.0.1587B.0.8413C.0.5D.0.3413参考答案：A6.在回归分析中，相关系数r的绝对值越接近1，说明两个变量的线性关系A.越弱B.越强C.无关D.不确定参考答案：B7.若事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.5，且A与B相互独立，则事件A和事件B同时发生的概率是A.0.35B.0.5C.0.85D.1参考答案：A8.已知一组数据的平均数为6，标准差为2，则这组数据中至少有一个数的概率是A.0.6826B.0.9544C.0.9974D.1参考答案：D9.若事件A的概率为0.4，事件B的概率为0.6，且A与B相互独立，则事件A的补事件的概率是A.0.4B.0.6C.0.7D.0.9参考答案：A10.已知一组数据的方差为4，则这组数据的标准差是A.2B.4C.8D.16参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.已知一组数据：5.2,6.8,7.5,8.3,9.1,x，其样本平均数为7.8，则x的值为______。参考答案：8.42.从一副扑克牌中（除去大小王）随机抽取一张，抽到红桃的概率为______。参考答案：0.253.若事件A的概率为0.6，事件B的概率为0.3，且A与B互斥，则事件A与B同时发生的概率为______。参考答案：04.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，且μ=0，σ=1，则P(X1)的值为______。参考答案：0.15875.在一个样本容量为50的样本中，样本方差S²=4，则样本标准差S的值为______。参考答案：26.已知一组数据的平均数为5，标准差为2，若将每个数据都减去3，则新数据的平均数为______，标准差为______。参考答案：2,27.若事件A的概率为0.7，事件B的概率为0.5，且A与B相互独立，则事件A或B发生的概率为______。参考答案：0.958.已知一组数据的平均数为6，标准差为2，则这组数据中至少有一个数的绝对值不小于______。参考答案：49.在直角坐标系中，点A的坐标为(2,3)，点B的坐标为(5,7)，则向量AB的模长为______。参考答案：510.已知函数f(x)=x²-4x+3，则函数的顶点坐标为______。参考答案：(2,1)三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，且A与B互斥，则事件A与事件B的并的概率P(A∪B)=0.4。参考答案：×2.从一副标准的52张扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率是13/52。参考答案：√3.若随机变量X服从二项分布B(n,p)，且E(X)=6，D(X)=3，则n=10，p=0.6。参考答案：×4.一个盒子里有5个红球和3个白球，从中随机抽取一个球，抽到红球的概率是5/8。参考答案：√5.已知一组数据：4,6,8,10,12，其方差是8。参考答案：×6.若事件A的概率P(A)=0.7，事件A的补事件的概率P(Ā)=0.3。参考答案：√7.若一组数据的样本容量为25，样本平均数为10，样本方差S²=4，则样本标准差为2。参考答案：√8.若事件A的概率P(A)=0.5，事件B的概率P(B)=0.5，且A与B相互独立，则事件A与事件B的并的概率P(A∪B)=0.5。参考答案：×9.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=5，σ=2，则P(X7)=P(X3)。参考答案：√10.在一个样本容量为50的样本中，样本方差S²=4，则样本标准差为2。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知一组数据：5.2,6.3,7.1,8.5,9.0,10.1，求这组数据的样本平均数和样本方差。参考答案：样本平均数为7.9，样本方差为4.92.某射手射击一次命中目标的概率为0.7，他连续射击3次，求至少命中2次的概率。参考答案：0.913.一个袋子里有5个红球和7个白球，从中随机抽取2个球，求抽到的2个球颜色相同的概率。参考答案：0.394.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.4，且事件A与事件B相互独立，求P(A∪B)。参考答案：0.845.在一个样本容量为30的样本中，样本平均数为15，样本方差S²=9，求总体平均数的点估计和置信区间（置信水平为95%）。参考答案：总体平均数的点估计为15，置信区间为(13.5,16.5)6.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ²)，其中μ=10，σ=2，求P(X12)。参考答案：0.10567.若事件A的概率P(A)=0.8，事件B的概率P(B)=0.6，且P(A∩B)=0.4，求事件A与事件B的独立性。参考答案：独立8.在独立性检验中，如果K²统计量的观测值大于临界值，就接受原假设。现有一组数据，计算得到的K²统计量的观测值为5.32，临界值为3.84，判断是否接受原假设。参考答案：接受原假设五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某气象站统计了某地区过去一年中每天的最高气温，数据如下（单位：℃）：28.5,29.2,30.1,27.8,26.9,31.5,30.3,29.8,27.5,28.9,30.7,32.1,33.0,34.2,35.1,36.3,37.5,38.2,39.0,40.5,41.2,42.0,43.1,44.5,45.2,46.0,47.3,48.1,49.0,50.2,51.0,52.3,53.1,54.0,55.5,56.2,57.0,58.1,59.0,60.5,61.2,62.0,63.1,64.5,65.2,66.0,67.3,68.1,69.0,70.2,71.0,72.3,73.1,74.0,75.5,76.2,77.0,78.1,79.0,80.5,81.2,82.0,83.1,84.5,85.2,86.0,87.3,88.1,89.0,90.2,91.0,92.3,93.1,94.0,95.5,96.2,97.0,98.1,99.0,100.5.请根据这些数据绘制一个频率分布直方图，并计算样本的均值和标准差。参考答案：频率分布直方图、样本均值、样本标准差2.某环保组织对某河流的水质进行了抽样调查，随机抽取了10个样本，测得每个样本中溶解氧的含量（单位：mg/L）分别为：8.2,7.5,9.1,8.8,7.9,8.5,8.3,9.0,8.7,8.6.请计算样本的样本均值、样本方差和样本标准差，并估计该河流溶解氧含量的总体均值和总体标准差的置信区间（置信水平为95%）。参考答案：样本均值、样本方差、样本标准差、置信区间3.某城市交通管理局统计了某条主干道在高峰时段的车辆流量，数据如下（单位：辆/小时）：1200,1250,1300,1350,1400,1450,1500,1550,1600,1650.请根据这些数据绘制一个折线图，并计算样本的均值、中位数和众数。参考答案：折线图、样本均值、中位数、众数4.某工厂生产一种电子元件，其寿命服从指数分布，平均寿命为1000小时。现随机抽取了20个元件进行寿命测试，得到的数据如下（单位：小时）：950,980,1010,1040,1070,1100,1130,1160,1190,1220,1250,1280,1310,1340,1370,1400,1430,1460,1490,1520.请计算样本的样本均值和样本方差，并检验该电子元件的寿命是否服从指数分布（显著性水平为0.05）。参考答案：样本均值、样本方差、假设检验5.某学校为了解学生的课外阅读情况，随机抽取了100名学生进行调查，得到的数据如下（单位：小时/周）：0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,17,18,19,20,21,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,41,42,43,44,45,46,47,48,49,50,51,52,53,54,55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91,92,93,94,95,96,97,98,99,100.请根据这些数据绘制一个直方图，并计算样本的均值、中位数和众数。参考答案：直方图、样本均值、中位数、众数6.某公司对员工的满意度进行了调查，随机抽取了50名员工进行调查，得到的数据如下（单位：分）：80,85,90,95,100,75,80,85,90,95,100,70,75,80,85,90,95,100,65,70,75,80,85,90,95,100,60,65,70,75,80,85,90,95,100,55,60,65,70,75,80,85,90,95,100,50,55,60,65,70.请根据这些数据绘制一个饼图，并计算样本的均值、中位数和众数。参考答案：饼图、样本均值、中位数、众数7.某商场进行了一次促销活动，随机抽取了100名顾客进行调查，得到的数据如下（单位：元）：100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500,100,200,300,400,500.请根据这些数据绘制一个柱状图，并计算样本的均值、中位数和众数。参考答案：柱状图、样本均值、中位数、众数8.某医院对患者的满意度进行了调查，随机抽取了100名患者进行调查，得到的数据如下（单位：分）：90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55,90,95,100,85,80,75,70,65,60,55.请根据这些数据绘制一个折线图，并计算样本的均值、中位数和众数。参考答案：折线图、样本均值、中位数、众数标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：B解析：本题考查古典概型。第一次抽到红球的概率是5/12，放回后第二次抽到红球的概率仍然是5/12，所以两个球都是红球的概率是(5/12)×(5/12)=25/144。2.参考答案：C解析：本题考查方差。方差是各数据与平均数差的平方的平均数。首先计算平均数：(3+5+7+9+x)/5=7+x/5，然后计算方差：((3-7)^2+(5-7)^2+(7-7)^2+(9-7)^2+(x-7)^2)/5=9，解得x=7。3.参考答案：B解析：本题考查超几何分布。至少有一名女生的概率等于1减去没有女生的概率，没有女生的概率是C(30,3)/C(50,3)=0.4，所以至少有一名女生的概率是1-0.4=0.6。4.参考答案：C解析：本题考查互斥事件的概率。互斥事件是指两个事件不可能同时发生，所以事件A或B发生的概率是P(A)+P(B)=0.6+0.4=1。5.参考答案：A解析：本题考查正态分布。正态分布的对称轴是μ=0，所以P(X1)=1-P(X≤1)=1-0.8413=0.1587。6.参考答案：B解析：本题考查相关系数。相关系数r的绝对值越接近1，说明两个变量的线性关系越强。7.参考答案：A解析：本题考查独立事件的概率。独立事件是指两个事件的发生互不影响，所以事件A和事件B同时发生的概率是P(A)×P(B)=0.7×0.5=0.35。8.参考答案：D解析：本题考查正态分布。标准差为2，所以至少有一个数的概率是1。9.参考答案：A解析：本题考查补事件的概率。补事件是指事件A不发生的概率，所以事件A的补事件的概率是1-P(A)=1-0.4=0.6。10.参考答案：A解析：本题考查标准差。标准差是方差的平方根，所以标准差是√4=2。二、填空题1.参考答案：8.4解析：本题考查样本平均数的计算。样本平均数公式为：\bar{x}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i}{n}。代入已知条件：7.8=5.2+6.8+7.5+8.3+9.1+x/6，解得x=8.4。2.参考答案：0.25解析：本题考查古典概型概率。一副扑克牌有52张，红桃有13张，故抽到红桃的概率为13/52=0.25。3.参考答案：0解析：本题考查互斥事件的概率。互斥事件指两个事件不能同时发生，故事件A与B同时发生的概率为0。4.参考答案：0.1587解析：本题考查标准正态分布。已知X服从N(0,1)，则P(X1)=1-P(X≤1)=1-0.8413=0.1587（查标准正态分布表）。5.参考答案：2解析：本题考查样本标准差的计算。样本标准差是样本方差的平方根，故S=\sqrt{4}=2。6.参考答案：2,2解析：本题考查数据变换对方差和标准差的影响。将每个数据都减去3，平均数减3，方差不变，故新数据的标准差仍为2。7.参考答案：0.95解析：本题考查独立事件的概率。独立事件指一个事件的发生不影响另一个事件的发生，故P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.7+0.5-0.7×0.5=0.95。8.参考答案：4解析：本题考查标准差的意义。至少有一个数的绝对值不小于k，等价于所有数的绝对值都不小于k的补事件概率为0。根据切比雪夫不等式，P(|X-μ|≥kσ)≤1/k^2，故1/k^2=1/4，解得k=2，即kσ=4。9.参考答案：5解析：本题考查向量的模长计算。向量AB的模长为\sqrt{(5-2)^2+(7-3)^2}=\sqrt{9+16}=5。10.参考答案：(2,1)解析：本题考查二次函数的顶点坐标。函数f(x)=x²-4x+3可化为f(x)=(x-2)²-1，故顶点坐标为(2,-1)。三、判断题1.参考答案：×解析：本题考查互斥事件的概率加法公式。互斥事件A与B的并的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)。由题意P(A)=0.6，P(B)=0.4，故P(A∪B)=0.6+0.4=1。题干说法错误。2.参考答案：√解析：本题考查古典概型概率计算。一副标准扑克牌有52张，红桃有13张，故抽到红桃的概率为13/52，即1/4。题干说法正确。3.参考答案：×解析：本题考查二项分布的期望与方差。二项分布B(n,p)的期望E(X)=np，方差D(X)=np(1-p)。由题意E(X)=6，D(X)=3，得np=6，np(1-p)=3。解得p=0.6，代入np=6得n=10。题干说法正确。4.参考答案：√解析：本题考查古典概型概率计算。盒子里共有5+3=8个球，红球有5个，故抽到红球的概率为5/8。题干说法正确。5.参考答案：×解析：本题考查样本方差的计算。一组数据4,6,8,10,12的平均数为(4+6+8+10+12)/5=8。方差S²=[(4-8)²+(6-8)²+(8-8)²+(10-8)²+(12-8)²]/5=[16+4+0+4+16]/5=40/5=8。题干说法正确。6.参考答案：√解析：本题考查对立事件的概率。事件A的补事件的概率P(Ā)=1-P(A)。由题意P(A)=0.7，故P(Ā)=1-0.7=0.3。题干说法正确。7.参考答案：√解析：本题考查样本方差的计算。样本方差S²=4，则样本标准差S=√S²=√4=2。题干说法正确。8.参考答案：×解析：本题考查独立事件的概率乘法公式。独立事件A与B的并的概率P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)。由题意P(A)=0.5，P(B)=0.5，故P(A∪B)=0.5+0.5-0.5×0.5=1-0.25=0.75。题干说法错误。9.参考答案：√解析：本题考查正态分布的对称性。正态分布N(μ,σ²)的密度函数关于x=μ对称。由题意μ=5，故P(X7)=P(X3)。题干说法正确。10.参考答案：√解析：本题考查样本方差的计算。样本方差S²=4，则样本标准差S=√S²=√4=2。题干说法正确。四、简答题1.参考答案：样本平均数为7.9，样本方差为4.9解析：本题考查样本平均数和样本方差的计算。样本平均数=(5.2+6.3+7.1+8.5+9.0+10.1)/6=7.9。样本方差=[(5.2-7.9)²+(6.3-7.9)²+(7.1-7.9)²+(8.5-7.9)²+(9.0-7.9)²+(10.1-7.9)²]/6=4.9。2.参考答案：0.91解析：本题考查独立事件的概率计算。至少命中2次包括命中2次和命中3次，P(至少命中2次)=P(命中2次)+P(命中3次)=C(3,2)×0.7²×0.3+0.7³=0.91。3.参考答案：0.39解析：本题考查古典概型。抽到2个球颜色相同的概率=P(2个红球)+P(2个白球)=C(5,2)/C(12,2)+C(7,2)/C(12,2)=0.39。4.参考答案：0.84解析：本题考查独立事件的概率计算。P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.6+0.4-0.6×0.4=0.84。5.参考答案：总体平均数的点估计为15，置信区间为(13.5,16.5)解析：本题考查点估计和置信区间的计算。总体平均数的点估计为样本平均数，即15。置信区间=(样本平均数-t×标准误差,样本平均数+t×标准误差)，其中标准误差=√(样本方差/样本容量)=√(9/30)，t值根据95%置信水平查表得2.042，故置信区间为(13.5,16.5)。6.参考答案：0.1056解析：本题考查正态分布的概率计算。P(X12)=P((X-10)/2(12-10)/2)=1-P(Z≤1)=1-0.8413=0.1056。7.参考答案：独立解析：本题考查独立性检验。P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.8=0.48≠0.4，故事件A与事件B不独立。8.参考答案：接受原假设解析：本题考查独立性检验。K²统计量的观测值大于临界值，即5.323.84，故接受原假设。五、应用题1.参考答案：频率分布直方图、样本均值、样本标准差解析：本题考查频率分布直方图的绘制和样本均值、样本标准差的计算。首先，根据题干数据，确定数据范围和分组区间，绘制频率分布直方图。然后，计算样本均值和样本标准差。样本均值为所有数据之和除以数据个数，样本标准差反映数据的离散程度。计算结果为样本均值约为33.5℃，样本标准差约为8.2℃。2.参考答案：样本均值、样本方差、样本标准差、置信区间解析：本题考查样本均值、样本方差、样本标准差的计算和置信区间的估计。首先，计算样本均值、样本方差和样本标准差。样本均值为所有数据之和除以数据个数，样本方差为每个数据与样本均值的差的平方和除以数据个数减1，样本标准差为样本方差的平方根。计算结果为样本均值约为8.75mg/L，样本方差约为0.96mg/L²，样本标准差约为0.98mg/L。然后，根据样本均值和样本标准差，估计该河流溶解氧含量的总体均值和总体标准差的置信区间。由于样本量较小，采用t分布进行置信区间的估计。计算结果为总体均值的置信区间约为(8.43mg/L,9.07mg/L)，总体标准差的置信区