统编版高中二年级数学选择性必修第4章习题汇编及答案

统编版高中二年级数学选择性必修第4章习题汇编及答案第1页共1页统编版高中二年级数学选择性必修第4章习题汇编及答案一、单项选择题（共10小题，每题2分）（每小题只有一个选项符合题意，请把正确选项的字母填在题后括号内）1.在直角坐标系中，点A(3,4)关于直线y=x对称的点的坐标是A.(4,3)B.(3,4)C.(-3,-4)D.(-4,-3)参考答案：A2.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最小值是A.0B.1C.2D.-1参考答案：B3.已知等差数列{a_n}中，a_1=5，公差d=2，则a_5的值是A.9B.11C.13D.15参考答案：C4.在△ABC中，若∠A=45°，∠B=60°，则∠C的度数是A.75°B.105°C.120°D.135°参考答案：A5.抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数的概率是A.1/2B.1/3C.1/4D.1/6参考答案：A6.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与圆O的位置关系是A.相交B.相切C.相离D.重合参考答案：A7.在△ABC中，若AB=5，AC=7，BC=8，则△ABC的面积是A.12B.14C.16D.18参考答案：B8.函数g(x)=2^x在R上的单调性是A.单调递增B.单调递减C.先增后减D.先减后增参考答案：A9.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,0)，则向量a与向量b的夹角是A.0°B.30°C.60°D.90°参考答案：D10.在ABC中，若AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=3，则DC的长度是A.2B.2.4C.3D.4参考答案：A二、填空题（共10小题，每题2分）（请把正确答案直接填写在题中横线上，填写不完整的不得分）1.在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=-x对称的点的坐标是______。参考答案：(-3,-2)2.函数f(x)=x²-4x+3在区间[1,4]上的最大值是______。参考答案：53.已知等比数列{b_n}中，b_1=2，公比q=-3，则b_4的值是______。参考答案：-1624.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C的度数是______。参考答案：75°5.抛掷两枚质地均匀的骰子，出现点数之和为7的概率是______。参考答案：1/66.已知圆O的半径为4，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与圆O的位置关系是______。参考答案：相切7.在△ABC中，若AB=3，AC=5，BC=7，则△ABC的面积是______。参考答案：68.函数g(x)=log₂x在(0,+∞)上的单调性是______。参考答案：单调递增9.已知向量a=(2,-1)，向量b=(-1,3)，则向量a与向量b的夹角是______。参考答案：120°10.在ABC中，若AD是角平分线，AB=5，AC=3，BD=2，则DC的值是______。参考答案：1三、判断题（共10小题，每题2分）（正确的打“√”，错误的打“×”，把判断符号填在题后括号内）1.在等差数列{a_n}中，若a_4=10，a_7=19，则该数列的公差d为9。参考答案：√2.若函数f(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最小值为2，则该函数在[1,3]上单调递增。参考答案：×3.在△ABC中，若AD是角平分线，且AB=6，AC=4，则BD:DC=3:2。参考答案：√4.已知圆O的半径为3，圆心O到直线l的距离为2，则直线l与圆O相切。参考答案：√5.函数f(x)=sin(x+π/2)的图像与函数g(x)=cos(x)的图像完全重合。参考答案：√6.若向量a=(3,4)，向量b=(1,2)，则向量a与向量b共线。参考答案：×7.在直角坐标系中，点A(2,3)关于直线y=-x对称的点的坐标是(-3,-2)。参考答案：√8.若等比数列{b_n}的前三项依次为1,-2,4，则该数列的公比q为-2。参考答案：√9.函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的最大值为1。参考答案：×10.在△ABC中，若∠A=60°，∠B=45°，则∠C=75°。参考答案：√四、简答题（共8小题，每题2分）（请分点作答，语言简明、要点齐全，写在对应题目下方的横线上）1.已知函数f(x)=x²-2x+3，求f(2)的值。参考答案：52.判断函数g(x)=|x-1|在区间[0,2]上的单调性。参考答案：在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增3.在△ABC中，若AD是角平分线，AB=6，AC=4，BD=3，求BC的长度。参考答案：54.已知向量a=(1,2)，向量b=(3,0)，求向量a与向量b的夹角余弦值。参考答案：3/√135.函数h(x)=log₂x在(0,+∞)上的单调性是什么？参考答案：单调递增6.在等差数列{a_n}中，若a_4=10，a_7=19，求该数列的公差d。参考答案：37.若函数k(x)=x²-2x+3在区间[1,3]上的最小值为2，求k(2)的值。参考答案：38.在平行四边形ABCD中，若∠A=60°，AD=5，AB=7，求对角线BD的长度。参考答案：√39五、应用题（共8小题，每题3分）（请写出必要的文字说明、方程式和重要的演算步骤，只写最后结果不得分）1.某工厂生产一种产品，其成本C（元）与产量x（件）的关系式为C=50+2x。若每件产品的售价为p元，且售价与产量x的关系式为p=100-0.5x。求该工厂生产多少件产品时，利润最大？最大利润是多少？参考答案：x=50,最大利润=1500元2.在△ABC中，已知AB=5cm，AC=7cm，∠BAC=60°。求BC边的长度。参考答案：BC=√39cm3.某城市地铁线路的长度为L公里，平均每分钟运行速度为v公里/分钟。求该地铁线路运行一周所需的时间。参考答案：T=L/v分钟4.一个圆锥的底面半径为r，高为h。求该圆锥的侧面积。参考答案：侧面积=πrl5.某班级有m名同学，其中男生占60%，女生占40%。求该班级的男生人数。参考答案：男生人数=0.6m6.一个圆柱的底面半径为R，高为H。求该圆柱的体积。参考答案：体积=πR²H7.某商品的原价为P元，打八折出售。求该商品的折后价。参考答案：折后价=0.8P元8.一个正方体的棱长为a。求该正方体的表面积。参考答案：表面积=6a²标准答案与解析一、单项选择题1.参考答案：A解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的坐标变换知识点。点A(3,4)关于直线y=x对称的点的坐标可以通过交换横纵坐标得到，即(4,3)。选项B是点A本身，选项C和D是点A关于原点对称的点的坐标，都不正确。2.参考答案：B解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的绝对值函数性质知识点。函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的图像是折线段，其中x=1时函数取得最小值0。选项A、C、D都是错误数值。3.参考答案：C解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的等差数列通项公式知识点。等差数列{a_n}的通项公式为a_n=a_1+(n-1)d，代入a_1=5，d=2，n=5得到a_5=5+4×2=13。其他选项都是计算错误。4.参考答案：A解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的三角形内角和定理知识点。三角形内角和为180°，所以∠C=180°-45°-60°=75°。选项A、C、D都是错误计算。5.参考答案：A解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的古典概型知识点。抛掷一枚质地均匀的骰子，出现点数为偶数的情况有(2,4,6)，共3种，总情况数为6种，所以概率为3/6=1/2。其他选项都是错误计算。6.参考答案：A解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的直线与圆的位置关系知识点。直线l与圆O的位置关系取决于圆心到直线的距离d与半径r的关系。当dr时，直线与圆相交；当d=r时，相切；当dr时，相离。本题中d=2，r=3，23，所以直线与圆相交。选项B、C、D都是错误判断。7.参考答案：B解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的海伦公式知识点。设半周长s=(5+7+8)/2=10，根据海伦公式，三角形面积S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[10×(10-5)×(10-7)×(10-8)]=√[10×5×3×2]=√300=10√3≈14。选项A、C、D都是错误计算。8.参考答案：A解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的指数函数性质知识点。函数g(x)=2^x是指数函数，底数21，所以函数在R上单调递增。选项B、C、D都是错误判断。9.参考答案：D解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的向量夹角知识点。向量a=(1,2)与向量b=(3,0)的夹角θ满足cosθ=(a•b)/(|a||b|)=(1×3+2×0)/(√1^2+2^2×√3^2)=3/(√5×√9)=3/15=1/5，所以θ=arccos(1/5)=90°。选项A、B、C都是错误计算。10.参考答案：A解析：本题考查《统编版高中二年级数学选择性必修第4章》中的角平分线定理知识点。根据角平分线定理，有AB/AC=BD/DC，即6/4=3/DC，解得DC=2。选项B、C、D都是错误计算。二、填空题1.参考答案：(-3,-2)解析：本题考查“点关于直线对称的坐标变换”。设对称点为B(x,y)，由对称性质得：(2+x)/2=-3，(3+y)/2=-2解得x=-3-2=-5，y=-2-3=-5故答案为(-5,-5)。注意不能直接套用关于原点对称的公式，需根据对称轴方程进行计算。2.参考答案：5解析：本题考查“二次函数在闭区间上的最值求解”。函数f(x)=x²-4x+3=(x-2)²-1对称轴为x=2，区间[1,4]包含对称轴当x=2时，f(2)=-1为最小值当x=4时，f(4)=4²-4×4+3=3故最大值为3。易错点为忽略对称轴在区间内的情况。3.参考答案：-162解析：本题考查“等比数列通项公式”。b_n=b_1q^(n-1)b_4=2×(-3)^(4-1)=2×(-3)³=-54注意公比q=-3，指数为3而非4，故答案为-54。干扰项可能误算为正数或指数错误。4.参考答案：75°解析：本题考查“三角形内角和定理”。∠C=180°-(∠A+∠B)=180°-(60°+45°)=75°易错点为角度制与弧度制的混淆，或内角和定理应用错误。5.参考答案：1/6解析：本题考查“古典概型概率计算”。基本事件总数为6×6=36点数和为7的基本事件有(1,6)、(2,5)、(3,4)、(4,3)、(5,2)、(6,1)，共6种故概率P=6/36=1/6。易错点为计算总数时重复或遗漏。6.参考答案：相切解析：本题考查“直线与圆的位置关系”。圆心到直线距离d=3小于半径r=4故直线与圆相切。易错点为忽略距离与半径的比较关系。7.参考答案：6解析：本题考查“海伦公式求三角形面积”。s=(3+5+7)/2=7.5S=√[s(s-a)(s-b)(s-c)]=√[7.5×(7.5-3)×(7.5-5)×(7.5-7)]=√[7.5×4.5×2.5×0.5]=6注意余数必须小于除数，面积计算需精确到小数点后一位。8.参考答案：单调递增解析：本题考查“对数函数的单调性”。对数函数y=log₂x在定义域(0,+∞)上单调递增故答案为单调递增。易错点为忽略对数函数底数对单调性的影响。9.参考答案：120°解析：本题考查“向量夹角余弦公式”。cosα=a•b/|a||b|a•b=2×(-1)+(-1)×3=-5，|a|=√[2²+(-1)²]=√5，|b|=√[(-1)²+3²]=√10cosα=-5/(√5×√10)=-√2/2，故α=120°。易错点为计算模长或点积时符号错误。10.参考答案：1解析：本题考查“角平分线定理”。AD/DB=AC/BC2/3=3/DC，解得DC=3×(2/3)=2注意比例关系必须正确列式，易错点为比例式写反。三、判断题1.参考答案：√解析：本题考查等差数列的通项公式。由等差数列的性质，a_7=a_4+3d，代入a_4=10，a_7=19，得19=10+3d，解得d=3。故该数列的公差d为3，而非9。2.参考答案：×解析：本题考查二次函数的性质。函数f(x)=x²-2x+3的顶点为(1,2)，对称轴为x=1。在区间[1,3]上，函数单调递增。但最小值出现在顶点x=1处，为f(1)=2，而非区间端点。故该函数在[1,3]上单调递增，最小值为2，说法正确。3.参考答案：√解析：本题考查角平分线的性质。由角平分线定理，AB:AC=BD:DC，代入AB=6，AC=4，得6:4=BD:DC，即3:2=BD:DC。故BD:DC=3:2，说法正确。4.参考答案：√解析：本题考查直线与圆的位置关系。由直线与圆的位置关系判定，若圆心到直线的距离d小于半径r，则直线与圆相交；若d等于r，则直线与圆相切；若d大于r，则直线与圆相离。本题中，圆心O到直线l的距离为2，半径为3，23，故直线l与圆O相切，说法正确。5.参考答案：√解析：本题考查三角函数的图像变换。函数f(x)=sin(x+π/2)可以看作是函数g(x)=sin(x)的图像向左平移π/2个单位得到的。根据三角函数的图像平移性质，sin(x+π/2)=cos(x)，故f(x)与g(x)的图像完全重合，说法正确。6.参考答案：×解析：本题考查向量的共线性。向量a=(3,4)与向量b=(1,2)共线的充要条件是存在实数k，使得a=kb。即(3,4)=k(1,2)，解得k=3/1=3，但k=4/2=2，矛盾。故向量a与向量b不共线，说法错误。7.参考答案：√解析：本题考查点关于直线的对称点。点A(2,3)关于直线y=-x对称的点的坐标可以通过以下步骤求得：①作点A关于x轴的对称点A'，坐标为(2,-3)；②作点A'关于y轴的对称点A''，坐标为(-2,3)；③作点A''关于直线y=x的对称点A'''，坐标为(-3,-2)。故点A(2,3)关于直线y=-x对称的点的坐标是(-3,-2)，说法正确。8.参考答案：√解析：本题考查等比数列的通项公式。由等比数列的性质，q=b_2/b_1=b_3/b_2，代入b_1=1，b_2=-2，b_3=4，得q=-2/1=-2，说法正确。9.参考答案：×解析：本题考查绝对值函数的性质。函数f(x)=|x-1|在区间[0,2]上的图像是一个以(1,0)为顶点的V形图像。在区间[0,2]上，函数的最大值出现在x=2处，为f(2)=|2-1|=1，但最小值出现在x=1处，为f(1)=|1-1|=0。故该函数在[0,2]上的最大值为1，说法正确。10.参考答案：√解析：本题考查三角形的内角和定理。在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°，代入∠A=60°，∠B=45°，得60°+45°+∠C=180°，解得∠C=75°。故∠C=75°，说法正确。四、简答题1.参考答案：5解析：本题考查二次函数的求值。f(2)=2²-22+3=4-4+3=5。2.参考答案：在[0,1]上单调递减，在[1,2]上单调递增解析：本题考查绝对值函数的单调性。g(x)=|x-1|在x=1处取得最小值0，在(0,1)上g(x)=1-x单调递减，在(1,2)上g(x)=x-1单调递增。3.参考答案：5解析：本题考查角平分线定理。由角平分线定理得AB/AC=BD/DC，即6/4=3/DC，解得DC=2。由勾股定理得BC=√(BD²+DC²)=√(3²+2²)=√13≈5。4.参考答案：3/√13解析：本题考查向量夹角余弦公式。cos0xE10xB50xA3=a•b/|a||b|=(13+20)/√(1²+2²)√(3²+0²)=3/√13。5.参考答案：单调递增解析：本题考查对数函数的单调性。对数函数y=log0xE10xB50xA3x在(0,+∞)上单调递增。6.参考答案：3解析：本题考查等差数列通项公式。由a0xE20x820x99=a₁+(n-1)d得a₁=a0xE20x820x99-(n-1)d。代入a₄=10，a₇=19得10=a₁+3d，19=a₁+6d，解得d=3。7.参考答案：3解析：本题考查二次函数的最值。k(x)=x²-2x+3=(x-1)²+2，在x=1处